中考数学二轮培优题型训练压轴题21以函数新定义为背景阅读材料压轴题（2份，原卷版+解析版）

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例1．（2023•义乌市校级模拟）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y图象的“2阶方点”．
（1）在①（﹣2，）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y图象的“1阶方点”的有 ②③ （填序号）；
（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
【分析】（1）根据定义进行判断即可；
（2）在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，结合图象求a的值即可；
（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可．
【解答】解：（1）①（﹣2，）到两坐标轴的距离分别是2，，
∵2＞1，1，
∴（﹣2，）不是反比例函数y图象的“1阶方点”；
②（﹣1，﹣1）到两坐标轴的距离分别是1，1，
∵≤1，1≤1，
∴（﹣1，﹣1）是反比例函数y图象的“1阶方点”；
③（1，1）到两坐标轴的距离分别是1，1
∵1≤1，1≤1，
∴（1，1）是反比例函数y图象的“1阶方点”；
故答案为：②③；
（2）∵当x＝3时，y＝ax﹣3a+1＝a（x﹣3）+1＝1，
∴函数经过点（3，1），
如图1，在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，
由图可知，C（2，﹣2），D（2，2），
∵一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点D时，a＝﹣1，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点C时，a＝3，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
综上所述：a的值为3或﹣1；
（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，
如图2，当n＞0时，A（n，n），C（﹣n，﹣n），B（n，﹣n），D（﹣n，n），
当抛物线经过点B时，n＝1；
当抛物线经过点D时，n＝﹣1（舍）或n；
∴n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象有“n阶方点”；
综上所述：当n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在．
【点评】本题属于二次函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，将所求问题转化为正方形与函数图象的交点问题是解题的关键．
例2．（2023•西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，我们给出如下定义：将图形M绕直线x＝3上某一点P顺时针旋转90°，再关于直线x＝3对称，得到图形N，我们称图形N为图形M关于点P的二次关联图形．已知点A（0，1）．
（1）若点P的坐标是（3，0），直接写出点A关于点P的二次关联图形的坐标 （2，3） ；
（2）若点A关于点P的二次关联图形与点A重合，求点P的坐标（直接写出结果即可）；
（3）已知⊙O的半径为1，点A关于点P的二次关联图形在⊙O上且不与点A重合．若线段AB＝1，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在⊙O及其内部，求此时P点坐标及点B的纵坐标yB的取值范围．
【分析】（1）根据题意画出图形，过点A′作A′D⊥x轴于点D，可得△AOP≌△PDA′，可求出点A′的坐标，进而可得点A′′的坐标；
（2）分析可知，当点P在x轴上方时，不存在，则点P在x轴下方，根据题意作出图形，设出点P的纵坐标为m，表达点A′的坐标，可得出结论；
（3）由（2）可知，点A′′的坐标，由A关于点P的二次关联图形在⊙O上且不与点A重合可得出点A′′的坐标，由线段AB＝1，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在⊙O及其内部，找到临界点B′′，可得出B′′的坐标，进而可得出点B的坐标，即可得出yB的取值范围．
【解答】解：（1）如图1，根据二次关联图形的定义分别找到A′和A′′，过点A′作A′D⊥x轴于点D，
∴∠A′DP＝∠AOP＝90°，
由旋转可知，∠APA′＝90°，AP＝A′P，
∴∠APO+∠A′PD＝∠A′PD+∠PA′D＝90°，
∴∠APO＝∠PA′D，
∴△AOP≌△PDA′（AAS），
∴OA＝PD＝1，OP＝A′D＝3，
∴A′（4，3），
∴A′′（2，3）；
故答案为：（2，3）；
（2）分析可知，点P在x轴的下方，设点P的纵坐标为m，
如图2，过点P作PE⊥y轴于点E，过点A′作A′F⊥x轴交EP于点F，
由（1）知△AEP≌△PFA′（AAS），
∴AE＝PF＝1﹣m，EP＝A′F＝3，
∴A′（4﹣m，3+m），
由题意可知，点A与点A′关于直线x＝3对称，
∴4﹣m＝6，3+m＝1，
解得m＝﹣2，
∴P（3，﹣2）；
（3）由（2）知A′（4﹣m，3+m），
∴A′′（m+2，3+m），
∵点A′′在⊙O上，
∴（m+2）2+（3+m）2＝1，
解得m＝﹣2（舍）或m＝﹣3；
∴P（3，﹣3），如图3，
∵线段AB＝1，
∴点B在以点A为圆心，1为半径的圆上，
若AB其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在⊙O及其内部，如图3，可知点B′′是一个临界点，
连接OB，
∵OA′′＝A′′B′′＝OB′′＝1，
∴△OA′′B′′是等边三角形，
过点B′′作B′′M⊥x轴于点M，则A′′M＝OM，B′′M，
∴B′′（，），
∴B′（，），
∴B（，），
由对称性可知，另外一点的坐标为（，），
∴yB的取值范围为：0≤yB．
【点评】本题属于新定义类问题，主要考查轴对称最值问题，等边三角形的性质与判定，圆的定义等相关知识，关键是理解给出新定义，画出对应的图形．
例3．（2022•婺城区模拟）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，作该函数y轴右侧部分关于y轴的轴对称图形，与原函数y轴的交点及y轴右侧部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数的“新生函数“例如：图①是函数y＝x+1的图象，则它的“新生函数“的图象如图②所示，且它的“新生函数“的解析式为y，也可以写成y＝|x|+1．
（1）在图③中画出函数y＝﹣2x+l的“新生函数“的图象．
（2）函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有三个公共点，求m的值．
（3）已知A（﹣1，0），B（3，0），C（3，﹣2），D（﹣1，﹣2），函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边恰好有4个交点，求n的取值范围．
【分析】（1）根据定义画出函数图象即可；
（2）画出函数图象，结合图象可知，当直线y＝﹣x+m经过（0，2）时，有3个公共点；函数y＝x2﹣2x+2（x＞0）与直线y＝﹣x+m有一个交点时，即m时有3个公共点；根据临界情况可知，m＝2或m时，函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有三个公共点；
（3）画出函数图象，结合图象可知，当y＝x2+2nx+2经个点A时，n，此时有3个交点；当y＝x2﹣2nx+2的顶点在CD上时，n＝2，此时有5个交点；根据临界情况可得n＜2时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有4个交点；当y＝x2﹣2nx+2经过点C时，n，此时有5个交点，根据临界情况可得n时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有4个交点．
【解答】解：（1）如图：
（2）如图：y＝x2﹣2x+2与y轴的交点为（0，2），
当直线y＝﹣x+m经过（0，2）时，m＝2，此时函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有3个公共点；
当x2﹣2x+2＝﹣x+m时，x2﹣x+2﹣m＝0有两个相等的实数根时，Δ＝1﹣8+4m＝0，
解得m，
此时函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有3个公共点；
∴m或m＝2时，函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有三个公共点；
（3）如图3，当y＝x2+2nx+2经个点A时，1﹣2n+2＝0，
解得n，
当n时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有3个交点；
当y＝x2﹣2nx+2的顶点在CD上时，2，
解得n＝2或n＝﹣2（舍），
当n＝2时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有5个交点；
∴n＜2时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有4个交点；
如图4，当y＝x2﹣2nx+2经过点C时，9﹣6n+2＝﹣2，
