中考数学二轮培优复习专题7 填空压轴题轴对称最值模型（将军饮马）（2份，原卷版+解析版）

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（1）求两条线段和的最小值
典例1 （2022春•惠东县期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，矩形内部有一动点P满足S△PABS矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为 2 ．
思路引领：过点P作PE⊥AD于点E，交BC于点F，则EF∥AB，由S△PABS矩形ABCD，得AB•AEAB•AD，则AEAD＝2，延长AD到点G，使GE＝AE＝2，连接BG、PG，则点G与点A关于直线EF对称，由勾股定理求得BG2，即可根据“两点之间线段最短”求得PA+PB的最小值是2．
解：过点P作PE⊥AD于点E，交BC于点F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DEF＝∠DAB＝90°，
∴EF∥AB，
∵S△PABS矩形ABCD，AD＝3，
∴AB•AEAB•AD，
∴AEAD3＝2，
延长AD到点G，使GE＝AE＝2，连接BG、PG，则EF垂直平分AG，
∴点G与点A关于直线EF对称，
∵∠BAG＝90°，AB＝6，AG＝2AE＝2×2＝4，
∴BG2，
∵PG+PB≥BG，且PG＝PA，
∴PA+PB≥2，
∴PA+PB的最小值是2，
故答案为：2．
总结提升：此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、根据面积等式求线段之间的关系、两点之间线段最短等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
变式训练
1．（2022•红桥区二模）如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，若AB＝2，BC＝2，则PE+PB的最小值为
思路引领：作E关于AC的对称点E'，连接BE'，则PE+PB的最小值即为BE'的长；由已知可求E'C，∠ECE'＝60°；过点E'作E'G⊥BC，在Rt△E'CG中，E'G，CG，在Rt△BE'G中，BG，BE'＝3；
解：作E关于AC的对称点E'，连接BE'，
则PE+PB的最小值即为BE'的长；
∵AB＝2，BC＝2，E为BC的中点，
∴∠ACB＝30°，
∴∠ECE'＝60°，
∵EC＝CE'，
∴E'C，
过点E'作E'G⊥BC，
在Rt△E'CG中，E'G，CG，
在Rt△BE'G中，BG，
∴BE'＝3；
∴PE+PB的最小值为3；
总结提升：本题考查矩形的性质，轴对称求最短距离；通过轴对称将PE+PB转化为线段BE'的长是解题的关键．
2．（2022春•铜山区期中）如图，在菱形ABCD中，AD＝2，∠ABC＝120°，E是BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为
A．B．2C．1D．5
思路引领：连接BD，DE，则DE的长即为PE+PB的最小值，再根据菱形ABCD中，∠ABC＝120°得出∠BCD的度数，进而判断出△BCD是等边三角形，故△CDE是直角三角形，根据勾股定理即可得出DE的长．
解：连接BD，DE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴B、D关于直线AC对称，
∴DE的长即为PE+PB的最小值，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∵E是BC的中点，
∴DE⊥BC，CEBC2＝1，
∴DE．
总结提升：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知菱形的性质及两点之间线段最短是解答此题的关键．
（2）求两条线段差的最大值
典例2 （2022春•重庆期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝3，P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为 1 ．
思路引领：以BD为对称轴作N的对称点E，连接PE，ME，依据PM﹣PN＝PM﹣PE≤ME，可得当P，M，E三点共线时，取“＝”，再求得，即可得出PM∥AB∥CD，∠CME＝90°，再根据△ECM为等腰直角三角形，即可得到CM＝ME＝1．
解：
如图所示：以BD为对称轴作N的对称点E，连接PE，ME，
因为正方形的对角线互相垂直平分且相等，
∴点N和E关于BD成轴对称，
∴PN＝PE，
∴PM﹣PN＝PM﹣PE，
∴当点P，E，M三点共线时，PM﹣PE的值最大，为ME 的长，
在正方形ABCD中，AB＝4，
∴AC＝4，
∵N是AO的中点，点N和E关于BD成轴对称，
∴，
∴PM∥AB∥CD，∠CME＝90°，
