中考数学二轮培优题型训练压轴题24规律变化探究性问题（2份，原卷版+解析版）

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一、单选题
1．（2023春·重庆丰都·九年级校考阶段练习）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有3颗棋子，第②个图形一共有9颗棋子，第③个图形一共有18颗棋子，…，则第⑦个图形中棋子的颗数为（ ）
A．84B．108C．135D．152
2．（2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习）正方形，，，按如图所示的方式放置，点，，，和点，，，分别在直线和轴上，已知点（1，1），（3，2），则的坐标是( )
A．B．
C．D．
3．（2023春·重庆渝北·九年级校联考阶段练习）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2023个图案中的“”的个数是（ ）
A．6074B．6072C．6070D．6068
4．（2022秋·四川资阳·九年级统考期末）如图，直线l的解析式为，点，轴交直线l于点；点为y轴上位于上方的一点，且，轴交直线l于点；点为y轴上位于上方的一点，且，轴交直线l于点 ，按此规律，线段的长为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·山东德州·模拟预测）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．
根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（ ）
A．36B．45C．55D．66
6．（2023·湖南益阳·校考模拟预测）如图，矩形的面积为5，它的两条对角线交于点，以为两邻边作平行四边形，平行四边形的对角线交于点，同样以为两邻边作平行四边形，…，依此类推，则平行四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022春·四川内江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角△OAB位置如图，∠OBA=90°，点B的坐标为（1，0），每一次将△OAB绕点O逆时针旋转90°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转得到△OA1B1，第二次旋转得到△OA2B2，…，以此类推，则点A2022的坐标是（ ）
A．(22022，22022)B．(-22021，22021)C．(22021，-22021)D．(-22022，-22022)
8．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，点绕点A旋转得到点，点绕点B旋转得到点，点绕点C旋转得到点，点绕点A旋转得到点……按此作法进行下去，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
9．（2022秋·八年级单元测试）如图所示，直线与y轴相交于点D，点A1在直线上，点B1在x轴，且∆OA1B1是等边三角形，记作第一个等边三角形；然后过B1作B1A2∥OA1与直线相交于点A2，点B2在x轴上，再以B1A2为边作等边三角形A2B2B1，记作第二个等边三角形；同样过B2作B2A3∥OA1与直线相交于点A3，点B3在x轴上，再以B2A3为边作等边三角形A3B3B2，记作第三个等边三角形；⋯依此类推，则第n个等边三角形的顶点A纵坐标为（ ）
A．B．C． D．
10．（2023秋·山东济宁·九年级统考期末）如图，直线与轴、轴分别相交于点、，过点作，使．将 绕点顺时针旋转，每次旋转．则第2022次旋转结束时，点的对应点落在反比例函数的图象上，则的值为
A．B．4C．D．6
二、填空题
11．（2022秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，已知的周长是1，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形…依此类推，则第2019个三角形的长_______.
12．（2023·湖北恩施·统考一模）一个质点在第一象限及轴、轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动[即]，且每秒移动一个单位，那么第2023秒时质点所在位置的坐标是_____．
13．（2023·广东深圳·深圳市南山外国语学校校考一模）化学中直链烷烃的名称用“碳原子数烷”来表示．当碳原子数为1~10时，依次用天干——甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、千、癸——表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则第7个庚烷分子结构式中“H”的个数是______．
14．（2023·甘肃陇南·校考一模）按一定规律排列的式子：，……第n个式子是 ___________．
15．（2023·海南省直辖县级单位·统考一模）用火柴棒按上图的方式摆出一系列图案，按这种方式摆下去，第n个图案所用的火柴棒的根数为_____．
16．（2023·山东枣庄·校考模拟预测）观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第n个大三角形中白色三角形有（用含n代数式表示）________个．
17．（2023秋·重庆永川·七年级统考期末）如图是一个电子青蛙游戏盘，已知．电子青蛙在边上的处，第一步跳到处，使，第二步跳到处，使，第三步跳到处，使，……，按上述的规则跳下去，第2023步落点为，则与之间的距离为_____________．