解得n，
当n时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有5个交点，
∴n时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有4个交点；
综上所述：n＜2或n时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边有4个交点．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，根据定义，能够画出正确的函数图象，根据函数图象能能够找到临界情况是解题的关键．
1．（2023•信阳模拟）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线x＝m，对于任意一个函数，作该函数自变量大于m的部分关于直线x＝m的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x＝m的“镜面函数”．例如：图①是函数y＝x+1的图象，则它关于直线x＝0的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为y，也可以写成y＝|x|+1．
（1）在图③中画出函数y＝﹣2x+1关于直线x＝1的“镜面函数”的图象．
（2）函数y＝x2﹣2x+2关于直线x＝﹣1的“镜面函数”与直线y＝﹣x+m有三个公共点，求m的值．
（3）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a＜0），关于直线x＝0的“镜面函数”图象上的两点 P（x1，y1），Q（x2，y2），当t﹣1≤x1≤t+1，x2≥4时，均满足y1≥y2，直接写出t的取值范围 ﹣3≤t≤3 ．
【分析】（1）根据“镜面函数”的定义画出函数y＝﹣2x+1的“镜面函数”的图象即可；
（2）分直线y＝﹣x+m过“镜面函数”图象与直线x＝﹣1的交点和与原抛物线相切两种情况求解即可；
（3）根据题意可作出对应的函数图象，再根据二次函数的性质可得出关于t的不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，即为函数函数y＝﹣2x+1关于直线x＝1的“镜面函数”的图象，
（2）如图，
对于y＝x2﹣2x+2，当x＝0时，y＝2，
∴函数y＝x2﹣2x+2与y轴的交点坐标为（0，2），
当直线y＝﹣x+m经过点（﹣1，5）时，m＝4；
此时y＝x2﹣2x+2关于直线x＝﹣1的“镜面函数”与直线y＝﹣x+m有三个公共点，
当直线y＝﹣x+m与原抛物线只有一个交点时，则有：﹣x+m＝x2﹣2x+2，
整理得，x2﹣x+2﹣m＝0，
此时，Δ＝（﹣1）2﹣4（2﹣m）＝0，
解得，m，
y＝0时，Δ＝（﹣1）2﹣4（2﹣m）＞0，
综上，m的值为4或；
（3）根据题意可知，该抛物线的“镜面函数”为：y，
函数图象如图所示：
当x2＝4时，如图，点Q关于直线x＝2的对称点为Q′（0，y2），关于x＝0的对称点为Q′′（﹣4，y2），
若 当t﹣1≤x1≤t+1，x2≥4时，均满足y1≥y2，
则需满足，
解得﹣3≤t≤3．
故答案为：﹣3≤t≤3．
【点评】本题考查二次函数的综合应用；理解并运用新定义“镜面函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键．
2．（2022•零陵区模拟）九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的“旋转函数”．
小组同学是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参照小组同学的方法解决下面问题：
（1）函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”是 y＝﹣x2﹣4x﹣3 ；
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，求（m+n）2022的值；
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试求证：经过点A1，B1，C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【分析】（1）由二次函数的解析式可得出a1，b1，c1的值，结合“旋转函数”的定义可求出a2，b2，c2的值，此问得解；
（2）由函数y＝5x2+（m+1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，可求出m，n的值，将其代入（m+n）2021即可求出结论；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C的坐标，结合对称的性质可求出点A1，B1，C1的坐标，由点A1，B1，C1的坐标，利用交点式可求出过点A1，B1，C1的二次函数解析式，由两函数的解析式可找出a1，b1，c1，a2，b2，c2的值，再由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0可证出经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【解答】（1）解：由函数y＝x2﹣4x+3知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，
∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，
∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，
∴y＝﹣x2﹣4x﹣3，
故答案为：y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）解：根据题意得：，解得，
∴（m+n）2022＝（3﹣2）2022＝1；
（3）证明：化简y＝2（x﹣1）（x+3）得y＝2x2+4x﹣6，
则A、B、C三点的坐标分别为A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣6），
∴A、B、C三点关于原点对称的点坐标分别为A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6），
∴经过A1、B1、C1三点的函数解析式为y＝﹣2x2+4x+6，
∴y＝﹣2x2+4x+6与原函数y＝2（x﹣1）（x+3）是旋转函数．
【点评】本题考查了二次函数综合运用，涉及到函数与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、对称的性质以及二次函数图象与几何变换，解题的关键是：（1）利用“旋转函数”的定义求出a2，b2，c2的值；（2）利用“旋转函数”的定义求出m，n的值；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出过点A1，B1，C1的二次函数解析式．
3．（2022•长沙县校级三模）规定：如果两个函数图象上至少存在一组点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“O—函数”．这组点称为“XC点”．例如：点P（1，1）在函数y＝x2上，点Q（﹣1，﹣1）在函数y＝﹣x﹣2上，点P与点Q关于原点对称，此时函数y＝x2和y＝﹣x﹣2互为“O—函数”，点P与点Q则为一组“XC点”．
（1）已知函数y＝﹣2x﹣1和y互为“O—函数”，请求出它们的“XC点”；
（2）已知函数y＝x2+2x+4和y＝4x+n﹣2022互为“O—函数”，求n的最大值并写出“XC点”；
（3）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与y＝2bx+1互为“O—函数”有且仅存在一组“XC点”，如图，若二次函数的顶点为M，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）其中0＜x1＜x2，AB，过顶点M作x轴的平行线l，点P在直线l上，记P的横坐标为，连接OP，AP，BP．若∠OPA＝∠OBP，求t的最小值．
【分析】（1）设P（a，b）在y＝﹣2x﹣1上，则Q（﹣a，﹣b）在y上，由此得到方程组，求解方程组即可；
（2）设P（s，t）在y＝x2+2x+4上，则Q（﹣s，﹣t）在y＝4x+n﹣2022上，由此得到方程组，整理得n＝﹣（s﹣1）2+2019，当s＝1时，n有最大值2019，再求“XC点”即可；
（3）设P（x，y）在y＝ax2+bx+c上，则Q（﹣x，﹣y）在y＝2bx+1上，由此可得方程组，整理得ax2﹣bx+c+1＝0，由题意可得Δ＝b2﹣4a（c+1）＝0，即1，从而得到顶点M的纵坐标为﹣1，又由根与系数的关系可得x1+x2，x1•x2，则AB，整理得，证明△POA∽△BOP，得到OP2＝OB•OA＝x1•x2，可得t+1（c﹣1）2，所以当c＝1时，t有最小值．
【解答】解：（1）设P（a，b）在y＝﹣2x﹣1上，则Q（﹣a，﹣b）在y上，
∴，
解得或，
∴“XC点”为（﹣2，3）与（2，﹣3）或（，﹣4）与（，4）；
（2）设P（s，t）在y＝x2+2x+4上，则Q（﹣s，﹣t）在y＝4x+n﹣2022上，
∴，
∴n＝﹣t+4s+2022＝﹣s2+2s+2018＝﹣（s﹣1）2+2019，
当s＝1时，n有最大值2019，
此时“XC点”为（1，7）与（﹣1，﹣7）；
（3）设P（x，y）在y＝ax2+bx+c上，则Q（﹣x，﹣y）在y＝2bx+1上，
∴，
整理得ax2﹣bx+c+1＝0，
∵有且仅存在一组“XC点”，
∴Δ＝b2﹣4a（c+1）＝0，即1，
