（浙江专用）中考数学二轮提升练习热点07 解直角三角形（2份，原卷版+解析版）

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中考数学中，对锐角三角函数的考察主要以特殊角的三角函数值及其有关计算、解直角三角形、解直角三角形的应用三个方面为主。其中，锐角三角函数的性质及解直角三角形多以选择填空题为主，解直角三角形的应用多以解答题为主。整体难度不大，但是所占分值有3~12分，还是需要考生对这块易拿分的考点多加重视。
特殊角的三角函数值及性质：特殊角的三角函数值必须熟记，同步记忆对应类型的增减性；
当0°＜α＜90°时， Sinα随α的增大而增大；tanα随α的增大而增大；csα随α的增大而减小。
2.网格中的三角函数值：所求角度不能直接求解时，多需要转化；
当所求角在网格中时，一是需要做辅助线，构造直角三角形；当不能直接构造时，常需要转化相等角到一个可以求解的直角三角形中，再去求对应三角函数值。
3.解直角三角形的实际应用：审题、画图、解直角三角形；
解直角三角形的应用类问题，首先需要做垂线构造直角三角形；再根据解直角三角形的一般方法，由已知数据求解待求项。
解直角三角形的实际应用的考察热点有：仰角、俯角类问题求楼高；坡角（坡度）问题；在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合平面几何知识构造直角三角形，利用三角函数或相似三角形来解决问题。
A卷（建议用时：30分钟）
1．（2022•金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知BC＝6m，∠ABC＝α，则房顶A离地面EF的高度为（ ）
A．（4+3sinα）mB．（4+3tanα）mC．（4+）mD．（4+）m
2．（2022•金华）图1是光伏发电场景，其示意图如图2，EF为吸热塔，在地平线EG上的点B，B′处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点（A，A'）旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F处．已知AB＝A'B'＝1m，EB＝8m，EB'＝8m，在点A观测点F的仰角为45°．
（1）点F的高度EF为 m．
（2）设∠DAB＝α，∠D'A'B'＝β，则α与β的数量关系是 ．
3．（2022•金华）计算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．
4．（2022•绍兴）（1）计算：6tan30°+（π+1）0﹣．
（2）解方程组：．
5．（2022•湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值．
6．（2022•台州）如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2．梯子与地面所成的角α为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，cs75°≈0.26，tan75°≈3.73）
7．（2022•宁波）每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
（1）若∠ABD＝53°，求此时云梯AB的长．
（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
（参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.3）
8．（2022•嘉兴）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD＝BE＝10cm，CD＝CE＝5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°．
（1）连结DE，求线段DE的长．
（2）求点A，B之间的距离．
（结果精确到0.1cm．参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84）
9．（2022•绍兴）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米．
（1）求∠BAD的度数．
（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin37°≈，cs37°≈，tan37°≈，tan84°≈）
B卷（建议用时：50分钟）
1．（2023•金华模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinA＝，则AB的值为（ ）
A．8B．9C．10D．7.5
2．（2023•鹿城区一模）如图是一款汽车千斤顶，其主要部件为四根连杆组成的菱形ABCD和螺旋杆PQ，当BD＝m，∠CBD＝α时，A，C两点的距离为（ ）
A．B．C．mtanαD．msinα
3．（2022•椒江区校级二模）如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形顶点上，则图中∠ACB的正切值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022•上城区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，tan∠BCD＝，则tanA＝（ ）
A．B．3C．D．
5．（2023•瓯海区一模）如图，一把梯子AB斜靠在墙上，端点A离地面的高度AC长为1m时，∠ABC＝45°．当梯子底端点B水平向左移动到点B'，端点A沿墙竖直向上移动到点A'，设∠A'B'C＝α，则AA'的长可以表示为（ ）m．
A．B．C．D．
6．（2022•西湖区模拟）如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、E在格点上，连接AE、BC，点D在BC上且满足AD⊥BC，则∠AED的正切值是（ ）
A．B．2C．D．
7．（2023•镇海区校级一模）△ABC，D为AC中点，BA＝BD，DE⊥AC交BC于E，EA交BD于F，tan∠EAB＝，FD＝5，则AF＝ ．
8．（2023•婺城区模拟）如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为5cm，两个车轮的圆心的连线AB与地面平行，测得支架AC＝BC＝60cm，AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°，CD＝50cm．
（1）求扶手前端D到地面的距离为 ；
（2）手推车内装有简易宝宝椅，EF为小坐板，打开后，椅子的支点H到点C的距离为10cm，DF＝20cm，EF∥AB，∠EHD＝45°，坐板EF的宽度为 ．
9．（2023•金华模拟）如图是一个矩形足球球场，AB为球门，CD⊥AB于点D，AB＝a米．某球员沿CD带球向球门AB进攻，在Q处准备射门．已知BD＝3a米，QD＝3a米，则tan∠AQB＝ ；已知对方门将伸开双臂后，可成功防守的范围大约为0.5a米；此时门将站在张角∠AQB内，双臂伸开MN且垂直于AQ进行防守，MN中点与AB距离 米时，刚好能成功防守．
10．（2023•滨湖区一模）小郑在一次拼图游戏中，发现了一个很神奇的现象：
（1）他先用图形①②③④拼出矩形ABCD．
（2）接着拿出图形⑤．
（3）通过平移的方法，用①②③④⑤拼出了矩形ABMN．
已知AE：EO＝2：3，图形④的面积为15，则增加的图形⑤的面积为： ，当CO＝，EH＝4时，tan∠BAO＝ ．
11．（2023•鄞州区校级一模）某种落地灯如图1所示，AB为立杆，其高为70cm，BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为50cm，DE为悬杆，支杆BC与悬杆DE之间的夹角∠BCD为60°．
（1）如图2，当支杆BC与地面垂直，且灯泡悬挂点D距离地面的高度为100cm，求CD的长；
（2）在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转20°，如图3，求此时灯泡悬挂点D到地面的距离．（结果精确到1cm，参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84）
12．（2023•舟山一模）如图1是一种可折叠的台灯，图2是台灯的结构图，AC是可以绕点A旋转的支架，点C为灯泡的位置，灯罩可绕点C旋转．量得AB＝10cm，AC＝20cm，此时∠ABF＝37°，且CE⊥DE．
（1）当∠A＝90°，CD⊥AC时（图2），求灯泡C所在的高度；
（2）旋转支架AC（AB固定）．当∠A从90°变成57°（图3）时，且∠D'C'E'的度数不变，C′E′⊥D′E′，求DE﹣D′E′的值．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin20°≈0.34，cs20°≈0.94 4，tan20°≈0.36）
13．（2023•婺城区模拟）如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边OM上的点A处，另一端B在边ON上滑动，图2为某一位置从上往下看的平面图，测得∠ABO为37°，∠AOB为45°，OB长为35厘米，求AB的长（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）
14．（2023•慈溪市模拟）长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，是我国茶文化的一部分，所用到的长嘴壶更是历史悠久，源远流长．图①是现今使用的某款长嘴壶放置在水平桌面上的照片，图②是其抽象示意图，l是水平桌面，测得壶身AD＝BC＝3AE＝24cm，AB＝30cm，CD＝22cm，且CD∥AB．壶嘴EF＝80cm，∠FED＝70°．
（1）求FE与水平桌面l的夹角；
（2）如图③，若长嘴壶中装有若干茶水，绕点A转动壶身，当恰好倒出茶水时，EF∥l，求此时点F下落的高度．（结果保留一位小数）．
参考数据：sin80°≈0.98，cs80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75．