∵∠NCM＝45°，
∴△ECM为等腰直角三角形，
∴CM＝ME＝1，
即PM﹣PN的最大值为1，
故答案为：1．
总结提升：本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
变式训练
1．（2022•金牛区校级模拟）如图，已知直线yx+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线yx2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点M的坐标 （，）
思路引领：根据直线的解析式求得点A（0，1），那么把A，B坐标代入yx2+bx+c即可求得函数解析式，据此知抛物线的对称轴．易得|AM﹣MC|的值最大，应找到C关于对称轴的对称点B，连接AB交对称轴的一点就是M．应让过AB的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M坐标．
解：∵直线yx+1与y轴交于点A，
∴点A的坐标为（0，1），
将A（0，1）、B（1，0）坐标代入yx2+bx+c
得，
解得：．
∴物线的解析式为yx2x+1（x）2；
则抛物线的对称轴为x，B、C关于直线x对称，
∴MC＝MB，
要使|AM﹣MC|最大，即是使|AM﹣MB|最大，
由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时|AM﹣MB|的值最大．
知直线AB的解析式为y＝﹣x+1
∴，
解得：．
则M（，），
故答案为：（，）．
总结提升：本题综合考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，直线和抛物线的交点等；求两条线段和或差的最值，都要考虑做其中一点关于所求的点在的直线的对称点．
2．（2017秋•太仓市期末）如图，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP：PD＝1：2，tan∠PDB．
（1）则A、B两点的坐标分别为A（ ﹣1 ， 0 ）； B（ 3 ， 0 ）；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M使|MC﹣MB|的值最大，则点M的坐标为 （1，） ．
思路引领：（1）先求得抛物线的对称轴为x＝1，然后利用平行线分线段成比例定理求得OE：EB的值，从而得到点B的坐标，利用抛物线的对称性可求得点A的坐标；
（2）根据三角形的任意两边之差小于第三边判断出点A、C、M在同一直线上时|MC﹣MB|最大，设直线AC的解析式为y＝kx+b，利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据点M在对称轴上代入计算即可得解．
解：（1）如图所示：
∵由题意可知：抛物线的对称轴为x＝1，
∴OE＝1．
∵OC∥PE∥BD，CP：PD＝1：2，
∴．
∴BE＝2．
∴OB＝3．
∴B（3，0）．
∵点A与点B关于PE对称，
∴点A的坐标为（﹣1，0）．
故答案是：﹣1，0；3，0；
（2）过点C作CF⊥PE，垂足为F．
将x＝0代入得：y＝c，
∴点C的坐标为（0，c）．
将x＝1代入得y＝﹣a+c．
∴点P的坐标为（1，﹣a+c）．
∴PF＝a．
∵PE∥BD，tan∠PDB，
∴tan∠CPF＝tan∠PDB．
∴．
解得a．
将a代入抛物线的解析式得：yx2x+c．
将点A的坐标代入得：c＝0，解得：c．
∴抛物线的解析式为yx2x．
由三角形的三边关系，|MC﹣MB|＜AC，
∴当点A、C、M在同一直线上时|MC﹣MB|最大，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴yx，
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴当x＝1时，y1，
∴点M的坐标为（1，）．
故答案是：（1，）．
总结提升：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了抛物线的对称性，锐角三角函数的定义，平行线分线段成比例定理，作CF垂直于对称轴，利用锐角三角函数的定义求得a的值是解题的关键．
造桥选址模型
典例3（2020•市中区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐标为（6，4），E为CD的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标应为 （，0） ．
思路引领：点A向右平移2单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q，要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，证△MNQ∽△FCQ即可．