∴顶点M的纵坐标为﹣1，
∵ax2+bx+c＝0，
∴x1+x2，x1•x2，
∴AB，
∵AB，
∴，
∴，
∵∠OPA＝∠OBP，∠AOP＝∠POB，
∴△POA∽△BOP，
∴OP2＝OB•OA＝x1•x2，
∵P的横坐标为，
∴P（，﹣1），
∴t+1（c﹣1）2，
∴当c＝1时，t有最小值．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，一元二次方程根与系数的关系，弄清定义是解题的关键．
4．（2022•顺德区校级三模）我们把一个函数图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数的不动点．
（1）请直接写出函数y＝2﹣x的不动点M的坐标；
（2）若函数y有两个关于原点对称的不动点A，B，求a的值；
（3）已知函数y＝ax2+（b+1）x+（b﹣1），若对任意实数b，函数恒有两个相异的不动点，请直接写出a的取值范围．
【分析】（1）设函数y＝2﹣x的不动点M为（m，m），根据定义得到2﹣m＝m，求出m即可求M点坐标；
（2）由题意可知AB所在直线解析式为y＝x，联立方程组，再由根与系数的关系得3﹣a＝0，即可求a的值；
（3）由题意可得ax2+（b+1）x+（b﹣1）＝x，则Δ＝b2﹣4ab+4a＞0恒成立，对于关于b的一元二次不等式恒成立，只需Δ＝16a2﹣16a＜0即可．
【解答】解：（1）设函数y＝2﹣x的不动点M为（m，m），
∴2﹣m＝m，
解得m＝1，
∴M（1，1）；
（2）∵A、B关于原点对称，且是函数的不动点，
∴AB所在直线解析式为y＝x，
联立方程组，
整理得，x2+（a﹣3）x﹣8＝0，
∴3﹣a＝0，
∴a＝3；
（3）由题意可知，ax2+（b+1）x+（b﹣1）＝x，
整理得，ax2+bx+（b﹣1）＝0，
∵函数恒有两个相异的不动点，
∴Δ＝b2﹣4a（b﹣1）＞0，
∴b2﹣4ab+4a＞0恒成立，
∴关于b的一元二次不等式恒成立，
∴Δ＝16a2﹣16a＜0，
解得0＜a＜1．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，弄清定义，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，判别式Δ与根的关系是解题的关键．
5．（2022•长沙二模）如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“CJ三角形”．
（1）判断下列三角形是否为“CJ三角形”？如果是，请在对应横线上画“√”，如果不是，请在对应横线上画“×”；
①其中有两内角分别为30°，60°的三角形 × ；
②其中有两内角分别为50°，60°的三角形 × ；
③其中有两内角分别为70°，100°的三角形 √ ；
（2）如图1，点A在双曲线y（k＞0）上且横坐标为1，点B（4，0），C为OB中点，D为y轴负半轴上一点，若∠OAB＝90°．
①求k的值，并求证：△ABC为“CJ三角形”；
②若△OAB与△OBD相似，直接写出D的坐标；
（3）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，E为BC边上一点，BE＞CE且△ABE是“CJ三角形”，已知A（﹣6，0），记BE＝t，过A，E作抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），B在A右侧，且在x轴上，点Q在抛物线上，使得tan∠ABQ，若符合条件的Q点个数为3个，求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式．
【分析】（1）①三角形中最小的两个角的和是90°，则三角形不是“CJ三角形”；
②三角形中最小的两个角的和大于90°，则三角形不是“CJ三角形”；
③三角形中最小的两个角分别为10°和70°，则三角形是“CJ三角形”；
（2）①利用勾股定理求k的值即可，确定k的值可知∠ABO＝30°，∠BAC＝30°，再根据定义证明即可；
②分两种情况讨论：当∠ABO＝∠OBD时，△OAB∽△DOB，D（0，）；当∠ABO＝∠ODB时，△OAB∽△BOD，D（0，﹣4）；
（3）过点E作EM⊥x轴交于M，过点C作CN⊥x轴交于N，求出E（4t，t），由于△BEA是“CJ三角形”，分两种情况讨论：当∠CAE＝∠EAB时，E（0，3）t＝5；当∠CAE＝∠CBA时，t（不合题意）；则可求tan∠ABQ，BQ与y轴的交点为（0，2）或（0，﹣2），经过B（4，0），（0，﹣2）的直线yx﹣2与抛物线有唯一交点，联立方程组，得到Δ＝（b）2﹣4a（c+2）＝0①，将A（﹣6，0），E（0，3）代入y＝ax2+bx+c，得到②，联立①②可求函数的解析式．
【解答】解：（1）①∵两内角分别为30°，60°，
∴30°+60°＝90°，
∴三角形不是“CJ三角形”，
故答案为：×；
②∵两内角分别为50°，60°，
∴50°+60°＝110°＞90°，
∴三角形不是“CJ三角形”，
故答案为：×；
③∵两内角分别为70°，100°，
∴三角形的另一个内角是10°，
∵2×10°+70°＝90°，
∴三角形是“CJ三角形”，
故答案为：√；
（2）①∵点A在双曲线y（k＞0）上且横坐标为1，
∴A（1，k），
∵点B（4，0），C为OB中点，
∴C（2，0），
∵∠OAB＝90°，
∴OA2+AB2＝OB2，
∴1+k2+9+k2＝16，
解得k＝±，
∵k＞0，
∴k，
∴AO＝2，
∴∠ABO＝30°，
∵C为OB中点，
∴AC＝BC＝OC，
∴∠CAB＝∠ABC＝30°，
∴2∠ABC+∠CAB＝90°，
∴△ABC是“CJ三角形”；
②∵∠OAB＝90°，∠ODB＝90°，
∴∠ABO＝∠OBD或∠ABO＝∠ODB，
当∠ABO＝∠OBD时，△OAB∽△DOB，
∴，即，
解得OD，
∴D（0，）；
当∠ABO＝∠ODB时，△OAB∽△BOD，
∴，即，
解得OD＝4，
∴D（0，﹣4）；
综上所述：D点坐标为（0，）或（0，﹣4）；
（3）∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∵A（﹣6，0），
∴B（4，0），
过点E作EM⊥x轴交于M，过点C作CN⊥x轴交于N，
∵sin∠CBA，cs∠CBA，EB＝t，
∴EMt，BMt
∴E（4t，t），
∵△ABE是“CJ三角形”，
∴∠CAE＝∠EAB或∠CAE＝∠CBA，
当∠CAE＝∠EAB时，CE＝EM，
∴8﹣tt，
解得t＝5，
∴E（0，3）；
当∠CAE＝∠CBA时，tan∠CBA，
解得t，
∵BE＞CE，
∴t＞8﹣t，
∴t＞4，
∴t不合题意；
∵tan∠ABQ，
∴tan∠ABQ，
∵OB＝4，
∴BQ与y轴的交点为（0，2）或（0，﹣2），
设经过B（4，0），（0，﹣2）的直线解析式为y＝kx+m，
∴，
解得，
∴yx﹣2，
∵a＞0，符合条件的Q点个数为3个，
∴直线yx﹣2与抛物线有唯一交点，
∴联立方程组，
∴整理得，ax2+bxx+c+2＝0，
∴Δ＝（b）2﹣4a（c+2）＝0①，
将A（﹣6，0），E（0，3）代入y＝ax2+bx+c，
∴②，
联立①②可得，
∴抛物线的解析式为yx2x+3．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定及性质，弄清定义是解题的关键．
6．（2022•滨海县模拟）如图1，直线l：y＝kx+b（k＜0，b＞0）与x、y轴分别相交于A、B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A、B、D的抛物线W叫做直线l的关联抛物线，而直线l叫做抛物线W的关联直线．
（1）已知直线l1：y＝﹣3x+3，求直线l1的关联抛物线W1的表达式；
（2）若抛物线，求它的关联直线l2的表达式；
（3）如图2，若直线l3：y＝kx+4（k＜0），G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若，求直线l3的关联抛物线W3的表达式；
（4）在（3）的条件下，将直线CD绕着C点旋转得到新的直线l4：y＝mx+n，若点P（x1，y1）与点Q（x2，y2）分别是抛物线W3与直线l4上的点，当0≤x≤2时，|y1﹣y2|≤4，请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）分别将x＝0、y＝0代入11：y＝﹣3x+3，求出B、A两点坐标，根据旋转的性质可得OD＝OB，由此求出D的坐标，再用待定系数法求W1的表达式；
（2）令y＝0，可求得A、D的坐标，结合旋转的性质求出B的坐标，再利用待定系数法求12的表达式；
（3）连接OG、OH，易得△OGH是等腰直角三角形，由此计算出OG，再由直角三角形斜边上的中线的性质可得AB的长，利用勾股定理求出OA，从而得点A的坐标，再利用待定系数法求W3的表达式；
（4）由（3）得C（0，2），故l4：y＝mx+2，当0≤x≤2时，|y1﹣y2|≤4，只需，|y1﹣y2|max≤4，分析抛物线W3与直线l4的位置关系，确定当0≤x≤2时，|y1﹣y2|≤的最大值在什么位置取得，从而对，|y1﹣y2|≤4进行转化，求出m的范围．
【解答】解：（1）11：y＝﹣3x+3，
∵当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3）；
当y＝0时，即﹣3x+3＝0，解得x＝1，
∴A（1，0），
由旋转的性质可知，OD＝OB＝3，
∴D（﹣3，0）．
设W1的解析式为y＝ax2+bx+c，
则，
解得：，
∴W1：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）W2：y＝﹣x2﹣x+2，
