中考数学二轮培优复习专题25 解答题重点出题方向解直角三角形的实际应用（2份，原卷版+解析版）

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类型一 坡度坡角问题
1．（2022•菏泽）菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73）
思路引领：在△ABC中求出BC以及AC的长度，再求出CD，最后BD＝CD﹣BC即可求解．
解：由题意得，在△ABC中，
∵∠ABC＝37°，AB＝8米，
∴AC＝AB•sin37°＝4.8（米），
BC＝AB•cs37°＝6.4（米），
在Rt△ACD中，CD8.304（米），
则BD＝CD﹣BC＝8.304﹣6.4≈1.9（米）．
答：改动后电梯水平宽度增加部分BD的长为1.9米．
总结提升：本题考查了坡度和坡角的知识，解题的关键是根据题意构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．
2．（2022•郴州）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20m，背水坡BC的坡度为i1＝1：1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2＝1：，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．
（参考数据：1.41，1.73．结果精确到0.1m）
思路引领：在Rt△BCD中，根据BC的坡度为i1＝1：1，可求出BD的长，再在Rt△ACD中，根据AC的坡度为i2＝1：，可求出AD的长，然后利用AB＝AD﹣BD，进行计算即可解答．
解：在Rt△BCD中，
∵BC的坡度为i1＝1：1，
∴1，
∴CD＝BD＝20米，
在Rt△ACD中，
∵AC的坡度为i2＝1：，
∴，
∴ADCD＝20（米），
∴AB＝AD﹣BD＝2020≈14.6（米），
∴背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6米．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握坡度是解题的关键．
3．（2022•长沙）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°．
（1）求该斜坡的高度BD；
（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）
思路引领：（1）根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求解；
（2）在△ACD中，根据∠CBD＝30°，∠CAB＝15°，求出AC＝AB，从而得出AC的长．
解：（1）在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，BA＝20m，
∴BDBA＝10（m），
答：该斜坡的高度BD为10m；
（2）在△ACB中，∠BAD＝30°，∠BCA＝15°，
∴∠CBA＝15°，
∴AB＝AC＝20（m），
答：斜坡新起点C与原起点A之间的距离为20m．
总结提升：本题主要考查坡度坡角的定义及解直角三角形，得到AB＝AC是解题的关键．
4．（2022•台州）如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2．梯子与地面所成的角α为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，cs75°≈0.26，tan75°≈3.73）
思路引领：在Rt△ABC中，AB＝3m，sin∠BAC＝sin75°0.97，解方程即可．
解：在Rt△ABC中，AB＝3m，∠BAC＝75°，
sin∠BAC＝sin75°0.97，
解得BC≈2.9．
答：梯子顶部离地竖直高度BC约为2.9m．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
5．（2022•株洲）如图（Ⅰ）所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段AC至山谷点C处，再从点C处沿线段CB至山坡②的山顶点B处．如图（Ⅱ）所示，将直线l视为水平面，山坡①的坡角∠ACM＝30°，其高度AM为0.6千米，山坡②的坡度i＝1：1，BN⊥l于N，且CN千米．
（1）求∠ACB的度数；
（2）求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程．
思路引领：（1）根据坡度的概念求出∠BCN＝45°，根据平角的概念计算即可；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质求出AC，根据余弦的定义求出BC，进而得到答案．
解：（1）∵山坡②的坡度i＝1：1，
∴CN＝BN，
∴∠BCN＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣45°＝105°；
（2）在Rt△ACM中，∠AMC＝90°，∠ACM＝30°，AM＝0.6千米，
∴AC＝2AM＝1.2千米，
在Rt△BCN中，∠BNC＝90°，∠BCN＝45°，CN千米，
则BC2（千米），
∴该登山运动爱好者走过的路程为：1.2+2＝3.2（千米），
答：该登山运动爱好者走过的路程为3.2千米．
总结提升：本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
类型二 仰角俯角问题
6．（2022•凉山州）去年，我国南方某地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）．
思路引领：根据锐角三角函数和勾股定理，可以分别求得AD、CD和BC长，然后将它们相加，即可得到压折前该输电铁塔的高度．
解：由已知可得，
BD∥EF，AB＝16米，∠E＝30°，∠BDA＝∠BDC＝90°，
∴∠E＝∠DBA＝30°，
∴AD＝8米，
∴BD8（米），
∵∠CBD＝45°，∠CDB＝90°，
∴∠C＝∠CBD＝45°，
∴CD＝BD＝8米，
∴BC8（米），
∴AC+CB＝AD+CD+CB＝（8+88）米，
答：压折前该输电铁塔的高度是（8+88）米．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，求出AD、CD和BC长．
7．（2022•陕西）端午假期，小明和小昊与家人到一山庄度假．闲暇时，他们想利用所学数学知识测量所住楼前小河的宽．如图所示，他们先在六层房间窗台点F处，测得河岸点A处的俯角∠1的度数，然后来到四层房间窗台点E处，测得河对岸点B处的俯角∠2的度数（AB与河岸垂直），并且发现∠1与∠2正好互余．其中O，E，F三点在同一直线上，O，A，B三点在同一直线上，OF⊥OA．已知OE＝15米，OF＝21.6米，OA＝16米，求河宽AB．
思路引领：根据∠1＝∠FAO，∠2＝∠EBO，∠1+∠2＝90°，可得∠FAO+∠EBO＝90°，又OF⊥OA，即得∠EBO＝∠AFO，故△EBO∽△AFO，有，求出OB＝20.25，从而可得河宽AB为4.25米．
解：∵∠1＝∠FAO，∠2＝∠EBO，∠1+∠2＝90°，
∴∠FAO+∠EBO＝90°，
∵OF⊥OA，
∴∠O＝90°，
∴∠FAO+∠AFO＝90°，
∴∠EBO＝∠AFO，
∵∠O＝∠O，
∴△EBO∽△AFO，
∴，
∵OE＝15米，OF＝21.6米，OA＝16米，
∴，
解得OB＝20.25，
∴AB＝OB﹣OA＝20.25﹣16＝4.25（米），
答：河宽AB为4.25米．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用﹣俯角问题，涉及相似三角形的判定与性质，解题的关键是读懂题意，证明△EBO∽△AFO．
8．（2022•钢城区）如图，某数学研究小组测量山体AC的高度，在点B处测得山体A的仰角为45°，沿BC方向前行20m至点D处，斜坡DE的坡度为1：2，在观景台E处测得山顶A的仰角为58°，且点E到水平地面BC的垂直距离EF为10m．点B，D，C在一条直线上，AB，AE，AC在同一竖直平面内．
（1）求斜坡DE的水平宽度DF的长；
（2）求山体AC的高度．（结果精确到1m．参考数据sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60，）
思路引领：（1）由斜坡DE的坡度，EF＝10即可得出答案；
（2）作EH⊥AC，知四边形EFCH为矩形，设EH＝CF＝xm，在Rt△AEH中，AH＝EH⋅tan58°≈1.60x（m），继而知AC＝AH+HC＝（1.60x+10）m，BC＝BD+DF+CF＝（40+x）m，在Rt△ABC中，根据AC＝BC得1.60x+10＝40+x，解之求出x的值，进一步求解可得答案．
