中考数学二轮复习二次函数重难点练习专题07 二次函数与将军饮马问题（2份，原卷版+解析版）

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（一）什么是将军饮马？
【问题引入】
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【问题描述】
如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？
【问题简化】
如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？
【问题分析】
这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．
【问题解决】
作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB
当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）
【思路概述】
作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．
（二）将军饮马模型系列
1.【一定两动之点点】
在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．
此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．
2.【两定两动之点点】
在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。
3.【一定两动之点线】
在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。
此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）
（三）将军饮马模型拓展
1.【将军过桥】
已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置．
问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置．
【用几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起】
2.【将军过两个桥】
已知将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．
AP平移至A’Q，NB平移至MB’，化AP+QM+NB为A’Q+QM+MB’．
当A’、Q、M、B’共线时，A’Q+QM+MB’取到最小值，再依次确定P、N位置．
3.【将军遛马】
如图，将军在A点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程最短？
【问题简化】已知A、B两点，MN长度为定值，求确定M、N位置使得AM+MN+NB值最小？
【分析】考虑MN为定值，故只要AM+BN值最小即可．将AM平移使M、N重合，AM=A’N，将AM+BN转化为A’N+NB．
构造点A关于MN的对称点A’’，连接A’’B，可依次确定N、M位置，可得路线．
直击中考
1．（2022·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标；
(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．
【答案】(1)
(2)（1，-2）
(3)（-1，0）或（，-2）或（，2）
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点C的坐标和抛物线的对称轴，如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），根据轴对称最短路径可知AE与抛物线对称轴的交点即为点Q；
（3）分两种情况当∠BPM=90°和当∠PBM=90°两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵抛物线解析式为，与y轴交于点C，
∴抛物线对称轴为直线，点C的坐标为（0，-3）
如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），
由轴对称的性质可知CQ=EQ，
∴△ACQ的周长=AC+AQ+CQ，
要使△ACQ的周长最小，则AQ+CQ最小，即AQ+QE最小，
∴当A、Q、E三点共线时，AQ+QE最小，
设直线AE的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AE的解析式为，
当时，，
∴点Q的坐标为（1，-2）；
（3）解： 如图1所示，当点P在x轴上方，∠BPM=90°时，过点P作轴，过点M作MF⊥EF于F，过点B作BE⊥EF于E，
∵△PBM是以PB为腰的等腰直角三角形，
∴PA=PB，∠MFP=∠PEB=∠BPM=90°，
∴∠FMP+∠FPM=∠FPM+∠EPB=90°，
∴∠FMP=∠EPB，
∴△FMP≌△EPB（AAS），
∴PE=MF，BE=PF，
设点P的坐标为（1，m），
∴，
∴，，
∴点M的坐标为（1-m，m-2），
∵点M在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴点M的坐标为（-1，0）；
同理当当点P在x轴下方，∠BPM=90°时可以求得点M的坐标为（-1，0）；
如图2所示，当点P在x轴上方，∠PBM=90°时，过点B作轴，过点P作PE⊥EF于E，过点M作MF⊥EF于F，设点P的坐标为（1，m），
同理可证△PEB≌△BFM（AAS），
∴，
∴点M的坐标为（3-m，-2），
∵点M在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴点M的坐标为（，-2）；
如图3所示，当点P在x轴下方，∠PBM=90°时，
同理可以求得点M的坐标为（，2）；
综上所述，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，点M的坐标为（-1，0）或（，-2）或（，2）．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
2．（2022·广西桂林·统考中考真题）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)求CP+PQ+QB的最小值；
(3)过点P作PM⊥y轴于点M，当CPM和QBN相似时，求点Q的坐标．
【答案】(1)A(﹣1，0)，B(4，0)，C(0，4)