令y＝0，即﹣x2﹣x+2＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝1，
∴D（﹣2，0），A（1，0），
有旋转的性质可知，OB＝OD＝2．
∴B（0，2），
设l2的解析式为y＝k2x+b2，
则，
解得，
∴l2：y＝﹣2x+2；
（3）连接OG、OH，有旋转的性质可知OG＝OH，∠GOH＝90°，
∴△GOH是等腰直角三角形，
又∵MG＝MH，
∴MG＝OM，
在Rt△OGM中，OG，
在Rt△AOB中，AG＝BG，
∴AB＝2OG＝2，
13：y＝kx+4，当x＝0时，y＝4，
∴点B（0，4），即OB＝4．
由旋转的性质可知，OD＝OB＝4，
∴点D（﹣4，0）．
在Rt△AOB中，OA2，
∴A（2，0），
设W3的解析式为y＝a3x2+b3x+c3，
则，
解得，
∴W3：yx2﹣x+4；
（4）由旋转的性质可知，OC＝OA＝2．
∴C（0，2），
∵l4：y＝mx+n经过点C（0，2），
∴n＝2，即l4：y＝mx+2．
根据题意可知，当0≤x≤2时，|y1﹣y2|≤4，
分析W3与l4的位置关系可知，只需当x＝2时，|y1﹣y2|≤4即可，
∴|（22﹣2+4）﹣（2m+2）|≤4，即|2m+2|≤4，
∴﹣4≤2m+2≤4，
解得：﹣3≤m≤1．
∴m的取值范围是：﹣3≤m≤1．
【点评】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，待定系数法求一次函数、二次函数解析式，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，一元一次不等式，旋转的性质，二次函数的性质与应用，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点并灵活运用．
7．（2022•淮安二模）我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数y＝x2的图象上，存在一点P（﹣1，1），则P为二次函数y＝x2图象上的“互反点”．
（1）分别判断y＝﹣x+3、y＝x2+x的图象上是否存在“互反点”？如果存在，求出“互反点”的坐标；如果不存在，说明理由．
（2）如图①，设函数y（x＜0），y＝x+b的图象上的“互反点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为5时，求b的值；
（3）如图②，Q（m，0）为x轴上的动点，过Q作直线l⊥x轴，若函数y＝﹣x2+2（x≥m）的图象记为W1，将W1沿直线l翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）由定义可知，函数与y＝﹣x的交点即为“互反点”；
（2）求出A（，），B（b，b），可得S△ABC|b|×|b|＝5，求出b的值；
（3）函数y＝﹣x2+2关于直线x＝m的对称抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2m）2+2，联立方程组，当Δ＝0时，m，因此当m时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；函数y＝﹣x2+2与直线x＝m的交点为（m，﹣m2+2），当点（m，﹣m2+2）在直线y＝﹣x上时，解得m＝﹣1或m＝2，结合图象可知：﹣1＜m＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”．
【解答】解：（1）y＝﹣x+3中，x+y＝3，
∴y＝﹣x+3的图象上不存在“互反点”；
y＝x2+x中，当y＝﹣x时，﹣x＝x2+x，
解得x＝0或x＝﹣2，
∴（0，0），（﹣2，2）是y＝x2+x的图象上的“互反点”；
（2）y（x＜0）中，当y＝﹣x时，﹣x，
解得x，
∴A（，），
y＝x+b中，当y＝﹣x时，﹣x＝x+b，
解得xb，
∴B（b，b），
∴BC＝|b|，
∴S△ABC|b|×|b|＝5，
解得b＝4或b＝﹣2；
（3）函数y＝﹣x2+2关于直线x＝m的对称抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2m）2+2，
由定义可知，“互反点”在直线y＝﹣x上，
联立方程组，
整理得x2﹣（4m+1）x+4m2﹣2＝0，
Δ＝（4m+1）2﹣4（4m2﹣2）＝0，
解得m，
当m时，y＝﹣（x﹣2m）2+2与y＝﹣x没有交点，此时y＝﹣x与y＝﹣x2+2有两个交点，
∴m时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；
当x＝m时，y＝﹣m2+2，
∴函数y＝﹣x2+2与直线x＝m的交点为（m，﹣m2+2），
当点（m，﹣m2+2）在直线y＝﹣x上时，﹣m2+2＝﹣m，
解得m＝﹣1或m＝2
当m＝﹣1时，W1，W2两部分组成的图象上恰有3个“互反点”，
∴m＞﹣1时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；
当m＝2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有1个“互反点”，
∴m＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；
∴﹣1＜m＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；
综上所述：﹣1＜m＜2或m时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，数形结合，分类讨论是解题的关键．
8．（2022•石家庄三模）抛物线L：y＝x2﹣2bx+c与直线a：y＝kx+2交于A、B两点，且A（2，0）．
（1）求k和c的值（用含b的代数式表示c）；
（2）当b＝0时，抛物线L与x轴的另一个交点为C．
①求△ABC的面积；
②当1≤x≤5时，则y的取值范围是 ﹣3≤y≤21 ．
（3）抛物线L：y＝x2﹣2bx+c的顶点M（b，n），求出n与b的函数关系式；当b为何值时，点M达到最高．
（4）在抛物线L和直线a所围成的封闭图形的边界上把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当b＝﹣20时，直接写出“美点”的个数 90 ；若这些美点平均分布在直线y＝kx的两侧，k的取值范围： k或1＜k ．
【分析】（1）将点A（2，0）分别代入抛物线L和直线a解析可得出结论；
（2）①由b＝0可得出c＝﹣4，令y＝0，可得出x的值，进而可得出点C的坐标，联立抛物线L和直线a的解析式，可得出点B的坐标，再根据三角形的面积公式可得出结论；
②根据二次函数的性质可得出当1≤x≤5时，抛物线的增减性，进而可得出y的取值范围；
（3）将抛物线L的解析式化为顶点式，可得出n的值，进而可得出n与b的函数关系式，根据二次函数的性质可得出结论；
（4）求出抛物线与直线的交点，在其范围内，根据抛物线解析式和直线解析式的特点确定“美点”的个数；根据题意若这些美点平均分布在直线y＝kx的两侧，则直线y＝kx在点B和（﹣42，m）之间，由此求出k的值，进而得出结论．
【解答】解：（1）将点A（2，0）代入直线a：y＝kx+2，
∴2k+2＝0，
∴k＝﹣1；
将点A（2，0）代入抛物线L：y＝x2﹣2bx+c，
∴4﹣4b+c＝0，
∴c＝4b﹣4；
综上，k＝﹣1，c＝4b﹣4；
（2）①当b＝0时，c＝﹣4，
∴抛物线L的解析式为：y＝x2﹣4．
令y＝0，则x＝﹣2或x＝2，
∴C（﹣2，0），
令x2﹣4＝﹣x+2，解得x＝2或x＝﹣3，
∴B（﹣3，5）．
∴S△ABC•AC•yB4×5＝10．
②当1≤x≤5时，函数y随x的增大而增大，
当x＝1时，y＝﹣3，
当x＝5时，y＝21，
∴当1≤x≤5时，y的取值范围为：﹣3≤y≤21．
故答案为：﹣3≤y≤21．
（3）∵抛物线L：y＝x2﹣2bx+4b﹣4＝（x﹣b）2﹣b2+4b﹣4，
∴抛物线的顶点为M（b，n），
∴n＝﹣b2+4b﹣4＝﹣（b﹣2）2，
∵﹣1＜0，
∴当b＝2时，n的最大值为0，此时点M达到最高．
综上，n＝﹣b2+4b﹣4，当b＝2时，此时点M达到最高．
（4）当b＝﹣20时，
抛物线L：y＝x2+40x﹣84，
直线a：y＝﹣x+2，
由x2+40x﹣84＝﹣x+2得，x1＝2，x2＝﹣43，
∴抛物线L与直线a的交点是（2，0）和（﹣43，45），
当﹣43≤x≤2时，
在L和a上的边界上，当横坐标x是整数时，纵坐标y也是整数，
∴“美点”共有：46×2﹣2＝90个；
当y＝kx过点B时，直线y＝kx下方有44个，直线上方有45个，
此时﹣43k＝45，解得k；
当y＝kx过点（﹣42，44）时，直线y＝kx下方有45个，上方有44个，
此时﹣42k＝44，解得k；
当y＝kx过点（1，1）时，直线y＝kx下方有44个，直线上方有45个，
此时k＝1，解得k＝1；
当y＝kx过点（﹣41，﹣43）时，直线y＝kx下方有45个，上方有44个，
此时﹣41k＝﹣43，解得k；
∴若这些美点平均分布在直线y＝kx的两侧，k的取值范围：k或1＜k．
故答案为：90；k或1＜k．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，新定义“美点”，二次函数的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
9．（2023春•雨花区期中）约定：如果函数的图象经过点（m，n），我们就把此函数称作“（m，n）族函数”．比如：正比例函数y＝2x的图象经过点（1，2），所以正比例函数y＝2x就是“（1，2）族函数”．
（1）①以下数量关系中，y不是x的函数的是 BE （填选项）
②以下是“（﹣1，1）族函数”的是 AEF （填选项）
A.
