中考数学二轮培优题型训练压轴题08二次函数与面积最值定值问题（六大类型）（2份，原卷版+解析版）

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例1．如图，已知抛物线ybx过点A（﹣4，0）、顶点为B，一次函数yx+2的图象交y轴于M，对称轴与x轴交于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知P是抛物线上一动点，点M关于AP的对称点为N．
①若点N恰好落在抛物线的对称轴上，求点N的坐标；
②请直接写出△MHN面积的最大值．
【分析】（1）运用待定系数法即可求抛物线的表达式．
（2）①先求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，设N（﹣2，n），则NH＝|n|，由轴对称性质可得AN＝AM，即AN2＝AM2，建立方程求解即可得出答案．
②连接MH，以点A为圆心，AM为半径作⊙A，过点A作AN⊥MH于点F，交⊙A于点N，则AN＝AM，连接AM，AN，此时△MHN面积最大．运用勾股定理、三角函数、三角形面积公式即可求得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线ybx过点A（﹣4，0），
∴（﹣4）2﹣4b＝0，
解得：b＝2，
∴该抛物线的表达式为yx2+2x；
（2）①∵yx2+2x，
∴抛物线对称轴为直线x2，
∵对称轴与x轴交于点H，
∴H（﹣2，0），
∵A（﹣4，0），
∴AH＝2，
∵直线yx+2交y轴于M，
∴M（0，2），
∴AM2＝OA2+OM2＝42+22＝20，
设N（﹣2，n），则NH＝|n|，如图1、图2，
∵M、N关于直线AP对称，
∴AN＝AM，即AN2＝AM2，
∴22+n2＝20，
∴n＝±4，
∴点N的坐标为（﹣2，﹣4）或（﹣2，4）；
②如图，连接MH，以点A为圆心，AM为半径作⊙A，过点A作AN⊥MH于点F，交⊙A于点N，
则AN＝AM，
在Rt△AMO中，OM＝2，OA＝4，
∴AM2，
∴AN＝2，
∵OH＝OM＝2，∠HOM＝90°，
∴△HOM是等腰直角三角形，∠MHO＝45°，MH＝2，
∴∠AHF＝∠MHO＝45°，
在Rt△AFH中，AH＝OA﹣OH＝4﹣2＝2，
∴AF＝AH×sin45°＝2，
∴NF＝AN+AF＝2，
∴S△MHNMH•NF2（2）＝22，
故△MHN面积的最大值为22．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的性质，轴对称，圆的性质及图象上的动点问题，解题的关键是学会用建模的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程或方程组解决问题，属于中考压轴题．
题型二： 二次函数与三角形面积等积问题
例2．如图，等腰直角三角形OAB的直角顶点O在坐标原点，直角边OA，OB分别在y轴和x轴上，点C的坐标为（3，4），且AC平行于x轴．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求过B，C两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c的解析式；
（3）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为D，试判定OC与BD的大小关系；
（4）若点M是抛物线上的动点，当△ABM的面积与△ABC的面积相等时，求点M的坐标．
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质与点C的坐标特征求得点A与点B的坐标，利用待定系数法即可求解；
（2）直接把点B与点C的坐标代入y＝﹣x2+bx+c即可求解；
（3）由抛物线与x轴的交点关于对称轴直线对称求得点D的坐标，在利用点C的坐标分别求得OC，BD的长即可求解；
（4）分两种情况：当点M在直线AB的上方时，如图所示；当点M在直线AB的下方时，如图所示，利用铅垂线法求得△ABM的面积，利用△ABM的面积与△ABC的面积相等列出方程求解即可．
【解答】解：（1）∵点C的坐标为（3，4），且AC平行于x轴，
∴点A的坐标为（0，4）且OA＝4，
∵△OAB是等腰直角三角形，∠AOB＝90°，
∴OB＝OA＝4，
∵点B的坐标为（4，0），
设直线AB的解析式为：y＝mx+n，
由题意得 ，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+4；
（2）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过B，C两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x+4；
（3）BD＝OC；理由：
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4＝﹣{x）2，
∴抛物线的对称轴直线为x，
∵点B的坐标为（4，0），点B与点D关于对称轴对称，
∴点D的坐标为（﹣1，0），
∴BD＝4﹣（﹣1）＝5，
∵点C的坐标为（3，4），
∴OC5，
∴BD＝OC；
（4）∵点C的坐标为（3，4），且AC平行于x轴，
∴AC＝3，
∴S△ABC•yC3×4＝6，
当点M在直线AB的上方时，如图所示，
过点M作MN∥y轴，交直线AB于点N，设M的坐标为（t，﹣t2+3t+4），则N的坐标为（t，﹣t+4），
∴MN＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，
∴S△AMBMN•xB（﹣t2+4t）×4＝﹣2t2+8t，
∵△ABM的面积与△ABC的面积相等，
∴﹣2t2+8t＝6，
解得：t＝1或t＝3（舍，该点为点C），
此时M的坐标为（1，6）或（3，4）；
当点M在直线AB的下方时，如图所示，
过点M作MN∥x轴，交直线AB于点N，设M的坐标为（t，﹣t2+3t+4），则N的坐标为（t2﹣3t，﹣t2+3t+4），
∴MN＝t2﹣3t﹣t＝t2﹣4t，
∴S△ABMMN•yA（t2﹣4t）×4＝2t2﹣8t，
∵△ABM的面积与△ABC的面积相等，
∴2t2﹣8t＝6，
解得：t＝2±，
此时M的坐标为（2，﹣1）或（2，1）；
综上可得，M的坐标为（2，﹣1）或（2，1）或（1，6）．
【点评】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的图象和性质以及利用二次函数的性质求与面积计算有关的问题，解题关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
题型三： 二次函数与四边形面积最值问题
例3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知A（3，0），该抛物线的对称轴为直线x＝1．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）求点B、C的坐标；
