2023年中考数学模拟试卷（重庆卷）（2份，原卷版+解析版）

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一．选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了序号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个正确的，请将答题卡上题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑．
1．的相反数是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
【详解】解：﹣3的相反数是：3．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相反数的定义是解题的关键．
2．以下四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念，把一个图形沿着某条直线折叠，两边能够重合的图形是轴对称图形．
【详解】解：根据轴对称的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，两边能够重合的图形是轴对称图形．
A．不是轴对称图形；故此选项不符合题意；
B．不是轴对称图形；故此选项不符合题意；
C．是轴对称图形；故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形；故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形的定义，注意轴对称和轴对称图形的区别：轴对称指的是两个图形；轴对称图形指的是一个图形．
3．如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠2＝110°，那么∠1的度数是（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【分析】直接利用已知角的度数结合平行线的性质得出答案．
【详解】解：∵将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，∠2＝110°，

∴∠3＝∠2＝110°，
∴∠1＝180°﹣∠1﹣30°＝180°﹣110°﹣30°＝40°．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．
4．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，且B为OE的中点，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：5
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵B为OE的中点，
∴＝，
∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∴△OAB∽△ODE，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念，掌握位似三角形是相似三角形以及相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
5．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．100×80﹣100x﹣80x＝7644
B．（100﹣x）（80﹣x）+x2＝7644
C．（100﹣x）（80﹣x）＝7644
D．100x+80x＝356
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
【详解】解：设道路的宽应为x米，由题意有
（100﹣x）（80﹣x）＝7644，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
6．如图，AB与⊙O相切于点B，连接AO并延长交⊙O于点C，连接BC．若∠C＝34°，则∠A的度数是（ ）
A．17°B．22°C．34°D．56°
【分析】连接OB，由切线的性质可得∠ABO＝90°；利用圆的半径相等可得∠OBC＝∠C＝34°；利用三角形的外角性质可得∠AOB＝68°；利用三角形的内角和定理可求得∠A的度数．
【详解】解：如图，连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C＝34°，
∴∠AOB＝∠OBC+∠C＝68°，
∴∠A＝180°﹣∠ABO﹣∠AOB＝180°﹣90°﹣68°＝22°，
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质及三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