B．|y|＝x
C．y＝x2+2x﹣4
D．y＝|x|+1
E．y2＝﹣x
F．y＝2x+3
（2）已知一次函数y＝kx﹣k+1（k为常数，k≠0）．
①若该函数是“（，4）族函数”，求k的值．
②无论k取何值，该函数必经过一定点，请写出该定点的坐标．
（3）已知一次函数y＝2x+4和y＝﹣x+1都是“（m，n）族函数”．当m≤x≤1时，一次函数y＝kx+b的函数值y恰好有，求该一次函数的解析式．
【分析】（1）①根据函数的定义即可求解；
②将点（﹣1，1）代入各选项函数解析式中即可解答；
（2）①将点（，4）代入一次函数y＝kx﹣k+1中，即可求解；
②函数解析式可变形为y＝k（x﹣1）+1，令x﹣1＝0即可求解；
（3）由题意可知一次函数y＝2x+4的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象的交点为（m，n），联立两函数解析式，求得交点为（﹣1，2），即m＝﹣1，n＝2，进而得到当﹣1≤x≤1时，一次函数y＝kx+b的函数值y恰好有2≤y≤4，再分k＞0或k＜0两种情况，当k＞0时，此时一次函数过点（﹣1，2），（1，4）；当k＜0时，此时一次函数过点（﹣1，4），（1，2）；再分别根据待定系数法即可求解．
【解答】解：（1）①对于B选项，|y|＝x，则x与y不是唯一对应关系，不符合函数定义，即y不是x的函数，
对于E选项，y2＝﹣x，则x与y不是唯一对应关系，不符合函数定义，即y不是x的函数，
故答案为：BE；
②A．∵，∴是“（﹣1，1）族函数”，
B．∵1≠﹣1，∴|y|＝x不是“（﹣1，1）族函数”，
C．∵1≠1﹣2﹣4，∴y＝x2+2x﹣4不是“（﹣1，1）族函数”，
D.1≠1+1，∴y＝|x|+1不是“（﹣1，1）族函数”，
E.1＝﹣（﹣1），∴y2＝﹣x是“（﹣1，1）族函数”，
F.1＝﹣2+3，∴y＝2x+3是“（﹣1，1）族函数”，
故答案为：AEF；
（2）①∵一次函数y＝kx﹣k+1（k为常数，k≠0）是“（，4）族函数”，
∴4k+1，
解得：k＝﹣2；
②∵y＝kx﹣k+1＝k（x﹣1）+1，
令x﹣1＝0，则x＝1，y＝1，
∴无论k取何值，该函数必经过一定点（1，1）；
（3）∵一次函数y＝2x+4和y＝﹣x+1都是“（m，n）族函数”，
∴一次函数y＝2x+4的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象的交点为（m，n），
联立得：，
解得：，
∴交点为（﹣1，2），
∴m＝﹣1，n＝2，
∵当m≤x≤1时，一次函数y＝kx+b的函数值y恰好有，
∴当﹣1≤x≤1时，一次函数y＝kx+b的函数值y恰好有2≤y≤4，
①当k＞0时，
此时一次函数过点（﹣1，2），（1，4），
∴，
解得：，
∴y＝x+3；
②当k＜0时，
此时一次函数过点（﹣1，4），（1，2），
∴，
解得：，
∴y＝﹣x+3；
综上，该一次函数的解析式为y＝x+3或y＝﹣x+3．
【点评】本题主要考查函数的定义、新定义、用待定系数法求函数解析式、一次函数的性质，理解新定义，并学会利用分类讨论思想解决问题是解题关键．
10．（2022秋•海门市期末）定义：平面直角坐标系xOy中，若点M绕原点顺时针旋转90°，恰好落在函数图象W上，则称点M为函数图象W的“直旋点”．例如，点是函数y＝x图象的“直旋点”．
（1）在①（3，0），②（﹣1，0），③（0，3）三点中，是一次函数图象的“直旋点”的有 ②③ （填序号）；
（2）若点N（3，1）为反比例函数图象的“直旋点”，求k的值；
（3）二次函数y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点D是二次函数y＝﹣x2+2x+3图象的“直旋点”且在直线AC上，求D点坐标．
【分析】（1）根据“直旋点”的定义依次判断即可；
（2）先将点N绕原点顺时针旋转90°的点算出来，再根据“直旋点”的定义即可求解；
（3）令y＝0求出A（﹣1，0），B（3，0），令x＝0求出C（0，3），设直线AC的解析式为y＝kx+b，根据待定系数求得直线AC的解析式为y＝3x+3，设点D（a，3a+3），再将将点D绕原点顺时针旋转90°的点表示出来，最后根据“直旋点”的定义即可求解．
【解答】解：（1）①点（3，0）绕原点顺时针旋转90°得点（0，﹣3），
当x＝0时，y＝1，
∴点（3，0）不是一次函数图象的“直旋点”；
②点（﹣1，0）绕原点顺时针旋转90°得点（0，1），
当x＝0时，y＝1，
∴点（﹣1，0）是一次函数图象的“直旋点”；
③点（0，3）绕原点顺时针旋转90°得（3，0），
当x＝3时，y0，
∴点（0，3）是一次函数图象的“直旋点”；
∴是一次函数图象的“直旋点”的有②③；
故答案为：②③；
（2）点N（3，1）绕原点顺时针旋转90°得点（1，﹣3），
∵点N（3，1）为反比例函数图象的“直旋点”，
∴，
∴k＝﹣3；
（3）∵二次函数y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵二次函数y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝3x+3，
设点D（a，3a+3），
则D（a，3a+3）绕原点顺时针旋转90°得点（3a+3，﹣a），
∵点D是二次函数y＝﹣x2+2x+3图象的“直旋点”，
∴﹣（3a+3）2+2（3a+3）+3＝﹣a，
解得：a＝0或a，
∴点D的坐标为（0，3）或．
【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征、用待定系数法求函数解析式、抛物线与x轴的交点，理解新定义，找出一点M绕原点顺时针旋转90°后的点时解题关键．
11．（2022秋•大兴区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点C，若△ABC是以AB为一条直角边，且满足AC＞AB的直角三角形，则称点C为线段AB的“从属点”．已知点A的坐标为（0，1）．
（1）如图1，若点B为（2，1），在点C1（0，﹣2），C2（2，2）．C3（1，0），C4（0，3）中，线段AB的“从属点”是 C1，C2 ；
（2）如图2，若点B为（1，0），点P在直线y＝﹣2x﹣3上，且点P为线段AB的“从属点”，求点P的坐标；
（3）点B为x轴上的动点，直线y＝4x+b（b≠0）与x轴，y轴分别交于M，N两点，若存在某个点B，使得线段MN上恰有2个线段AB的“从属点”，直接写出b的取值范围．
【分析】（1）分别按照“从属点”的定义对三个点进行分析即可；
（2）分∠ABP＝90°和∠BAP＝90°两种情况，借助等腰直角三角形的判定和性质求解；
（3）画出图象，分b＞0和b＜0两种情况，分别求出边缘值，从而得到b的取值范围．
【解答】解：（1）C1（0，﹣2），则AC1＝3＞2＝AB，且△ABC为直角三角形，
故C1是线段AB的“从属点”；
C2（2，2），则AC22＝AB，且△ABC为直角三角形，
故C2是线段AB的“从属点”；
C3（1，0），则AB不是直角边，故C3不是线段AB的“从属点”；
C4（0，3），AC4＝2＝AB，故C4不是线段AB的“从属点”；
故答案为：C1，C2．
（2）设点P的坐标为（a，﹣2a﹣3 ），
∵点P为线段AB的“从属点”，
①当∠ABP＝90°时，
由题意可知：OA＝OB＝1，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠ABO＝45°，
∴∠OBP＝45°，
过点P作PF⊥y轴，垂足为F，BP交y轴于点E，
可知△OBE和△PEF为等腰直角三角形，
∴OE＝OB＝1，PF＝EF＝﹣a，
∴OF＝1﹣a，
