中考数学一轮复习考点练习考向19 相交线和平行线（含答案详解）

这是一份中考数学一轮复习考点练习考向19 相交线和平行线（含答案详解），共43页。
垂线的性质：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
2、平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
3、平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等。
性质2：两直线平行，内错角相等。
性质3：两直线平行，同旁内角互补。
4、平行线的判定：
判定1：同位角相等，两直线平行。
判定2：内错角相等，两直线平行。
判定3：同旁内角互补，两直线平行。
【题型探究】
题型一：垂线问题
1．（2022·江苏盐城·校考三模）如图，是测量学生跳远成绩的示意图，即的长为某同学的跳远成绩，其依据是（ ）
A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线
C．垂线段最短D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
2．（2022·广东深圳·深圳市宝安中学（集团）校考三模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD=5，P为AB上一动点，则PD的最小值为( )
A．2B．3C．4D．5
3．（2022·安徽·模拟预测）对于平面上的点和一条线，点与线上各点的连线中，最短的线段的长度叫做点到线的距离，记为，以边长为6的正方形各边组成的折线为，若 ，则满足这样条件的所有点组成的图形 (实线图) 是 ( ).
A．B．C．D．
题型二：对顶角和邻补角问题
4．（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，直线AB与CD相交于点O，，，则的度数是（ ）
A．25°B．30°C．40°D．50°
5．（2022·江苏南京·统考二模）如图，在中，点D在AC上，BD平分，延长BA到点E，使得，连接DE．若，则的度数是（ ）
A．68°B．69°C．71°D．72°
6．（2022·四川南充·中考真题）如图，为的直径，弦于点E，于点F，，则为（ ）
A．B．C．D．
题型三：平行线基础概念问题
7．（2022·广西百色·统考三模）下列说法中，真命题的个数为（ ）
①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；
②在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行；
③过一点有且只有一条直线与这条直线平行；
④点到直线的距离是这一点到直线的垂线段；
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（2022·河北·模拟预测）下面关于平行线的说法中，正确的个数是 （ ）
①在同一平面内，不相交的两条直线必平行
②在同一平面内，不相交的两条线段必平行
③在同一平面内，不平行的两条直线必相交
④在同一平面内，不平行的两条线段必相交
A．0B．2C．3D．4
9．（2021·黑龙江大庆·统考一模）下列说法正确的有（ ）个
①同位角相等；
②一条直线有无数条平行线；
③在同一平面内，两条不相交的线段是平行线；
④如果，，则；
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．2个B．3个C．4个D．5个
题型四：平行公理及其推论
10．（2022·河北廊坊·统考一模）图，在同一平面内过点且平行于直线的直线有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．无数条
11．（2022·河南三门峡·统考一模）如图，AD//BC，的平分线BP与的平分线AP相交于点P，作于点E，，则两条平行线AD与BC间的距离为（ ）
A．5B．8C．9D．10
12．（2022·江苏盐城·校考一模）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ）
A．30°B．25°C．20°D．15°
题型五：平行线的判定
13．（2022·广西柳州·统考模拟预测）如图所示，直线、被、所截，下列条件中能说明的是（ ）
A．B．C．D．
14．（2022·辽宁鞍山·统考二模）如图，下列条件中，能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
15．（2022·河北保定·统考二模）如图，直线a，b被直线c所截，下列推理正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则a与b相交D．若，则
题型六：平行线的性质
16．（2023·陕西西安·校考二模）如图，，平分、若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
17．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，直线，的顶点在直线上，，若，，则（ ）
A．B．C．D．
18．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，已知平分，，，，若，则为（ ）
A．B．C．D．
题型七：相交线和平行线的综合问题
19．（2022·山东青岛·山东省青岛实验初级中学校考模拟预测）（1）如图1，，E是的中点，平分，求证：平分．
（2）如图2，，和的平分线并于点E，过点E作，分别交于B、D，请猜想三者之间的数量关系，请直接写出结论，不要求证明．
（3）如图3，，和的平分线交于点E，过点E作不垂直于的线段，分别交于B、D点，且B、D两点都在的同侧，（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
