中考数学二轮培优题型训练压轴题09二次函数与角度数量关系问题（2份，原卷版+解析版）

这是一份中考数学二轮培优题型训练压轴题09二次函数与角度数量关系问题（2份，原卷版+解析版），文件包含中考数学二轮培优题型训练压轴题09二次函数与角度数量关系问题原卷版doc、中考数学二轮培优题型训练压轴题09二次函数与角度数量关系问题解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共91页， 欢迎下载使用。

(1)若
①求直线的表达式；
②求证：；
(2)若二次函数（是常数，且）在第四象限的图象上，始终存在一点，使得，求出的取值范围．
【答案】(1)①，②见解析
(2)
【分析】（1）①当时，，则当时，，当时，，解得：，，得到，，，利用待定系数法求出直线的表达式即可；
②连接，，，，，由，则可得到，则，得到．则，求得，则，即可求得，，则由，即可得到结论；
（2）设在二次函数第四象限的图象上存在一点，使得，连接，交轴于点，求得，，由得，即可得到，则得到，进步求得a的取值范围．
【详解】（1）解：①当时，，
当时，，
当时，，
解得：，，
∴，，，
设直线的表达式为：，则
，
解得：，
∴直线的表达式为：
②连接，
∵，
∴，，，．
∵，．
∴．
∴，
∵A，关于直线对称，
∴．
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∵，
∴；
（2）如图，设在二次函数第四象限的图象上存在一点，使得，连接，交轴于点，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
即．
解得：，
∵，
∴．
【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的图象和性质、解直角三角形、解一元一次不等式等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
例2．（2023·辽宁鞍山·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于两点，直线恰好经过两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线上一动点，连接，若的面积为6，求点的坐标；
(3)点是抛物线上一动点，连接，若，直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)点的坐标为或
(3)点的坐标为或
【分析】（1）先求出点A和点C的坐标，然后用待定系数法求解即可；
（2）分点在直线的上方和点在直线的下方两种情况求解即可；
（2）分点E在x轴的上方和点E在x轴的下方两种情况求解即可．
【详解】（1）对于，当时，；当时，，
∴，
将两点坐标分别代入中，得
解得
∴抛物线的解析式为；
（2）如图1，当点在直线的上方时，
过点作轴的垂线，交直线于点，
设点，点，
则，
∵，
∴，解得或
∴点或；
如图2，当点在直线的下方时，
连接，
设点，
∵，
∴，
整理得
∵，
∴方程无实数根，
∴此种情况不存在，
综上，点的坐标为或；
（3）如图3，当点在x轴的上方时，在上取点G，使，作于点F，作于点H，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
设，
解得，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
设，
∴，
解得（舍去），，
∴，
∴；
如图4，当点E在x轴的下方时，
同理可求，
∴．
设，
∴，
解得（舍去），，
∴，
∴；
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求表达式，一次函数与坐标轴的交点，二次函数与几何综合，分类讨论思想等内容，数形结合是解答本题的关键．
例3．（2023·山东济宁·统考一模）如图，抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，其中、，M是第二象限内抛物线上的一动点且横坐标为m，
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接BM，交线段AC于点D，求的最大值（其中符号S表示面积）；
(3)连接CM，是否存在点M，使得，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)的最大值为
(3)存在，
【分析】（1）代入点A和点B的坐标到二次函数解析式即可求解；
（2）和是等高的两个三角形，面积比的最大值即是底边的最大值，构造相似三角形，用m表示相似比求最大值即可；
（3）做辅助线构造等腰三角形可得二倍角关系，建立一次函数图像，与二次函数交点的横坐标即为所求．
【详解】（1）解：（1）分别代入、到抛物线解析式，
解得：；
故答案为：．
（2）设直线的解析式为，
将点和点代入中，
，
解得：，
直线的解析式为，
如图所示，过点M作轴交于于点G，过点A作交与点F，
G点的纵坐标与M点的纵坐标相同，
M为抛物线上的一点，
设M(m，)，
又G点在直线AC上，直线的解析式为，
，
，
又 ，
，
，
，
，
的最大值为．
故答案为：．
（3）过点C作轴，延长交x轴于点T．
，

，
，
，
为等腰三角形，
．
在中，，
，
，
，
设直线的解析式为，
将点和点代入中，
解得：，
直线的解析式为，
M是直线和抛物线的交点，，
令，
，
，
，
解得（舍去）或
故答案为：．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查的是待定系数求解析式，平行线分线段成比例定理的推论，角度的存在性等相关内容，解本题的关键在于是否能将面积比转化为线段比，解本题的难点在于是否能通过已知角度条件建立有关m的一次函数解析式.