解：（1）∵斜坡DE的坡度，EF＝10m，
∴，
∴DF＝20．即斜坡DE的水平宽度DF长为20米．
（2）过点E作EH⊥AC于点H，则四边形EFCH为矩形，
∴HC＝EF＝10m，CF＝EH，
设EH＝CF＝xm，
在Rt△AEH中，AH＝EH•tan∠AEH＝EH•tan58°≈1.60x（m），
∴AC＝AH+HC＝（1.60x+10）m，BC＝BD+DF+CF＝（40+x）m，
在Rt△ABC中，∠ABC＝45°，
∴AC＝BC，即1.60x+10＝40+x，
解得x＝50，
∴AH＝1.60x＝1.60×50＝80（m），
∴AC＝AH+HC＝80+10＝90（m）．即山体AC的高度为90米．
总结提升：本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
9．（2022•内蒙古）在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．
（结果精确到0.1m，参考数据：1.732）
思路引领：过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，则DE＝AF，DF＝AE，在Rt△DEC中，根据已知可设DE＝3x米，则CE＝4x米，然后利用勾股定理进行计算可求出DE，CE的长，再设BF＝y米，从而可得AB＝（12+y）米，最后在Rt△DBF中，利用锐角三角函数的定义求出DF的长，从而求出AC的长，再在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义列出关于y的方程，进行计算即可解答．
解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，
则DE＝AF，DF＝AE，
在Rt△DEC中，tanθ，
设DE＝3x米，则CE＝4x米，
∵DE2+CE2＝DC2，
∴（3x）2+（4x）2＝400，
∴x＝4或x＝﹣4（舍去），
∴DE＝AF＝12米，CE＝16米，
设BF＝y米，
∴AB＝BF+AF＝（12+y）米，
在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，
∴DFy（米），
∴AE＝DFy米，
∴AC＝AE﹣CE＝（y﹣16）米，
在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，
∴tan60°，
解得：y＝6+8，
经检验：y＝6+8是原方程的根，
∴AB＝BF+AF＝18+831.9（米），
∴建筑物的高度AB约为31.9米．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10．（2022•营口）在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是58°，沿着山坡向上走75米到达B处，在B处测得大楼顶部M的仰角是22°，已知斜坡AB的坡度i＝3：4（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求大楼MN的高度．（图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：tan22°≈0.4，tan58°≈1.6）
思路引领：过点B作BE⊥AC，垂足为E，过点B作BD⊥MN，垂足为D，则BE＝DN，DB＝NE，根据已知可设BE＝3a米，则AE＝4a米，从而在Rt△ABE中，利用勾股定理可求出AE，BE的长，然后设NA＝x米，在Rt△ANM中，利用锐角三角函数的定义求出MN的长，从而求出MD，DB的长，最后在Rt△MDB中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
解：过点B作BE⊥AC，垂足为E，过点B作BD⊥MN，垂足为D，
则BE＝DN，DB＝NE，
∵斜坡AB的坡度i＝3：4，
∴，
∴设BE＝3a米，则AE＝4a米，
在Rt△ABE中，AB5a（米），
∵AB＝75米，
∴5a＝75，
∴a＝15，
∴DN＝BE＝45米，AE＝60米，
设NA＝x米，
∴BD＝NE＝AN+AE＝（x+60）米，
在Rt△ANM中，∠NAM＝58°，
∴MN＝AN•tan58°≈1.6x（米），
∴DM＝MN﹣DN＝（1.6x﹣45）米，
在Rt△MDB中，∠MBD＝22°，
∴tan22°0.4，
解得：x＝57.5，
经检验：x＝57.5是原方程的根，
∴MN＝1.6x＝92（米），
∴大楼MN的高度约为92米．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
11．（2022•阜新）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD＝15m，斜坡的倾斜角为α，csα．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，D在同一平面内）．
（1）求C，D两点的高度差；
（2）求居民楼的高度AB．
（结果精确到1m，参考数据：1.7）
思路引领：（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，在Rt△DCE中，可得（m），再利用勾股定理可求出DE，即可得出答案．
（2）过点D作DF⊥AB于F，设AF＝xm，在Rt△ADF中，tan30°，解得DFx，在Rt△ABC中，AB＝（x+9）m，BC＝（x﹣12）m，tan60°，求出x的值，即可得出答案．
解：（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，
∵在Rt△DCE中，csα，CD＝15m，
∴（m）．
∴（m）．
答：C，D两点的高度差为9m．
（2）过点D作DF⊥AB于F，
由题意可得BF＝DE，DF＝BE，
设AF＝xm，
在Rt△ADF中，tan∠ADF＝tan30°，
解得DFx，
在Rt△ABC中，AB＝AF+FB＝AF+DE＝（x+9）m，BC＝BE﹣CE＝DF﹣CE＝（x﹣12）m，
tan60°，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
∴AB9≈24（m）．
答：居民楼的高度AB约为24m．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
12．（2022•襄阳）位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑，是为纪念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士而兴建的，某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度．无人机在点A处测得烈士塔顶部点B的仰角为45°，烈士塔底部点C的俯角为61°，无人机与烈士塔的水平距离AD为10m，求烈士塔的高度．（结果保留整数．参考数据：sin61°≈0.87，cs61°≈0.48，tan61°≈1.80）
思路引领：在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AD＝10m，则BD＝AD＝10m，在Rt△ACD中，tan∠DAC＝tan61°1.80，解得CD≈18，由BC＝BD+CD可得出答案．
解：由题意得，∠BAD＝45°，∠DAC＝61°，
在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AD＝10m，
∴BD＝AD＝10m，
在Rt△ACD中，∠DAC＝61°，
tan61°1.80，
解得CD≈18，
∴BC＝BD+CD＝10+18＝28（m）．
∴烈士塔的高度约为28m．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
13．（2022•朝阳）某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）．该小组在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45°（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：1.7）
思路引领：延长DF交AB于点G，根据题意可得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，然后设AG＝xm，在Rt△AFG中，利用锐角三角函数的定义求出FG的长，从而求出DG的长，再在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