(2)6
(3)(，)或(，)或(，)
【分析】（1）由y＝﹣x2+3x+4可得A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；
（2）将C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，连接BC'交抛物线的对称轴l于Q，可知四边形CC'QP是平行四边形，及得CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ，而B，Q，C'共线，故此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC'+PQ的值，由勾股定理可得BC'＝5，即得CP+PQ+BQ最小值为6；
（3）由在y＝﹣x2+3x+4得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，设Q（，t），则Q（，t+1），M（0，t+1），N（，0），知BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，①当＝时，＝，可解得Q（，）或（，）；②当＝时，＝，得Q（，）．
（1）
解：在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）．
（2）
将C（0，4）向下平移至，使，连接交抛物线的对称轴l于Q，如图所示：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵B，Q，共线，
∴此时CP+PQ+BQ最小，最小值为的值，
∵C（0，4），，
∴，
∵B（4，0），
∴＝＝5，
∴，
∴CP+PQ+BQ最小值为6．
（3）
如图：
由y＝﹣x2+3x+4得，抛物线对称轴为直线，
设Q（，t），则P（，t+1），M（0，t+1），N（，0），
∵B（4，0），C（0，4）；
∴BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，
∵∠CMP＝∠QNB＝90°，
∴△CPM和△QBN相似，只需＝或＝，
①当＝时，＝，
解得t＝或t＝，
∴Q（，）或（，）；
②当＝时，＝，
解得t＝或t＝（舍去），
∴Q（，），
综上所述，Q的坐标是(，)或(，)或(，)．
【点睛】本题主要考查二次函数综合应用，涉及二次函数图象上点坐标的特征，线段和的最小值，相似三角形的性质及应用等，解题的关键是分类讨论思想的应用．
3．（2021·湖南湘西·统考中考真题）如图，已知抛物线经过，两点，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，求直线的解析式；
（3）请在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标，并求出此时的最小值；
（4）点为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点，使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）直线的解析式为；（3），此时的最小值为；（4）存在，或．
【分析】（1）把点A、B的坐标代入求解即可；
（2）设直线的解析式为，然后把点B、C的坐标代入求解即可；
（3）由题意易得点A、B关于抛物线的对称轴对称，根据轴对称的性质可得，要使的值为最小，则需满足点B、P、C三点共线时，即为BC的长，然后问题可求解；
（4）由题意可设点，然后可分①当AC为对角线时，②当AM为对角线时，③当AN为对角线时，进而根据平行四边形的性质及中点坐标公式可进行求解．
【详解】解：（1）∵抛物线经过，两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）可得抛物线的解析式为，
∵抛物线与y轴的交点为C，
∴，
设直线的解析式为，把点B、C的坐标代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为；
（3）由抛物线可得对称轴为直线，由题意可得如图所示：
连接BP、BC，
∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴，
∴，
要使的值为最小，则需满足点B、P、C三点共线时，即为BC的长，此时BC与对称轴的交点即为所求的P点，
∵，
∴，
∴的最小值为，
∵点P在直线BC上，
∴把代入得：，
∴；
（4）存在，理由如下：
由题意可设点，，当以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，则可分：
①当AC为对角线时，如图所示：
连接MN，交AC于点D，
∵四边形ANCM是平行四边形，
∴点D为AC、MN的中点，
∴根据中点坐标公式可得：，即，
解得：，
∴；
②当AM为对角线时，同理可得：
，即，
解得：，
∴；
③当AN为对角线时，同理可得：
，即，
解得：，
∴；
∴综上所述：当以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质与图象是解题的关键．
4．（2021·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线经过点，，与y轴正半轴交于点C，且．抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线经过B，C两点．
（1）求抛物线及直线的函数表达式；
（2）点F是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求出点F的坐标及的最小值；
（3）连接，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的，且满足．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）F点坐标为（1，3）；的最小值为；（3）P点坐标为或；
【分析】（1）求出C点坐标，再用待定系数法求二次函数和一次函数解析式即可；
（2）根据对称性可知，FA=FB，当B、F、C三点共线时，的值最小，即点F为BC与对称轴交点，利用解析式和勾股定理可求坐标和最小值；
（3）作QM⊥DE于M，PN⊥DE与N，证△MQE∽△NEP，设点P坐标，利用相似比表示出Q点坐标，代入即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，C点坐标为（0,4），
∵抛物线经过点，，可设解析式为，
把（0,4）代入，得，
解得，，
抛物线解析式为，即，
设BC的解析式为，把，（0,4）代入，