（3）将线段BC平移，使得平移后线段的一个端点在这条抛物线上，另一个端点在x轴上，若将点B、C平移后的对应点分别记为点D、E，求以B、C、D、E为顶点的四边形面积的最大值．
【分析】（1）由抛物线对称轴为直线x＝1可得b的值，再将（3，0）代入解析式求解．
（2）由抛物线对称性及点A坐标可得点B坐标，将x＝0代入解析式可得点C坐标．
（3）分别作出满足题意的四边形，结合图形求解．
【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为直线x1，
∴b＝2，
∴y＝﹣x2+2x+c，
将（3，0）代入y＝﹣x2+2x+c得0＝﹣9+6+c，
解得c＝3，
∴y＝﹣x2+2x+3．
（2）∵抛物线对称轴为直线x＝1，点A坐标为（3，0），
∴由抛物线对称性可得点B坐标为（﹣1，0），
将x＝0代入y＝﹣x2+2x+3得y＝3，
∴点C坐标为（0，3）．
（3）如图，可得图2中四边形面积最大，
图1
图2
图3
∵BC∥DE且BC＝DE，
∵yC﹣yB＝yE﹣yD，
∴yD＝﹣3，
将y＝﹣3代入y＝﹣x2+2x+3得﹣3＝﹣x2+2x+3，
解得x1＝1（舍），x2＝1，
∴点E横坐标为11＝2，
∴BE＝21＝3，
∴S四边形BDECBE•yCBE•|yD|（3）×3（3）×3＝9+3．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握坐标系内图形的面积求法．
题型四： 二次函数与面积分割问题
例4．已知抛物线y＝x2+4mx+4m2﹣4m﹣3的顶点C在定直线l上．
（1）求C点的坐标（用含m的式子表示）；
（2）求证：不论m为何值，抛物线与定直线l的两交点间的距离d恒为定值；
（3）当抛物线的顶点C在y轴上，且与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）时，是否存在直线n满足以下三个条件：
①n与抛物线相交于点M，N（点M在点N的左侧），且与线段AC交于点P；
②∠APN＝2∠ACO；
③n将△ABC的面积分成1：2的两部分．若存在，求出直线n的解析式；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用顶点公式求解即可；
（2）求出定直线l为y＝2x﹣3，联立方程组，求出两个交点的坐标，再求距离d＝2即可；
（3）由对称性可知∠APN＝∠ACB，则MN∥BC，设直线MN的解析式为yx+t，直线MN与x轴的交点为H，根据已知可得S△PAHS△ACB或S△PAHS△ACB，即（）2或（）2，从而求出H（2，0）或（2，0），即可求直线MN的解析式为yx+3﹣2或yx+3﹣2．
【解答】（1）解：∵y＝x2+4mx+4m2﹣4m﹣3＝（x+2m）2﹣4m﹣3，
∴顶点C（﹣2m，﹣4m﹣3）；
（2）证明：∵C（﹣2m，﹣4m﹣3），
∴C点在直线y＝2x﹣3上，
∴定直线l为y＝2x﹣3，
联立方程组，
解得或，
∴两个交点分别为（﹣2m，﹣4m﹣3），（2﹣2m，﹣4m+1），
∴d2，
∴抛物线与定直线l的两交点间的距离d恒为定值；
（3）解：存在直线n，理由如下：
∵顶点C在y轴上，
∴m＝0，
∴y＝x2﹣3，
令y＝0，则x2﹣3＝0，
解得x或x，
∴A（，0），B（，0），
∴AB＝2，
∵抛物线关于y轴对称，
∴∠ACO＝∠BCO，
∵∠APN＝2∠ACO，
∴∠APN＝∠ACB，
∴MN∥BC，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴yx﹣3，
设直线MN的解析式为yx+t，直线MN与x轴的交点为H，
∵直线MN将△ABC的面积分成1：2，
∴S△PAHS△ACB或S△PAHS△ACB，
∴（）2或（）2，
∴或，
解得AH＝2或AH＝2，
∴H（2，0）或（2，0），
∴直线MN的解析式为yx+3﹣2或yx+3﹣2．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质是解题的关键．
题型五： 二次函数与面积比问题
例5．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数yx2+bx﹣2的图象与x轴交于点A（3，0），B（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，作直线AD．
（1）填空：b＝ ；
（2）将△AOC平移到△EFG（点E，F，G依次与A，O，C对应），若点E落在抛物线上且点G落在直线AD上，求点E的坐标；
（3）设点P是第四象限抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交AC于点T．若∠CPT+∠DAC＝180°，求△AHT与△CPT的面积之比．
【分析】（1）把A（3，0）代入yx2+bx﹣2，求出b；
（2）令x＝0，y＝﹣2，求出C（0，﹣2），根据点D与点C关于x轴对称，求出D（0，2），进而得到直线AD解析式：yx+2，根据平移的性质及点的坐标特点，得出E（m，m2m﹣2），则G[m﹣3，（m﹣3）+2]，F[m﹣3，（m﹣3）+4]，再根据平行于x轴的直线点的纵坐标相等，得出m2m﹣2（m﹣3），解出即可；
（3）如图所示：过C作CK⊥AD，CQ⊥HP，根据勾股定理及等面积法，求出AD，CK，DK，AK，再根据锐角三角函数定义，得出tan∠CPQ＝tan∠CAK，tan∠OAC，
进而求出△AHT与△CPT的面积之比．
【解答】解：（1）把A（3，0）代入yx2+bx﹣2，
得9+3b﹣2＝0，
解得b；
故答案为：；
（2）如图所示：
由（1）得yx2x﹣2，
令x＝0，y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
∵点D与点C关于x轴对称，
∴D（0，2），
设直线AD：y＝kx+2，
把A（3，0）代入y＝kx+2，
得3k+2＝0，
解得k，
∴直线AD解析式：yx+2，
∵将△AOC平移到△EFG，
∴OA＝EF＝3，FG＝OC＝2，
设E（m，m2m﹣2），
则G（m﹣3，（m﹣3）+2），F（m﹣3，（m﹣3）+4），
∵EF∥x轴，
∴m2m﹣2（m﹣3）2+4，
解得m＝﹣3或m＝4，
∴E（﹣3，8）或（4，）；
（3）如图所示：
过C作CK⊥AD，CQ⊥HP，
∵OD＝2，OA＝3
∴AD，
∵CK⊥AD
∴CD•AO＝AD•CK，
∴CK，
DK，AK，
∴tan∠CAK，
∵CQ⊥HP，
∴∠CPQ+∠CPT＝180°，
∵∠CPT+∠DAC＝180°，
∴∠CPQ＝∠CAK，
∴tan∠CPQ＝tan∠CAK，
∴，
设P（n，n2n﹣2），
∴PQn2n，CQ＝n，
∴，
解得n，
∴P（，），
∴CQ，AH＝3，
∵tan∠OAC，
∴THAH，
∴TP，
∴，
即△AHT与△CPT的面积之比为8：147．
【点评】此题考查了二次函数的综合应用，掌握待定系数法求解析式，勾股定理、锐角三角函数、图形的变换这几个知识点的综合应用，其中正确的画出图形，作出辅助线是解题关键．
题型六： 函数关系与面积问题
例6．平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+（1+m）x﹣m（m为常数，m≠±1）与轴交于定点A及另一点B，与y轴交于点C．