例4．（2023·山东济南·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过两点，与x轴的另一个交点为C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)D为直线上方抛物线上一动点．
①连接交于点E，若，求点D的坐标；
②是否存在点D，使得的度数恰好是的2倍？如果存在，请求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①D的坐标为或；②存在点D，使得，此时点
【分析】（1）分别令和代入中可得点和点的坐标,利用待定系数法求抛物线的函数解析式；
（2）①过点作轴于，交于点，证明，设点，，根据相似三角形性质建立方程求解即可；
②过点作轴，交抛物线于点，过点作轴，交于点，先证明，然后设点，应用三角函数定义建立方程求解．
【详解】（1）在中，令时，，
，
令时，，
，
,
把，代入中得：
，
解得：，
抛物线的函数解析式为：；
（2）①如图1，过点作轴于，交于点，
设点，，
，
轴，
，
，
，
，
，
，
即：，
，
解得：，，
点为直线上方抛物线上的点，
的坐标为或；
②存在点，使得，理由如下：
如图2，过点作轴，交抛物线于点，过点作轴，交于点，
，
，
，
在中，，，
，
，
设点，则，，
，
解得：，
点的坐标为；
存在点，使得，此时点．
【点睛】本题是二次函数的综合题，属于中考压轴题，考查了待定系数法求函数解析式的知识、相似三角形判定与性质、平行线的性质、三角函数定义以及两函数的交点问题．熟练掌握二次函数的性质，相似三角形性质与判定以及正确添加辅助线是解答此题的关键．
1．（2023春·广东汕头·九年级校考期中）如图1，抛物线与x轴交于点、点B，与y轴交于点C，顶点D的横坐标为1，对称轴交x轴于点E，交于点F．
(1)求顶点D的坐标；
(2)如图2所示，过点C的直线交线段于点M，交抛物线于点N．
①若直线将分成的两部分面积之比为2∶1，求点M的坐标；
②若，求点N的坐标．
(3)如图1，若点P为线段上的一动点，请直接写出的最小值．
【答案】(1)
(2)①或者，②
(3)
【分析】（1）将点A坐标代入函数关系式可得a与b 的方程，再根据顶点的横坐标为可得另一个关于a和b的方程，联立方程组求解即可得到a和b的值，进而求得抛物线的函数关系式，再将顶点的横坐标代入即可求得点D坐标；
（2）①如图，取的三等分点，过点分别作x轴，y轴的平行线分别交、x轴于点G、H、P、Q，通过证相似三角形可得点M的横纵坐标与点B、D的横纵坐标之间的数量关系，进而得解；②取线段的中点，连接，由中点坐标可得，根据等腰三角形的三线合一可得，再根据两条直线互相垂直可求得，与联立方程组可求得点M的坐标，再由，，利用待定系数法可得，最后将与联立方程组即可求得点N的坐标；
（3）作，过A点作于G点，交于点P，根据 ，可得在中，，即，根据A、P、G三点共线，可知此时最小，最小值为，问题随之得解．
【详解】（1）将代入可得①，
∵顶点的横坐标为，
∴，即②，
联立①②解得，
∴，
当时，，
；
（2）①由（1）得，
当时，，，
∴，即，
如图，取的三等分点，过点分别作x轴，y轴的平行线分别交、x轴于点G、H、P、Q，
则可得，，且相似比为，
∴，
，
，
同理可得：
∴点的坐标为：，；
②，
，
取线段的中点，作直线，
∵点，点，
∴中点G的坐标为，，
∵，
∴点、点、点G在线段的垂直平分线上，
∴，
∴设直线为，
将代入得，
∴①，
设直线为，
将坐标代入得，，
∴②，
联立①②可得，
∴，
设直线为，
将坐标代入得，，
∴③，
联立③与可得，（不合题意舍去），
∴，
故的坐标为；
（3）作，过A点作于G点，交于点P，如图，
∵，
∴在中，，
∴，
根据A、P、G三点共线，可知此时最小，最小值为，
∴，此时有最小值，
此时∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
即的最小值为．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用，相似三角形的判定及性质的应用以及解直接三角形等知识，能够根据题意做出正确的辅助线，利用数形结合思想进行转化是解决本题的关键．
2．（2023·上海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)点P为抛物线上一点，且在x轴下方，连接当时，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向平移，平移后点P的对应点为点Q，当平分时，求抛物线平移的距离．
【答案】(1)
(2)
(3)抛物线向下平移了个单位
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）设，如图1，过点P作轴于点D，连接可证得，建立方程求解即可得出答案；
（3）如图2，连接过点P作交于点E，过点E作于点F，可证得（AAS），得出：，，即，再利用待定系数法求得直线的解析式为再求得，即可求得抛物线平移的距离．
【详解】（1）∵抛物线与x轴交于点和点
∴
解得：，
∴该抛物线的表达式为，
当时，，
∴；
（2）
设，如图1，过点P作轴于点D，连接则
又
∵，
∴
∴，即
解得：（舍去），，
当时，
∴；
（3）
如图2，连接过点P作交于点E，过点E作于点F，
由（2）知：
，
∴，，，
∵将抛物线沿平行于y轴的方向平移，平移后点P的对应点为点Q，
∴D、P、Q在同一条直线上，
平分
，
又，
是等腰直角三角形，
（AAS），
，，
，
设直线的解析式为，则
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∵，
∴抛物线向下平移了个单位．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识点，正确添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．
3．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，动点在对称轴上，连接、、、．
(1)求点、、的坐标（用数字或含的式子表示）；
(2)当的最小值等于时，求的值及此时点的坐标；
(3)当取（2）中的值时，若，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)，，
(2)，
(3)点坐标为或
【分析】（1）将，，分别代入，计算求解即可；
（2）如图1，连接，由题意知，，则，可知当三点共线时，值最小，在中，由勾股定理得，由的最小值等于，可得，计算的值，然后得出的点坐标，待定系数法求直线的解析式，根据是直线与直线的交点，计算求解即可；