得，解得，
∴BC的解析式为；
（2）∵点F是抛物线对称轴上一点，
∴FA=FB，当B、F、C三点共线时，的值最小，最小值为BC长，此时，点F为BC与对称轴交点，
抛物线的对称轴为直线，
把代入，得，
则F点坐标为（1，3）；
，即的最小值为；
（3）由（1）得，，即，
作QM⊥DE于M，PN⊥DE与N，
∵∠QEP=90°，
∴∠QEM+∠MQE=90°，∠QEM+∠PEN=90°，
∴∠MQE=∠PEN，
∴△MQE∽△NEP，
∴，
如图1，设P点坐标为，
则PN=，EN=，EM=，MQ=，
则Q点坐标为，
代入，得，
解得，，（舍去），
把代入，得，，
故P点坐标为；
如图2，设P点坐标为，
则PN=，EN=，EM=，MQ=，
则Q点坐标为，
代入，得，
解得，，（舍去），
把代入，得，，
故P点坐标为；
综上，P点坐标为或；
【点睛】本题考查了二次函数的综合，包括解直角三角形、最短路径和直角三角形存在性问题，解题关键是熟练运用二次函数知识，设出点的坐标，利用相似三角形的判定与性质表示出其他点的坐标，列出方程．
5．（2021·湖北荆门·统考中考真题）如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点，点Q为线段BC上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求的最小值；
（3）过点Q作交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，记与的面积分别为，，设，求点P坐标，使得S最大，并求此最大值．
【答案】（1）；（2）5；（3）时，S有最大值
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）作点O关于直线BC的对称点D，连接AD，交BC于点Q，此时|QO|+|QA|有最小值为AD，利用勾股定理即可求解；
（3）先求得直线BC的表达式为y=x−3，直线AC的表达式为y=−3x−3．可设P(m，m2−2m−3)得到直线PQ的表达式可设为y=−3x+ m2+m−3，由得到二次函数，再利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）由已知：y=a(x−3)(x+1)，
将(0，−3)代入上式得：−3=a(0−3)(0+1)，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为y=−2x−3；
（2）作点O关于直线BC的对称点D，连接DC 、DB，
∵B(3，0)，C(0，−3)，∠BOC=90°，
∴OB=OC=3，
∵O、D关于直线BC对称，
∴四边形OBDC为正方形，
∴D(3，−3)，
连接AD，交BC于点Q，由对称性|QD|=|QO|，此时|QO|+|QA|有最小值为AD，
AD=，
∴|QO|+|QA|有最小值为5；
（3）由已知点A(−1，0)， B(3，0)，C(0，−3)，
设直线BC的表达式为y=kx−3，
把B(3，0)代入得：0=3k−3，
解得：，
∴直线BC的表达式为y=x−3，
同理：直线AC的表达式为y=−3x−3．
∵PQ∥AC，
∴直线PQ的表达式可设为y=−3x+b，
由（1）可设P(m，m2−2m−3)代入直线PQ的表达式可得b= m2+m−3，
∴直线PQ的表达式可设为y=−3x+ m2+m−3，
由，解得，
即，
由题意：，
∵P，Q都在四象限，
∴P，Q的纵坐标均为负数，
∴，
即，
根据已知条件P的位置可知．
∴时，S最大，
即时，S有最大值．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数，二次函数的解析式，二次函数的最值等知识，数形结合，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
6．（2020·贵州遵义·统考一模）已知抛物线经过、、三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P是直线上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标；
(3)在直线l上是否存在点M，使以、、为顶点的三角形为直角三形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或 或或
【分析】（1）把 三点坐标代入，得到关于 的方程组即可；
（2）因为长度确定，所以的周长最小，等同于 最小，问题转化为：在直线取一点使得到两定点的距离之和最小（“将军饮马”模型），所以在同一条直线，在利用待定系数法求出直线的解析式即可确定点坐标；
（3）分别讨论直角顶点在、、的情况，计算即可，见详解．
【详解】（1）解：把、、三点分别代入得：
，
解得，
．
（2）解： 与关于直线对称，点在直线上，
当点在线段与直线的交点时，最短，
的周长 = ，的长度确定，
当最小时，的周长最小，
由以上可知：当点在线段与直线的交点时，的周长最小，
设线段所在直线方程为：，把、代入得：
解得：
直线的解析式为：
直线为：，
将代入得：，即点坐标为，
（3）解：要使以、、为顶点的三角形为直角三形，只要考虑直角顶点分别为、、情况， 如图1所示：
（a）直角顶点为时，过点作交直线于点，设直线与轴交点为，
则 ，根据相似三角形对应边成比例性质得：
其中： ，，，
计算可得： ，
故点坐标为：
（b）直角顶点为时，过点作交直线于点，过点作轴垂线，
垂足为点，，
由相似性质定理可得：
其中： ，，，计算可得： ，则，
故点坐标为：
（c）直角顶点为时，点为以线段为直径的圆与直线 的交点，过点作 垂足为点 如图2所示：
在与中有：
，，


其中：， ， ，
代入数据整理得： 即，
或，即或，
点坐标为或 ．
故答案为：或 或 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数表达式求解，动点+最值问题，以及相似和圆的知识，综合性较大，其中第（3）问的关键是要分情况讨论各种直角顶点存在性和计算结果，特别是直角顶点为点时就用到“直径所对圆周角是直角”这一原理和“一线三等角”模型．
7．（2022·山西·山西实验中学校考模拟预测）综合与探究：
已知：二次函数的图象的顶点为，与轴交于，A两点，与轴交于点，如图：
(1)求二次函数的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点，使得的周长最小，求出点的坐标；
(3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使得以A、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或或.