（1）当点（2，2）在抛物线上时，求抛物线解析式及点A，B，C的坐标；
（2）如图1，在（1）的条件下，D为抛物线x轴上方一点，连接BD，若∠DBA+∠ACB＝90°，求点D的坐标；
（3）若点P是抛物线的顶点，令△ACP的面积为S，
①直接写出S关于m的解析式及m的取值范围；
②当时，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）将点（2，2）代入y＝﹣x2+（1+m）x﹣m，求出m即可确定函数的解析式；
（2）过D点作DE⊥x轴交于E，过A点作AF⊥BC交于F，由题意可知∠ACB＝∠BDE，求出tan∠ACF＝tan∠BDE，设D（t，﹣t2+5t﹣4）（0＜t＜4），求出t的值即可求D点坐标；
（3）①求出P（，），C（0，﹣m），定点A（1，0），B（m，0），AC的解析式为y＝kx+b，y＝mx﹣m，再画出函数图象结合函数图象分类讨即可；
②对①中求出的解析式分别进行求解即可．
【解答】解：（1）将点（2，2）代入y＝﹣x2+（1+m）x﹣m，
∴m＝4，
∴y＝﹣x2+5x﹣4，
令x＝0，则y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
令y＝0，则﹣x2+5x﹣4＝0，
∴x＝1或x＝4，
∴A（1，0），B（4，0）；
（2）如图1，过D点作DE⊥x轴交于E，过A点作AF⊥BC交于F，
∵∠DBA+∠ACB＝90°，∠DBA+∠BDE＝90°，
∴∠ACB＝∠BDE，
∵B（4，0），C（0，﹣4），
∴OB＝OC＝4，
∴∠OBC＝45°，
∵BA＝3，
∴AF，
∵A（1，0），
∴AC，
∴CF，
∴tan∠ACF，
∴tan∠BDE，
设D（t，﹣t2+5t﹣4）（0＜t＜4），
∴，
解得x＝4（舍）或x，
∴D（，）；
（3）①∵y＝﹣x2+（1+m）x﹣m＝﹣（x）2，
∴P（，），
令x＝0，则y＝﹣m，
∴C（0，﹣m），
令y＝0，则﹣x2+（1+m）x﹣m＝0，
解得x＝1或x＝m，
∴定点A（1，0），B（m，0），
设AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝mx﹣m，
如图2，当m＜﹣1时，S＝S梯形PNOC+S△OCA﹣S△PAN（m）1×（﹣m）（1）m2；
如图3，当﹣1＜m＜0时，S＝S梯形PNOC+S△PNA﹣S△AOC（m）（1）1×（﹣m）m2；
如图4，当0≤m＜1时，设对称轴与直线AC交于点M，
∴M（，），
∴PMm2，
∴S（m2）×1m2；
如图5，当m＞1时，过点C作CM⊥PN交于点M，
∴M（，﹣m），
∴S＝S矩形OCMN+S△APN﹣S△OCA﹣S△CMPm（1）1×m（m）m2；
综上所述：当m＜﹣1时，Sm2；当﹣1＜m＜1，Sm2；当m＞1时，Sm2；
②当m＜﹣1时，m2，
解得﹣4≤m；
当﹣1＜m＜0，m2，
此时m无解；
当0≤m＜1时，m2，
此时m无解；
当m＞1时，m2，
解得m≤4；
综上所述：当时，﹣4≤m或m≤4．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
一、解答题
1．（2023春·全国·九年级专题练习）已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点是线段上方抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P运动到什么位置时，的面积有最大值，面积最大值是多少？
【答案】(1)
(2)当时，的面积有最大值，最大值是．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）过点作轴的垂线，交线段于点，由，即可求解．
【详解】（1）由题意得：
，解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）
直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，解得：，
直线的表达式为：，
点的横坐标为，则，
过点作轴的垂线，交线段于点，
则，
，
当时，的值取最大，此时；
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形的性质、图形的面积计算等，本题难度不大．
2．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，抛物线与x轴交于 与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点D，交x轴于点E，连接 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当与的面积之比为1：2时，求点P的坐标；
【答案】(1)y＝﹣x2+5x+6
(2)
【分析】（1）待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先求出一次函数解析式，根据面积比例列出等式，解出坐标
【详解】（1）∵抛物线与x轴交于
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵抛物线过点C，
∴，
设直线的解析式为 ，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵与的面积之比为，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴P（）；
【点睛】本题考查二次函数解析式求解、一次函数解析式求解、面积之比转化成高之比，掌握这些是这个题的解题关键．
3．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，抛物线过点A、B，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是x轴上的一个动点，点N是抛物线对称轴上的一个动点，当，的面积为时，求出点M与点N的坐标；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据解析式求出B、C两点的坐标，再根据求出A点坐标，用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）表示出 ，分和求解．
【详解】（1）解：对于直线，
令，即，
解得：，
令，得，
∴，
∵A为x轴负半轴上一点，且，
∴．
将点A、B的坐标分别代入中，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由（1）知：，，抛物线解析式为，
∴对称轴，
∴D点坐标为，
∵
∴，
∵，即，
当时，，
化简得： ，
∵，
∴方程无解；
当时，，
解得（舍），
∴，
∴点M的坐标为，点N的坐标为；
【点睛】本题考查二次函数的综合问题，灵活运用所学知识是解题关键．
4．（2023·广西贵港·统考一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过两点．P是抛物线上一点，且在直线的上方．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若面积是面积的倍，求点的坐标；