解：延长DF交AB于点G，
由题意得：
DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，
设AG＝xm，
在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，
∴FGx（m），
∴DG＝DF+FG＝（x+8）m，
在Rt△ADG中，∠ADG＝30°，
∴tan30°，
∴x＝44，
经检验：x＝44是原方程的根，
∴AB＝AG+BG≈12（m），
∴旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
14．（2022•鞍山）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆．为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为8m的励志条幅（即GF＝8m）．小亮同学想知道条幅的底端F到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼条幅方向前行12m到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为45°，若AB，CD均为1.65m（即四边形ABDC为矩形），请你帮助小亮计算条幅底端F到地面的距离FE的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
思路引领：设AC与GE相交于点H，根据题意可得：AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，然后设CH＝x米，则AH＝（12+x）米，在Rt△CHF中，利用锐角三角函数的定义求出FH的长，从而求出GH的长，最后再在Rt△AHG中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
解：设AC与GE相交于点H，
由题意得：
AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，
设CH＝x米，
∴AH＝AC+CH＝（12+x）米，
在Rt△CHF中，∠FCH＝45°，
∴FH＝CH•tan45°＝x（米），
∵GF＝8米，
∴GH＝GF+FH＝（8+x）米，
在Rt△AHG中，∠GAH＝37°，
∴tan37°0.75，
解得：x＝4，
经检验：x＝4是原方程的根，
∴FE＝FH+HE＝5.65≈5.7（米），
∴条幅底端F到地面的距离FE的长度约为5.7米．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
15．（2022•安顺）随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善，某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡CB上有一建成的5G基站塔AB，小明在坡脚C处测得塔顶A的仰角为45°，然后他沿坡面CB行走了50米到达D处，D处离地平面的距离为30米且在D处测得塔顶A的仰角53°．（点A、B、C、D、E均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°，cs53°，tan53°）
（1）求坡面CB的坡度；
（2）求基站塔AB的高．
思路引领：（1）过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F，过点D作DM⊥CE，垂足为M．由勾股定理可求出答案；
（2）设DF＝4a米，则ME＝4a米，BF＝3a米，由于△ACN是等腰直角三角形，可表示BE，在△ADF中由锐角三角函数可列方程求出DF，进而求出AB．
解：（1）如图，过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F，过点D作DM⊥CE，垂足为M．
由题意可知：CD＝50米，DM＝30米．
在Rt△CDM中，由勾股定理得：CM2＝CD2﹣DM2，
∴CM＝40米，
∴斜坡CB的坡度＝DM：CM＝3：4；
（2）设DF＝4a米，则MN＝4a米，BF＝3a米，
∵∠ACN＝45°，
∴∠CAN＝∠ACN＝45°，
∴AN＝CN＝（40+4a）米，
∴AF＝AN﹣NF＝AN﹣DM＝40+4a﹣30＝（10+4a）米．
在Rt△ADF中，
∵DF＝4a米，AF＝（10+4a）米，∠ADF＝53°，
∴tan∠ADF，
∴，
∴解得a，
∴AF＝10+4a＝10+30＝40（米），
∵BF＝3a米，
∴AB＝AF﹣BF＝40（米）．
答：基站塔AB的高为米．
总结提升：本题考查解直角三角形，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是常用的方法．
16．（2022•日照）2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度i＝1：2.4，在A点测得B点的俯角∠DAB＝30°．若雪道AB长为270m，雪道BC长为260m．
（1）求该滑雪场的高度h；
（2）据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少35m3，且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量．
思路引领：（1）过B作BF∥AD，过A过AF⊥AD，两直线交于F，过B作BE垂直地面交地面于E，根据题知∠ABF＝∠DAB＝30°，可得AFAB＝135（m），由BC的坡度i＝1：2.4，设BE＝tm，则CE＝2.4tm，可得t2+（2.4t）2＝2602，即可得h＝AF+BE＝235（m）；
（2）设甲种设备每小时的造雪量是xm3，可得：，即方程并检验可得甲种设备每小时的造雪量是15m3，则乙种设备每小时的造雪量是50m3．
解：（1）过B作BF∥AD，过A过AF⊥AD，两直线交于F，过B作BE垂直地面交地面于E，如图：
根据题知∠ABF＝∠DAB＝30°，
∴AFAB＝135（m），
∵BC的坡度i＝1：2.4，
∴BE：CE＝1：2.4，
设BE＝tm，则CE＝2.4tm，
∵BE2+CE2＝BC2，
∴t2+（2.4t）2＝2602，
解得t＝100（m），（负值已舍去），
∴h＝AF+BE＝235（m），
答：该滑雪场的高度h为235m；
（2）设甲种设备每小时的造雪量是xm3，则乙种设备每小时的造雪量是（x+35）m3，
根据题意得：，
解得x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，也符合题意，
∴x+35＝50，
答：甲种设备每小时的造雪量是15m3，乙种设备每小时的造雪量是50m3．
总结提升：本题考查解直角三角形和分式方程的应用，解题的关键是构造直角三角形和列出分式方程．
17．（2022•西藏）某班同学在一次综合实践课上，测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在A处测得树顶D的仰角为45°，C处测得树顶D的仰角为37°（点A，B，C在一条水平直线上），已知测量仪高度AE＝CF＝1.6米，AC＝28米，求树BD的高度（结果保留小数点后一位．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
思路引领：连接EF，构造两个直角三角形，在两个直角三角形中根据锐角三角函数的定义求出DM即可．
解：连接EF，交BD于点M，则EF⊥BD，AE＝BM＝CF＝1.6米，
在Rt△DEM中，∠DEM＝45°，
∴EM＝DM，
设DM＝x米，则EM＝AB＝x米，FM＝BC＝AC﹣AB＝（28﹣x）米，
在Rt△DFM中，tan37°，
即0.75，
解得x＝12，
经检验，x＝12是原方程的根，
即DM＝12米，
∴DB＝12+1.6＝13.6（米），
答：树BD的高度为13.6米．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
18．（2022•大连）如图，莲花山是大连著名的景点之一．游客可以从山底乘坐索道车到达山顶，索道车运行的速度是1米/秒．小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角约为30°，测得白塔顶部C的仰角约为37°，索道车从A处运行到B处所用时间约为5分钟．
（1）索道车从A处运行到B处的距离约为 300 米；
（2）请你利用小明测量的数据，求白塔BC的高度．（结果取整数）