【分析】（1）利用待定系数法，设顶点式求出二次函数的表达式；
（2）根据轴对称最短路径问题得到点E的位置，利用待定系数法求出直线的函数解析式，令代入计算得到答案；
（3）根据平行四边形的判定定理画出可能的图形，根据二次函数图象上点的坐标特征解答．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为，
∴设函数表达式为.
∵图象过点，
∴当时，，
∴，
解得，，
∴函数表达式为，即；
（2）解方程，
得：，，
∴点的坐标为，点A的坐标为．
如图1，连接，
∵A、关于对称轴对称，点在对称轴上，
∴，
∴的周长，
当、、在同一直线上时，的周长最小．
设直线的函数解析式为.
则，解得，
∴直线的函数解析式为.
∵点的横坐标为，
所以点的坐标为；
（3）如图2，当点与点重合，点与点关于轴对称时，四边形的对角线互相平分，
∴四边形是平行四边形，此时点的坐标为.
当，时，四边形是平行四边形，
此时点的横坐标为，
∴的纵坐标为：，
∴点的坐标为.
当，时，四边形是平行四边形，
此时点的横坐标为，
的纵坐标为：，
∴点的坐标为.
∴以A、、、四点为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为：或或.
【点睛】本题考查了二次函数的性质、平行四边形的判定、灵活运用分情况讨论思想、掌握待定系数法求二次函数解析式的一般步骤是解题的关键．
8．（2022春·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）如图，已知抛物线（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
(1)若直线y＝mx+n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标；
(3)设P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
【答案】(1)，y＝x+3
(2)M的坐标为（﹣1，2）
(3)点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小，进而求解；
（3）分点B为直角顶点、点C为直角顶点、P为直角顶点三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），
故点B的坐标为（﹣3，0），
设抛物线的表达式为y＝＝，
将点C坐标代入上式得：3＝a（﹣3），解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：；
把B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝mx+n得：
，解得，
∴直线的解析式为y＝x+3；
（2）解：设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x＝﹣1代入直线y＝x+3得y＝2，故M（﹣1，2），
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；
（3）解：设P（﹣1，t），B（﹣3，0），C（0，3），
则＝18，＝＝，，
若点B为直角顶点时，则，
即18+＝，
解得t＝﹣2；
若点C为直角顶点时，则BC2+PC2＝PB2，
即＝18+，
解得t＝4，
若P为直角顶点时，则，则+＝18，
解得t＝，
综上，点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、点的对称性等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
9．（2022·辽宁沈阳·沈阳市第七中学校考模拟预测）如图，抛物线经过点和点，且与轴交于点．
(1)分别求抛物线和直线的解析式；
(2)在轴上有一动点，抛物线上有一动点，是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点为抛物线上位于直线上方的一点，过点作轴交直线于点，点为对称轴上一动点，当线段的长度最大时，求的最小值．
【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为
(2)存在，的坐标为或或
(3)
【分析】（1）将点A（3，2）和点B（4，−）代入y＝ax2＋bx＋得
，可解得抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋，令x＝0得y＝，得C（0，），设直线BC的解析式为y＝kx＋，将B（4，−）代入可得直线BC的解析式为y＝−x＋；
（2）设G（m，0），，又O（0，0），A（3，2），分三种情况：①若GH、OA为对角线，则GH、OA的中点重合，有，可解得H（−1，2），②若GO、HA为对角线，则GO、HA的中点重合，有，可解得或；③若GA、OH为对角线，则GA、OH的中点重合，有，解得H（−1，2）；
（3）作A关于抛物线对称轴的对称点，连接交抛物线对称轴于，设，则，即知t＝2时，DE取最小值2，D（2，），抛物线的对称轴为直线，得A（3，2）关于对称轴直线x＝1的对称点，有，当D、P、共线时，最小，即最小，的最小值为的长，的最小值为．
（1）
解：把点A（3，2）和点B（4，−）代入y＝ax2＋bx＋得
解得，
抛物线的解析式为，
在中，令得，
∴，
设直线的解析式为，将代入得：
，
解得，
直线的解析式为，
答：抛物线的解析式为，直线的解析式为．
（2）
存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设，，又，，
若、为对角线，则、的中点重合，
∴，
解得此时与重合，舍去或，
∴；
若、为对角线，则、的中点重合，