（3）由（2）知，则，，抛物线的对称轴为直线，勾股定理逆定理判断是直角三角形，且，记为直线与轴的交点，如图2，连接，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，由等边对等角可得，由三角形外角的性质可得，进而可得，即与重合，求此时的点坐标；过三点作，如图2，由同弧所对的圆周角相等可知与直线交点即为，设，由题意知，圆心在直线上，设圆心坐标为， 则，根据，可求值，根据，可求值，进而可得此时的点坐标．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，整理得，即，
解得，，
∴，，，
（2）解：如图1，连接，
由题意知，，
∴，
∴当三点共线时，值最小，
在中，由勾股定理得，
∵的最小值等于，
∴，
解得，
∴，，
∴抛物线的对称轴为直线，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，；
（3）解：∵，
∴，，抛物线的对称轴为直线，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
记为直线与轴的交点，如图2，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴与重合，即；
过三点作，如图2，由同弧所对的圆周角相等可知与直线交点即为，设，
由题意知，圆心在直线上，设圆心坐标为， 则，
∵，即，
解得，
∵，即，
解得，，
∴，
综上，点坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数与线段、角度综合，二次函数的图象与性质，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，同弧所对的圆周角相等，等边对等角，三角形外角的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
4．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图（1），抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且，若点D是直线（不与B，C重合）上一动点，过点D作x轴的垂线交抛物线于点E．
(1)求抛物线的解析式．
(2)连接，，当点D的横坐标为时，求证：．
(3)如图（2），若点F是y轴上的动点，是否存在点F，使以点C，D，E，F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)或或
【分析】（1）先求出，再利用待定系数法求解即可；
（2）求出直线的解析式为，进而求出，则，，即可得到，再证明，进而证明，即可得到；
（3）设，则，则，，，再分当为边时，则，当为对角线时，则，两种情况建立对应的方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
把代入抛物线解析式中得：，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）证明：设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，在中，时，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设，则，
∴，，，
当为边时，则，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴点D的坐标为或；
当为对角线时，则，
∴
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴点D的坐标为；
综上所述，点D的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，相似三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
5．（2023·山东济南·统考一模）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，连接．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点P是第三象限抛物线上一点，直线与y轴交于点D，的面积为12，求点P的坐标．
(3)抛物线上是否存在点Q使得？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）先由的面积求出的长，从而确定点坐标为，再由待定系数法求出直线的解析式，直线与抛物线的交点即为所求；
（3）根据题意当点Q在第一象限时，利用二次函数的对称性求解；当点Q在第四象限时，设与x轴交于点E，首先根据勾股定理求出点E的坐标，然后求出的解析式，最后联立直线和抛物线即可求出点Q的坐标．
【详解】（1）将，代入，
，
解得，
；
（2）令，则，
解得或，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
联立方程组，
解得或，
；
（3）如图所示，当点Q在第一象限抛物线上时，
∵
∴
∴点Q和点C关于对称轴对称
∵，
∴抛物线的对称轴为
∵
∴点Q的坐标为；
如图所示，当点Q在第四象限的抛物线上时，设与x轴交于点E
∵
∴
∴设
∵，
∴，
∴在中，，即
∴解得
∴
∴
∴设直线的解析式为
将，代入得，
∴解得
∴
∴联立直线和抛物线得，
∴解得
∴将代入得，
∴点Q的坐标为．
综上所述，点Q的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用是解题的关键．
6．（2023·广东东莞·校考一模）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，连接，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在第四象限的抛物线上，若的面积为4时，求点P的坐标；
(3)点M在抛物线上，当时，求点M的横坐标．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为
(3)或
【分析】（1）将、代入，列方程组并且解该方程组求出、的值，即可得到抛物线的解析式为；
（2）先求得，则，再求得直线的解析式为，作轴于点，交于点，设，则，所以，可求得，由，得，解方程求出的值即可；
（3）取点中，连接，则，，可证明，得，再证明，则，即可证明，再分两种情况讨论，一是点在轴的上方，则，可求得直线的解析式为，进而求得直线的解析式为，将其与抛物线的解析式联立方程组，即可求出此时点的横坐标；二是点在轴的下方，可求得直线的解析式为，将其与抛物线的解析式联立方程组，即可求出此时点的横坐标．