20．（2022秋·浙江温州·九年级统考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，，，点E在AC上，且，连接BE．
(1)求证：；
(2)若，，求∠ACB的度数．
21．（2022·辽宁大连·校考模拟预测）在中，在上，且．
(1)如图，若，，求的长度．
(2)如图，作于，过点作交于点，作于，探究与的关系，并证明你的结论．
(3)如图，作于，，，探究与的数量关系，并证明．
【必刷基础】
一、单选题
22．（2023·陕西西安·交大附中分校校考一模）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（ ）
A．B．C．D．
23．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考一模）如图， ，，则图中与互余的角有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
24．（2022·云南文山·统考三模）如图，是的中位线，的角平分线交于点F，，则的长为（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
25．（2022·湖北省直辖县级单位·校考二模）如图，直线，是等边三角形，，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
26．（2022·新疆·模拟预测）如图，直线，被直线，所截，，，，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
27．（2023春·九年级课时练习）如图，正五边形内接于，过点作的切线交对角线的延长线于点，则下列结论不成立的是（ ）
A．B．C．D．
28．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，直线，如果，，那么的度数是（ ）
A．B．C．D．
29．（2022·江苏盐城·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）校考模拟预测）如图，已知点，，，在一条直线上，，，．
(1)求证
(2)若，，求的长．
30．（2022·江苏扬州·校考三模）已知点E、F为对角线上的两点，，
(1)求证：；
(2)判断四边形的形状，并说明理由．
31．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）如图，在中，，垂足为H，且，E为延长线上一点，过点E作，分别交于F，M．
(1)求证；
(2)若，求的长．
【必刷培优】
一、单选题
32．（2022·山东济南·校考三模）如图，在中，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点E，F，再分别以E、F为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点O，P为射线上任意一点，过点P作，交于点M，连接，若，，则长度的最小值为（ ）
A．B．C．4D．
33．（2022·宁夏银川·校考一模）如图，，以点O为圆心，任意长为半径作弧分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，过点作，于点，若，则的长为（ ）
A．2.5B．2C．1.5D．1
34．（2022·山东聊城·统考二模）如图，若ABCD，CDEF，那么∠BCE＝（ ）
A．180°－∠2＋∠1B．180°－∠1－∠2
C．∠2＝2∠1D．∠1＋∠2
35．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，，M是对角线BD上的一个动点，，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
36．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD，则的最小值是（ ）
A．4B．C．D．
二、填空题
37．（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图，，点E、F分别在直线、上，且，平分，交直线于点M，则的度数是______．
38．（2022·浙江杭州·杭州绿城育华学校校考模拟预测）如图，已知，，则 ______ ．
39．（2022·四川宜宾·模拟预测）有下列说法：对顶角相等；同位角相等；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；点到直线的距离即为垂线段；同旁内角互补，两直线平行其中正确的有___________ ．
40．（2022春·九年级课时练习）如图，中，，，，点P为边上任意一点，（P不与点B、C重合），I为的内心则：
（1）的最小值=___________；
（2）的取值范围是___________．
41．（2022·江苏镇江·统考一模）如图，在四边形中，点E在上，且，．设的边上的高为，的边上的高为，的面积为6，的面积为，则______．
42．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，分别是反比例函数和在第一象限内的图象，点A在上，线段交于点B，作轴于点C，交于点D，延长交于点E，作轴于点F，下列结论：①，②，③，④．其中正确的序号是___________．
三、解答题
43．（2022·江苏扬州·统考中考真题）如图，在中，分别平分，交于点．
(1)求证：；
(2)过点作，垂足为．若的周长为56，，求的面积．
44．（2022·湖南常德·统考中考真题）如图，已知是的直径，于，是上的一点，交于，，连接交于．
(1)求证：CD是的切线；
(2)若，，求、的长．