∴，
解得或，
∴或；
若、为对角线，则、的中点重合，
∴，
解得舍去或，
∴，
综上所述，的坐标为或或．
（3）
作A关于抛物线对称轴的对称点，连接交抛物线对称轴于，如图：

设，则，
∴
，
时，取最小值，此时，
抛物线的对称轴为直线，
∴关于对称轴直线的对称点，
∴
∴，
又、、共线，
此时最小，即最小，的最小值为的长，
∵，，
，
∴的最小值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合应用，涉及待定系数法、平行四边形性质及应用、“将军饮马”问题等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标及相关线段的长度．
10．（2022春·天津河北·九年级天津五十七中校考期末）如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线经过A，两点，且与直线DC交于另一点E．
(1)求抛物线的解析式：
(2)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP．试求的最小值；
(3)N为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，，，，，
【分析】（1）求出A点坐标，把A、C坐标代入解析式计算即可；
（2）连接OC，交对称于点Q，证明四边形AOQP是平行四边形，即可说明若使的值为最小，其为量小，最小值为线段OC长；
（3）由于N是任意一点，要使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形只要说明△AME是等腰三角形即可．
【详解】（1）∵四边形ABCD为正方形，，
∴，，
∴，
∴，
将点A，C坐标代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）连接OC，交对称于点Q
∵轴，
∴，
∵，
∴四边形AOQP是平行四边形，
∴，
∴
若使的值为最小，其为量小．
∵E，C关于对称轴对称，
∴，
∴，
此时的值最小，最小值为线段OC长．
∵，
∴，
∴的最小值为，
即的最小值为．
（3）设
∵E，C关于对称轴对称，，
∴，
∵
∴
∵由于N是任意一点，要使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形
∴△AME是等腰三角形
当时，，
解得，
此时M点坐标为，
当时，，
解得，
此时M点坐标为，
当时，，
解得，
此时M点坐标为
综上所述，存在点M，，，，
，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形
【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式、线段和最值问题、二次函数的性质、菱形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．其中第（3）问把菱形转换成等腰三角形是解题的关键，需要注意分析题意分情况进行讨论，否则容易漏解．
11．（2022·湖南长沙·统考一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（O，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连接BC、BE、CE．
(1)求抛物线的表达式；
(2)判断△BCE的形状，并说明理由；
(3)如图2，点F为线段BE的中点，点P，Q分别为x轴，y轴上的动点，当四边形EFPQ的周长取最小值时，求P，Q两点的坐标．
【答案】(1)y2x+6
(2)直角三角形，见解析
(3)P，Q两点的坐标分别为（2，0），（0，4）
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）过点E作ED⊥OB于点D，过点C作CF⊥ED与点F，利用点的坐标表示出相应线段的长度，利用勾股定理的逆定理即可得出结论；
（3）利用轴对称的性质分别作出点E关于y轴的对称点E′，点F关于x轴的对称点F′，连接E′F′，分别交x轴，y轴于点P，Q，则此时四边形EFPQ的周长取最小值；利用待定系数法求得直线E′F′的解析式即可求得结论．
(1)
解：∵抛物线的顶点坐标为E（2，8），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+8，
∵抛物线经过点C（O，6），
∴4a+8＝6．
∴a．
∴抛物线的表达式为y（x﹣2）2+82x+6．
(2)
解：△BCE的形状是直角三角形，理由：
令y＝0，则2x+6＝0．
解得：x＝6或﹣2．
∴B（6，0），A（﹣2，0）．
∴OB＝6．
∵C（O，6），
∴OC＝6．
∴BC6．
过点E作ED⊥OB于点D，过点C作CF⊥ED与点F，如图，
则四边形OCFD为矩形．
∴FD＝OC＝6．
∵E（2，8），
∴OD＝2，DE＝8，CF＝2．
∴EF＝DE﹣DF＝2，
BD＝OB﹣OD＝4．
∴CE2＝CF2+EF2＝8，BE2＝DE2+DB2＝82+42＝80．
∵BC2＝72，
∴BC2+CE2＝BE2．
∴∠ECB＝90°．
∴△BCE的形状是直角三角形．
(3)
作点E关于y轴的对称点E′，点F关于x轴的对称点F′，连接E′F′，分别交x轴，y轴于点P，Q，如图，
则此时四边形EFPQ的周长取最小值；
令y＝0，则2x+6＝0．
解得：x＝6或﹣2．
∴B（6，0），A（﹣2，0）．
∵E（2，8），
∴F（4，4）．
∴F′（4，﹣4）．
∵E（2，8），
∴E′（﹣2，8）．
设直线E′F′的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：．