（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73）
思路引领：（1）根据路程＝速度×时间，进行计算即可解答；
（2）在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD，BD的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，进行计算即可解答．
解：（1）由题意得：
5分钟＝300秒，
∴1×300＝300（米），
∴索道车从A处运行到B处的距离约为300米，
故答案为：300；
（2）在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，
∴BDAB＝150（米），
ADBD＝150（米），
在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，
∴CD＝AD•tan37°≈1500.75≈194.6（米），
∴BC＝CD﹣BD＝194.6﹣150≈45（米），
∴白塔BC的高度约为45米．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
19．（2022•河池）如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对他所在小区居民楼AB的高度进行测量，从小敏家阳台C测得点A的仰角为33°，测得点B的俯角为45°，已知观测点到地面的高度CD＝36m，求居民楼AB的高度（结果保留整数．参考数据：sin33°≈0.55，cs33°≈0.84，tan33°≈0.65）．
思路引领：通过作高，构造直角三角形，在两个直角三角形中用直角三角形的边角关系可求出AE、BE即可．
解：如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E，
由题意得，CD＝36m，∠BCE＝45°，∠ACE＝33°，
在Rt△BCE中，∠BCE＝45°，
∴BE＝CE＝CD＝36m，
在Rt△ACE中，∠ACE＝33°，CE＝36m，
∴AE＝CE•tan33°≈36×0.65≈23.4（m），
∴AB＝AE+BE＝36+23.4＝59.4≈59（m），
答：居民楼AB的高度约为59m．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
类型三 方向角问题
20．（2022•重庆）如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC＝200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD＝100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．
（1）求步道DE的长度（精确到个位）；
（2）点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？
（参考数据：1.414，1.732）
思路引领：（1）过D作DF⊥AE于F，由已知可得四边形ACDF是矩形，则DF＝AC＝200米，根据点D在点E的北偏东45°，即得DEDF＝200283（米）；
（2）由△DEF是等腰直角三角形，DE＝283米，可得EF＝DF＝200米，而∠ABC＝30°，即得AB＝2AC＝400米，BC200米，又BD＝100米，即可得经过点B到达点D路程为AB+BD＝500米，CD＝BC+BD＝（200100）米，从而可得经过点E到达点D路程为AE+DE＝200100+200529米，即可得答案．
解：（1）过D作DF⊥AE于F，如图：
由已知可得四边形ACDF是矩形，
∴DF＝AC＝200米，
∵点D在点E的北偏东45°，即∠DEF＝45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DEDF＝200283（米）；
（2）由（1）知△DEF是等腰直角三角形，DE＝283米，
∴EF＝DF＝200米，
∵点B在点A的北偏东30°，即∠EAB＝30°，
∴∠ABC＝30°，
∵AC＝200米，
∴AB＝2AC＝400米，BC200米，
∵BD＝100米，
∴经过点B到达点D路程为AB+BD＝400+100＝500米，
CD＝BC+BD＝（200100）米，
∴AF＝CD＝（200100）米，
∴AE＝AF﹣EF＝（200100）﹣200＝（200100）米，
∴经过点E到达点D路程为AE+DE＝200100+200529米，
∵529＞500，
∴经过点B到达点D较近．
总结提升：本题考查解直角三角形﹣方向角问题，解题的关键是掌握含30°、45°角的直角三角形三边的关系．
21．（2022•资阳）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）
（1）求点D与点A的距离；
（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）
思路引领：（1）根据方位角图，易知∠ACD＝60°，∠ADC＝90°，解Rt△ADC即可求解；
（2）过点D作DE⊥AB于点E．分别解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的长．
解；（1）由题意可知：∠ACD＝15°+45°＝60°，∠ADC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
在Rt△ADC中，
∴（米），
答：点D与点A的距离为300米．
（2）过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB是东西走向，
∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°，
在Rt△ADE中，
∴（米），
在Rt△BDE中，
∴（米），
∴（米），
答：隧道AB的长为米．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
22．（2022•锦州）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192）．
思路引领：过B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，利用正弦函数求得BD＝15.32海里，再在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．
解：过B作BD⊥AC于D，
由题意可知∠ABE＝30°，∠BAC＝30°，则∠C＝180°﹣30°﹣30°﹣70°＝50°，
在Rt△BCD中，∠C＝50°，BC＝20（海里），
∴BD＝BCsin50°≈20×0.766＝15.32（海里），
在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，BD＝15.32（海里），
∴AB＝2BD＝30.64≈30.6（海里），
答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23．（2022•青岛）如图，AB为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活•绿色出行”健步走公益活动，小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点C处，观光船到滨海大道的距离CB为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E时，观光船沿北偏西40°的方向航行至点D处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D处的距离．
（参考数据：sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin68°≈0.93，cs68°≈0.37，tan68°≈2.48）
思路引领：过点C作CF⊥DE于F，根据∠ACB的正切值可得AB＝496m，则可得BE的长，再根据∠D的正弦可得答案．
解：过点C作CF⊥DE于F，
由题意得，∠D＝40°，∠ACB＝68°，
在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，
∵tan∠ACB，
∴AB＝CB×tan68°≈200×2.48＝496（m），
∴BE＝AB﹣AE＝496﹣200＝296（m），
∵∠CFE＝∠FEB＝∠CBE＝90°，
∴四边形FEBC为矩形，
∴CF＝BE＝296m，
在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，