45．（2022·山东临沂·统考二模）勾股定理是数学史上非常重要的一个定理．早在2000多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法．在欧几里得编的《原本》中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：如图；分别以Rt△ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI．
(1)设正方形ABDE的面积为，正方形BCFG的面积为，正方形ACHI的面积为，证明；
(2)连接BI、CE，求证：EC＝BI；
(3)过点B作AC的垂线，交AC于点M，交IH于点N．试说明四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等．
参考答案：
1．C
【分析】由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则作出判断．
【详解】解：能正确解释这一现象的数学知识是垂线段最短，
故选：C．
【点睛】此题考查了垂线段最短的性质的运用，解答此题的关键是熟练掌握由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则．
2．D
【分析】当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．再根据角平分线的性质定理可得DP=CD解决问题；
【详解】解：当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．
由作图可知：AE平分∠BAC，
∵∠C=90°，
∴DC⊥AC，
∵DP⊥AB，
∴DP=CD=5，
∴PD的最小值为5，
故选：D．
【点睛】本题考查角平分线的性质定理，垂线段最短，基本作图等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最短问题．
3．C
【分析】竖线根据题目信息，可以确定正方形内外都有满足条件的点，可排除A选项，再比较BCD选项的不同点进行分析即可．
【详解】解：根据题目信息，此正方形内外均有满足的点，因此可排除选项A，
其次，正方形内部满足的点应该是一个小正方形，可排除选项D，
最后，正方形外部满足的点4个角落应是圆弧形，可排除B选项，
故选：C
【点睛】本题可用排除法，对比个选项的差异进行分析，即可选出满足题目条件的答案．
4．D
【分析】根据对顶角相等可得，之后根据，即可求出．
【详解】解：由题可知，
，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查对顶角和角的和与差，掌握对顶角相等是解决问题的关键．
5．C
【分析】设，则，根据题意证明，可得，即，解方程即可求解．
【详解】 BD平分，
，
与中，
，
，
，
由，
即，
设，则，
又，
，
解得．
故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，邻补角的定义，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
6．C
【分析】根据邻补角得出∠AOF=180°-65°=115°，利用四边形内角和得出∠DCB=65°，结合圆周角定理及邻补角进行求解即可．
【详解】解：∵∠BOF=65°，
∴∠AOF=180°-65°=115°，
∵CD⊥AB，OF⊥BC，
∴∠DCB=360°-90°-90°-115°=65°，
∴∠DOB=2×65°=130°，
∴∠AOD=180°-130°=50°，
故选：C．
【点睛】题目主要考查邻补角的计算及圆周角定理，四边形内角和等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
7．B
【分析】根据平行线的性质与判定，点到直线的距离的定义逐项分析判断即可
【详解】①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故①是真命题；
②在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，故②是真命题；
③在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故③不是真命题，
④点到直线的距离是这一点到直线的垂线段的长度，故④不是真命题，
故真命题是①②，
故选B
【点睛】本题考查了判断真假命题，平行线的性质与判定，点到直线的距离的定义，掌握相关性质定理是解题的关键．
8．B
【分析】根据平面内直线和线段的位置关系判断．
【详解】在同一平面内，不相交的两条直线必平行，不平行的两条直线必相交，
线段则不一定，故①③正确。
故选B
【点睛】本题主要考查在同一平面内两直线的位置关系，需要注意②和④说的是线段．
9．A
【分析】根据平行线的定义及其性质，平行线公理及其推论，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】∵两直线平行，同位角相等，
∴①错误，
∵一条直线有无数条平行线，
∴②正确，
∵在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，
∴③错误，
∵如果，，则，
∴④正确，
∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
∴⑤错误，
故选A．
【点睛】本题主要考查平行线的定义及其性质，平行线公理及其推论，掌握平行线的性质，平行线公理是解题的关键．
10．B
【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行判断即可．
【详解】过点M且平行于直线a的直线只有1条．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的知识，掌握平行公理是解题的关键．
11．D
【分析】过点P作PM⊥BC于M，延长MP交AD于N，则MN为两条平行线AD与BC间的距离，利用角平分线的性质得PN=PE=5，PM=PE=5，即可求出MN的长．