∴直线E′F′的解析式为y＝﹣2x+4．
令x＝0，则y＝4，
∴Q（0，4）．
令y＝0，则x＝2．
∴P（2，0）．
综上，当四边形EFPQ的周长取最小值时，求P，Q两点的坐标分别为（2，0），（0，4）．
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，用待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的图像与性质，矩形有判定与性质，勾股定理的逆定理，利用轴对称求最值，本题属二次函数与四边形综合题目，熟练掌握二次函数的图像与性质，矩形有判定与性质，勾股定理的逆定理，利用轴对称求最值等是解题的关键．
12．（2022春·福建福州·九年级校考阶段练习）已知二次函数当时，有最小值，且当时其图象与轴相交于，，（A在左侧）与轴交于．
(1)求二次函数表达式；
(2)动点在该函数的对称轴上，当周长最小时，求点的坐标；
(3)动点在线段上，过点作轴的垂线交抛物线于，当线段最长时，求点坐标．
【答案】(1)二次函数表达式为
(2)点的坐标为
(3)点坐标为
【分析】（1）根据当时，有最小值得出抛物线的顶点，对称轴，再把时代入解析式求出即可；
（2）根据对称性得出，为定值，再根据找到点位置；然后用待定系数法求出直线的解析式，再把代入直线的解析式，求出点的坐标；
（3）根据题意设，则，，然后根据函数的性质求出线段最大时的值，从而求出点坐标．
【详解】（1）解：∵二次函数，当时，有最小值，
，，且，
又当时，
则，
解得，
二次函数表达式为；
（2）由函数可知，对称轴为，
由题意可知，，关于对称轴对称，
，
为定值，
要使周长最小，只需最小，
连接，则，
当在上时，，
连接与对称轴的交点即为点，
，
，，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为；
（3）在线段上，
设，
轴，
，
则，
，
，
当时，线段最长，
点坐标为
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．根据题意，正确的求出二次函数的解析式，利用二次函数的性质和数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
13．（天津市河北区2022-2023学年九年级上学期期末线上质量检测数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且，直线AB与抛物线在第一象限交于点．
(1)求抛物线的解析式：
(2)直线的函数解析式为______，点M的坐标为______，连接，若过点O的直线交线段于点P，将的面积分成的两部分，则点P的坐标为______；
(3)在y轴上找一点Q，使得的周长最小，则点Q的坐标为______
【答案】(1)
(2)，，或；
(3)
【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线表达式，待定系数法求解析式即可求解；
（2）求得直线的表达式为：，依题意将的面积分成的两部分，则或，进而求得的纵坐标，即可求解．
（3）作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，连接、、，根据题意得出点，进而待定系数法求得直线的表达式为： ，进而求得点的坐标．
【详解】（1）解：将点、的坐标代入抛物线表达式，
，
解得，
故二次函数的表达式为：；
（2）点，，故点，
设直线的表达式，
，
解得，
∴直线的表达式为：；
对于，函数的对称轴为直线，故点；
将的面积分成的两部分，则或，
则或，即或，解得：或，
故点或；
故答案为：，，或；
（3）如图所示，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，连接、、，
的周长最小，点，
设直线的表达式为：，则，
解得，
故直线的表达式为： ，
令，则，故点．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，轴对称求线段和，求一次函数解析式，综合运用以上知识是解题的关键．
14．（2022春·山东德州·九年级校考期中）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴1上是否存在一点M，使MA+MC的值最小？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)若点D是抛物线上的一点，且位于直线BC上方，连接CD、BD、AC，当四边形ABDC的面积有最大值时，求点D的坐标及四边形ABDC的面积．
【答案】(1)；
(2)存在，，；
(3)；9．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）与直线l的交点即为点M，求出直线的解析式，当时，即可求，；
（3）过D点作轴交于点E，设，则，则，从而得到，当时，四边形的面积有最大值9，此时．
【详解】（1）解：将，代入，
∴，
解得，
∴；
（2）解：存在点M，使的值最小，理由如下：
∵点A与点B关于对称轴l对称，
∴与直线l的交点即为点M，
∵，
∴，
当B、C、M三点共线时，的值最小，
令，则，
，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
当时，，
∴，；
（3）解：∵，
∴，
∴，
过D点作轴交于点E，
设，则，
∴，
∴4×，
∴，
∴当时，四边形的面积有最大值9，
此时．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称求最短距离的方法，铅锤法求三角形面积的方法是解题的关键．