【详解】（1）抛物线经过点和点，
，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）抛物线，当时，则，
解得，（不符合题得，舍去），
，
，
设直线的解析式为，则，
解得，
直线的解析式为，
如图1，作轴于点，交于点，
设，，则，
，
，
，
，
解得，
点的坐标为．
（3）如图2，取点中，连接，则，，
，，
，
，
，
，
，
，
当点在轴的上方，设交轴于点，
，
，
∴，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
由，
得，
解得，（不符合题意，舍去），
点的横坐标为；
当点在轴的下方，设交轴于点，
直线，当时，，
，
，，，
，
，
，
设直线的解析式为，则，
解得，
直线的解析式为，
由，
得，
解得，（不符合题意，舍去），
点的横坐标为，
综上所述，点的横坐标为或．
【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题．
7．（2023·广东珠海·珠海市紫荆中学校考一模）如图1，经过原点O的抛物线为常数，与x轴相交于另一点．在第一象限内与直线交于点，抛物线的顶点为C点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点D，使得？若存在，求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点E是点B关于抛物线对称轴的对称点，点F是直线下方的抛物线上的动点，与直线交于点G．设和的面积分别为和，求的最大值．
【答案】(1)抛物线的解析式为；
(2)当点D的坐标为或时，使得；
(3)的最大值为．
【分析】（1）先求得点，再利用待定系数法即可求解；
（2）分点D在直线下方、上方两种情况，分别求解即可；
（3）如图，分别过点E，F作y轴的平行线，交直线于点M，N，则，，设，可表达，再利用二次函数的性质可得出结论．
【详解】（1）解：∵直线经过点，
∴，
∴点，
∵抛物线经过点和点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵抛物线，
∴顶点C的坐标为，
设直线的解析式为：，
则将，代入得，
，解得，
∴直线的解析式为：．
①当点D在直线的下方时，过点B作轴，交x轴于点F，延长，交于G，设交x轴于点E，如图，
∵，
∴，即，，
∵，
∴，
∴，
∴．
当时，，得：，
∴，
则，
∴，
同理求得直线的解析式为：，
联立：，解得或（舍去），
∴；
②当点D在直线的上方时，
∵，
∴，
∵直线的解析式为：，
∴直线的解析式为：，
联立：，解得：或（舍去），
∴．
综上，当点D的坐标为或时，使得；
（3）解：∵点与点E关于对称轴直线对称，
∴，
如图，分别过点E，F作y轴的平行线，交直线于点M，N，
∴，，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴当时，的最大值为．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积和全等三角形的判定及性质，解题的关键正确表达两个三角形面积的比．
8．（2023·湖南长沙·湘府中学校考一模）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图2，M是抛物线顶点，的外接圆与x轴的另一交点为D，与y轴的另一交点为E．
①求；
②若点N是第一象限内抛物线上的一个动点，在射线上是否存在点P，使得与相似？如果存在，请求出点P的坐标；
(3)点Q是拋物线对称轴上一动点，若为锐角，且，请直接写出点Q纵坐标的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②存在，或或或
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①法一：先求出，，进而利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明，则是外接圆的直径，设的中点为F，圆心，再根据对称性求出，得到，过E作于H，求出，，解直角三角形得到，，则；法二：设外接圆与x轴的另一交点为D，同理可得，证明，再由是直径，得到，则；②求出，，，，解直角三角形得到，由于为锐角，要使得与相似，情况1：，根据相似三角形的性质得到或，点P作轴于Q，解直角三角形得到，由勾股定理求出或，进而求出点P的坐标即可情况2：，同理求出或，同理可得或．
（3）得抛物线对称轴为直线，取点，证明当时，点Q在以K为圆心，为半径的圆上，此时，即可得到，同理可得当取时，是直角三角形，即，再根据锐角三角形的定义即可得到答案．
【详解】（1）解：将A，B两点坐标直接代入解析式有，
解得，，
∴拋物线的解析式为．
（2）解：①法一：∵抛物线解析式为，
∴，
把代入，得，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴是外接圆的直径，
设的中点为F，
∴圆心，
∵，，
∴点F在垂直平分线上，即点F的纵坐标于中点的纵坐标相同
∴，
∴，
过E作于H，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴在中，；
法二：设外接圆与x轴的另一交点为D，
同法一：可得是外接圆的直径，，，
∴
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴．
②，，，，
在中，，
在中，
∴，
∴，
又∵点N在射线上，
∴为锐角，要使得与相似，
情况1：，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴：，
又∵与相似，
∴或
∴或，
∴或，
∴或，
过点P作轴于Q，
∴，即，
由勾股定理得，
∴或，
解得或，
当时，，则，
∴；
当时，，则，
∴；
情况2：，
∴，
∴，
又∵与相似，
∴或
∴或，
∴或
∴或，
同理可得或．……
综上所述，点P的坐标为或或或．
（3）解：由（2）得抛物线对称轴为直线，取点，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，即，
∴当时，点Q在以K为圆心，为半径的圆上，
∴此时，
∴，
同理可得当取时，是直角三角形，即，
∵为锐角，且，
∴，
∴或．
【点睛】本题主要考查了二次函数与圆综合，解直角三角形，勾股定理与勾股定理得逆定理，相似三角形的性质等等，正确作出辅助线并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
9．（2023春·福建泉州·九年级福建省永春第一中学校考期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），直线与抛物线交于C，D两点（点D在第一象限）．