【详解】解：过点P作PM⊥BC于M，延长MP交AD于N，
∵AD//BC，PM⊥BC，
∴PN⊥AD，
∵AP平分∠BAD，PE⊥AB，PN⊥AD，
∴PN=PE=5，
∵BP平分∠ABC，PE⊥AB，PM⊥BC，
∴PM=PE=5，
∴MN=PM+PN=5+5=10，
即两条平行线AD与BC间的距离为10，
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的距离，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
12．D
【分析】先根据平行公理的推论可得，再根据平行线的性质可得，然后根据即可得．
【详解】如图，过点E作
由题意得：
又
解得
故选：D．
【点睛】本题考查了平行公理的推论、平行线的性质等知识点，熟记平行线的性质是解题关键．
13．C
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【详解】，
∴（同位角相等，两直线平行），
故选：．
【点睛】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定定理并灵活运用．
14．C
【分析】可以从直线DE、AC的截线所组成的“三线八角”图形入手进行判断．
【详解】解：A、不是两直线被第三条直线所截得到的，因而不能判定两直线平行，故本选项不符合题意；
B、是EF和BC被AC所截得到的同位角，因而可以判定EF∥ BC，但不能判定DE∥AC，故本选项不符合题意
C、这两个角是AC与DE被EC所截得到的内错角，可以判定DE∥AC；故本选项符合题意
D、是EF和BC被AC所截得到的内错角，因而可以判定EF∥BC，但不能判定DE∥AC，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
15．A
【分析】分别根据平行线的判定及邻补角的性质判断即可．
【详解】解：若，则，由可得，所以，故A正确；
和互为邻补角，根据不能推出，故B错误；
若，则，由可得，所以，故C错误；
由可知直线与直线c不垂直，故D错误；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
16．B
【分析】根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
17．C
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
，，
∴，
∵，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．
18．C
【分析】过点P作于点E，根据平行线的性质得出，根据直角三角形的性质可得,由角平分线的性质可得出答案
【详解】过点P作于点E，且平分，，
∴，
∵，且，
∴，
∴在中有：，
故选：C
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质及直角三角形的性质，辅助线的作出是解决本题的关键
19．（1）见解析；（2）；（3）成立，理由见解析
【分析】（1）过E作于F，根据角平分线的性质可得，从而求出，然后根据角平分线的判定证明即可；
（2）过E作于F，根据平行线的性质得到，由角平分线的性质得到，证得，根据全等三角形的性质得到A，同理，等量代换得到结论；
（3）成立，在上截取，根据角平分线定义得到，推出，根据角平分线的性质得到，求得，证得，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）如图1，过E作于F，
∵，平分，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴平分；
（2）如图2，过E作于F，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在与中，
，
∴，
∴A，
同理，
∵，
∴；
（3）成立，如图3，在上截取，
∵平分，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
20．(1)见详解
(2)
【分析】（1）由“两直线平行，内错角相等”可知，然后根据“SAS”证明；
（2）借助全等三角形的性质，可知，再根据三角形内角和定理计算出，然后根据等腰三角形的性质可知，根据三角形内角和定理即可求出∠ACB的度数．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平行线的性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题关键．
21．(1)
(2)，证明见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据题意证明即可得到，再结合题意即可解答；
（2）连接，根据平行线的性质即可得证；
（3）根据题意证明四边形是平行四边形，可得，过点作于点，连接，证明，可得，进而证明即可得到解答．
【详解】（1），，
，
，
，
，，
，
；
（2），
证明：连接，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）．
证明：，，
四边形是平行四边形，
，
过点作于点，连接，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质和平行四边形的判定和性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
22．A
【分析】根据平行线的性质求出，根据三角形的外角的性质计算即可．
【详解】解：，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
23．D
【分析】根据，，可得与互余，与互余，与互余．
【详解】解：∵，
∴与互余，
又∵，
∴与互余
∵，
∴，
又∵与互余，与互余
∴与互余，与互余
∴与互余的角有4个，
故选：D．