15．（2022·广东深圳·深圳市宝安中学（集团）校考三模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，AD为等腰△ABC底边BC上的高，抛物线的顶点为点A，且经过B、C两点，已知直线AB的解析式为y=x+2
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点E为抛物线上位于直线AC上方的一点，过点E作EN⊥x轴交直线AC于点N，点M（5，b）是抛物线上的一点，点P为对称轴上一动点，当线段EN的长度最大时，求PE+PM的最小值．
(3)点H是射线BA上的一个动点，过点D作DH的垂线交射线AC于点G，过点G作OC的垂线交抛物线于点F，直接写出H点坐标为何值时， CG的长为，并写出此时点F的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)H（1，3），F（3，）或H（3，5），F（7，）
【分析】（1）由抛物线的解析式可求得抛物线的对称轴为，根据点A在上可求得点A的坐标为（2，4），将（2，4），（，0）代入抛物线的解析式可求得a和k的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）设点E的坐标为（t，），则点N的坐标为（t，），由坐标得，当时，EN最大为1，此时E的坐标为（4，3），过点E作AD的对称点，连接交AD于点P，此时最短，由勾股定理求得即可．
（3）设GF交x轴于点E，在中，，，，，将代入抛物线的解析式可得F的坐标再证明，可得H的坐标；同理如图②所示，在中，，，，，将代入抛物线的解析式可得F的坐标再证明，可得H的坐标．
（1）
∵抛物线的顶点为A，
∴.A的横坐标为2，
又∵直线AB的解析式为
∴当时，，当时，
∴点A的坐标为（2，4），B（，0）
将（2，4），（，0）代入得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）
由（1）得：
∵对称轴为直线，B（，0）
设E（t，），N（t，）
∴当时，EN最大为1
∴E（4，3）
∵AD是此抛物线的对称轴
∴过点E作AD的对称点（0，3），连接交AD于点P，此时最短，M（5，）
（3）
如图①所示：
设GF交x轴于点E，在中，，，
∴，
∴，
将代入抛物线的解析式可得：，
∴点F的坐标为（3，）
在与中，
∴，
又∵点A的坐标为（2，4）
∴H的坐标为（1，3）；
同理如图②所示，
在中，，，
∴，
∴，
将代入抛物线的解析式可得：，
∴F的坐标为（7，），
在与中，
∴，
又∵点A的坐标为（2，4）
∴H的坐标为（3，5）；
综上所述，H（1，3），点F（3，）或H（3，5），F（7，）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，熟悉全等三角形的性质和判定以及特殊锐角的三角函数值是解题的关键．
16．（2022·辽宁鞍山·统考二模）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标，与y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作轴于点H，过点A作交DH的延长线于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在线段AE上找一点M，在线段DE上找一点N，求的周长最小值；
(3)在（2）问的条件下，将得到的沿射线AE平移得到，记在平移过程中，在抛物线上是否存在这样的点Q，使、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出平移的距离；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，，理由见解析
【分析】（1）将A，B两点的坐标代入解析式，待定系数法求解析式即可求解；
（2）作点关于的对称点，关于的对称点，过点作交的延长线于点，连接，则的周长为最小值为的长，勾股定理即可求解；
（3）在（2）的基础上，证明四边形是菱形，求得的长，求得直线与坐标轴的交点坐标，证明，即可求得平移距离．
（1）
解：∵已知抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标，
∴，
解得，
；
（2）
如图，作点关于的对称点，关于的对称点，过点作交的延长线于点，连接，交AE、DE于M′、N′，
，
，
的周长为，当四点共线时，取得最小值，即与重合，与重合，
的周长为最小值为的长，
轴于点H，
三点共线，三点共线，
根据题意可知点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，
轴，
由
对称轴为，则
，
与轴的交点为，即点，
点A的坐标为，
，
，
，
∴，
，
，
，
，，
，
在中，，
即的周长最小值为；
（3）
存在，，理由如下，
由（2）可知
又
在轴上，
是等边三角形，
又
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，
设为直线上一点，
,，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，
解得或，
，
，
，
，
，，
的中点坐标为，与点重合，
，
根据题意，使、、、为顶点的四边形为菱形，则，平移距离为．
【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数求解析，菱形的性质与判定，平移的性质，轴对称求线段和最短距离，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键．
17．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，已知二次函数