则1﹣a＝2a+3，
解得：a，
∴点P的坐标为（，），
此时AP＞AB；
②当∠BAP＝90°时，过点P作PG⊥x轴，垂足为G，AP交x轴于点H，
同理可知：∠OAP＝45°＝∠AHO＝∠PHG，
∴△AOH和△PHG为等腰直角三角形，
∴AO＝HO＝1，PG＝HG＝2a+3，
∴OG＝2a+4，
则﹣2a﹣4＝a，
解得：a，
∴点P的坐标为（，），
此时AP＝AH+HP＞AB；
综上，点P的坐标为：（，）或（，）．
（3）如图，AC＝AE＝AB，
由“从属点”的定义可知：线段AB的从属点在射线CC1、EE1、BD上，
当b＞0时，
当点B和原点重合时，若要满足线段MN上恰有2个线段AB的“从属点”，则点C在线段MN上，
此时点C（﹣1，1），代入y＝4x+b，得：b＝5，
从而当b＞5时，总能找到点B，满足条件，
故b＞5；
当b＜0时，若要满足线段MN上恰有2个线段AB的“从属点”，
如图，当点E和M重合时，
∵AB＝AE，
∴△ABE为等腰直角三角形，
可得：AO＝EO＝1，即E （1，0），代入y＝4x+b，
得：b＝﹣4，
而当b＞﹣4时，四条射线CC1、DD1、EE1、FF1无法与线段MN产生两个交点，
当b＜﹣4时，总能找到点B，满足条件，
此时b＜﹣4，
综上，b的取值范围是：b＞5或b＜﹣4．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的图象和性质，直角三角形的性质，“从属点”的新定义，等腰直角三角形的判定和性质，解题时要把握好“从属点”的定义，结合一次函数图象进行分析，难度较大．
12．（2023春•鄱阳县期中）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义：
记a＝﹣x，b＝x﹣y，那么我们把点M（a，b）与点N（b，a）称为点P的一对“和美点”．例如：点P（﹣1，2）的一对“和美点”是点（1，﹣3）与点（﹣3，1）．
（1）点A（4，1）的一对“和美点”坐标是 （﹣4，3） 与 （3，﹣4） ；
（2）若点B（2，y）的一对“和美点”重合，则y的值为 4 ；
（3）若点C的一个“和美点”坐标为（﹣2，7），求点C的坐标．
【分析】（1）根据新定义求出a，b，即可得出结论；
（2）根据新定义，求出点B的一对“和美点”，进而得出结论；
（3）设出点C的坐标，根据新定义，建立方程组，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵A（4，1），
∴a＝﹣4，b＝4﹣1＝3，
∴点A（4，1）的一对“和美点”的坐标是（﹣4，3）与（3，﹣4），
故答案为：（﹣4，3），（3，﹣4）；
（2）∵点B（2，y），
∴a＝﹣2，b＝2﹣y，
∴点B（2，y）的一对“和美点”的坐标是（﹣2，2﹣y）和（2﹣y，﹣2），
∵点B（2，y）的一对“和美点”重合，
∴﹣2＝2﹣y，
∴y＝4，
故答案为：4；
（3）设点C（x，y），
∵点C的一个“和美点”的坐标为（﹣2，7），
∴或，
∴或，
∴C（2，﹣5）或（﹣7，﹣5）．
【点评】本题主要考查了新定义，解方程组，解方程，理解和应用新定义是解题的关键．
13．（2022秋•石景山区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知矩形OABC，其中点A（5，0），B（5，4），C（0，4）．给出如下定义：若点P关于直线l：x＝t的对称点P'在矩形OABC的内部或边上，则称点P为矩形OABC关于直线l的“关联点”．
例如，图1中的点D，点E都是矩形OABC关于直线l：x＝3的“关联点”．
（1）如图2，在点P1（4，1），P2（﹣3，3），P3（﹣2，0），P4（﹣6，﹣2）中，是矩形OABC关于直线l：x＝﹣1的“关联点”的为 P2，P3 ；
（2）如图3，点P（﹣2，3）是矩形OABC关于直线l：x＝t的“关联点”，且△OAP'是等腰三角形，求t的值；
（3）若在直线yx+b上存在点Q，使得点Q是矩形OABC关于直线l：x＝﹣1的“关联点”，请直接写出b的取值范围．
【分析】（1）根据定义分别求出各点的对称点，进行判断即可；
（2）由题意先求出t的取值范围﹣1≤t，再由等腰三角形的边的情况，分类讨论即可；
（3）求出直线关于yx+b关的对称直线解析式，只需求出该对称直线与矩形有交点时b的取值范围即可．
【解答】解：（1）点P1（4，1）关于x＝﹣1的对称点为（﹣6，1），此点不在矩形OABC内部或边上，
∴点P1不是直线l：x＝﹣1的“关联点”；
∵P2（﹣3，3）关于x＝﹣1的对称点为（1，3），此点在矩形OABC内部或边上，
∴点P2是直线l：x＝﹣1的“关联点”；
∵P3（﹣2，0）关于x＝﹣1的对称点为（0，0），此点在矩形OABC内部或边上，
∴点P3是直线l：x＝﹣1的“关联点”；
∵P4（﹣6，﹣2）关于x＝﹣1的对称点为（4，﹣2），此点不在矩形OABC内部或边上，
∴点P4不是直线l：x＝﹣1的“关联点”；
故答案为：P2，P3；
（2）∵点P（﹣2，3）关于x＝t的对称点为P'（2t+2，3），
∵点P（﹣2，3）是矩形OABC关于直线l：x＝t的“关联点”，
∴0≤2t+2≤5，
∴﹣1≤t，
∵△OAP'是等腰三角形，
分三种情况：
当OA＝OP'时，5，
解得t＝1或t＝﹣3（舍），
∴t＝1；
当AO＝AP'时，5，
解得t（舍）或t，
∴t；
当AP'＝OP'时，，
解得t；
综上所述：t的值为1或或；
（3）直线yx+b上任取两点（0，b），（﹣2b，0）关于直线x＝﹣1的对称点分别为（﹣2，b），（﹣2+2b，0），
设直线yx+b关于直线x＝﹣1的对称直线解析式为y＝kx+m，
∴，
解得，
∴yx+b﹣1，
当直线经过点（5，4）时，b；
当直线经过点（0，0）时，b＝1；
∴b的取值范围为：1≤b．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，理解定义，会求点关于直线的对称点，直线关于直线的对称直线解析式是解题的关键．
14．（2023春•崇川区校级月考）我们定义：若点P在一次函数y＝ax+b（a≠0）图象上，点Q在反比例函数（c≠0）图象上，且满足点P与点Q关于y轴对称，则称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数y＝ax+b与反比例函数的“衍生函数”，点P称为“基点”，点Q称为“靶点”．
（1）若二次函数y＝x2+2x+1是一次函数y＝ax+b与反比例函数的“衍生函数”，则a＝ 1 ，b＝ 2 ，c＝ 1 ；
（2）若一次函数y＝x+b和反比例函数的“衍生函数”的顶点在x轴上，且“基点”P的横坐标为1，求“靶点”的坐标；
（3）若一次函数y＝ax+2b（a＞b＞0）和反比例函数的“衍生函数”经过点（2，6）．①试说明一次函数y＝ax+2b图象上存在两个不同的“基点”；②设一次函数y＝ax+2b图象上两个不同的“基点”的横坐标为x1、x2，求|x1﹣x2|的取值范围．
【分析】（1）由定义直接求解即可；
（2）由题意先求出4c＝b2，则可求P（1，1+b），再求P点关于y轴的对称点Q，将所求Q点代入反比例函数为y，求出b的值即可求Q点坐标；
（3）①题意可知“衍生函数”为y＝ax2+2bx﹣2，将点（2，6）代入可得a+b＝2，再由题意可求1＜a＜2，设“靶点”Q（t，），则P（﹣t，），则at+2（2﹣a），整理得at2﹣4t+2at﹣2＝0，由Δ＝4（a﹣1）2+12＞0，即可证明；
②由①可知，at2﹣4t+2at﹣2＝0，根据根与系数的关系可得x1+x22，x1•x2，则|x1﹣x2|，再由1＜a＜2，即可求2＜|x1﹣x2|＜2．
【解答】解：（1）由定义可知，a＝1，b＝2，c＝1，