(1)如图，当点C与点A重合时，求抛物线的函数表达式；
(2)在（1）的条件下，连接，点E在抛物线上，若，求出点E的坐标；
(3)将抛物线L向上平移1个单位得到抛物线，抛物线的顶点为P，直线与抛物线交于M，N两点，连接，若，求a的值．
【答案】(1)
(2)；
(3)
【分析】（1）令，则，求得，，将代入，解得，进而可得抛物线的表达式；
（2）联立，求得，，设直线的函数表达式为，待定系数法求得直线的函数表达式为：，①当直线时，可以得到，求直线的表达式为，联立，求解；②如图1，过点D作轴于点F，则，，，如图1，记，连接，则，可得，则直线与抛物线的交点即为点，求直线的函数关系式为，联立，求解即可；
（3）由题意得，抛物线，直线，设抛物线与直线两个交点M，N的坐标分别为，，联立得，可得，，，，P点坐标为，如图2，过点M，N分别作过点P的水平线的垂线，垂足分别为G，H，证明，则，，不妨设，则，整理得，求解满足要求的值即可．
【详解】（1）解：令，则，
解得，，
∴，，
将代入，解得，
∴，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：联立，解得， ，
∴，，
设直线的函数表达式为，
将 坐标代入得，，解得，
∴直线的函数表达式为：，
①当直线时，可以得到，
设直线的表达式为，
将，代入得：，解得，
∴直线的表达式为，
联立，解得，，
∴；
②如图1，过点D作轴于点F，则，，
∴，
如图，记，连接，则，
∴，
∴，
∴直线与抛物线的交点即为点，
设直线的函数关系式为，
将代入得，，解得，
∴直线的函数关系式为，
联立，解得，，
∴；
综上所述，，；
（3）解：由题意得，抛物线，直线，
设抛物线与直线两个交点M，N的坐标分别为，，
联立，得：，
∴，，，，P点坐标为，
如图2，过点M，N分别作过点P的水平线的垂线，垂足分别为G，H，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
不妨设，则；即，
将，，；，，代入整理得，
解得，（不合题意，舍去），
∴．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数图象的平移，二次函数与角度综合，相似三角形的判定与性质，正切，一元二次方程根与系数的关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
10．（2023·辽宁沈阳·校联考一模）如图，△ABC的三个顶点坐标分别为，，，抛物线经过的三个顶点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点M是抛物线在第一象限上一点．
①连接与相交于点E，即将分为两个三角形，若这两个三角形的面积之比为时，则点M的坐标为_______，直线的函数表达式为_______；
②将沿着x轴正方向平移，当点B与点M重合时停止，点A的对应点为，点O的对应点为点，求出与重合部分的图形的周长；
(3)在抛物线的对称轴上取一点K，连接，使，延长交抛物线于点P，连接，动点Q从C点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度运动，是否存在某一时刻，使？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①当点M的坐标为时，直线的解析式为；当点M的坐标为时，直线的解析式为；②
(3)或或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①如图所示，过点E作轴于F，先证明，得到，求出，由将分为两个面积为的三角形，可得或，
当时，则，利用相似三角形的性质得到，则，求出直线的解析式为，联立， 即可求出点M的坐标为；同理可得当时，直线的解析式为，点M的坐标为；②根据题意可得点B与点M关于抛物线对称轴对称，即可求出，则，设分别与交于，由平移的性质得到，即可求出，解直角三角形求出，则；求出直线的解析式为，同理可求得直线的解析式为
联立， 求出，利用勾股定理求出，，则与重合部分的图形的周长；
（3）如图3-1所示，当点K在x轴上方时，过点K作轴于T，过点P作轴于H，连接，先求出点P的坐标，再证明，在中，由勾股定理建立方程求解即可；同理当点K在x轴下方时，求出对应的t的值即可．
【详解】（1）解：把，，代入抛物线解析式中得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：①如图所示，过点E作轴于F，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵将分为两个面积为的三角形，
∴或，
当时，则，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，解得或（舍去），
∴点M的坐标为；
同理可得当时，直线的解析式为，点M的坐标为；
综上所述，当点M的坐标为时，直线的解析式为；当点M的坐标为时，直线的解析式为；
②∵将沿着x轴正方向平移，当点B与点M重合时停止，
∴点B与点M关于抛物线对称轴对称，
∵抛物线对称轴为直线，，
∴；
∴，
设分别与交于，
∵是由平移得到的，
∴，
∴，，
在中，，
在中，；
∴；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
同理可求得直线的解析式为
联立，解得，
∴，
∴，，
∴与重合部分的图形的周长
；
（3）解：如图3-1所示，当点K在x轴上方时，过点K作轴于T，过点P作轴于H，连接，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，解得或（舍去），
∴，
∴，
∴；
∵A、C关于对称，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，即；
如图3-2所示，当点K在x轴下方，且点Q在点P右侧时，
同理可得直线解析式为，
联立，解得或（舍去），
∴，
∴，
∴；
同理可证，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，即；
∴，
由对称性可知，当点Q运动到点G，此时时，也满足题意，
∴；
综上所述，t的值为或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
11．（2023春·山东威海·九年级统考阶段练习）抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D为第一象限内抛物线上的一动点，作轴于点E，交于点F，过点F作的垂线与抛物线的对称轴、x轴、y轴分别交于点G，N，H，设点D的横坐标为m．