18．（2023秋·河南许昌·九年级校考期末）平面直角坐标系中，若干个半径为1，圆心角为的扇形组成的图形如图所示，点P从原点O出发，向右沿箭头所指方向做上下起伏运动，点P在直线上运动的速度为每秒1个单位长度，在弧线上运动的速度为每秒个单位长度，则2021秒时，点P的坐标是__________．
19．（2022秋·山东临沂·九年级统考期中）若关于x的一元二次方程，当时，相应的一元二次方程的两根分别记为则的值为_________．
20．（2023·江苏扬州·九年级专题练习）如图，在正方形中，顶点，，点是的中点，与轴交于点，与交于点，将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点的坐标为______．
三、解答题
21．（2023·安徽六安·统考二模）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：______；
(2)写出你猜想的第个等式，并证明你的结论．
22．（2022秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）先观察，再解题：
因为，，，…
所以
(1)______．
(2)请接着完成下面的计算：
(3)参照上述解法计算．
23．（2022秋·安徽宣城·七年级统考期末）如图，每个小正方形的面积均为1．将左图中黑色的小正方形移动，得到右边拼成的长方形，根据两种图形方法计算小正方形的个数；如图得出以下等式：
(1)请写出第3个等式：__________；
(2)猜想第n个等式为：__________（用含n的等式表示）；
(3)当n为多少时，左图中的最底端有2024个小正方形？此时左图中共有多少个小正方形？
24．（2023·安徽·模拟预测）以下是一幅幅平面镶嵌图案，它们由相同的灰色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案，如图，当正方形只有个时，等边三角形有个；如图，当正方形有个时，等边三角形有个；以此类推……
(1)第个图案中正方形有______个，等边三角形有______个．
(2)第个图案中正方形有______个，等边三角形有______个．
(3)若此类图案中有个等边三角形，该图案中正方形有多少个？
25．（2023·安徽·模拟预测）十一期间，泉城广场的一个公共区域用盆栽进行了美化，盆栽按如图的方式摆放，图中的盆栽被折线隔开分成若干层，第一层有1个盆栽，第二层有3个盆栽，第三层有5个盆栽，第四层有7个盆栽，……，以此类推．请观察图形规律，解答下列问题：
(1)第10层有 个盆栽，第a层有 个盆栽，前n层共有 个盆栽；
(2)计算： ；
(3)拓展应用：求的值．
26．（2022秋·山东济南·七年级统考期中）利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．请你尝试利用数形结合的思想方法解决下列问题
(1)如图①，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的，根据图示我们可以知道：＝ ．（用含有n的式子表示）
(2)如图②，一个边长为1的正方形，第一次取正方形面积的，然后依次取剩余部分的，根据图示：计算：＝ ．（用含有n的式子表示）
(3)如图③是一个边长为1的正方形，根据图示：计算：＝ ．（用含有n的式子表示）
27．（2022秋·浙江杭州·七年级校考期中）完成下列填空：
(1)已知，，，……，依据上述规律，则___________=___________．
(2)有若干张边长都是2的四边形纸片和三角形纸片，从中取一些纸片按如图所示的顺序拼接起来（排在第一位的是四边形），可以组成一个大的平行四边形或一个大的梯形．如果所取的四边形与三角形纸片数的和是5时，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是 ___________；如果所取的四边形与三角形纸片数的和是n，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是 ___________．
(3)下面是按一定规律排列的一列数：
第1个数：；
第2个数：；
第3个数： ；
……
则第n个数为：___________．
28．（2022秋·山西吕梁·七年级统考期中）如图，每张小纸带的长为40cm，用胶水把它们粘贴成一张长纸带，接头粘贴重叠部分的长为3cm．
(1)用2张这样的小纸带粘贴成的纸带的长度为77cm，则用3张这样的小纸带粘贴成的纸带的长度为______cm．
(2)①用n张这样的小纸带粘贴成的纸带的长度是______cm；
②计算用20张这样的小纸带粘贴成的纸带的长度．
29．（2023春·七年级课时练习）观察下列各式
……
请根据你发现的规律完成下列各题：
(1)根据规律可得___________（其中n为正整数）；
(2)计算：；
(3)①计算：；
②计算：．
30．（2022秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）将正方形ABCD（如图1）作如下划分，第1次划分：分别连接正方形ABCD对边的中点（如图2），得线段HF和EG，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形AEMH再划分，得图3，则图3中共有9个正方形；
（1）若把左上角的正方形依次划分下去，则第100次划分后，图中共有 个正方形；
（2）继续划分下去，第n次划分后图中共有 个正方形；
（3）能否将正方形ABCD划分成有2018个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由．
（4）如果设原正方形的边长为1，通过不断地分割该面积为1的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果．计算（直接写出答案即可）