∵sin∠D，
∴CD462.5（m），
答：观光船从C处航行到D处的距离约为462.5m．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用，从复杂的实际问题中整理出直角三角形并求解是解决此类题目的关键．
24．（2022•辽宁）如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距离A港口100海里处．一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向，B港口在货轮的北偏西70°方向．求此时货轮与A港口的距离（结果取整数）．
（参考数据：sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192，1.414）
思路引领：过点B作BD⊥AC，垂足为D，根据题意得：∠BAC＝50°，∠BCA＝45°，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD，BD的长，再在Rt△BDC中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，最后进行计算即可解答．
解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，
由题意得：
∠BAC＝25°+25°＝50°，∠BCA＝70°﹣25°＝45°，
在Rt△ABD中，AB＝100海里，
∴AD＝AB•cs50°≈100×0.643＝64.3（海里），
BD＝AB•sin50°≈100×0.766＝76.6（海里），
在Rt△BDC中，CD76.6（海里），
∴AC＝AD+CD＝64.3+76.6≈141（海里），
∴此时货轮与A港口的距离约为141海里．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25．（2022•恩施州）如图，湖中一古亭，湖边一古柳，一沉静，一飘逸，碧波荡漾，相映成趣．某活动小组赏湖之余，为了测量古亭与古柳间的距离，在古柳A处测得古亭B位于北偏东60°，他们向南走50m到达D点，测得古亭B位于北偏东45°．求古亭与古柳之间的距离AB的长（参考数据：1.41，1.73，结果精确到1m）．
思路引领：过点B作BC⊥AD，交DA的延长线于点C，设AC＝x米，则CD＝（x+50）米，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，再在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义可得BC＝DC，从而列出关于x的方程，进行计算即可求出AC的长，最后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答．
解：过点B作BC⊥AD，交DA的延长线于点C，
设AC＝x米，
∵AD＝50米，
∴CD＝AC+AD＝（x+50）米，
在Rt△ABC中，∠CAB＝60°，
∴BC＝AC•tan60°x（米），
在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，
∴tan45°1，
∴BC＝CD，
∴x＝x+50，
∴x＝2525，
∴AC＝（2525）米，
∴AB5050≈137（米），
∴古亭与古柳之间的距离AB的长约为137米．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
26．（2022•邵阳）如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45°方向上，已知在灯塔C的四周40km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：1.414，1.732）
思路引领：过点C作CD垂直AB，利用特殊角的三角函数值求得CD的长度，从而根据无理数的估算作出判断．
解：安全，理由如下：
过点C作CD垂直AB，
由题意可得，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，AB＝30×1＝30km，
在Rt△CBD中，设CD＝BD＝xkm，则AD＝（x+30）km，
在Rt△ACD中，tan30°，
∴，
∴，
解得：x＝1515≈40.98＞40，
所以，这艘轮船继续向正东方向航行是安全的．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用，通过添加辅助线构建直角三角形，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
27．（2022•怀化）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上．C村在B村的正东方向且两村相距2.4km．有关部门计划在B、C两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明．（参考数据：1.73，1.41）
思路引领：过A点作AD⊥BC于D点，根据题意可得BDAD，CD＝AD，由BC＝2400m可得关于AD的方程，计算可求解AD的长，进而可求解．
解：过A点作AD⊥BC于D点，
由题意知：∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠ACD＝45°，
∴BDAD，CD＝AD，
∵BC＝2.4km＝2400m，
∴AD+AD＝2400，
解得：AD＝1200（1）≈876＞800，
故该公路不能穿过纪念园．
总结提升：本题主要考查解直角三角形的应用﹣方向角，构造直角三角形是解题的关键．
类型四 解直角三角形的应用
28．（2022•通辽）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度（结果保留小数点后一位，1.7）．
思路引领：在Rt△BDE中求出ED，再在Rt△ACM中求出AM，最后根据线段的和差关系进行计算即可．
解：如图，过点C、D分别作BE的平行线交BA的延长线于点M、N，
在Rt△BDE中，∠BDE＝90°﹣45°＝45°，
∴DE＝BE＝14m，
在Rt△ACM中，∠ACM＝60°，CM＝BE＝14m，
∴AMCM＝14（m），
∴AB＝BM﹣AM
＝CE﹣AM
＝20+14﹣14
≈10.2（m），
答：AB的长约为10.2m．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
29．（2022•淮安）如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连．为了计算A、B两点之间的距离，经测量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80米，求A、B两点之间的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60）
思路引领：通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，列方程求解即可．
解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，
在Rt△ACD中，
∵∠DAC＝37°，AC＝80米，
∴sin∠DAC，cs∠DAC，
∴CD＝AC•sin37°≈80×0.60＝48（米），
AD＝AC•cs37°≈80×0.80＝64（米），
在Rt△BCD中，
∵∠CBD＝58°，CD＝48米，
∴tan∠CBD，
∴BD30（米），
∴AB＝AD+BD＝64+30＝94（米）．
答：A、B两点之间的距离约为94米．
总结提升：本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数，是正确解答的前提，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法．
30．（2022•东营）胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”．已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D、C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：1.41，1.73）
思路引领：根据锐角三角函数的定义可求出AD的长度，然后即可求出AC的长度，再根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