7．一次射击比赛中，某队员的10次射击成绩如图所示．他这10次成绩的众数是（ ）
A．9.2环B．9环C．8.6环D．8环
【分析】根据众数的定义解答即可．
【详解】解：这10次射击成绩从小到大排列为：8.4、8.6、8.8、9、9、9、9.2、9.2、9.4、9.4，
所以众数是9环．
故选：B．
【点睛】本题考查了折线统计图和众数，解答本题的关键是掌握相关统计量的求法．
8．若实数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于y的分式方程的解为非负数解，则满足条件的所有整数m的和为（ ）
A．6B．10C．11D．15
【分析】根据不等式组求出m的范围，然后再根据分式方程求出m的范围，从而确定的m的可能值．
【详解】解：，
解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x≤，
∵不等式组有解且至多有3个整数解，
∴1≤＜4，
∴4≤m＜10，
解分式方程，
可得：y＝6﹣m，
∵方程的解为非负整数解，
∴6﹣m≥0且6﹣m为整数，
∴m≤6且6﹣m为整数，
综上所述：4≤m≤6且6﹣m为整数，
∴m＝4或5或6，
当m＝5时，y＝1不符合题意，舍去，
∴m＝4或6，
∴满足条件的所有整数m的和为4+6＝10．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式组的整数解，准确熟练地解一元一次方程和一元一次不等式组是解题的关键．
9．将一些完全相同的三角形按如图所示的规律排列，第①个图形中有2个三角形，第②个图形中有5个三角形，第③个图形中有10个三角形，第 ④个图形中有17个三角形，…，按此规律排列，则第 ⑥个图形中三角形的个数为（ ）
A．26B．37C．50D．65
【分析】由题意可得：第①个图形中有2个三角形，第②个图形中有5个三角形，第③个图形中有10个三角形，第 ④个图形中有17个三角形，…，则可总结出第n个图形中三角形的个数为：n2﹣1，从而可求解．
【详解】解：∵第①个图形中有2个三角形，2＝12+1，
第②个图形中有5个三角形，5＝22+1，
第③个图形中有10个三角形，10＝32+1，
第 ④个图形中有17个三角形，17＝42+1，
…，
∴第n个图形中三角形的个数为：n2+1，
∴第 ⑥个图形中三角形的个数为：62+1＝37，
故选：B．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形，总结出所存在的规律．
10．如图，在边长为的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、BC的中点，连接EC、DF交于点O，点G、H分别是EC、FD的中点，连接GH，则GH的长度为（ ）
A．1B．C．D．
【分析】利用正方形的性质和勾股定理求得CE＝DF＝，利用全等三角形的判定与性质和在直角三角形的性质得到CE⊥DF，利用相似三角形的判定与性质求出OF，OC，在Rt△OHG中，利用勾股定理即可求得结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD＝2，
∵点E、F分别是边AB、BC的中点，
∴BE＝AB，CF＝BC，
∴BE＝CF＝，
∴CE＝DF＝＝．
∵点G、H分别是EC、FD的中点，
∴HF＝CG＝．
在△BEC和△CFD中，
，
∴△BEC≌△CFD（SAS），
∴∠BCE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠CFD＝90°，
∴∠CFD+∠BCE＝90°，
∴∠FOC＝90°，
∴CE⊥DF．
∵∠FCD＝90°，
∴△FOC∽△FCD，
∴，
∴，
∴OF＝，OC＝，
∴OG＝GC﹣OC＝，OH＝HF﹣OF＝，
∴GH＝＝＝1．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定定理得到△BEC≌△CFD是解题的关键．
二．填空题（共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．因式分解：3xy﹣x2＝ x（3y﹣x） ．
【分析】根据提公因式法即可得出答案．
【详解】解：原式＝x•3y﹣x•x
＝x（3y﹣x）．
故答案为：x（3y﹣x）．
【点睛】本题考查了提公因式法，掌握如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法是解题的关键．
12．|3﹣π|﹣（π﹣3）0＝ π﹣4 ．
【分析】根据去绝对值及0指数计算法则计算即可．
【详解】解：原式＝π﹣3﹣1
＝π﹣4，
故答案为：π﹣4．
【点睛】本题考查实数计算，解题的关键是掌握去绝对值及0指数计算的法则．
