（浙江专用）中考数学二轮提升练习热点05 三角形与特殊三角形（2份，原卷版+解析版）

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三角形与特殊三角形的基础知识是解决后续很多几何问题的基础，全等三角形也是几何问题中证明线段相等或者角相等的常用关系。所以，在中考中，考察的几率也是比较大。在考察题型上，三角形与特殊三角形的基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边关系、内角和定理、“三线”基本性质、等腰三角形“三线合一”、直角三角形勾股定理等，全等三角形考点，考题形式选择填空均有，个别以简答题形式出现考察其性质与判定的简单应用。而且，因为该考点与其他几何考点的融入性特别多，所以还有作为几何综合问题的考点之一来综合考察。
三角形基本性质：分类记忆，边、角、线；
有关三角形的基本性质，主要从以下几个方向考察：①边的角度——三边关系——三角形两边之和大于第三边；②角的角度——三角形内角和定理——三个内角之和=180°（外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和）；③三线的角度——高线、中线、角平分线
2.应用方面抓实质——当问题已知条件中出现什么概念，立马想找个概念对应的性质；
不仅仅是三角形的基本性质，其他几何图形也一样，概念决定性质，性质决定应用。应用时用不上怎么办？添加对应的辅助线，使对应概念的性质可以应用。
3.全等三角形：根据不同条件选择合适的判定方法，判定和性质通常都是同步考察的；
全等三角形的问题，简单问题直接选择合适的方法判定或者应用；复杂的问题中，证出两个三角形是全等三角形之后，通常要接着用全等三角形的对应边或者对应角相等来解决后续问题。所以，有时候问题中并没有让判定两个三角形全等，但是我们需要通常“三角形全等的证明”间接得到所需要的边相等或角相等。
等腰三角形：常见辅助线——“三线合一”的高线；
等腰三角形的性质求角度问题，想等边对等角、“三线合一”；求长度问题，想“三线合一”、轴对称性、以及直角三角形勾股定理；不能直接利用其性质时，常作辅助线—底边上的高线；另外，等腰三角形勿忘常见模型——手拉手全等、知2得1
直角三角形：经典几何等量关系——勾股定理；
初中数学求长度，必记需要列方程的两大等量关系之一——勾股定理。求长度时，直角三角形已经存在，则直接利用，当直角三角形不存在时，则多作垂线，构造直角三角形，然后用勾股定理列方程求解。必记特殊直角三角形三边比，含30°角Rt△三边比为、含45°角Rt△三边比为
三角形与特殊三角形常考热点考点有：三角形三边关系、内角和定理、外角定理、中线高线角平分线的应用、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、等边三角形性质、直角三角形勾股定理等。大多数是数学问题的直接考察，个别时候会需要我们把生活实例中的某个物体抽象出数学模型，之后根据其性质对应计算或应用。
A卷（建议用时：50分钟）
1．（2022•杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（ ）
A．线段CD是△ABC的AC边上的高线
B．线段CD是△ABC的AB边上的高线
C．线段AD是△ABC的BC边上的高线
D．线段AD是△ABC的AC边上的高线
2．（2022•衢州）线段a，b，c首尾顺次相接组成三角形，若a＝1，b＝3，则c的长度可以是（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（2022•绍兴）如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
4．（2022•金华）已知三角形的两边长分别为5cm和8cm，则第三边的长可以是（ ）
A．2cmB．3cmC．6cmD．13cm
5．（2022•金华）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．HL
6．（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（ ）
A．4B．6C．2D．3
7．（2022•金华）如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022•湖州）如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（ ）
A．12B．9C．6D．3
9．（2022•舟山）如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，点A在边DE的中点上，若AB＝BC，DB＝DE＝2，连结CE，则CE的长为（ ）
A．B．C．4D．
10．（2022•嘉兴）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 ．
11．（2022•金华）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2cm．把△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A'B'C'，连结CC'，则四边形AB'C'C的周长为 cm．
12．（2022•衢州）已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB＝AD．
13．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：∠EBD＝∠EDB．
（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
14．（2022•杭州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．
（1）求证：CE＝CM．
（2）若AB＝4，求线段FC的长．
15．（2022•绍兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD＝α．
（1）如图，当P与E重合时，求α的度数．
（2）当P与E不重合时，记∠BAD＝β，探究α与β的数量关系．
B卷（建议用时：60分钟）
1．（2022秋•钦州期末）已知在△ABC中，AB＝4，BC＝7，则边AC的长可能是（ ）
A．2B．3C．4D．11
2．（2022•温岭市一模）将一块含有45°角的直角三角板和一把直尺按如图所示方式摆放，若∠1＝95°，则∠2的度数是（ ）
A．65°B．55°C．50°D．45°
3．（2023•金华模拟）下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A＝30°B．∠B+∠C＝120°
C．∠A：∠B：∠C＝1：1：2D．AB＝AC＝1，BC＝
4．（2022•镇海区二模）如图．四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝3，AB＝5，AD＝6．若点M是线段BD的中点，则CM的长为（ ）
A．B．2C．D．3
5．（2022•浦江县模拟）如图，已知△AHB是等腰直角三角形．∠AHB＝90°，△AHG，△BHC，△ABE是等边三角形，GH交AE于点F．CH交BE于点D．记四边形EFHD的面积为S1，△BCD的面积S2，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023•宁波模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，AD、CE交于点F．则下列说法正确的个数为（ ）
①∠AFC＝120°；②S△ABD＝S△ADC，③若AB＝2AE，则CE⊥AB；④CD+AE＝AC；⑤S△AEF：S△FDC＝AF：FC．
A．2个B．3个C．4个D．5个
7．（2022•金华模拟）如图，已知一款新型塔吊的平衡臂ABC部分组成一个直角三角形，且AC＝BC，起重臂AD可以通过拉绳BD进行上下调整．现将起重臂AD从水平位置调整至AD1位置，使货物E达到E1位置（挂绳DE的长度不变且始终与地面垂直）．
（1）若D1E1是AD的中垂线，则∠BAD1的度数是 ．
（2）若货物E升高了24m，且到塔身AH的距离缩短了16m，测得了AB⊥BD1，则AC的长为 ．
8．（2022•乐清市三模）
9．（2023•瑞安市模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为△ABC内一点，且AD平分∠BAC．
（1）求证：△ABD≌△ACD．
（2）若AB＝BC，∠DBC＝40°，求∠ACD的度数．
10．（2023•碑林区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上（不与点A，点C重合），连接BD，BD＝AB．
（1）设∠C＝50°时，求∠ABD的度数；
（2）若AB＝5，BC＝6，求AD的长．
11．（2022•柯城区校级三模）定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这个三角形为“标准三角形”．如：在△ABC，CD⊥AB于点D，AB＝CD，则△ABC为标准三角形．
【概念感知】
判断：对的打“√”，错的打“×”．
（1）等腰直角三角形是标准三角形．
（2）顶角为30°的等腰三角形是标准三角形．
【概念理解】
若一个等腰三角形为标准三角形，则此三角形的三边长之比为 ．
【概念应用】
（1）如图，若△ABC为标准三角形，CD⊥AB于点D，AB＝CD＝1，求CA+CB的最小值．
（2）若一个标准三角形的其中一边是另一边的倍，求最小角的正弦值．
研究任务
画出平分直角三角形面积的一条直线
研究成果
中线法
分割法
等积法
BD是AC边上的中线
若，则
DE∥BF
成果应用
如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，直线EF平分△ABC的面积．
①若EF⊥AC，，则AC的值为 ；
②若BE＝CF，AE＝EF，则AC的值为 ．