(1)直接写出抛物线与坐标轴的交点坐标；
(2)若抛物线的顶点为D，在y轴上是否存在一点P，使得的周长最小？若存在，求出的周长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)、、
(2)存在，
【分析】（1）当时，求出与轴交于点B，当时，求出与轴交于点A、E；
（2）根据长度固定，只需找到点使最小即可，找到点关于轴的对称点，连接，则与轴的交点即是点的位置．
【详解】（1）解：当时，与轴交于点B，，
即
当时，与轴交于点A、E，有
解得，
即、
综上：、、
（2）解：存在．长度固定，只需找到点使最小即可，找到点关于轴的对称点，连接，则与轴的交点即是点的位置．
∴，，
∴，，
∴周长最小值．
【点睛】本题考查二次函数的运用，掌握二次函数的性质，拿出交点坐标和对称轴，结合题意，通过分析可解．
18．（2022春·山东东营·九年级校考阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且与轴相交于A，两点（点在A点右侧），与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式和A，两点的坐标；
(2)若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与，重合），过点作轴的垂线交直线于点，求的最大值以及此时点的坐标．
(3)在（2）的条件下，在对称轴上找一点，使得的值最小，求出点的坐标．
【答案】(1)，，；
(2)有最大值为4，此时；
(3)．
【分析】（1）利用对称轴求出a的值，再令，求出，，因为点在A点右侧，所以，；
（2）求出，再求出直线的解析式为：，表示出，，得到，所以当时，有最大值为：4，此时；
（3）由（2）可知：，证明与对称轴的交点即为点Q，且此时的值最小，求出直线的解析式为：，令，得，即可求出．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，解得：，
∴抛物线的表达式，
令，解得：，，
∵点在A点右侧，
∴，，
（2）解：令，将其代入得：，
∴，
设直线的解析式为：，
将，代入可得：，解得：，
∴．
过点作轴的垂线交直线于点，
∵点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与，重合），
故设，则，
∴
∴当时，有最大值为：4，
此时．
（3）解：由（2）可知：
∵点B关于对称轴的对称点为点A，
∴连接，与对称轴的交点即为点Q，此时的值最小，
设直线的解析式为：，
将，代入可得：，解得：
∴，
令，得，
∴．
【点睛】本题考查二次函数和一次函数的综合，解题的关键是掌握待定系数求函数解析式，掌握二次函数的基本性质，掌握轴对称的性质．
19．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）如图，抛物线与x轴交于A (-3，0)、B (4，0)两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线解析式；
(2)点H是抛物线对称轴上的一个动点，连接AH、CH，直接写出△ACH周长的最小值为 ；
(3)若点G是第四象限抛物线上的动点，求△BCG面积的最大值以及此时点G的坐标；
(4)若点M是∠BAC平分线上的一点，点N是平面内一点，若以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，请直接写出点N坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)△BCG面积的最大值，
(4)
【分析】（1）将A (-3，0)、B (4，0)代入抛物线进行计算即可得；
（2）根据二次函数的性质得，AH=BH，当点B，C，H在同一条直线上时，最小，根据勾股定理算出AC和BC即可得；
（3）过点G作轴，交BC于点F，设直线BC的解析式为：，将点B（4，0）代入进行计算，即可得直线BC的解析式：，设点，点，即可得FG的长度，则，根据二次函数的性质得当时，△BCG面积的最大值为，即可得点G的坐标；
（4）若以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，则点M和点N的位置有两种，根据题意得OQ=QF，根据得，在直角三角形AOQ和直角三角形ABM中，求出，所以点N的坐标为，同理可解得点．
（1）
解：将A (-3，0)、B (4，0)代入抛物线，
得
解得：，，
∴抛物线的解析式为：．
（2）
解：抛物线的对称轴为：，
∵点H在直线上，点A，B关于直线对称，
∴，AH=BH，
∴当点B，C，H在同一条直线上时，最小，
在中，根据勾股定理得，，
在中，根据勾股定理得，，
∴△ACH周长的最小值为：，
故答案为：．
（3）
解：如图所示，过点G作轴，交BC于点F，
设直线BC的解析式为：，将点B（4，0）代入得，，
解得，，
∴直线BC的解析式：，
设点，则点，
∴，
∴
∴当时，△BCG面积的最大值为，
∴，
点G的坐标为： ．
（4）
解：如图所示，若以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，则点M和点N的位置有两种，
易得，，，，
设AM与y轴交于点Q，点M是平分线上的一点，作，
则OQ=QF，
∵，
∴，
∴在直角三角形AOQ和直角三角形ABM中，，
∴，
解得，，
∴点N的坐标为：，
同理可解得点，
综上，点N的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，待定系数法求二次函数解析式，三角形周长最值和面积最值，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些知识点．