故答案为：1，2，1；
（2）由题意可知，“衍生函数”为y＝x2+bx+c，
∵顶点在x轴上，
∴4c＝b2，
∴一次函数为y＝x+b，
∵“基点”P的横坐标为1，
∴P（1，1+b），
∵点P与点Q关于y轴对称，
∴Q（﹣1，1+b），
∵反比例函数为y，
∴b2＝1+b，
解得b＝﹣2，
∴“靶点”的坐标（﹣1，﹣1）；
（3）证明：①由题意可知“衍生函数”为y＝ax2+2bx﹣2，
∵经过点（2，6），
∴a+b＝2，
∵a＞b＞0，
∴a＞2﹣a＞0，
∴1＜a＜2，
设“靶点”Q（t，），则P（﹣t，），
∴at+2（2﹣a），
整理得at2﹣4t+2at﹣2＝0，
∴Δ＝4（a﹣1）2+12＞0，
∴方程有两个不同的实数根，
∴一次函数y＝ax+2b图象上存在两个不同的“基点”；
②解：由①可知，at2﹣4t+2at﹣2＝0，
∴x1+x22，x1•x2，
∴|x1﹣x2|，
∵1＜a＜2，
∴24，
∴2＜|x1﹣x2|＜2．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，将所求问题与所求函数问题相结合是解题的关键．
15．（2023•定远县校级一模）已知一系列具备负整数系数形式规律的“负倍数二次函数”：，，，…
（1）探索发现，所有“负倍数二次函数”都有同一条对称轴直线x＝ ﹣1 ．
（2）求二次函数yn的解析式及其顶点坐标．
（3）点（﹣1，10）是否是“负倍数二次函数”中某一抛物线的顶点，若是，请求出它所在的抛物线解析式，并求出﹣2≤x≤1对应的y的取值范围；若不是，请说明理由．
【分析】（1）由抛物线对称轴为直线x求解．
（2）根据，，，可得yn＝﹣nx2﹣2nx，进而求解．
（3）将（﹣1，10）代入yn＝﹣nx2﹣2nx，求n的值，进而求解．
【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为直线x，
∴抛物线，，的对称轴为直线x＝﹣1，
故答案为：﹣1．
（2）∵y1＝﹣x2﹣2x＝﹣x2﹣2×x，
y2＝﹣2x2﹣4x＝﹣2x2﹣2×2x，
y3＝﹣3x2﹣6x＝﹣3x2﹣2×3x，
…
∴yn＝﹣nx2﹣2nx．
把x＝﹣1代入yn＝﹣nx2﹣2nx得yn＝n，
∴二次函数yn的解析式为yn＝﹣nx2﹣2nx，顶点坐标为（﹣1，n）．
（3）是，理由如下：
把x＝﹣1代入yn＝﹣nx2﹣2nx得yn＝n，
当n＝10时，n＝10，满足题意，
∴点（﹣1，10）是“负倍数二次函数”y10＝﹣10x2﹣20x的顶点．
当x≤﹣1时，y随x的增大而增大；当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；
当x＝﹣2时，y＝﹣10×（﹣2）2﹣20×（﹣2）＝0；
当x＝﹣1时，y＝﹣10×（﹣1）2﹣20×（﹣1）＝10；
当x＝1时，y＝﹣10×12﹣20×1＝﹣30；
∴当﹣2≤x≤1对应的y的取值范围为﹣30≤y≤10．
【点评】本题考查二次函数的新定义问题，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，根据y1、y2、y3的解析式求出yn的解析式．
16．（2023春•兰溪市月考）阅读材料：一般地，对于某个函数，如果自变量x在取值范围内任取x＝a与x＝﹣a时，函数值相等，那么这个函数是“对称函数”．例如：y＝x2，在实数范围内任取x＝a时，y＝a2；当x＝﹣a时，y＝（﹣a）2＝a2，所以y＝x2是“对称函数”．
（1）函数y＝2|x|+1 是 对称函数（填“是”或“不是”）．当x≥0时，y＝2|x|+1的图象如图1所示，请在图1中画出x＜0时，y＝2|x|+1的图象．
（2）函数y＝x2﹣2|x|+1的图象如图2所示，当它与直线y＝﹣x+n恰有3个交点时，求n的值．
（3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0），B（2，0），C（2，﹣3），D（﹣3，﹣3），当二次函数y＝x2﹣b|x|+1（b＞0）的图象与矩形的边恰有4个交点时，求b的取值范围．
【分析】（1）利用“对称函数”的定义，仿照题干值的方法解答即可；
（2）利用分类讨论的方法结合图象解答，①当直线y＝﹣x+n经过点（0，1）时，利用待定系数法解答即可；②当直线y＝﹣x+n与函数y＝x2﹣2|x|+1的图象的右半侧相切时，利用根的判别式列出等式即可求解；
（3）利用分类讨论的方法求出二次函数y＝x2﹣b|x|+1（b＞0）的图象与矩形的边恰有4个交点时的临界值，结合图象即可求解．
【解答】解：（1）∵在实数范围内任取x＝a时，y＝2|a|+1，
当x＝﹣a时，y＝2|﹣a|+1＝2|a|+1，
∴y＝2|x|+1是“对称函数”．
故答案为：是；
y＝2|x|+1的图象如图1所示，
（2）①当直线y＝﹣x+n经过点（0，1）时，
函数y＝x2﹣2|x|+1的图象与直线y＝﹣x+n恰有3个交点，
∴n＝1；
②当直线y＝﹣x+n与函数y＝x2﹣2|x|+1的图象的右半侧相切时，
函数y＝x2﹣2|x|+1的图象与直线y＝﹣x+n恰有3个交点，
即方程组有一个解，
∴方程x2﹣x+1﹣n＝0有两个相等的实数根．
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（1﹣n）＝0，
解得：n．
综上，函数y＝x2﹣2|x|+1的图象与直线y＝﹣x+n恰有3个交点，则n的值为1或；
（3）当x＞0时，函数y＝x2﹣bx+1的图象与x轴相切时，
方程x2﹣bx+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣b）2﹣4×1×1＝0，
∵b＞0，
∴b＝2；
当x＞0时，函数y＝x2﹣bx+1的图象与直线DC相切时，
方程x2﹣bx+1＝﹣3有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣b）2﹣4×1×4，
∵b＞0，
∴b＝4；
当x＜0时，函数y＝x2+bx+1的图象经过点（﹣3，﹣3）时，
﹣3＝（﹣3）2﹣3b+1，
解得：b．
综上，当2＜b＜4或b时，二次函数y＝x2﹣b|x|+1（b＞0）的图象与矩形的边恰有4个交点．
【点评】本题主要考查了了待定系数法，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数的性质，抛物线上点的坐标的特征，二次函数与一元二次方程的联系，本题是新定义型题目，利用并熟练应用新定义是解题的关键．
17．（2023春•东台市校级期中）定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函数关于点P互为“伴随函数”．例如，函数y＝x2与y＝﹣x2关于原点O互为“伴随函数”．
（1）函数y＝x+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 y＝x﹣1 ，函数y＝（x﹣2）2+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 y＝﹣（x+2）2﹣1 ；
（2）已知函数y＝x2﹣2x与函数G关于点P（m，3）互为“伴随函数”．若当m＜x＜7时，函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求m的取值范围；
（3）已知点A（0，1），点B（4，1），点C（2，0），二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与函数N关于点C互为“伴随函数”，将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）结合新定义利用待定系数法解答即可；