①当取最大值时，求点F的坐标；
②连接，若，求m的值．
【答案】(1)
(2)①点F的坐标为；②1或
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）①先求得直线的解析式，设，，则，进一步计算，利用二次函数的性质进而求解；
②由得到，推出，进而求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①当时，
∴点．
设直线的解析式为，
将代入得，解得，
∴直线的解析式为．
设点D的横坐标为m，则，，
∵，
∴．
作轴于点K，直线与轴交于点，
∵，
∴．
∴．
∴
．
∴当时，取最大值．
将代入，得．
∴点F的坐标为；
②作轴于点M．
∵轴，轴，，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵的对称轴为直线，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
可求得．
在中，

．
∵，
∴．
解得，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，这是解题的关键．
12．（2023·广东梅州·统考一模）已知二次函数，关于x的方程有下列四个命题：①是方程的根 ②是方程的根 ③该方程两根和为4 ④该方程两根同号，若其中只有1个命题为假命题，将向左平移个单位，向下平移个单位得到函数．
(1)求函数与的解析式；
(2)如题图所示，已知与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C．点P是抛物线上位于直线BC下方一动点，当时，求点P的坐标；
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）通过观察①②③可知，若①②为真命题，则两根之和为，与③的命题相斥，故在①②③中存在假命题，由题意在四个命题中仅有一个假命题，故可以确定④为真命题．由④为真命题为结论可知这两个根应为同号，故①②与命题④相斥，故命题①②中存在假命题，故命题③为真命题；在③为真命题的情况下，若②为真命题，可知方程的另一个根为7，与命题④相斥，故命题②为假命题，则命题①为真命题，故方程的两个根应为或，进而得到的函数解析式为，再根据函数图像平移法则可知 ；
（2）作点C关于x轴的对称点，连接，如图所示，由条件得到，从而确定，进而利用一次函数的平行关系得到直线CP的解析式为，联立，消去得方程，求解即可得到答案．
【详解】（1）解：通过观察①②③可知，若①②为真命题，则两根之和为，与③的命题相斥，故在①②③中存在假命题，由题意在四个命题中仅有一个假命题，故可以确定④为真命题．由④为真命题为结论可知这两个根应为同号，故①②与命题④相斥，故命题①②中存在假命题，故命题③为真命题；在③为真命题的情况下，若②为真命题，可知方程的另一个根为7，与命题④相斥，故命题②为假命题，则命题①为真命题，故方程的两个根应为或．
的函数解析式为
根据函数图像平移法则可知，将向左平移个单位，向下平移个单位得到函数 ；
（2）解：作点C关于x轴的对称点，连接，如图所示：
，，
，
，
，
抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，
，，
，
设直线的解析式为：，
把，代入得，解得，
直线的解析式为，
，
设直线CP的解析式为，
把代入得，
直线CP的解析式为，
联立，消去可得，解得，（舍去），
．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及命题真假判断、待定系数法求函数解析式、二次函数与直线交点问题等知识，熟练掌握函数综合题型的解题方法是解决问题的关键．
13．（2023·山西·山西实验中学校考模拟预测）综合与探究
如图1，经过原点的抛物线与轴的另一个交点为，直线与抛物线交于，两点，已知点的横坐标为1，点为抛物线上一动点．
(1)求出，两点的坐标及直线的函数表达式．
(2)如图2，若点是直线上方的抛物线上的一个动点，直线交直线于点，设点的横坐标为，求的最大值．
(3)如图3，连接，抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，；
(2)最大值为：；
(3)或．
【分析】（1）令可得的坐标，把代入抛物线的解析式可得的坐标，再利用待定系数法求解的解析式即可；
（2）如图，过作轴交于，记于轴的交点为，则，可得，再建立，利用二次函数的性质可得答案；
（3）如图，过作轴于，而，可得，过作轴于，可得，再解方程可得答案．
【详解】（1）解：令，
∴，
解得：，，
∴，
∵点的横坐标为1，
∴，
∴；
设为，
∴，
解得：，
∴直线为；
（2）如图，过作轴交于，记于轴的交点为，
则，
∴，
∵点的横坐标为，则，
∴，
∴，
把代入，则，
∴，
∴，
当时，最大，
最大值为：；
（3）如图，连接，，过作轴于，而，
∴，
∵，
∴，

∵，
∴，，
过作轴于，
∴，
当时，解得：，经检验符合题意；
∴，即，
当时，解得：，经检验符合题意；
∴，即，
综上：或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，二次函数的性质与坐标轴的交点，相似三角形的判定与性质，锐角的正切的应用，分式方程的解法，掌握以上知识并灵活应用，注意分类讨论是解本题的关键．
14．（2023·辽宁铁岭·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点D的坐标为，并与x轴交于点A，点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上一点（不与点D重合），直线将的面积分成两部分，求点P的坐标；
(3)点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度在y轴运动，运动时间为t秒，当时，求t的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）根据题意可设抛物线的表达式为：，再把点B的坐标代入，求a，即可；
（2）先求出，然后分两种情况讨论：当点P在点D的右侧时；当点P在点D的左侧时，分别求出对应的直线的表达式，即可求解；
（3）在线段上取点N，使，连接，可得，从而得到，过点N作于点H，先求出，在中，可得 ，从而得到，
进而得到，然后分两种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：∵顶点D的坐标为，
∴可设抛物线的表达式为：，
将点B的坐标代入上式得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：令，，
解得：，
∴点，
∴，