(3)如图，交于点，交于点D．记，的面积分别为，判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)见解析
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式；
（2）利用待定系数法求出直线的解析式，再利用平面直角坐标系内两点之间的距离列方程可得到点的坐标；
（3）利用相似三角形的判定与性质得到相似比即可得到的最大值．
【详解】（1）解：将代入
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）解：设直线的解析式为：，
将代入得，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵，
∴，
∴，
即，
过点作轴于点，与交于点，过点作于点，如图，
∴，
∴，
设点的横坐标为，
∴，
∴，
解得：或；
∴或；
（3）解：存在最大值．理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
设直线交轴于点，则 ，
过点作轴，垂足为，交于点，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设
由（2）可知，，
∴，
∵，
∴当时，的最大值为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平面直角坐标系内两点之间的距离，平行线的性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
5．（2023·新疆克孜勒苏·统考一模）如图所示，抛物线的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连结．
(1)求抛物线顶点D的坐标；
(2)在直线上方的抛物线上有一点M，使得四边形的面积最大，求点M的坐标及四边形面积的最大值；
(3)点E在抛物线上，当时，直接写出点E的坐标．
【答案】(1)
(2)当点时，四边形ABMC面积最大，最大值为
(3)或
【分析】（1）化为顶点式求解即可；
（2）先求出的面积，然后判断出的面积最大时四边形面积最大，求出直线的解析式，设过点M与y轴平行的直线与相交于点N，表示出，再表示出的面积，然后利用二次函数的最值问题求出点M的横坐标以及的面积，最后求解即可；
（3）①连接，作于点M，证明即可；②作点D关于的对称点，作于点N． 求出直线的解析式，然后与二次函数解析式联立即可求解．
【详解】（1）∵．
∴抛物线顶点D的坐标为；
（2）令，则，解得，∴点，
令，则，
∴点C的坐标为
∴，
∴
∴的面积最大时四边形面积最大．
设直线的解析式为，
则，
∴，
∴．
设过点M与y轴平行的直线交于点N，，，
则，
，
∴当时，的面积最大，最大值为，
此时，，
所以，当点时，四边形面积最大，最大值为
（3）①连接，作于点M．
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点E与点D重合，
∴点E的坐标为，
②作点D关于的对称点，作于点N，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则，
解得，
所以，直线BD′的解析式为，
联立，
解得（为点B坐标，舍去），，
所以，点H的坐标为，
综上所述，点E的坐标为或时，．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标的求法，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数与几何综合，轴对称的性质，数形结合是解答本题的关键．
6．（2023·广东珠海·统考一模）如图，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点．点D为抛物线第四象限一动点，连接、、、．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求此时点D的坐标；
(3)在第（2）问的条件下，延长线段、交于点E．请判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)是等腰直角三角形，理由见详解
【分析】（1）直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）连接，设，由，得出，即可求出点D的坐标；
（3）先用待定系数法求出直线、的解析式，从而求出交点E的坐标，然后利用两点间距离公式求出、、的长，再根据勾股定理的逆定理，即可判断出的形状．
【详解】（1）设抛物线的解析式为，
∵抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）连接，
，
∵，，，
∴，，
∴，
设，
∵，
∴，
整理，得，
解得：，(舍去)，
∴；
（3）是等腰直角三角形，理由如下：
设直线的解析式为，
把，代入，得
，
解得：
∴，
设直线的解析式为，
把，代入，得
，
解得：
∴，
联立和得，
，
解得：，
∴，
又∵，，
∴，
，
，
∴，，
∴是等腰直角三角形．
【点睛】本题主要考查了待定系数法，三角形的面积，一次函数和二次函数的图象与性质，以及两点间的距离公式和勾股定理的逆定理，关键是灵活运用割补法表示出三角形的面积，以及利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
7．（2023春·上海·八年级专题练习）在边长为4的正方形中，点O是对角线的中点，P是对角线上一动点，过点P作于点F，作交直线CD于点E，设，．
(1)求证：；
(2)当点P在线段上时，求关于的函数关系式及自变量的取值范围；
(3)点P在运动过程中能否使为等腰三角形？如果能，请直接写出的长；如果不能，请简单说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)，
(3)能使为等腰三角形，或
【分析】（1）延长交于点G，根据正方形的性质和已知证明矩形，得出，然后证明，得出，即可得出结论；
（2）根据勾股定理求出，求出和，再求出三角形的面积即可；
（3）根据等腰三角形的性质，分两种情况分别计算即可．
【详解】（1）证明：延长交于点G，
∵正方形中，于点F，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得：，
∵，，
∴,
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，，
则，
∴，
∵，
∴ ；
（3）点P在运动过程中能使为等腰三角形；
当点E在边上时，
∵，若为等腰三角形，只能是，则，
∵，
∴，
∴，
于是点P在上，
又∵点P在上，
∴A与P重合，此时；
当点E在延长线上时，如图，若为等腰三角形，只能是，
设， 则，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴即；