解：点A向右平移2个单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q，
此时MQ+EQ最小，
∵PQ＝2，DE＝CE＝2，AE，
∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，
即AP+EQ＝MQ+EQ，过M作MN⊥BC于N，
设CQ＝x，则NQ＝6﹣2﹣x＝4﹣x，
∵△MNQ∽△FCQ，
∴
∵MN＝AB＝4，CF＝CE＝2，CQ＝x，QN＝4﹣x，
∴，
解得：x，
∴BP＝6﹣2，
故点P的坐标为：（，0）．
故答案为：（，0）．
总结提升：本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，掌握矩形的性质，灵活运用相似三角形是解题的关键
变式训练
1．（2022•柳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接 AC，BD，则AC+BD的最小值为 2 ．
思路引领：将线段DB向左平移到CE的位置，作点A关于原点的对称点A′，连接CA′，EA′．再作点A关于x轴的对称点A'，则A'（0，﹣2），进而得出AC+BD的最小值为A'E，即可求解答案．
解：如图，将线段DB向左平移到CE的位置，作点A关于原点的对称点A′，连接CA′，EA′．
则E（﹣2，4），A′（0，﹣2），AC+BD＝CA′+CE≥EA′，
EA′2，
∴AC+BD的最小值为2．
故答案为：2．
总结提升：此题主要考查了对称的性质，平移的性质，将AC+BD的最小值转化为A'E是解本题的关键．
2．（2021•河北模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，F，G是对角线AC上的两个动点，且FG，点P是BC中点，连接EF，EP，PG，则EF+BG的最小值为（ ）
A．B．C．D．
思路引领：连接DG，PD，首先可证四边形EPGF为平行四边形，则EF＝PG，从而EF+BG＝BG+PG，而BG＝DG，从而有EF+BG的最小值为为PD的长度，求出PD的值即可．
解：如图，连接DG，PD，
由题意得，EP为△ABC的中位线，
∴EP∥AC，且EP，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴AC2，
∴EP，FG，
∴EP∥FG且EP＝FG，
∴四边形EPGF为平行四边形，
∴EF＝PG，
根据正方形的对称性可知：BG＝DG，
∴EF+BG＝PG+DG，
当P，G，D三点共线时，PG+DG取得最小值，
即此时EF+BG的最小值为线段PD的长度，
在Rt△PCD中，PC＝1，CD＝2，
∴PD，
故EF+BG的最小值为．
故选：D．
总结提升：本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题，将EF+BG的最小值转化为线段DP的长是解题的关键．
模型二 一定点两动点模型
典例4 如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝30°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是6cm，则OP的长是 6cm ．
思路引领：由对称的性质得出PM＝DM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，得出∠AOB∠COD，证出△OCD是等边三角形，可得OC＝OD＝CD＝OP，即可得出结果．
解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，
∴OC＝OP＝OD，∠AOB∠COD，
∴∠COD＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴OC＝OD＝CD＝OP，
∵△PMN周长的最小值是6cm，
∴PM+PN+MN＝6cm，
∴DM+CN+MN＝6cm，
即CD＝6cm＝OP，
故答案为：6cm．
总结提升：本题考查了轴对称的性质，最短路线问题，等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明△COD等边三角形是解决问题的关键．
变式训练
1．（2021秋•工业园区校级期中）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD＝116°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数是 128° ．
思路引领：作A点关于BC的对称点E，作A点关于CD的对称点F，连接EF，交BC于M点，交CD于N点，此时△AMN周长最小．
解：作A点关于BC的对称点E，作A点关于CD的对称点F，连接EF，交BC于M点，交CD于N点，
∴AM＝EM，AN＝NF，
∴AM+AN+MN＝EM+MN+NF＝EF，此时△AMN周长最小，
由对称性可知，∠E＝∠EAM，∠F＝∠NAF，