13．在﹣1，2，3三个数中任取两个数相乘，积为正数的概率为 ．
【分析】画树状图，共有6个等可能的结果，其中积为正数的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如图：
共有6个等可能的结果，其中积为正数的结果有2个，
∴积为正数的概率为＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
14．已知直线l经过点（0，6）且平行于x轴，抛物线y＝ax2+c（a≠0）与直线l相交于点A，B，与y轴交于点C（0，﹣2），且∠ACB为直角，则当y＜0时，自变量x的取值范围是 ﹣4＜x＜4 ．
【分析】∠ACB为直角，则△ABC为等腰直角三角形，则点B（8，6），即可求解．
【详解】解：如图，∵∠ACB为直角，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵C（0，﹣2），
∴抛物线的表达式为：y＝ax2﹣2；
∴CD＝6﹣（﹣2）＝8，
∴点B（8，6），
将点B的坐标代入抛物线表达式，得：6＝64a﹣2，
解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2，
令y＝0，则x＝±4，
∴当y＜0时，自变量x的取值范围是﹣4＜x＜4，
故答案为：﹣4＜x＜4．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
15．如图，在Rt△ABC中，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝8，则AC的长为 8 ．
【分析】根据直角三角形的性质得到BD＝AD＝CD＝8，根据角平分线的定义得到∠ABE＝∠DBE，根据全等三角形的性质得到AB＝BD，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，AD是△ABC的中线，AD＝8，
∴BD＝AD＝CD＝8，
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠DBE，
∵AD⊥BE，
∴∠ANB＝∠DNB＝90°，
∵BN＝BN，
∴△ABN≌△DBN（ASA），
∴AB＝BD，
∴AB＝8＝BC，
∴∠C＝30°，
∴AC＝AB＝8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
16．如图，已知长方形纸带ABCD，AB∥CD，AD∥BC，将纸带沿EF折叠后，点B、C分别落在H、G的位置，再沿GF折叠成图2，点A、D分别落在Q、H的位置，已知∠QHE＝2∠GHF，则∠CFE的大小为 75 度．
【分析】设∠QHG＝x，由翻折可得∠QHF＝∠D＝90°，∠GHE＝∠B＝90°，∠HGF＝∠C＝90°，所以∠GHF＝90°﹣x，∠QHE＝∠QHG+∠GHE＝x+90°，根据∠QHE＝2∠GHF，可得x+90°＝2（90°﹣x），所以x＝30°，进而可以解决问题．
【详解】解：设∠QHG＝x，由翻折可知：∠QHF＝∠D＝90°，∠GHE＝∠B＝90°，∠HGF＝∠C＝90°，
∴∠GHF＝90°﹣x，∠QHE＝∠QHG+∠GHE＝x+90°，
∵∠QHE＝2∠GHF，
∴∠QHE＝2（90°﹣x），
∴x+90°＝2（90°﹣x），
x＝30°，
∴∠QHG＝30°，
∴∠GHF＝90°﹣x＝60°，
∴∠GFH＝30°，
由翻折可知：∠DFG＝∠GFH＝30°，
∴∠GFC＝180°﹣30°＝150°，
∴∠CFE＝∠GFC＝75°，
故答案为：75．
【点睛】本题考查了翻折变换，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，点E在AD边上，ED＝2，以点E为圆心，AE长为半径画弧，与BC相交于点F，且恰好经过点C，连接AC、CE．则阴影部分的面积是 π﹣4 ．
【分析】根据矩形的性质得到CD＝AB＝2，∠D＝90°，根据三角函数的定义得到∠EAC＝∠ECA＝30°，过E作EH⊥AC于H，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，∠D＝90°，
∵DE＝2，
∴CE＝AE＝＝＝4，tan∠DEC＝＝，
∴∠DEC＝60°，
∴∠AEC＝120°，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
过E作EH⊥AC于H，
∴EH＝AE＝2，AH＝2，
∴AC＝2AH＝4，
∴阴影部分的面积＝S扇形AEC﹣S△ACE＝﹣××2＝π﹣4，
故答案为：π﹣4．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．