综上所述，当或时，为等腰三角形．
【点睛】本题主要考查正方形的性质的综合运用，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，综合运用这些性质进行推理，同时注意对等腰的分类讨论是解题的关键．
8．（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）在平面直角坐标系中中，二次函数的图像与x轴交于点、，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点P是二次函数图像上位于线段上方的一个动点．
①如图，连接，，，交于点E，过点P作的平行线交于点Q，将与的面积比记为a，将与的面积比记为b，当有最大值时，求点P的坐标；
②已知点N是y轴上一点，若点N、P关于直线对称，求的长．
【答案】(1)
(2)①当点的坐标为时，有最大值；②
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）①求得的解析式为：，易知，，，过点作轴，，设与轴交于点，则，，可得，易证，，可得，，进而得，由题意得， ，，，当取最大值时，有最大值，设，，则，，即：当时，取最大值，进而求得点的坐标；
②由题意可知，点在点下方时，点关于直线的对称点在的左侧，不符合题意，点在点上方时，连接，交于，作轴，可知，设，则，，则，，，则，可知点的坐标为：，，代入函数表达式求解即可．
【详解】（1）解：将、，代入中可得：
，解得：，
∴二次函数的表达式为：；
（2）①当时，，则，设的解析式为：，
将，，代入可得：，解得：，
∴的解析式为：，
由题意可知，，则是等腰直角三角形，
∴，
∵，则，
∴，
∴，，
过点作轴，，设与轴交于点，则，，即：为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，，则，
又∵，，
∴，
则：，
，
则，即：，
∵， ，，
∴，
∴，则当取最大值时，有最大值，
设，，则，
∴，
即：当时，取最大值，此时点的纵坐标为1，
即：当点的坐标为时，有最大值；
②由题意可知，点在点下方时，点关于直线的对称点在的左侧，不符合题意，点在点上方时，连接，交于，作轴，
由对称可知，，，则，
∴，
∴
∵，，，
∴，
设，则，
∴，
则，
∴，则，
∴点的坐标为：，，即，
∵点在二次函数图象上，
∴，
解得：（舍去），，
∴．
【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定及性质，解直角三角形，熟练掌握相关性质，利用数形结合的思想是解决问题的关键．
9．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线BC的解析式为，直线BC交x轴和y轴分别于点B和点C，抛物线交x轴于点A和点B，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是第二象限抛物线上的点，连接PB、PC，设点P的横坐标为t，的面积为S．求S与t的函数关系式（不要求写出t的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，点D在线段上，连接PD、CD，，点F在线段BC上，，FE的延长线交x轴于点G，交PD于点E，连接CE，若，，，求点P的横出标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）通过A、B两点坐标求出二次函数中的b,c
（2）求出P点到底边BC的距离，再用三角形公式求解；
（3）添加辅助线，逐步证明；
【详解】（1）解：直线交x轴和y轴于点B和点C
令时，，即，
令时，，即，
∵点B、C在抛物线上，∴代入解析式可得：
，
解得：，
∴解析式为；
（2）过点P作x轴的垂线交BC延长线于点M，交x轴于点N，过点C作于R
∵P在抛物线上，P横坐标为t
∴，
∵M在直线BC上，∴，
∴，
，
即；
（3）由（1）得，，∴
又交x轴于点G，∴
即
又设，
又（已知）
（平角定义）
，
又
，
，
过点D作于R，如图所示
在中，，
，，
，
∵，，，
∴，
，，，
又，
作轴于M，于N，于T，如图所示
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形
∴，
设，则，如图所示：
∴，
在中，
解得：，，
∵，
∴，即，
∴不符合题意，应舍去；
当时，，
∴，
又点，
设直线的解析式为，则
，
解得：，
∴直线的解析式为：
，
∴或（舍），
∴P的横坐标是
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、动点问题中的三角形面积求解、三角形全等判定和性质、平角定义、一元二次方程的求解，掌握这些是本题关键．
10．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且．

(1)试求抛物线的解析式；
(2)直线与轴交于点，与抛物线在第一象限交于点，与直线交于点，记，试求的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，取最大值时，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内的一点，是否存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形？请直接写出满足条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)取得最大值，此时点的坐标为
(3)存在，满足条件的的坐标为或
【分析】（1）根据已知条件求得点的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）过点作轴交直线于，连接，先求得直线的解析式，设，则，可得，再由，根据相似三角形的性质及等高三角形的面积比等于底的比可得，利用二次函数的性质解决问题即可；
（3）存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形，分是矩形的边和是矩形的对角线两种情况求点的坐标．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
抛物线经过点，，，
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
（2）解：如图1，过点作轴交直线于，连接，
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
直线与轴交于点，
，
，
轴，即，
，
，
，
，
，
当时，取得最大值，此时点的坐标为；
（3）解：存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形．
①当是矩形的边时，有两种情形，
a、如图2﹣1中，四边形是矩形时，
由（2）可知，代入中，得到 ，
直线的解析式为，可得，，
由可得，
,
，
，
．
根据矩形的性质，将点向右平移个单位，向下平移1个单位得到点，
，即，
b、如图2﹣2中，四边形是矩形时，