∵∠BAD＝116°，
∴∠E+∠F＝180°﹣116°＝64°，
∴∠MAN＝116°﹣64°＝52°，
∴∠AMN+∠ANM＝180°﹣52°＝128°，
故答案为：128°．
总结提升：本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，三角形的性质是解题的关键．
2．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ACB＝90°，点D在BC边上（不与点B，C重合），P，Q分别是AC，AB边上的动点，当△DPQ的周长最小时，∠PDQ的度数为 100° ．
思路引领：作点D关于AC的对称点E，作点D关于AB的对称点F，DF交AB于点G，连接EF交AC于点P，交AB于点Q，在△DEF中，∠E+∠EDF+∠F＝180°．∠EDF＝∠CDP+∠PDQ+∠QDG．
解：如图，作点D关于AC的对称点E，作点D关于AB的对称点F，DF交AB于点G，连接EF交AC于点P，交AB于点Q，
则此时△DPQ的周长最小．
∵∠AGD＝∠ACD＝90°，∠A＝40°，
∴∠EDF＝140°，
∴∠E+∠F＝40°．
∵PE＝PD，DQ＝FQ，
∴∠CDP＝∠E，∠QDG＝∠F，
∴∠CDP+∠QDG＝∠E+∠F＝40°，
∴∠PDQ＝140°﹣40°＝100°．
故答案为：100°．
总结提升：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形的内角和，正确的作出图形是解题的关键．
3．（2021•江州区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为
思路引领：如图所示：在AB上取点F′，使AF′＝AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．因为EF+CE＝EF′+EC，推出当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小．
解：如图所示：在AB上取点F′，使AF′＝AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．
在Rt△ABC中，依据勾股定理可知BA＝10．
CH，
∵EF+CE＝EF′+EC，
∴当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小，最小值为，
故答案为：
总结提升：本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是学利用对称，解决最短问题
4．（2020春•昆山市期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝8，∠B＝60°，点G是边CD的中点，点E、F分别是AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是 4 ．
思路引领：先做对称点再利用垂线段最短求值．
解：连接EC，FC，如图，
在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝8，
∴△ACD是边长为8的等边三角形，
∵G是CD的中点，
∴AG⊥CD，
∴AG是CD的垂直平分线，
∴EC＝ED，
∵EF+EC≥FC，CF⊥AD时，CF最小，
∴EF+ED的最小值是等边△ACD的高，
故答案为：．
总结提升：本题考查菱形的性质、垂线段最短、等边三角形的判定、勾股定理等知识，解决问题的关键是利用垂线段最短解决最小值问题，属于中考常考题型．
5．（2022•兴义市模拟）如图，已知矩形ABCD，AB＝8，BC＝4，点M，N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM+MN最小值为 ．
思路引领：过B点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到E点，过E作EN⊥AB于N点，EN就是所求的线段．
解：过B点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到E点，过E作EN⊥AB于N点，交AC于M，
则BM+MN的最小值＝EN，
∵AB＝8，BC＝4，
∴AC4，
∴AC边上的高为，
所以BE，
∵∠NBE+∠CBE＝90°，∠CBE+∠ACB＝90°，
∴∠NBE＝∠ACB，
∵∠ABC＝∠ENB，
∴△ABC∽△ENB，
∴，即，
∴EN．
故答案为：．
总结提升：本题考查轴对称﹣最短路线问题，关键确定何时路径最短，然后运用勾股定理和相似三角形的性质求得解．
6．（2021春•乐山期中）如图所示，已知点N（1，0），一次函数y＝﹣x+4的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，M，P分别是线段OB，AB上的动点，则PM+MN的最小值是（ ）