18．“非洲猪瘟”本是一种只在家畜之间传播的瘟疫，但最近已严重威胁到广大人民群众的生命安全，现我市有一组检疫工作人员（工作人员每人每天生猪检疫的效率相等），需对甲、乙两个生猪养殖场的所有生猪逐一检疫，已知，甲养殖场的生猪比乙养殖场的生猪多1倍．上午全部工作人员在甲养殖场检疫，为了尽快完成检疫，下午所有工作人员的平均工作效率提高了20%，但下午有一人因事离开，剩下的工作人员的一半仍留在甲养殖场（上、下午的工作时间相等），到下班前刚好把甲养殖场的生猪检疫完毕，另一半工作人员去乙养殖场检疫，到下班前还剩下一小部分生猪未检疫，最后由6人以提高前的检疫速度，再用不到半天的工作时间就完成了检疫．则这组工作人员最多有 27 人．
【分析】设每人每天可检疫x头猪，该组检疫工作人员有y人，则每人半天检疫头猪，由甲养殖场的生猪比乙养殖场的生猪多1倍，根据题意可得不等式，从而得解．
【详解】解：设每人每天可检疫x头猪，该组检疫工作人员有y人，由题意得：
xy+x（1+20%）×＜2[x（1+20%）×+6×]，
化简得：0.4y＜11.4
∴y＜28.5，
∵y只能为正整数，且有一人离开后，人数平分
∴y的最大值为27．
故答案为：27．
【点睛】本题是较复杂的不等式应用题，题目中有两个变量，但是列完之后，每个因式中都含有x，从而可以消掉，变成一元一次不等式，从而得解，本题的难点在于变量较多，不等关系的得出较为复杂．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．（8分）化简式子：
（1）x（x+2y）﹣（x+y）（x﹣y）；
（2）（m﹣）+．
【分析】（1）根据单项式乘单项式和平方差公式进行计算即可得出答案；
（2）根据分式的加减运算法则进行求解即可得出答案．
【详解】解：（1）原式＝x2+2xy﹣（x2﹣y2）
＝x2+2xy﹣x2+y2
＝2xy+y2；
（2）原式＝[﹣]+
＝+
＝
＝．
【点睛】本题主要考查单项式乘多项式，平方差公式及分式的加减运算，熟练掌握单项式乘多项式，平方差公式及分式的加减运算法则进行求解是解决本题的关键．
20．（10分）下面是小芸设计的“作平行四边形ABCD的边AB的中点”的尺规作图过程．
已知：▱ABCD．
求作：点P，使点P为边AB的中点．
作法：
①作射线DA；
②以点A为圆心，BC长为半径画弧，在点A左侧与射线DA交于点E；
③连接CE交AB于点P．点P即为所求作的边AB的中点．
根据小芸设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接AC，EB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BC．
∵AE＝ BC ，
∴四边形EBCA是平行四边形，（ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ）（填推理的依据）
∴AP＝PB，（ 平行四边形的对角线互相平分 ）（填推理的依据）
点P即为所求作的边AB的中点．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）证明四边形AEBC是平行四边形，可得结论．
【详解】（1）解：如图，点P即为所求；
（2）证明：连接AC，EB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BC．
∵AE＝BC，
∴四边形EBCA是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴AP＝PB（平行四边形的对角线互相平分），
点P即为所求作的边AB的中点．
故答案为：BC，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．（10分）为响应“带动三亿人参与冰雪运动”的号召，某校七、八年级举行了“冰雪运动知识竞赛”．为了解学生对冰雪运动知识的掌握情况，学校从两个年级分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．七年级20名学生的测试成绩为：
7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．
b．八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示：
c．七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如下表所示：
请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）上表中m＝ 7.5 ，n＝ 7 ，p＝ 7.5 ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对冰雪运动知识掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校八年级共400名学生参加了此次测试活动，估计八年级参加此次测试活动成绩合格的学生人数．