直线的解析式为，，
直线的解析式为，
，
根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，
，即．
②当是对角线时，设，
则，，，
是直角顶点，
，
，
整理得，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，满足条件的的坐标为或．
【点睛】本题为二次函数压轴题，综合考查了二次函数、待定系数法、最大值问题、相似三角形、矩形等知识点．第（3）问涉及存在型问题，有一定的难度．在解题过程中，注意数形结合思想、分类讨论思想及方程思想等的应用．
11．（2023·山东济宁·统考一模）如图，抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，其中、，M是第二象限内抛物线上的一动点且横坐标为m，
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接BM，交线段AC于点D，求的最大值（其中符号S表示面积）；
(3)连接CM，是否存在点M，使得，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)的最大值为
(3)存在，
【分析】（1）代入点A和点B的坐标到二次函数解析式即可求解；
（2）和是等高的两个三角形，面积比的最大值即是底边的最大值，构造相似三角形，用m表示相似比求最大值即可；
（3）做辅助线构造等腰三角形可得二倍角关系，建立一次函数图像，与二次函数交点的横坐标即为所求．
【详解】（1）解：（1）分别代入、到抛物线解析式，
解得：；
故答案为：．
（2）设直线的解析式为，
将点和点代入中，
，
解得：，
直线的解析式为，
如图所示，过点M作轴交于于点G，过点A作交与点F，
G点的纵坐标与M点的纵坐标相同，
M为抛物线上的一点，
设M(m，)，
又G点在直线AC上，直线的解析式为，
，
，
又 ，
，
，
，
，
的最大值为．
故答案为：．
（3）过点C作轴，延长交x轴于点T．
，

，
，
，
为等腰三角形，
．
在中，，
，
，
，
设直线的解析式为，
将点和点代入中，
解得：，
直线的解析式为，
M是直线和抛物线的交点，，
令，
，
，
，
解得（舍去）或
故答案为：．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查的是待定系数求解析式，平行线分线段成比例定理的推论，角度的存在性等相关内容，解本题的关键在于是否能将面积比转化为线段比，解本题的难点在于是否能通过已知角度条件建立有关m的一次函数解析式.
12．（2023·海南海口·海口市第九中学校考二模）如图①，已知抛物线的图象经过点，．过点作轴交抛物线于点，的平分线交线段于点，连结．

(1)求抛物线的关系式并写出点的坐标；
(2)若动点在轴下方的抛物线上，连结、，当面积最大时，求出此时点横坐标；
(3)若将抛物线向上平移个单位，且其顶点始终落在的内部或边上，写出的取值范围；
(4)如图②，是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点，使成为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)的横坐标为；
(3)；
(4)存在，点P的坐标是：或或或
【分析】（1）利用待定系数法可得抛物线的解析式；
（2）过作 轴，交于点，设，，根据的解析式表示点的坐标，表示的长，根据面积和可得的面积，利用二次函数的最值可得其最大值；
（3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与的交点坐标、与的交点坐标，用含的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出的取值范围；
（4）存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明，根据，列方程可得点的坐标；同理可得其他图形中点的坐标．
【详解】（1）解：抛物线：的图象经过点，，
，
解得，
抛物线的解析式为：；
平分，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
（2）如图1，过作 轴，交于点，
设，
设直线的解析式为，把点，代入得，
，
解得，
直线的解析式为：，
，，
，


，
，
当 时，面积最大，
的横坐标为
（3）由，得抛物线的对称轴为直线，顶点为，，
抛物线向上平移个单位长度后顶点为，．
设直线交于点，交于点，则，，如图，
直线的解析式为：，
，，
点在内包括的边界，
，
解得；
（4）设，分四种情况：
①当在对称轴的左边，且在轴下方时，如图，过作轴，交轴于，交于，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
则，
解得： 或，
，不合题意，舍去，
，
此时 ，
的坐标为；
②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，
同理得：，
解得： 或 ，
，不合题意，舍去，
，
此时 ，
的坐标为；
③当在对称轴的右边，且在轴下方时，如图，过作轴于，过作于，
同理得，
，
则，
解得： 或 ，
，不合题意，舍去，
，
此时 ，
的坐标为；
④当在对称轴的右边，且在轴上方时，如图，
同理得，
解得： 或 舍，
的坐标为：；
综上所述，点的坐标是：或或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象与性质及图形的平移，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，运用分类讨论思想和方程的思想是解决问题的关键．
13．（2023·广东珠海·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，其中点的坐标为，与轴交于点．
(1)求抛物线和直线的函数表达式；
(2)点是直线上方的抛物线上一个动点，当面积最大时，求点的坐标；
(3)连接B和（2）中求出点P，点Q为抛物线上的一点，直线下方是否存在点Q使得？若存在，求出点Q的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，，
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为；直线的函数表达式为；
（2）过作轴交于，设，可得，故，根据二次函数性质可得答案；
（3）过作交的延长线于，过作轴，过作于，过作于，由，得是等腰直角三角形，可证明，从而，，即得，用待定系数法得直线函数表达式为，联立，即可解得的坐标为，．
【详解】（1）把，代入得：
，
解得，
抛物线的函数表达式为；
设直线的函数表达式为，把代入得：
，
解得，
直线的函数表达式为；
（2）过作轴交于，如图：
设，则，
，
，
，
当时，取最大值4，
此时的坐标为；
（3）直线下方存在点，使得，理由如下：
过作交的延长线于，过作轴，过作于，过作于，如图：
由（2）知，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