解：在Rt△ADB中，∠ADB＝60°，tan∠ADB，
∴BD，
在Rt△ABC中，∠C＝45°，tan∠C，
∴BCAB，
∵BC﹣BD＝CD＝33m，
∴AB33，
∴AB78（m）．
答：主塔AB的高约为78m．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确理解锐角三角函数的定义．
31．（2022•济宁）知识再现
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
∵sinA，sinB，
∴c，c．
∴．
拓展探究
如图2，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
请探究，，之间的关系，并写出探究过程．
解决问题
如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．
思路引领：拓展研究：作CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，根据正弦的定义得AE＝csinB，AE＝bsin∠BCA，CD＝asinB，CD＝bsin∠BAC，从而得出结论；
解决问题：由拓展探究知，，代入计算即可．
解：拓展探究
如图，作CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，
在Rt△ABE中，sinB，
同理：sinB，
sin，
sin，
∴AE＝csinB，AE＝bsin∠BCA，CD＝asinB，CD＝bsin∠BAC，
∴，，
∴；
解决问题
在△ABC中，∠CBA＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
∵，
∴，
∴AB＝30，
∴点A到点B的距离为30m．
总结提升：本题主要考查了解直角三角形，对于锐角三角形，利用正弦的定义，得出是解题的关键．
32．（2022•盐城）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．
（1）求A、C两点之间的距离；
（2）求OD长．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，2.24）
思路引领：（1）过点A作AE⊥CB，垂足为E，在Rt△ABE中，由AB＝5m，∠ABE＝37°，可求AE和BE，即可得出AC的长；
（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，在Rt△ACF中，由勾股定理可求出AF，即OD的长．
解：（1）如图，过点A作AE⊥CB，垂足为E，
在Rt△ABE中，AB＝5m，∠ABE＝37°，
∵sin∠ABE，cs∠ABE，
∴0.60，0.80，
∴AE＝3m，BE＝4m，
∴CE＝6m，
在Rt△ACE中，由勾股定理AC36.7m．
（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，
∴FD＝AO＝1m，
∴CF＝5m，
在Rt△ACF中，由勾股定理AF2m．
∴OD＝24.5m．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
模块二 2023中考押题预测
33．（2022•新市区校级一模）如图所示，我区某中学课外活动小组的同学，利用所学知识去测某段诺敏河的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD＝45°，小英同学在A处50米远的B处测得∠CBD＝30°，请你根据这些数据算出河宽．（结果保留根号）
思路引领：设河宽CE＝x米，那么可利用三角函数表示出AE、EB的长，然后根据BE﹣AE＝50米就能求得河宽．
解：过C作CE⊥AB于E，设CE＝x米，
在Rt△AEC中：∠CAE＝45°，AE＝CE＝x，
在Rt△BCE中：∠CBE＝30°，BECEx，
∴x＝x+50，
解得，x＝（2525）（米）．
答：河宽为（2525）米．
总结提升：此题主要考查了三角函数的概念和应用，解题关键是把实际问题转化为数学问题，抽象到三角形中，利用三角函数进行解答
34．（2023•泗洪县一模）如图，梯形ABCD是某水坝的横截面示意图，其中AB＝CD，坝顶BC＝2m，坝高CH＝5m，迎水坡AB的坡度i＝1：1．
（1）求坝底AD的长；
（2）为了提高堤坝防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡加固该堤坝，要求坝顶加宽0.5m，背水坡坡角改为α＝30°，求加固总长5千米的堤坝共需多少土方？（参考数据：π≈3.14，，；结果精确到0.1m3）
思路引领：（1）过B作BG⊥AD于G，由迎水坡AB的坡度i＝1：1，可得AG＝5m，证明Rt△ABG≌Rt△DCH（HL），有DH＝AG＝5m，故AD＝DH+HG+AG＝12m，即坝底AD的长是12m；
（2）过F作FM⊥AD于M，根据∠FEM＝30°，得EMFM＝5m，即得DE＝EM+MH﹣DH＝（54.5）m，故S梯形DEFC（0.5+54.5）×5≈11.625（m2），从而可得加固总长5千米的堤坝共需土方58125.0m3．
解：（1）过B作BG⊥AD于G，如图：
∵BC∥AD，CH⊥AD，BG⊥AD，
∴四边形CHGB是矩形，
∴BG＝CH＝5m，HG＝BC＝2m，
∵迎水坡AB的坡度i＝1：1，
∴1，
∴AG＝5m，
∵AB＝CD，BG＝CH，
∴Rt△ABG≌Rt△DCH（HL），
∴DH＝AG＝5m，
∴AD＝DH+HG+AG＝5+2+5＝12（m），
∴坝底AD的长是12m；
（2）过F作FM⊥AD于M，如图：
∵FM⊥AD，BC∥AD，CH⊥AD，
∴四边形FMHC是矩形，
∴FC＝MH＝0.5m，FM＝CH＝5m，
∵∠FEM＝30°，
∴EMFM＝5m，
由（1）知DH＝5m，
∴DE＝EM+MH﹣DH＝50.5﹣5＝（54.5）m，
∴S梯形DEFC（0.5+54.5）×510≈11.625（m2），
∴加固总长5千米的堤坝共需土方5000×11.625＝58125.0（m3）．
∴加固总长5千米的堤坝共需土方58125.0m3．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．
35．（2023•景县校级模拟）如图，有两个长度相同的滑梯（即BC＝EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若滑梯的长度BC＝10米，DE＝8米，分别求出滑梯BC与EF的坡度；
（3）在（2）的条件下，由于EF太陡，在保持EF长不变的情况下，现在将点E向下移动，点F随之向右移动．
①若点E向下移动的距离为1米，求滑梯EF底端F向右移动的距离；
②在移动的过程中，直接写出△DEF面积的最大值．
思路引领：（1）在Rt△ABC与Rt△DEF中，由BC＝EF，AC＝DF，可证得Rt△ABC≌Rt△DEF．
（2）由题可得AB＝DE＝8米，DF＝AC＝6米，即可得滑梯BC的坡度为，滑梯EF的坡度为．
（3）①若点E向下移动的距离为1米，则DE＝7米，米，进而可得答案．
②设EF的中点为G，连接DG，易知当DG⊥EF时，△DEF的面积最大，由此可得答案．
（1）证明：在Rt△ABC与Rt△DEF中，
∵BC＝EF，AC＝DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
（2）解：∵Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴AB＝DE＝8米，
由勾股定理得，米，
∴DF＝AC＝6米，
∴滑梯BC的坡度为，
滑梯EF的坡度为．
（3）解：①∵点E向下移动的距离为1米，
∴DE＝7米，
由勾股定理得，米，
∴滑梯EF底端F向右移动的距离为米．
②设EF的中点为G，连接DG，
∵△DEF为直角三角形，
∴DGEF＝5米，
∵△DEF在变化的过程中，EF始终为定值，若使△DEF的面积最大，则点D到EF的距离最大，
∴当DG⊥EF时，点D到EF的距离最大，即△DEF的面积最大，
∴△DEF面积的最大值为25（平方米）．
总结提升：本题考查全等三角形的判定与性质、坡度的定义、直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
36．（2022•宁波模拟）21、由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点c处有生命迹象．在废墟一侧地面上探测点A，B相距2m，探测线与该地面的夹角分别是30°和60°（如图所示），试确定生命所在点C的深度．（参考数据：1.414，1.732，结果精确到0.1米）
思路引领：根据锐角三角函数可以求得点C到地面的距离，从而可以解答本题．
