中考数学二轮培优重难点突破讲练专题46 以几何为背景的直角三角形的存在性问题（2份，原卷版+解析版）

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一、解答题
1．正方形中，点E是的中点，交对角线于点F．
(1)如图1，点G为的中点，连结，求证：；
(2)如图2，是由沿射线平移得到的，点与点A重合，点M为的中点，连结交于点H．
①若，求的长；
②连结，求证：是等腰直角三角形．
2．已知：和均为等腰直角三角形，，，，按图1放置，使点在上，取的中点，连接，．我们现给出如下结论：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
(1)观察发现：图1中，的数量关系是________，位置关系是________；
(2)探究证明：将图1中的绕点顺时针转动，再连接，取的中点（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论；
(3)拓展延伸：将图1中的绕点转动任意角度（转动角度在到之间），再连接，取的中点（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论．
3．（1）如图1，平分，若，求的长；
（2）如图2，其他条件不变，将图1中的绕点C逆时针旋转，交的延长线于点D，交射线于点B，写出线段之间的数量关系，并就图2的情形说明理由；
（3）如图3，为等边三角形，，P为边的中点，，将绕点P转动使射线交直线于点M，射线交直线于点N，当时，求的长．
4．如图，是边长是的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿，方向匀速移动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：
(1)当点Q到达点C时，与的位置关系如何？请说明理由．
(2)在点P与点Q的运动过程中，是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由．
(3)则当t为何值时，是直角三角形？
5．等腰，，，为的中点，小慧拿着含角的透明三角板，使角的顶点落在，三角板绕点旋转．
(1)如图，当三角板的两边分别交、于点、时，求证：；
(2)操作：将三角板绕点旋转到图情形时，三角板的两边分别交的延长线、边于点、，
①探究：与还相似吗？（只需写出结论）
②探究：连接，与是否相似？请说明理由；
③设，的面积为，试用的代数式表示（直接写出答案即可）
6．如图，在边长为的正方形中，过中点作正，过点的直线分别交边、于点、、已知点、分别是线段、的动点，且是等边三角形．
(1)判断与的位置关系，并说明理由．
(2)当点在线段上时
①求证：
②试判断的结果是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值．
(3)设，点关于的对称点为，若点落在的内部，请直接写出的范围．
7．已知为等边三角形，点、分别是、上一点．
(1)如图1，，连接、，交于点，在的延长线上取点，使得，连接，若，求的面积；
(2)如图2，、相交于点，点为延长线上一点，连接、、，已知，，，探究、、之间的数量关系并说明理由；
(3)如图3，已知，过点作于点，点是直线上一点，以为边，在的下方作等边，连，当取最小值时请直接写出的长．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B、C在x轴上，，，．
(1)如图1，求点A、B、C的坐标；
(2)如图2，若点D在第一象限且满足，，线段交y轴于点G，求线段的长；
(3)如图3，在（2）的条件下，若在第四象限有一点E，满足．请探究、、之间的数量关系．
9．点P为等边三角形所在平面内一点，且．
(1)如图1，点P在外部，若，，则的长为______；
(2)P点在内部，连接．
①如图2，若，求证；
②如图3，D为边中点，连接，求证：．
10．如图，为等腰三角形，．点、点分别在射线、射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转至，使得点恰好在射线上，旋转角为．
(1)当点、点重合时，如图1，若，，，求线段的长度；
(2)当点、点重合时，如图2，与交于点，若，求证：；
(3)当，时，如图3，点是射线上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转60°至线段，连接．将沿直线翻折至所在平面内得到，直线与射线交于点．在点运动过程中，当最小时，请直接写出的值．
11．已知：在中，，，点P是边上一点，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，将沿翻折得到，延长交于点Q，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，在上取一点E，连接，使，若，求的长．
12．将两块全等的三角板如图1摆放，其中．
(1)将图1中的绕点C顺时针旋转45°得图2，点P是与的交点，点Q是与的交点，求证：；
(2)在图2中，若，则等于多少？
(3)将图1中的绕点C顺时针旋转得到如图3，点P是与的交点，在上取一点F，连接，设，当时，求面积的最大值．
13．如图，在等边中，点D是边上一定点，点E是直线上一动点，以为一边作等边，连接．
(1)如图1，若点E在边上，且，垂足为E，求证：；
(2)如图1，若点E在边上，且，垂足为E，求证：；
(3)如图2，若点E在射线上，请探究线段，与之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
14．如图1，点E是四边形的边上一点，分别连接，，把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么我们把点E叫做四边形的边上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，那么我们把点E叫做四边形的边上的“强相似点”．
(1)任务一：如图1，，试判断点E是否是四边形的边上的“相似点”，并说明理由；
(2)任务二：如图2，矩形的四个顶点A，B，C，D均在正方形网格的格点上，试在图中画出矩形的边上的“强相似点”；
(3)任务三：如图3，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在边上的点F处，若点F是四边形的边上“强相似点”，求．
15．如图1，在中，分别是边上的高线，M，N分别是线段的中点．
(1)求证：．
(2)连接，猜想与之间的关系，并说明理由．
(3)若将锐角三角形变为钝角三角形，其余条件不变，如图2，直接写出与之间的关系．
16．已知，和都是等腰直角三角形，C为它们公共的直角顶点，如图1，D，E分别在，边上，F是的中点，连接．
(1)求证：．
(2)请猜想与的数量关系和位置关系，并说明理由．
(3)如图2，将固定不动，由图1位置绕点C逆时针旋转，旋转角，旋转过程中，其他条件不变．试判断，与的关系是否发生改变？若不变，请说明理由；若改变，请求出相关正确结论．
17．等腰，，，点、分别在轴、轴的正半轴上．
(1)如图，求证：；
(2)如图，若，，求点的坐标；
(3)如图，点，，两点均在轴上，且分别以、为腰在第一、第二象限作等腰、等腰，，，连接交轴于点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围．
18．在中，，是边上一点，是边上一点，连接交于点，连接，且．
(1)如图1，若，，，求到的距离；
(2)如图2，若为中点，连接平分，为上一点，且，求证：；
(3)如图3，若，，将沿着翻折得，点为的中点，连接，求周长的最小值．
19．[问题情境]如图①，在四边形ABCD中，，求证：四点共圆．
小吉同学的作法如下：连接，取的中点，连接、，请你帮助小吉补全余下的证明过程；
[问题解决]如图②，在正方形中，，点是边的中点，点是边上的一个动点，连接，作于点．
（1）如图②，当点恰好落在正方形对角线上时，线段的长度为 ；
（2）如图③，过点Р分别作于点，于点，连接，则的最小值为 ．
20．如图直角坐标系中直线与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，已知，，P，Q分别是线段上的两个动点，P从O出发以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，Q从B出发以每秒8个单位长度的速度向终点A运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为t（秒）．
(1)求线段的长，及点A的坐标；
(2)t为何值时，的面积为；
(3)若C为的中点，连接，以为邻边作平行四边形，
①t为何值时，点D恰好落在坐标轴上；
②是否存在时间t使x轴恰好将平行四边形的面积分成的两部分，若存在，直接写出t的值．