当点P在点D的右侧时，设直线交x轴于点T，如图，
∵直线将的面积分成两部分，
∴将的面积分成两部分，
即点T将分为两部分，
∴，
∴，
即点，
设直线的表达式为：，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的表达式为：，
联立：
解得：或，
∴此时点P的坐标为；
当点P在点D的左侧时，同理得，直线的表达式为：，
联立，解得：或，
∴点P的坐标为，
综上，点P的坐标为或；
（3）解：如图，在线段上取点N，使，连接，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点N作于点H，
∵，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
当点Q在x轴下方时，
∴，
∴点Q的坐标为，
∴，
∵点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度在y轴运动，
∴；
当点Q在x轴上方时，
同理得，点Q的坐标为，
∴，
∵点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度在y轴运动，
∴；
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，三角形的面积问题，解直角三角形，利用分类讨论思想和数形结合思想解答是解题的关键．
15．（2023·江苏徐州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴分别交于点、，与y轴交于点C．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)若点P是该二次函数图象上的动点，且P在直线的上方，
①如图1，当平分时，求点P的坐标；
②如图2，连接交BC于E点，设，求k的最大值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）作轴，在上截取，则，证明，可证平分，求出的解析式，与二次函数解析式联立即可求出点P的坐标；
（3）作，交于点N，证明，结合，可求出，则当取得最大值时，k值最大，设，求出直线的解析式，可得，进而可求出结论．
【详解】（1）把、代入，得
，
∴，
∴；
（2）①令中，得，
∴．
作轴，在上截取，则，
连接交抛物线于点P，则P满足．
∵，，
∴，
∵轴，
∴．
∵，，
∴，
∴，即平分．
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
∵
解得（舍去），．
当时，，
∴；
②作，交于点N，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴当取得最大值时，k值最大．
设，
∵，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
则M为，
∴
∴当时，有最大值，
∴k有最大值．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，难度较大，属中考压轴题，数形结合是解答本题的关键．
16．（2023春·湖南长沙·九年级校联考阶段练习）已知抛物线：，将抛物线向右平移个单位，向上平移个单位得抛物线．
(1)抛物线的解析式为： ；
(2)如图，抛物线与轴正半轴交于点A，直线经过点，交抛物线于另一点在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图，的顶点、在抛物线上，点在点右边，两条直线、与抛物线均有唯一公共点，、均与轴不平行若的面积为，设、两点的横坐标分别为、，求与的数量关系．
【答案】(1)
(2)存在，点的坐标是
(3)
【分析】（1）利用二次函数平移的规律求出平移后的二次函数的顶点坐标即可求解；
（2）设直线交轴于，求出点的坐标，过作交轴于，利用勾股定理求出，由待定系数法求出的解析式，根据平行线的性质求出的解析式，联立抛物线即可求解；
（3）设点坐标，设直线的函数解析式，将点坐标代入，与联立，根据题意可得．从而表示出的解析式，同样得出的解析式，从而得出点坐标，进而求得的长，根据三角形面积可得，的关系式．
【详解】（1）抛物线，
其顶点坐标为，
将抛物线向右平移1个单位，向上平移2个单位得抛物线，
抛物线的顶点坐标为，
的解析式为，
故答案为：；
（2））如图1，设直线交轴于，过作交轴于，
，
，
，
，
，
抛物线与轴正半轴交于点，的解析式为，
当时，，解得或，
，
直线经过点，
，解得，
直线，
，
，
设，则，
在中，，
，解得，
，，
设的解析式为，
，解得，
的解析式为，
，
设的解析式为，
，解得，
的解析式为，
联立抛物线得，
解得或，
存在，点的坐标是，；
（3）如图2，过点作轴交于，
设的解析式是，
，
，
，
，
由得，
，
直线抛物线有唯一公共点，
，
，
，
同理可得：直线的解析式是，
，
，
，，
，，
的解析式是，
当时，，
，
，
，
．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数及其图象性质，一次函数及其图象性质，一元二次方程与二次函数之间的关系等知识，解决问题的关键是熟练掌握函数的相关知识．
17．（2023·湖北黄冈·校考二模）如图，已知抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，点P抛物线上一动点（P与C不重合）．
(1)求点A、C的坐标；
(2)当时，抛物线上是否存在点P（C点除外）使？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)当时，过点P作轴于点Q，求的长．
【答案】(1)，
(2)存在，
(3)2
【分析】（1）分别求出时，的值、以及时，的值即可得出答案；
（2）先根据三角形的面积公式求出的值，再过点作轴于点，根据可得，利用正切的定义求解即可得；
（3）先根据平行线的性质可得，从而可得，再设点的坐标为，则，根据正切的定义可得，从而可得，由此即可得．
【详解】（1）解：抛物线开口向上，
，即，
当时，，
则点的坐标为，
当时，，解得或，
抛物线与轴负半轴交于点，
点的坐标为．
（2）解：由（1）可知，，，，
，
，
，
，
解得，
，
由题意可知，点只能在轴的上方，如图，过点作轴于点，
设点的坐标为，则，
，
，
，即，
整理得：，
解得或，
经检验，是所列方程的解，不是所列方程的解，
，
则点的坐标为，
所以抛物线上存在点（点除外）使，此时点的坐标为．
（3）解：，
，
，
，
，
设点的坐标为，则，
，
，
解得，
，
又，
．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、正切、一元二次方程的应用等知识点，熟练掌握二次函数的性质和正切的定义是解题关键．