解：如图所示，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，
由题意可知，∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，
设CD＝x米，
则BD，AD，
∵AB＝2米，AD＝AB+BD，
∴AD＝2+BD，
∴2，
解得x≈1.7，
即生命所在点C的深度是1.7米．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．
37．（2023•凤翔县模拟）如图，小刚同学从楼顶A处看楼下公园的湖边D处的俯角为65°，看另一边B处的俯角为25°，楼高AC为25米，求楼下公园的湖宽BD．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.42，tan25°≈0.47，sin65°≈0.91，tan65°≈2.14）
思路引领：根据题意得到∠ADC＝65°，∠ABC＝25°，解直角三角形即可得到结论．
解：在Rt△ADC中，AC＝25米，
∴，
∴CD11.68（米），
在Rt△ABC中，
tanB0.47，
∴BC≈53.19米，
∴BD＝BC﹣CD≈42（米）．
答：湖宽BD约为42米．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的定义和锐角三角函数定义是解题的关键．
38．（2023•长沙一模）长沙电视塔位于岳麓山峰顶（如图），此峰顶距地面高度MN＝270m．电视塔集广播电视信号发射和旅游观光功能于一身．如右图所示，小明同学在地面点A处测得峰顶N处的仰角为15°，由点A往前走640m至点B处，测得电视塔顶P处仰角为45°，请求出电视塔的高度NP．（假设图中A、B、M三点在一条直线上，参考数据：sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27）
思路引领：在Rt△AMN中，根据三角函数的定义得到AM＝1000m，根据等腰直角三角形的性质得到PM＝BM＝360m，于是得到结论．
解：在Rt△AMN中，∵∠AMN＝90°，MN＝270m，∠MAN＝15°，
∴tanA＝tan15°0.27，
∴AM＝1000m，
∵AB＝640m，
∴BM＝1000﹣640＝360（m），
在Rt△BPM中，∵∠PBM＝45°，
∴PM＝BM＝360m，
∴PN＝PM﹣MN＝360m，
答：电视塔的高度NP为360m．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的定义和锐角三角函数定义是解题的关键．
39．（2022•市南区一模）如图，斜坡AB的坡角为33°，BC⊥AC，现计划在斜坡AB中点D处挖去部分坡体，用于修建一个平行于水平线CA且长为12m的平台DE和一条坡角为45°的新的陡坡BE．建筑物GH距离A处36米远（即AG为36米），小明在D处测得建筑物顶部H的仰角为36°．图中各点均在同一个平面内，且点C、A、G在同一条直线上，HG⊥CG，求建筑物GH的高度．（结果精确到1m）
（参考数据：sin33°，cs33°，tan33°，sin36°，cs36°，tan36°）
思路引领：延长DE交BC于点F，延长ED交HG于点M，根据题意易得四边形FCGM是矩形，从而可得FC＝MG，FM＝CG，FM∥CG，进而可得∠BDF＝∠BAC＝33°，然后BF＝x米，先在Rt△BEF中，利用锐角三角函数的定义求出EF，再在Rt△DBF中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可求出BF，EF的长，从而利用三角形的中位线定理求出AC的长，进而求出CG，DM的长，最后在Rt△DMH中，利用锐角三角函数的定义求出HM，即可解答．
解：延长DE交BC于点F，延长ED交HG于点M，
则MF⊥BC，FM⊥HG，
∵HG⊥CG，
∴四边形FCGM是矩形，
∴FC＝MG，FM＝CG，FM∥CG，
∴∠BDF＝∠BAC＝33°，
设BF＝x米，
在Rt△BEF中，∠BEF＝45°，
∴EFx（米），
在Rt△DBF中，tan33°，
解得：x＝18，
经检验：x＝18是原方程的根，
∴BF＝EF＝18米，
∴DF＝DE+EF＝12+18＝30（米），
∵点D是AB的中点，DF∥AC，
∴点F是BC的中点，
∴FC＝BF＝18米，
∴DF是△BCA的中位线，
∴AC＝2DF＝60（米），
∵AG＝36米，
∴FM＝CG＝AC+AG＝60+36＝96（米），
∴DM＝FM﹣DF＝96﹣30＝66（米），
在Rt△DMH中，∠HDM＝36°，
∴HM＝DM•tan36°≈6646.2（米），
∴HG＝HM+MG＝46.2+18≈64（米），
∴建筑物GH的高度约为64米．
总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
40．（2023•合肥一模）为巩固农村脱贫成果，利兴村委会计划利用一块如图所示的空地ABCD，培育绿植销售，空地南北边界AB∥CD，西边界BC⊥AB，经测量得到如下数据，点A在点C的北偏东58°方向，在点D的北偏东48°方向，BC＝780米，求空地南北边界AB和CD的长（结果保留整数，参考数据：tan48°≈1.1，tan58°≈1.6）．
思路引领：由题意可知：∠BCA＝58°∠ADE＝48°，过D作于DE⊥AB于E，易得四边形BCDE为矩形，从而可知DE＝BC，然后根据锐角三角函数的定义分别求出AB与AE的长度即可求出答案．
解：由题意可知：∠BCA＝58°，∠ADE＝48°，
过D作于DE⊥AB于点E，
∵AB∥CD，BC⊥AB，
∴四边形BCDE为矩形，
∴DE＝BC＝780米，
在Rt△ABC中，，
∵BC＝780米，tan58°≈1.6，
∴AB≈780×1.6≈1248（米），
在Rt△ADE中，，
∵DE＝BC＝780米，tan48°≈1.1，
∴AE≈780×1.1≈858（米），
∴CD≈1248﹣858≈390（米），
答：AB的长和CD的长分别约为1248米和390米．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义求出AE与CD的长度，本题属于基础题型．
41．（2023•瑶海区校级模拟）李俊、王可和张立三位同学在老师的带领下到荒地开展植树活动，如图，点A，B，C分别是他们三人所在的植树位置，点A在点B的北偏东45°方向上，点C在点B的北偏东82°方向上，且点C在点A的正南方向，若点B到点C的距离为80米，求点A到点B的距离．（参考数据：1.73，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
思路引领：过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，可得AD＝CD，在Rt△BCD中，sin37°0.60，cs37°0.80，分别求出CD和BD，再根据AB＝AD+BD可得答案．
解：过点C作CD⊥AB于点D，
由题意得，∠A＝45°，∠ABC＝82°﹣45°＝37°，BC＝80米，
在Rt△BCD中，sin37°0.60，cs37°0.80，
解得CD≈48，BD≈64，
在Rt△ACD中，
∵∠A＝45°，
∴AD＝CD＝48米，
∴AB＝AD+BD＝112米．
∴点A到点B的距离约为112米．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
42．（2022•铜仁市校级模拟）为了保证龙舟赛在我市锦江河顺利举办，工作人员乘快艇到锦江水域考察水情，以每秒14米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶46秒到达B处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图所示．求建筑物P到赛道AB的距离．（结果保留根号）
思路引领：作PC⊥AB于C，构造出Rt△PAC与Rt△PBC，求出AB的长度，利用特殊角的三角函数值求解．
解：过P点作PC⊥AB于C，由题意可知：∠PAC＝60°，∠PBC＝30°，
在Rt△PAC中，，
∴ACPC，
在Rt△PBC中，，
∴BCPC，
∵AB＝AC+BCPCPC＝14×46＝644（米），
∴PC＝161（米），
答：建筑物P到赛道AB的距离为161米．
总结提升：此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函数值解答．
43．（2023•全椒县模拟）在湖面上修建一座观景桥MN是乡村振兴战略中一项重要工程．在观测点A，B两处测得∠BAM＝90°，∠ABN＝112°，∠BNM＝105°，AB＝1千米，BN＝0.5千米，求观景桥MN的长．参考数据：sin68°≈0.9，cs68°≈0.4，tan68°≈2.5，sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75．