【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义进行计算即可；
（2）从中位数、众数的比较得出结论；
（3）求出八年级学生成绩为“合格”的所占的百分比即可．
【详解】解：（1）m＝＝7.5（分），
七年级20名学生成绩中出现次数最多的是7分，共出现6次，因此众数是7分，即n＝7，
将八年级20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝7.5（分），因此中位数是7.5分，即p＝7.5，
故答案为：7.5，7，7.5；
（2）八年级的成绩较好，理由：八年级学生成绩的中位数是7.5分，众数是8分，都比七年级高；
（3）400×＝360（名），
答：该校八年级共400名学生中成绩合格的大约有360名．
【点睛】本题考查条形统计图，中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数、平均数的定义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的前提．
22．（10分）如图，小南家A位于一条东西走向的笔直马路上，超市B在A地的正东方．午休时间，小南从家A出发沿北偏东60°方向步行600米至菜鸟驿站C取快递．下午第一节网课是美术课，此时距离上课时间只有7分钟，他决定先沿西南方向步行至超市B购买素描画纸，再沿正西方向回到家上网课．（参考数据：，）
（1）求菜鸟驿站C与超市B的距离（精确到个位）；
（2）若小南的步行速度为80米/分钟，那么他上美术网课会迟到吗？请说明理由．（忽略小南买素描画纸的时间）
【分析】（1）过C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，由含30°角的直角三角形的性质得CD＝300米，再证△BCD是等腰直角三角形，得BD＝CD＝300米，BC＝CD＝300米即可；
（2）由锐角三角函数定义求出AD＝300米，则AB＝AD﹣BD≈219.6米，再求出BC+AB的长，即可解决问题．
【详解】解：（1）如图，过C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，
则∠CDB＝90°，
由题意可知，AC＝600米，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠BCD＝45°，
∴CD＝AC＝×600＝300（米），△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD＝300米，
∴BC＝CD＝300≈300×1.414＝424.2≈424（米），
答：菜鸟驿站C与超市B的距离约为424米；
（2）小南上美术网课会迟到，理由如下：
在Rt△ACD中，tan∠CAD＝＝tan30°＝，
∴AD＝CD＝300（米），
∴AB＝AD﹣BD＝300﹣300≈219.6（米），
∴BC+AB≈424.2+219.6≈644（米），
∵644÷80＝8.05＞7，
∴小南上美术网课会迟到．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题、含30°角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
23．（10分）“绿水青山就是金山银山”，重庆市政府为了美化生态环境，给居民创造舒适生活，计划将某滨江路段改建成滨江步道．一期工程共有7000吨渣土要运走，现计划由甲、乙两个工程队运走渣土．已知甲、乙两个工程队，原计划甲平均每天运走的渣土比乙平均每天运走的渣土多，这样甲运走4000吨渣土的时间比乙运走剩下渣土的时间少两天．
（1）求原计划甲平均每天运渣土多少吨？
（2）实际施工时，甲平均每天运走的渣土比原计划增加了m吨，乙平均每天运走的渣土比原计划增加了，甲、乙合作7天后，甲临时有其他任务；剩下的渣土由乙再单独工作2天完成．若运走每吨渣土的运输费用为40元，请求出甲工程队的运输费用．
【分析】（1）原计划乙平均每天运渣土x吨，则原计划甲平均每天运渣土（1+）x吨，由题意：甲运走4000吨渣土的时间比乙运走剩下渣土的时间少两天．列出分式方程，解方程即可；
（2）由题意：实际施工时，甲平均每天运走的渣土比原计划增加了m吨，乙平均每天运走的渣土比原计划增加了，甲、乙合作7天后，甲临时有其他任务；剩下的渣土由乙再单独工作2天完成．列出一元一次方程，解方程，即可解决问题．
【详解】解：（1）原计划乙平均每天运渣土x吨，则原计划甲平均每天运渣土（1+）x吨，
由题意得：+2＝，
解得：x＝300，
经检验，x＝300是原方程的解，且符合题意，
则（1+）x＝（1+）×300＝500，
答：原计划甲平均每天运渣土500吨；