18．（2023春·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A、B（A在B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线l，点P是抛物线上位于点B、C之间的动点．
(1)求的度数；
(2)若，求点P的坐标；
(3)已知点，若点在抛物线上，且；
①仅用无刻度的直尺在图2中画出点Q；
②若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)①见解析；②2023
【分析】（1）先求出点A、B、C的坐标，得到，则是等腰直角三角形，即可得到结论；
（2）延长与y轴相交于点M，作于点N，先求出，再利用等积法求出，勾股定理求出，则，得到，再证明，则，即可得到，得到点，利用待定系数法求出直线的解析式为，与抛物线解析式联立，进一步即可得到点P的坐标；
（3）①在y轴上找到点，用无刻度直尺连接，则与抛物线的交点即为点Q；
②求出抛物线的对称轴为，由点，点且的，，则，即，得，由，则，把和代入即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，，
∴点C的坐标是，
∴，
当时，，解得，
∴点A的坐标是，点B的坐标是，
∴,
∴,
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（2）延长与y轴相交于点M，作于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，将，代入得，
，
解得,
∴直线的解析式为，
联立得，
解得或（舍去），
∴点P的坐标是；
（3）①在y轴上找到点，用无刻度直尺连接，则与抛物线的交点即为点Q，
②∵抛物线的对称轴为，点，点且，
∴，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴
【点睛】此题是二次函数综合题，考查了抛物线与坐标轴的交点坐标、勾股定理、解直角三角形、待定系数法求一次函数解析式、整式的混合运算等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
19．（2023·山东青岛·统考一模）如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)为线段上一点（不与点，重合），过点作轴于点，交抛物线于点，若，求点的坐标．
(3)是第四象限内抛物线上一点，已知，则点的坐标为______．
【答案】(1)
(2)点的坐标为
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的表达式即可；
（2）利用待定系数法求出直线的表达式为，设，则点为，点为，由得关于a的方程，解方程求得a的值，即可得到点的坐标；
（3）设交轴于点，由得到，设，则，在中，利用勾股定理列方程解得，得到点．利用待定系数法求出直线的表达式为，与抛物线的表达式联立，进一步即可得到点P的坐标．
【详解】（1）将，代入，
得，
解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）设直线的表达式为，将点，代入，
得，
解得，
∴直线的表达式为．
∵点在线段上，
∴设，
∴点的坐标为，点的坐标为．
∵，
∴，
整理得，
解得，（舍），
当时，，
∴点的坐标为．
（3）设交轴于点，
∵，
∴．
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴．
设直线的表达式为，将点，代入，
得，
解得，
∴直线的表达式为．
令，
解得（舍），，
将代入中，
，
∴．
【点睛】此题是二次函数与几何综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数与一次函数交点问题、勾股定理、等角对等边等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
20．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过B、C两点，与x轴的另一个交点为A．
(1)如图1，求b、c的值；
(2)如图2，点P是第一象限抛物线上一点，直线AP交y轴于点D，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，E是直线BC上一点，，的面积S为，求E点坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据一次函数的解析式，求出两点的坐标，再利用待定系数法，求出b、c的值即可；
（2）过点P作轴于点H，易得，得到，求出的长，进而得到的长，利用，即可得出结果；
（3）法一：先求出点坐标，过点P作轴于点L，过点A作，且，连接，过点A作y轴的平行线，过点M作点K，交y轴于点N，易证，进而推出点坐标，求出直线的解析式，联立直线的解析式，两条直线的交点坐标即为点坐标；
法二：法二：过点A作，交延长线于点K，过点P作轴，过点K作，交延长线于点L，过点K作轴于点M，易证，求出点坐标，进而求出直线的解析式，联立直线的解析式，两条直线的交点坐标即为点坐标．
【详解】（1）直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，当时，；当时，；
，．
将点B、C的坐标代入抛物线中，可得：
，
解得；
∴；
（2）解：由（1）得抛物线的解析式为，则：，
当时，，
解得：，
，
过点P作轴于点H，则：，，
∴，
∵，
∴，
，
即：
整理得：，
∵，
∴，
．
（3）法一：
，
，
∴，
过点P作轴于点L，过点A作，且，连接，过点A作y轴的平行线，过点M作点K，交y轴于点N，
则：，
∴，
∴，
，，，
，
设直线的函数关系式为：，
则：，解得：，
直线的函数关系式为，
∵，
∴E为直线与直线的交点，
联立，解得：，
∴E点坐标为；
法二：过点A作，交延长线于点K，过点P作轴，过点K作，交延长线于点L，过点K作轴于点M，则：，，四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，，
∴四边形为正方形，
设，
，
，，
，，
，
设直线的函数关系式为：，
则：，解得：，
∴直线，
∵E为直线与直线的交点，
联立，解得：，
∴E点坐标为．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．属于常见的中考压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想和二次函数的性质进行求解，是解题的关键．