【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是两角互余和为90°．
24．C
【分析】由中位线的性质定理得，，且，由平行线的性质结合角平分线可得，则可求得的长．
【详解】是的中位线，，
，，，
，
是的平分线，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，掌握三角形中位线定理是解题的关键．
25．C
【分析】根据平行线性质及三角形内角和定理及等边三角形性质即可求出对顶角的度数，即可得到答案．
【详解】解：
∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴ ，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查平行线性质，等边三角形性质，三角形内角和定理及对顶角相等，解题的关键是根据等边三角形得到．
26．B
【分析】根据平行线的判定可以得出，根据平行线的性质即可求出．
【详解】解：，，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质，并准确运用是解决本题的关键．
27．C
【分析】连接，根据正五边形的性质求出各个角的度数，结合平行线的判定方法，再逐个判断即可．
【详解】五边形是正五边形，
，，
，
，
，
，故A不符合题意；
，
，故B不符合题意；
连接，过点A作于点H，则，
，，
，
，故C符合题意；
连接，
五边形是正五边形，
，
，
，
相切于，
，
，
，
，
，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、正多边形与圆、等腰三角形的性质和判定、平行线的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解题的关键．
28．C
【分析】根据平行线的性质得，再根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：，
,
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，解题的关键是求．
29．(1)见解析
(2)12
【分析】（1）利用SAS可证明，可得，便可证得；
（2）根据全等三角形的性质可知，推出，由此即可解决问题．
【详解】（1）证明：在和中，，
∴
∴
∴
（2）解：∵，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，学会利用全等三角形的性质解决问题．
30．(1)见解析
(2)四边形是平行四边形，理由见解析
【分析】（1）根据平行四边形性质可判断出，再结合题目条件即可求证；
（2）根据平行四边形性质可判断出，接着证明，得出，再结合（1）的结论，得出，即可证明结果．
【详解】（1）证明：

又是平行四边形

∵

．
（2）是平行四边形
∵


又

四边形是平行四边形.．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，平行四边形性质，平行四边形的判定方法，熟悉掌握相关知识点是解题关键．
31．(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明直线是的垂直平分线即可．
（2）先证明，再判定，证明即可．
【详解】（1）∵，垂足为H，且，
∴ 是的垂直平分线．
∴ ．
∴．
（2）∵ ，，
∴ ．
∵ ，，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
32．B
【分析】如图，过点P作于T，过点C作于R，利用面积法求出，再证明，即可求出长度的最小值．
【详解】解：如图，过点P作于T，过点C作于R，
在中，，，，
，
，
，
，
由作图可知，平分，
，，
，
，
，
，
的最小值为，
故选：B．
【点睛】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是证明，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
33．D
【分析】过点作于点，结合角平分线的定义以及平行线的性质可得，进而可得，，则，根据角平分线的性质可得，即可得出答案．
【详解】解：过点作于点，
由题意可知，为的角平分线，
，，
，
，
，
，
在中，，
则，
故选：D
【点睛】本题考查尺规作图、角平分线的性质、平行线的性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质．
34．A
【分析】先利用平行线的性质说明∠3、∠1、∠4、∠2间关系，再利用角的和差关系求出∠BCE．
【详解】解：如图，
∵ABCD，CDEF，
∴∠1＝∠3，∠2+∠4＝180°，
∴∠4＝180°－∠2，
∴∠BCE＝∠4+∠3＝180°﹣∠2＋∠1．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解决本题的关键．
35．C
【分析】连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值，证明△ABC是等边三角形，AF是高线，利用三角函数即可求解．
【详解】解：连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵
∴F是BC的中点，
∴AF⊥BC．
则AF＝AB•sin60°＝2．
即的最小值是．
故选：C
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形以及三角函数，确定AF的长就是的最小值是关键．
36．A
【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H，根据，求出的最小值即可解决问题．
【详解】解：连接BC，过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．