（2）由题意得：7（500+m）+（7+2）×300（1+）＝7000，
解得：m＝50，
∵500+m＝550，
∴甲工程队的运输费用为：550×7×40＝154000（元），
答：甲工程队的运输费用为154000元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
24．（10分）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面参照学习函数的过程和方法，探究分段函数y＝的图象与性质．
列出表格：
描点连线：（1）以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，请在所给的平面直角坐标系中描点，并用平滑曲线画出函数y＝的图象．
探究性质：
（2）结合（1）中画出的函数图象，请回答下列问题：
①当x≤2时，该函数图象的对称轴为 直线x＝﹣2 ，最低点坐标为 （﹣2，0） ．
②点A（﹣3，y1），B（﹣8，y2）在该函数图象上，则y1 ＜ y2（填“＞”“＜”或“＝”）．
③请写出该函数的一条性质： 图象有最低点（﹣2，0） ．
解决问题：
（3）①当直线y＝1时，与该函数图象的交点坐标为 （﹣4，1）、（0，1），（6，1） ．
②在直线x＝2的左侧的函数图象上有两个不同的点P（x3，y3），Q（x4，y4），且y3＝y4，求x3+x4值．
【分析】（1）该函数图象如图所示；
（2观察图象的对称性，最低点特征，即可求解①②；
③写出该函数的一条性质：图象有最低点（﹣2，0）；
（3）①当直线y＝1时，观察图象经过（﹣4，1），（0，1）（6，1）；
②在直线x＝2的左侧的函数图象上有两个不同的点P（x3，y3），Q（x4，y4），且y3＝y4，分析得P、Q两点关于直线x＝﹣2对称，得P、Q连线的中点在直线x＝﹣2上，根据中点坐标公式得：x3+x4＝﹣4．
【详解】解：（1）该函数图象如图所示；
（2）结合（1）中画出的函数图象，
①当x≤2时，该函数图象的对称轴为：直线x＝﹣2；最低点坐标为 （﹣2，0）；
故答案为：直线x＝﹣2；（﹣2，0）；
②点A（﹣3，y1），B（﹣8，y2）在该函数图象上，且A、B在对称轴左侧，
观察图象，对称轴左侧是y随x的增大而减小，
y1＜y2；
故答案为：＜；
③写出该函数的一条性质：图象有最低点（﹣2，0）；
故答案为：图象有最低点（﹣2，0）；
（3）①当直线y＝1时，观察图象经过（﹣4，1），（0，1）（6，1），
∴与该函数图象的交点坐标为 （﹣4，1），（0，1），（6，1）；
故答案为：（﹣4，1），（0，1），（6，1）；
②在直线x＝2的左侧的函数图象上有两个不同的点P（x3，y3），Q（x4，y4），且y3＝y4，
∴P、Q两点关于直线x＝﹣2对称，
∴P、Q连线的中点在直线x＝﹣2上，
∴根据中点坐标公式得：x3+x4＝﹣4．
【点睛】本题考查了新函数的图象画法，新函数的增减性，最值问题，图象上点的坐标特征，解题关键是数形结合思想的综合运用．
25．（10分）如图1，△ABC与△AEF都是等边三角形，边长分别为4和，连接FC，AD为△ABC高，连接CE，N为CE的中点．
（1）求证：△ACF≌△ABE；
（2）将△AEF绕点A旋转，当点E在AD上时，如图2，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；
（3）连接BN，在△AEF绕点A旋转过程中，求BN的最大值．
【分析】（1）根据SAS证明三角形全等即可；
（2）证明AC垂直平分线段EF，推出CE＝CF，利用勾股定理求出CE，再利用三角形中位线定理求出GN；
（3）在旋转过程中，BN≤BH+HN，BN≤而且当点H在线段BN上时BN可以取到最大值．
【详解】（1）证明：如图1中，∵△ABC与△AEF是等边三角形，
∴∠BAC＝∠EAF＝60°，AE＝AF，AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS）；
（2）解：如图2中，∵AD为等边△ABC的高，
∴DC＝BC＝2，∠DAC＝∠BAC＝30°，
∴AD＝，
∵AE＝AF，∠EAG＝∠FAG＝30°，
∴AC⊥EF，EG＝FG，
∴CE＝CF，
∵AE＝，
∴DE＝，
∴EC＝，
∴CF＝CE＝，
∵∠AEF＝60°，∠DAC＝30°，
∴∠AGE＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴∠CGE＝180°﹣90°＝90°，
∵N为CE的中点，
∴NG＝CF＝；
（3）解：如图3中，取AC的中点H，连接BH，NH．
∵BH为等边△ABC的中线，
∴BH⊥AC，
由（2）同理可得BH＝，
∵N为CE的中点，
∴NH是△ACE的中位线，
∴NH＝AE＝，
在旋转过程中，BN≤BH+HN，
∴BN≤而且当点H在线段BN上时BN可以取到最大值，