A．4B．5C．D．
思路引领：如图，点N关于OB的对称点N′（﹣1，0），过点N′作N′P⊥AB交OB于M，则PN′＝PM+MN的最小值，根据直线AB的解析式为y＝﹣x+4，得出A（4，0），B（0，4），即可得到OA＝OB，推出△PAN′是等腰直角三角形，于是得到结论．
解：如图，点N关于OB的对称点N′（﹣1，0），过点N′作N′P⊥AB交OB于M，
则PN′＝PM+MN的最小值，
∵y＝﹣x+4，
∴A（4，0），B（0，4），
∴OA＝OB，
∴∠BAO＝45°，
∴△PAN′是等腰直角三角形，
∵AN′＝5，
∴PN′，
∴PM+MN的最小值是．
故选：C．
总结提升：本题考查轴对称﹣最短问题、两点之间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性找到点D、点E位置，属于中考常考题型．
模型三 两定点一定线模型
典例4 （2021春•玉林期中）如图，已知正方形ABCD边长为6，点E在AB边上且BE＝2，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），则四边形AEPQ的最小周长是 4+4 ．
思路引领：根据最短路径的求法，先确定点E关于BC的对称点E′，再确定点A关于DC的对称点A′，连接A′E′即可得出P，Q的位置；再根据相似得出相应的线段长从而可求得四边形AEPQ的面积．
解：如图所示：
作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，
∵AD＝A′D＝6，BE＝BE′＝2，
∴AA′＝12，AE′＝8．
∴A′E′4，
∴四边形AEPQ的周长最小值＝4+4．
总结提升：本题考查了正方形的性质以及最短路线的问题，利用轴对称确定A′、E′，连接A′E′得出P、Q的位置是解题关键，又利用了相似三角形的判定与性质，图形分割法是求面积的重要方法．
变式训练
1．（2020•碑林区校级模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别为边CD、DA上的动点，点G在对角线AC上，且CG＝3AG，则四边形BEFG的周长的最小值为 ．
思路引领：作G关于AD的对称点G′，作B点关于CD的对称点B′，连接G′B′，交BC于E，交AD于F，此时BG+GF+EF+EB＝GB+B′G′，即此时四边形BEFG的周长最小，根据勾股定理求得BG、B′G′，即可求得四边形BEFG的周长的最小值．
解：作G关于AD的对称点G′，作B点关于CD的对称点B′，连接G′B′，交BC于E，交AD于F，此时BG+GF+EF+EB＝GB+B′G′，即此时四边形BEFG的周长最小，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AC＝4，
∵CG＝3AG，
∴AG，
∴TG＝AT＝1，
∴GS＝BH＝1，
∴G′H＝1+4＝5，HC＝4﹣1＝3，
∴B′H＝4+3＝7，
∴B′G′，
∵BG，
∴GB+B′G′，
∴四边形BEFG的周长的最小值为，
故答案为．
总结提升：本题开心了正方形的性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理的应用，确定E、F的位置是解题的关键．
2．（2022春•洪山区期末）如图，矩形OABC放在以O为原点的平面直角坐标系中，A（3，0），C（0，2），点E是AB的中点，点F在BC边上，且CF＝1，若M为x轴上的动点，N为y轴上的动点，则四边形MNFE的周长最小值是 5 ．
思路引领：△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，可以知道四边形ADFB是正方形，因而BF＝AB＝OC＝2，则CF＝3﹣2＝1，因而E、F的坐标就可以求出．作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点．求出线段E′F′的长度，就是四边形MNFE的周长的最小值．
解：由图可得；E（3，1）；F（1，2）
如图，作点E关于x轴的对称点E′，
作点F关于y轴的对称点F′，连接E′F′，分别
与x轴、y轴交于点M、N，连接FN、NM、ME，
此时四边形MNFE的周长最小．（4分）
∴E′（3，﹣1），F′（﹣1，2），
设直线E′F′的解析式为y＝kx+b，
有解这个方程组，
得
∴直线E′F′的解析式为yx．
当y＝0时，x，
∴M点的坐标为（ ，0）．
当x＝0时，y，
∴N点的坐标为（0，）．
∵E与E′关于x轴对称，F与F′关于y轴对称，
∴NF＝NF′，ME＝ME′．F′B＝4，E′B＝3．
在Rt△BE′F′中，F′E′5．
∴FN+NM+ME＝F′N+NM+ME′＝F′E′＝5．
在Rt△BEF中，EF．
∴FN+NM+ME+EF＝5，
即四边形MNFE的周长最小值是5．
故答案为：5
总结提升：本题主要考查了待定系数法求函数解析式，求线段的和最小的问题基本的解决思路是根据对称转化为两点之间的距离的问题