∵二次函数的图像与x轴交于点，
∴b＝2，
∴二次函数的解析式为，令y＝0，-x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），
令x＝0，y=3，
∴B（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵D（0，-1），
∴OD＝1，BD＝4，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
设，则,
∵，
∴，
∴，
∴，
∵PJ⊥CB，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴DP+PJ的最小值为，
∴的最小值为4．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，得到∠OBC＝∠OCB＝45°，是解题的关键．
37．
【分析】根据角平分线的定义求出，再根据平行线的性质可得结果．
【详解】解：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是将知识点结合起来进行推理．
38．##180度
【分析】根据两直线平行，同位角相等与两直线平行，同旁内角互补，得到，，等量代换即可求得的值．
【详解】解：如图，设与交于点H，
∵，，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意两直线平行，同位角相等与两直线平行，同旁内角互补定理的应用，注意数形结合思想的应用．
39．
【分析】分别利用平行线的性质、对顶角的性质及平行公理对四个选项逐一判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：对顶角相等，故正确；
只有在两直线平行的条件下，同位角一定相等，故错误；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误；
点到直线的距离即为垂线段的长度，故错误；
同旁内角互补，两直线平行，正确；
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角的性质及平行公理的知识，属于基础定理及定义，难度不大．
40．
【分析】根据垂线段最短可知：当时，的值最小．
首先证明，由三角形外角的性质与三角形内角和定理可得，据此可得结论．
【详解】解：根据垂线段最短可知：当时，的值最小，
此时，
，
故答案为：；
(2)为的内心，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的内心，垂线段最短，直角三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是求得．
41．
【分析】利用平行线的性质，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应边上的高线比等于相似比，即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应边上的高线比等于相似比，是解题的关键．
42．①②④
【分析】根据反比例函数中的几何意义，即可证明①正确；过点作轴于点，通过证明，，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得，再通过证明，即可求证②正确；再根据相似三角形的性质，即可证明③不正确；根据相似三角形的性质，即可证明④正确．
【详解】解：∵点，都在上，且轴，轴，
∴，
又∵，，
∴，故①正确；
如图，过点作轴于点，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∴，故③不正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②④．
故答案为：①②④
【点睛】本题考查了反比例函数的性质及的几何意义，相似三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握相关知识点是解本题的关键．
43．(1)见详解
(2)84
【分析】（1）由平行四边形的性质证即可求证；
（2）作，由即可求解；
【详解】（1）证明：在中，
∵，
∴，
∵分别平分，，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，
∴．
（2）如图，作，
∵的周长为56，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、三角形的全等、角平分线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
44．(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）连接OD，由可以推出，从而证明即可；
（2）作交BC于点M，根据勾股定理求出BC的长，然后再根据平行得到即可求解．
（1）
证明：连接OD，如图所示：
OD为经过圆心的半径
CD是的切线．
（2）
如图所示：作交BC于点M
，，
令，
在
，解得：
【点睛】本题考查了圆的切线证明，勾股定理，相似三角形，全等三角形的判定等知识，综合性较强，熟练掌握几何基础知识并联系各知识体系并正确的作出辅助线是解题的关键．
45．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用勾股定理即可证明；
（2）由正方形的性质得出，，，得出，即可得出；
（3）证，得出四边形的面积的面积，同理：正方形的面积的面积，由，即可得出四边形与正方形的面积相等．
(1)
证明：在中，由勾股定理得：
，
，，，
；
(2)
证明：四边形、四边形是正方形，
，，，
，
在和中，
，
，
；
(3)
证明：，，
，
四边形的面积的面积，
同理：正方形的面积的面积，
又，
四边形与正方形的面积相等．