思路引领：作NC⊥AB交AB的延长线于C，ND⊥AM于D，由∠ABN＝112°，得∠NBC＝∠BND＝68°，在Rt△BNC中，BC＝BN×cs68°≈0.2（千米），可得DN＝AC＝AB+BC＝1.2（千米），在Rt△DNM中，MN1.5（千米）．
解：作NC⊥AB交AB的延长线于C，ND⊥AM于D，如图，
∵∠ABN＝112°，
∴∠NBC＝68°，
∴∠BND＝68°，
在Rt△BNC中，
BC＝BN×cs68°≈0.5×0.4＝0.2（千米），
∴DN＝AC＝AB+BC＝1+0.2＝1.2（千米），
∵∠DNM＝∠BNM﹣∠BND＝105°﹣68°＝37°，
在Rt△DNM中，
MN1.5（千米），
∴观景桥MN的长约为1.5千米．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．
44．（2023•鄞州区校级一模）某种落地灯如图1所示，AB为立杆，其高为70cm，BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为50cm，DE为悬杆，支杆BC与悬杆DE之间的夹角∠BCD为60°．
（1）如图2，当支杆BC与地面垂直，且灯泡悬挂点D距离地面的高度为100cm，求CD的长；
（2）在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转20°，如图3，求此时灯泡悬挂点D到地面的距离．（结果精确到1cm，参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84）
思路引领：（1）过点D作DG⊥AC于点G，过点D作DF⊥AF于点F，从而可求出CG的长度，然后利用锐角三角函数的定义即可求出答案．
（2）过点D作DF⊥AF于点F，过点C作CH⊥AF于点H，过点D作DM⊥CH于点M，过点B作BN⊥CH于点N，从而可知四边形MDFH和四边形BNHA是矩形，利用锐角三角函数的定义可求出CN，CH，CM，MH的长度即可求出答案．
解：（1）过点D作DG⊥AC于点G，过点D作DF⊥AF于点F，
∴四边形GDFA是矩形，
∴GA＝DF＝100（cm），
∵CA＝CB+BA，
∴CA＝50+70＝120（cm），
∴CG＝CA﹣DF＝120﹣100＝20（cm），
∵∠BCD＝60°，
∴∠CDG＝30°，
∴CD＝2CG＝40（cm），
答：CD的长为40cm．
（2）过点D作DF⊥AF于点F，过点C作CH⊥AF于点H，
过点D作DM⊥CH于点M，过点B作BN⊥CH于点N，
∴四边形MDFH和四边形BNHA是矩形，
由题意可知：∠BCN＝20°，∠BCD＝60°，
∴∠MCD＝60°﹣20°＝40°，
在Rt△BCN中，
cs∠BCN＝cs20°，
∴CN＝BCcs20°≈50×0.94≈47（cm），
∴CH＝CN+NH＝CN+AB＝47+70＝117（cm），
在Rt△CDM中，
∴cs∠MCD＝cs40°，
∴CM＝CDcs40°≈40×0.77≈31（cm），
∴MH＝CH﹣CM＝117﹣31＝86（cm），
答：此时灯泡悬挂点D到地面的距离为86cm．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
45．（2022•青岛一模）2022年北京冬奥会的召开惊艳世界，冬奥村的餐厅更是得到了各国运动员的好评．运动员主餐厅位于北京冬奥村居住区西南侧，共设置了世界餐台、亚洲餐台、中餐餐台、清真餐台、鲜果台、面包和甜品台等12种餐台．一送餐机器人从世界餐台A处向正南方向走200米到达亚洲餐台B处，再从B处向正东方向走500米到达中餐餐台C处，然后从C处向北偏西37°走到就餐区D处，最后从D回到A处，已知就餐区D在A的北偏东73°方向，求中餐台C到就餐区D（即CD）的距离．（结果保留整数）
（参考数值：sin73°，cs73°，tan73°，sin37°，cs37°，tan37°．）
思路引领：过点D作DE⊥BC，垂足为E，过点A作AF⊥DE，垂足为F，根据题意可得∠AFE＝∠AFD＝∠DEC＝∠DEB＝∠B＝90°，∠CDE＝37°，∠ADF＝73°，从而可得四边形ABEF是矩形，进而可得AB＝EF＝200米，AF＝BE，然后设CD＝x米，在Rt△CDE中，利用锐角三角函数的定义求出DE，CE的长，从而求出BE，AF，DF的长，最后在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，过点A作AF⊥DE，垂足为F，
则∠AFE＝∠AFD＝∠DEC＝∠DEB＝∠B＝90°，∠CDE＝37°，∠ADF＝73°，
∴四边形ABEF是矩形，
∴AB＝EF＝200米，AF＝BE，
设CD＝x米，
在Rt△CDE中，DE＝CD•cs37°x（米），
CE＝CD•sin37°x（米），
∴DF＝DE﹣EF＝（x﹣200）米，
∵BC＝500米，
∴AF＝BE＝AB﹣CE＝（500x）米，
在Rt△ADF中，tan73°，
∴AFDF，
∴500x（x﹣200），
解得：x≈357，
∴中餐台C到就餐区D（即CD）的距离为357米．
总结提升：本题考查了矩形的判定，解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
46．（2022•郯城县一模）钓鱼是修身养性的户外休闲运动，闲暇之余，流连于江河湖泊之间，鸟语花香，玉树葱葱，享受大自然，怡然自乐…，“劝君莫食三月鲫，万千鱼仔鱼腹中”，钓鱼是一种心情，钓获放流是一种境界！
如图一静待鲤鱼上钩：AB是鱼竿，BC、CD是鱼线，EH是水面，点B、点C分别在矩形EFDH的一组邻边上，AF⊥EH，AB＝8米，AF＝7米，CH＝0.5米，∠ABE＝30°，∠HBC＝4.4°．
如图二扬竿中鱼：鱼竿AB弯成圆弧，其圆心恰好是点O，鱼线OB由于受到拉力作用，长度变为原来的1.2倍，即：OB＝1.2（BC+CD）．
若∠AOB的度数超过45°，鱼竿将有折断的危险，请你通过计算说明：是否有断竿跑鱼的危险？
（参考数据：π取3，sin4.4°，cs4.4°≈0.997，tan4.4°≈3.096）
思路引领：关键直角三角形的边角关系求出图一中的鱼线BC、CD的长度，进而得出图二中弧AB的长度以及半径OB的长，由弧长公式即可求出∠AOB的大小，比较得出结论即可．
解：如图一，在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，AB＝8米，
∴AEAB＝4（米），
∴EF＝AF﹣AE＝7﹣4＝3（米）＝HD，
∴CD＝HD﹣HC＝3﹣0.5＝2.5（米），
在Rt△BCH中，
∵sin∠CBH，即sin4.4°，
∴BC6.5（米），
∴BC+CD＝6.5+2.5＝9（米），
∴OB＝1.2（BC+CD）＝10.8（米），
设∠AOB＝n°，由弧长公式得，
8，
解得n≈42.5°＜45°，
∴没有断竿跑鱼的危险．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
47．（2022•连山区三模）如图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，托板长AB＝115mm，支撑板长CD＝70mm，且CB＝35mm，∠CDE＝60°，托板AB可绕点C转动．
（1）求点C到直线DE的距离： 35mm ；（计算结果保留根号）
（2）若∠DCB＝70°时，求点A到直线DE的距离（计算结果精确到个位）．
（参考数据：sin50°≈0.8，cs50°≈0.6，tan50°≈1.2，）
思路引领：（1）作高CM，在直角三角形CDM中，由直角三角形的边角关系可得答案；
（2）作出点A到直线DE的距离AN，再过点CP⊥AN，在直角三角形ACP中，由边角关系求出AP即可．
解：（1）如图②，过点C作CM⊥DE，垂足为M，
在Rt△CDM中，CD＝70mm，∠CDE＝60°，
∵sin∠CDM，
∴，
∴CM＝35，
即：点C到直线DE的距离为35mm；
故答案为：35mm；
（2）如图②，过点A作AN⊥DE，垂足为N，过点C作CP⊥AN，垂足为P，则CM＝PN，
∴∠DCB＝70°，∠DCM＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BCM＝70°﹣30°＝40°，
又∵CM∥AN，
∴∠A＝∠BCM＝40°，
在Rt△ACP中，AC＝115﹣35＝80（mm），∠ACP＝90°﹣40°＝50°，
∵sin∠ACP，即sin50°0.8，
∴AP＝64，
∴AN＝AP+PN＝64+35124（mm），
答：点A到直线DE的距离约为124mm．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．