（2）利用数形结合的方法结合图象，利用新定义的规定解得即可；
（3）利用分类讨论的方法分三种情况解答：①当“伴随函数”的顶点在AB上时，求得函数N的顶点坐标，利用对称性求得对称点的坐标，利用待定系数法即可求解；②当两个函数的交点在AB上时，利用两函数与x轴的交点坐标，求函数N的解析式，令y＝1，即可求得a值；③当“伴随函数”经过点B时，将坐标代入函数N的解析式即可确定a的取值范围．
【解答】解：（1）∵两个函数是关于原点O的“伴随函数”，
∴两个函数的点分别关于原点中心对称，
设函数y＝x+1上的任一点为（x，y），则它的对称点为（﹣x，﹣y），
将（﹣x，﹣y）代入函数y＝x+1得：
﹣y＝﹣x+1，
∴y＝x﹣1．
函数y＝x+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为y＝x﹣1；
同理可得，函数y＝（x﹣2）2+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为y＝﹣（x+2）2﹣1，
故答案为：y＝x﹣1；y＝﹣（x+2）2﹣1；
（2）如图，当m＜x＜7时，函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，
∵“伴随函数”的开口方向向下，
∴在对称轴的左侧y随自变量x的增大而增大，
∴m＜7，同时“伴随函数”的对称轴应与直线x＝7重合或在直线x＝7的左侧，
∴m，
∴m≥4，
综上，函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，m的取值范围为4≤m＜7；
（3）a的取值范围为a或a或a．理由：
①当“伴随函数”的顶点在AB上时，如图，
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a的对称轴为直线x＝1，
∵点C（2，0）为对称中心，
∴函数N的对称轴为直线x＝3，
∴函数N的顶点坐标为（3，1），
∵（3，1）关于点C（2，0）对称的点为（1，﹣1），
∴将（1，﹣1）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得：
a﹣2a﹣3a＝﹣1，
∴a；
②当两个函数的交点在AB上时，如图，
二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），
∵点C（2，0）为对称中心，
∴函数N与x轴的交点为（5，0）和（1，0），
∴函数N的解析式为y＝﹣ax2+6ax﹣5a，
当y＝1时，
，
解得：a；
③当“伴随函数”经过点B时，如图，
∵点B（4，1），
∴1＝﹣a×16+6a×4﹣5a，
解得：a．
综上，图形W与线段AB恰有2个公共点，a的取值范围为a或a或a．
【点评】本题主要考查了待定系数法，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，中心对称图形的性质，抛物线上点的坐标的特征，本题是新定义型题目，理解新定义并熟练应用以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
18．（2023春•北京月考）在平面直角坐标系xOy中．⊙O的半径为1，对于直线l和线段AB，给出如下定义：若将线段AB关于直线l对称，可以得到⊙O的弦A′B′（A′，B′分别为A，B的对应点），则称线段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．
（1）如图2，点A1，B1，A2，B2，A3，B3的横、纵坐标都是整数．
①在线段A1B1，A2B2，A3B3中，⊙O的关于直线y＝x+2对称的“关联线段”是 A1B1 ；
②若线段A1B1，A2B2，A3B3中，存在⊙O的关于直线y＝﹣x+m对称的“关联线段”，则m＝ 2或3 ；
（2）已知直线yx+b（b＞0）交x轴于点C，在△ABC中，AC＝3，AB＝1．若线段AB是⊙O的关于直线yx+b（b＞0）对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以及相应的BC长．
【分析】（1）①分别画出线段A1B1，A2B2，A3B3关于直线y＝x+2对称线段，如图，即可求解；
②从图象性质可知，直线y＝﹣x+m与x轴的夹角为45°，而线段A1B1⊥直线y＝﹣x+m，线段A1B1关于直线y＝﹣x+m对称线段还在直线A1B1上，显然不可能是⊙O的弦；线段A3B3，⊙O的最长的弦为2，得线段A3B3的对称线段不可能是⊙O的弦，而线段A2B2∥直线y＝﹣x+m，线段A2B2，∴线段A2B2的对称线段线段A2′B2′线段A2B2，且线段A2′B2′，平移这条线段，使其在⊙O上，有两种可能，画出对应图形即可求解；
（2）先表示出OCb，b最大时就是OC最大，b最小时就是CO长最小，根据线段AB关于直线yx+b对称线段A′B′在⊙O上，得A′C′＝AC＝3，再由三角形三边关系得A′C﹣OA′≤OC≤A′C+OA′，得当A′为（﹣1，0）时，如图3，OC最小，此时C点坐标为（2，0）；当A′为（1，0）时，如图3，OC最大，此时C点坐标为（4，0），分两种情形分别求解．
【解答】解：（1）①分别画出线段A1B1，A2B2，A3B3关于直线y＝x+2对称线段，如图，
发现线段A1B1的对称线段是⊙O的弦，
∴线段A1B1，A2B2，A3B3中，⊙O的关于直线y＝x+2对称的“关联线段”是A1B1，
故答案为：A1B1；
②∵从图象性质可知，直线y＝﹣x+m与x轴的夹角为45°，
∴线段A1B1⊥直线y＝﹣x+m，
∴线段A1B1关于直线y＝﹣x+m对称线段还在直线A1B1上，显然不可能是⊙O的弦，
∵线段A3B3，⊙O的最长的弦为2，
∴线段A3B3的对称线段不可能是⊙O的弦，
线段A2B2是⊙O的关于直线y＝﹣x+m对称的“关联线段”，
而线段A2B2∥直线y＝﹣x+m，线段A2B2，
∴线段A2B2的对称线段线段A2′B2′线段A2B2，且线段A2′B2′，
平移这条线段，使其在⊙O上，有两种可能，
第一种情况：A2′、B2′的坐标分别为（0，1）、（1，0），
此时m＝3；
第二种情况：A2′、B2′的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣1），
此时m＝2，
故答案为：3或2；
（2）∵直线yx+b（b＞0）交x轴于点C，
当y＝0时，yx+b＝0，
解得：xb，
∴OCb，
b最大时就是OC最大，
b最小时就是CO长最小，
∵线段AB是⊙O的关于直线yx+b（b＞0）对称的“关联线段”，
∴线段AB关于直线yx+b对称线段A′B′在⊙O上，
∴A′C′＝AC＝3，
在△A′CO中，A′C﹣OA′≤OC≤A′C+OA′，
∴当A′为（﹣1，0）时，如图3，OC最小，此时C点坐标为（2，0），
将点C代入直线yx+b中，
2+b＝0，解得：b，
过点B′作B′D⊥A′C于点D，
∵A′B′＝A′O＝B′O＝1，
∴∠B′A′D＝60°，
∴A′D，B′D，
∴CD＝3，
在Rt△B′DC中，B′C；
∴当A′为（1，0）时，如图4，OC最大，此时C点坐标为（4，0），
将点C代入直线yx+b中，
4+b＝0，解得：b，
过点B′作B′D⊥A′C于点D，
∵A′B′＝A′O＝B′O＝1，
∴∠B′A′D＝60°，
∴A′D，B′D，
∴CD＝3，
在Rt△B′DC中，B′C，
∴b的最大值为，BC；最小值为，BC．
【点评】本题考查了以圆为背景的阅读理解题，勾股定理，三角形三边关系，解决问题的关键是找出不同情境下的“关联线段”和阅读理解能力．