由，得直线函数表达式为，
联立，解得或，
的坐标为，．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
14．（2023·广西梧州·统考一模）如图1，在平面直角坐标系中，的顶点，点P为线段上的一动点（点P与点A，C不重合），过点P作交于点Q，将沿翻折，点A的对应点为点D，连接．设点P的坐标为
(1)当点D恰好落在上时，求点P的坐标；
(2)若与重叠部分面积S与点P横坐标t之间的函数解析式为，其图象如图2所示，求a、b的值；
(3)是否存在点P，使得为直角？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）由题意可得，．结合平行线的性质可得．由折叠的性质可得，，即可求出．又易求出直线的解析式为，由点D恰好落在上，可得出，进而可求出，，由此可列出关于t的等式，解出t的值即得出点P的坐标；
（2）由题意易求出直线的解析式为，直线的解析式为：．联立两个解析式，即可求出．分类讨论：当时，点D在内部，此时重叠部分面积为的面积，根据折叠的性质可知，即得出；当时，点D在外部，由图象可得当时，，代入中，解出b的值即可；
（3）过点Q和点B分别作的垂线，交于点M和延长线于点N，易求出，即得出，即．根据各点坐标可求出，，，，从而可列出关于t的等式，解出t的值即得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
由折叠的性质可得，，
∴．
∵，
∴直线的解析式为，
∵，
∴．
∵点D恰好落在上，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为；
（2）解：∵，
∴可设直线的解析式为，
∴，
解得：，
直线的解析式为．
∵，
∴直线的解析式为：．
联立，解得：，
∴．
当时，点D在内部，此时重叠部分面积为的面积，
由折叠可知，
∴；
当时，点D在外部，
由图象可得当时，，
∴，
解得：；
（3）解：如图，过点Q和点B分别作的垂线，交于点M和延长线于点N，
∵为直角，
∴
∵，
∴，
∴，即．
∵，，，，，
∴，，，，
∴，
解得：，（舍）．
∴存在，点P的坐标为．
【点睛】本题考查坐标与图形，折叠的性质，平行线的性质，一次函数的综合，二次函数的综合，解直角三角形等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
15．（2023·吉林长春·统考一模）在平面直角坐标系中，抛物线（a为常数），经过点，点Q在抛物线上，其横坐标为m，将此抛物线上P、Q两点间的部分（包括P、Q两点）记为图像G．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若点B是抛物线上一点，横坐标为1．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连结，求的面积．
(3)当抛物线的顶点是图像G的最高点，且图像G的最高点与最低点到x轴的距离和为定值时，求m的取值范围．
(4)已知点、、，顺次连接得到矩形，当图像G与该矩形的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)或．
【分析】（1）把点代入抛物线，用待定系数法即可求解；
（2）先求出点B的坐标是，点C的坐标是，，即可求出的面积；
（3）由得到图象G的最高点是，由点Q在抛物线上，其横坐标为m，点Q的纵坐标为，则点Q的坐标是，又由点，则图像G的最高点与最低点到x轴的距离和为是定值，当时，解得即可得到m的范围；
（4）分在抛物线顶点上方和在抛物线下方两种情况分别画图，列不等式组进行求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线（a为常数）经过点，
∴，
解得，，
∴抛物线解析式为．
（2）当时，，
∴点B的坐标是，
当时，，
解得、
∴点C的坐标是，
∴，
∴的面积为；
（3）∵，
∴图象G的最高点是，
∵点Q在抛物线上，其横坐标为m，
∴点Q的纵坐标为，
∴点Q的坐标是，
又∵点，
∴图像G的最高点与最低点到x轴的距离和为是定值，
当时，
解得
∴点Q的横坐标m的范围为，
即m的取值范围为．
（4）解：当图形G与该矩形的边有两个公共点时，
如图所示，当在抛物线顶点上方时，
可得，解得，
如图所示，当在抛物线顶点下方时，
可得，解得，
综上可知，m的取值范围是或．
【点睛】此题考查了二次函数和几何综合题，二次函数的图象和性质，待定系数法，不等式组等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键
16．（2023·广西贺州·统考一模）如图1，抛物线与轴交于A，B两点（点A在左侧），与y轴交于点C，点P为直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点D，
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)设点的横坐标为，请用含的式子表示线段的长；
(3)如图2，连接，交线段于点Q，连接PC，若的面积为，的面积为，则是否有最大值？如果有，请求出最大值；如果没有，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)有，
【分析】（1）令和，即可求得答案；
（2）求得直线的函数解析式，设点的横坐标为，则，，即可求得线段的长；
（3）过点作线段的垂线段，垂足为，利用面积公式求得，证明，推出关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：当时，，解得
当时，，
；
（2）解：设点的横坐标为，则
，
设直线的函数解析式为，
∴，
解得，
直线的函数解析式为
过点作轴交直线于点，
；
（3）解：过点作线段的垂线段，垂足为，
∵轴，
，
，
当时
故的最大值为．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、相似三角形的判定和性质的运用等，其中（3），要注意利用二次函数的性质求解．
17．（2023·辽宁辽阳·统考一模）如图，在平而直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)试求抛物线的解析式；
(2)直线与y轴交于点D，与抛物线在第一象限交于点P，与直线交于点M，记，试求m的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，m取最大值时，是否存在x轴上的点Q及坐标平面内的点N，使得P，D，Q，N四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有满足条件的Q点和N点的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)m的最大值，此时点P的坐标为
(3)存在，，；，
【分析】（1）根据已知条件求得点C的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）作轴于E，交于F，先证，根据相似三角形的性质可得，设，则，用n表示出的长，从而得到m、n的二次函数关系式，利用二次函数的性质解决问题即可；