∴BN的最大值．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，线段的垂直平分线的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题．
26．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，连接AC
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接BC，点P为第一象限抛物线上一动点，过点P作PM∥x轴交直线BC于点M，过点P作PN∥AC交x轴于点N，求PN+PM的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，把抛物线y＝ax2+bx+4向右平移2个单位长度，平移后的抛物线与原抛物线相交于点Q，点E是原抛物线对称轴上一动点，点F是平移后抛物线上一动点，直接写出所有使得以点A、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形的点F的坐标，并把求其中一个点F的坐标的过程写出来．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）设P（t，t2+t+4）（0＜t＜4），如图1，过点P作PG⊥x轴于点G，先证明△PNG∽△CAO，可得PG＝PN，利用待定系数法求得直线BC的解析式为y＝﹣x+4，可得M（t2﹣t，t2+t+4），进而得出PN+PM＝PG+PM＝t2+t+4+（﹣t2+2t）＝﹣t2+3t+4＝﹣（t﹣）2+，利用二次函数性质即可求得答案；
（3）根据平移变换的性质可得新抛物线y＝x2+3x，通过联立方程可求得点Q（2，4），设E（1，m），F（n，n2+3n），又A（﹣2，0），分三种情况：①当AQ、EF为对角线时，②当AE、FQ为对角线时，③当AF、EQ为对角线时，分别根据对角线互相平分，即可中点重合，建立方程求解即可得出答案．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣2，0），B（4，0），
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2+x+4；
（2）设P（t，t2+t+4）（0＜t＜4），
如图，过点P作PG⊥x轴于点G，则∠PGN＝90°，PG＝t2+t+4，
∵抛物线y＝x2+x+4与y轴交于点C，
∴C（0，4），
∴OC＝4，
∵OA＝2，
∴AC＝＝＝2，
∵PN∥AC，
∴∠PNG＝∠CAO，
∵∠PGN＝∠COA＝90°，
∴△PNG∽△CAO，
∴＝＝＝，
∴PG＝PN，
设直线BC的解析式为y＝kx+d，
则，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
∵PM∥x轴，
∴点M的纵坐标为t2+t+4，
∴﹣x+4＝t2+t+4，
解得：x＝t2﹣t，
∴M（t2﹣t，t2+t+4），
∴PM＝t﹣（t2﹣t）＝﹣t2+2t，
∴PN+PM＝PG+PM＝t2+t+4+（﹣t2+2t）＝﹣t2+3t+4＝﹣（t﹣）2+，
∵﹣1＜0，0＜t＜4，
∴当t＝时，PN+PM有最大值，最大值为，此时点P的坐标为（，）；
（3）抛物线y＝x2+x+4向右平移2个单位长度，得到新抛物线y＝x2+3x，
联立得：x2+3x＝x2+x+4，
解得：x＝2，
当x＝2时，y＝x2+3x＝×22+3×2＝4，
∴Q（2，4），
∵原抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴设E（1，m），
∵点F是平移后抛物线上一动点，
∴设F（n，n2+3n），
又A（﹣2，0），
①当AQ、EF为对角线时，AQ、EF的中点重合，
∴n+1＝2﹣2，
解得：n＝﹣1，
∴n2+3n＝×（﹣1）2+3×（﹣1）＝﹣，
∴F（﹣1，﹣）；
②当AE、FQ为对角线时，AE、FQ的中点重合，
∴n+2＝﹣2+1，
解得：n＝﹣3，
∴n2+3n＝×（﹣3）2+3×（﹣3）＝﹣，
∴F（﹣3，﹣）；
③当AF、EQ为对角线时，AF、EQ的中点重合，
∴n﹣2＝1+2，
解得：n＝5，
∴n2+3n＝×52+3×5＝，
∴F（5，）；
综上所述，点F的坐标为（﹣1，﹣）或（﹣3，﹣）或（5，）．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数图象上点坐标的特征，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．
年级
平均数
众数
中位数
七年级
7.5
n
7
八年级
m
8
p
x
…
﹣6
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
6
7
…
y
…
4
1
0
1
4
2
1
…