中考数学二轮培优重难点突破讲练专题48 与圆有关的等腰三角形的存在性问题（2份，原卷版+解析版）

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一、解答题
1．如图1，在中，和是两条弦，且，垂足为点，连接，过作于，交于点G；
(1)求证：；
(2)如图2，连接、，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，交于点，连接、、，若，，，求的长．
2．如图，是的直径，点C是上一点，与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线与的延长线相交于点P，G是的内心，连接并延长，交于E，交于点F，连接．
(1)求证：平分；
(2)连接，判断的形状，并说明理由；
(3)若，，求线段的长．
3．（1）课本再现：如图1，是的两条切线，切点分别为A，B．则图中的与，与有什么关系？请说明理由，
（2）知识应用：如图，分别与相切于点A、B、C，且，连接，延长交于点M，交于点E，过点M作交于N．
①求证：是的切线：
②当cm，cm时，求的半径及图中阴影部分的面积．
4．已知是圆O的内接三角形，高线的延长线交圆O于点E，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，过O作，求证：；
(3)如图3，若是直径，点G、H在弧上，，延长交延长线于点P，连接，若，求线段的长．
5．如图1，在锐角中，，圆为的外接圆．
(1)求证：平分．
(2)如图2，点在弧上，分别与，交于点，，且．
①求证：；
②若，，求圆的半径．
③如图3，连结并延长交于，交于，若，求的值．
6．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，是等腰直角三角形，点A，点B在x轴上（点A在点B的左侧），点C在y轴的正半轴上，点D在直线BC上运动，连结AD与y轴交于点E，连结BE．
(1)当点D从点C运动到点B（C，B两点除外）时，求证：．
(2)如图2，过B，D，E三点作⊙H与y轴的另一个交点为G，延长EH交⊙H于点F，连结GF，DG，BF．求的度数．
(3)在（2）的条件下，若，点D在运动过程中，中是否有一个角等于，如果存在，求出此时点E的坐标；如果不存在，请说明理由．
7．如图1，在中，为弦，为直径，且，垂足为E，P为优弧ACB上的动点（不与端点重合），连接PD．
(1)求证：；
(2)在线段上有一点I，连接．且平分，求证：；
(3)如图2，在（2）的条件下，若，的半径为2，过点D作的切线交的延长线于点F；当时，求的长．
8．已知上两个定点A、B和两个动点C、D，与交于点E．
(1)如图1，求证；
(2)如图2，若连接，延长交于点F，连接，，，求点O到弦的距离．
9．如图，为的直径，C为上一点，D为延长线上一点，．
(1)求证：为的切线；
(2)若的半径为5，，求和的长．
(3)在（2）的条件下，线段分别交于点E，F且，求的长．
10．已知如图1，在中，弦于点，，，．是的中点．
(1)求的长；
(2)求的长；
(3)如图2，若，连接交于点，试说明的度数是否会发生变化，若不变请求出的度数，并说明理由．
11．如图，是的直径，点在上，且满足，，的度数之比为，连接线段．
(1)求的度数；
(2)求的值；
(3)设，点为直径下方半圆上的一个动点，连，点在自向运动过程中，的度数分别与，，的度数相等时，求出相应线段的长．
12．如图，内接于，，点为劣弧上动点，延长AD，BC交于点E，作交于，连结．
(1)如图①，当点为的中点时，求证：；
(2)如图②，若，，请用含有的代数式表示；
(3)在（2）的条件下，若，
①求证：；
②求的值．
13．四边形 内接于，为直径， E 在 的延长线上，且与相切．平分．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的半径
14．已知为的外接圆，．
(1)如图1，联结交于点，过作的垂线交延长线于点．
①求证：平分；
②设，请用含的代数式表示；
(2)如图2，若，为上的一点，且点位于两侧，作关于对称的图形，连接，试猜想三者之间的数量关系并给予证明．
15．如图1，在中，，是上一点（不与点，重合），过点作于点，连接并延长交的外接圆于点，连接，，．

(1)求证：．
(2)若，求证：．
(3)如图2，，．
①若，求的长．
②求的最大值．
16．如图1，已知等腰内接于，，，是上的一个动点，连接并延长，点在射线上，且．
(1)如图2，若是的直径．
①求的半径长；
②求的长；
(2)在点的运动过程中，当与的一条边平行时，求的长．
17．如图1，为的外接圆，半径为6，，，点为优弧上异于的一动点，连接．
(1)求证：平分；
(2)如图2，平分，且与交于．
花花同学认为：无论点运动到哪里，始终有；
都都同学认为：的长会随着点运动而变化．
你赞同谁的观点，请说明理由；
(3)求的最大值．
18．在平面直角坐标系中，的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于的限距点的定义如下：若为直线与的一个交点，满足，则称为点P关于的限距点，如图1为点P及其关于的限距点的示意图．
(1)当的半径为时．
①分别判断点，，关于的限距点是否存在？若存在，求其坐标；
②如图2，点D的坐标为，DE，DF分别切于点E，F，点P在的边上．若点P关于的限距点存在，求点的横坐标的取值范围．
(2)保持（1）中D，E，F三点不变，点P在的边DE，DF上沿F→D→E的方向运动，的圆心C的坐标为，半径为r，若点P关于的限距点不存在，则r的取值范围为______．