（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形，分是矩形的边和是矩形的对角线两种情况求点N的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
∴，解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，
∴点，
如图1，过点P作轴交直线于E，连接，
设直线的解析式为，
∵，，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵直线与y轴交于点D，
∴，
∴，
∵轴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴当时，m取得最大值，此时点P的坐标为；
（3）解：存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．
①当是矩形的边时，有两种情形，
a、如图2-1中，四边形是矩形时，
有（2）可知，代入中，得到，
∴直线的解析式为，可得，
由可得，
∴，
∴，
∴，
∴．
根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，
∴，即
b、如图22中，四边形是矩形时，
∵直线的解析式为，，
∴直线的解析式为，
∴，
根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，
∴，即．
②当是对角线时，设，
则，，，
∵Q是直角顶点，
∴，
∴，
整理得，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，满足条件的，；，．
【点睛】本题为二次函数压轴题，综合考查了二次函数、待定系数法、最大值问题、相似三角形、矩形等知识点．第（3）问涉及存在型问题，有一定的难度．在解题过程中，注意数形结合思想、分类讨论思想及方程思想等的应用．
18．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，顶点是D．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标D；
(2)如图1，点是线段上的动点（不与B，D重合），轴于F，设四边形的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；
(3)如图2，将抛物线向下平移k个单位长度，平移后的顶点为，与x轴的交点是，．若的外心在该三角形的内部，直接写出k的取值范围．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【分析】（1）利用二次函数的双根式得抛物线的解析式，并根据顶点式求顶点；
（2）先求出直线的解析式，E在直线上，所以可表示出E的坐标，利用梯形面积公式，用x表示四边形的面积S，得二次函数，配方求最值；
（3）找临界条件，恰好是直角三角形，可求出k的值．
【详解】（1）把，和，代入
可得，解得，
故抛物线解析式为，，
故D的坐标为；
（2）由抛物线解析式可得，设所在直线的解析式为，
把，和，代入
可得，解得，
∴，
∴设．
由于四边形为梯形，
∴，
∵，
∴当时，S有最大值为．
（3）由题意得，为锐角三角形，
设平移后的抛物线解析式为，
当为直角三角形时，
根据抛物线对称性可知，为等腰直角三角形，
∵，
∴，，
将或代入
得或（三点重合，舍去），
∴．
【点睛】此题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值问题，图象的平移等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
19．（2023·福建漳州·统考一模）已知抛物线与轴交于点和点，对称轴是直线，与轴交于点，点在抛物线上（不与A，重合）．
(1)当时．
①求抛物线的解析式；
②点在直线的下方，且的面积最大，求此时点的坐标；
(2)若直线，分别与轴交于点、判断是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
【答案】(1)①；②
(2)是定值，3
【分析】（1）①将，对称轴为直线，代入求解即可得到答案；②设，直线的解析式为，解出直线解析式，过点作轴，交于点，用m表示出H点，列出面积关于m的解析式，利用函数性质即可得到答案；
（2）根据对称轴是直线，得到，，设点，求出直线、的解析式，求出D、E坐标，即可得到答案；
【详解】（1）解：①当时，二次函数的解析式为．
∵对称轴为直线，，
∴，
解得，
∴二次函数解析式为；
②设，直线的解析式为．
∵，，
∴解得
∴直线的解析式为．
过点作轴，交于点．
∴，
∴，
∴
，
∴当时，最大，
∴；
（2）解：是定值，理由如下，
∵对称轴是直线，，
∴，
∴，
∴，
设，
则直线的解析式为，
直线的解析式为，
∴，，
∴，
，
∴；
【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数动点最大面积问题，二次函数动点线段问题，解题的关键是作辅助线表示出点的坐标．
20．（2023·江苏常州·校考二模）已知：如图，抛物线交x轴于E、F两点，交y轴于A点，直线：交x轴于E点，交y轴于A点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若Q为抛物线上一点，连接，设点Q的横坐标为，的面积为S，求S与t函数关系式；（不要求写出自变量t的取值范围）
(3)在（2）的条件下，点M在线段上，点N是位于Q、E两点之间的抛物线上一点，，，且，求点N的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出一次函数解析式，再将代入二次函数解析式求解即可；
（2）利用梯形面积减去两个直角三角形的面积即可求解；
（3）先求出直线的解析式，分别过点Q，点N作x轴的垂线，分别过与点A，点M作的x轴的平行线分别交于点K，点H，过点M作x轴的垂线，垂足为G，通过证明，根据全等三角形的性质可得，设，建立方程求解即可．
【详解】（1）当时，，
∴，
将代入中，得，
∴，
∵，
将代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）令，
解得或，
∴，
∴，
过点Q作于B，如图，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
即；
（3）当时，解得（正值舍去），
当时，，
∴，
设直线的解析式为：，
∴，解得，
∴直线的解析式为：，
如图，分别过点Q，点N作x轴的垂线，分别过与点A，点M作的x轴的平行线分别交于点K，点H，过点M作x轴的垂线，垂足为G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，，
∴，
∴（负值舍去），
∴
∴．
【点睛】本题考查了求一次函数解析式，求二次函数解析式，全等三角形的判定和性质，二次函数与几何综合等，熟练掌握知识点是解题的关键．