2025年中考数学二轮复习：圆 压轴填空题练习题（含答案解析）

这是一份2025年中考数学二轮复习：圆 压轴填空题练习题（含答案解析），共63页。
1．在平面直角坐标系中，A（1，0），B(0，3)，过点B作直线BC∥x轴，点P是直线BC上的一个动点以AP为边在AP右侧作Rt△APQ，使∠APQ＝90°，且AP：AQ＝1：2，连结AB、BQ，则△ABQ周长的最小值为 ．
2．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为 ；当点E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为 ．
3．点I为△ABC的内心，连AI交△ABC的外接圆于点D，若AI＝2CD，点E为弦AC的中点，连接EI，IC，若IC＝6，ID＝5，则IE的长为 ．
4．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，I为△ABC的内心，连接OI，AI，BI．若OI⊥BI，OI＝1，则AB的长为 ．
5．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，AB＝5，AC＝4，D是BC上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E，连接BE，则BE的最小值是 ．
6．如图，正方形ABCD中，AB＝4，M是CD边上一个动点，以CM为直径的圆与BM相交于点Q，P为CD上另一个动点，连接AP，PQ，则AP+PQ的最小值是 ．
7．如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8，AB是⊙O的直径，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形A′B′C′D′，且AD′交⊙O于点E，AB′交⊙O于点F，D′C′与⊙O相切于点M．下列说法正确的有 ．（只填写序号）
①AE＝4，②AE=EM=MB，③AF=43，④∠DAD′＝30°．
8．如图，AB为⊙O的直径，CD、CB为⊙O的切线，D、B为切点，连接AD、BD，OC交⊙O于点E，AE交BD于G，AE的延长线交BC于点F，以下结论：①AD∥OC；②点E为△CDB的内心；③FC＝FE；④EG＝FE；⑤∠CFE＝∠AGB．其中正确的有 ．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相切于点D，连结AD，BE＝3，BD＝35．P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为 ．
10．如图，∠ACB＝60°，半径为2的⊙O与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设t＝PE+2PF，则t的取值范围是 ．
11．如图，等腰△ABC中，底边BC长为10，腰长为7，点D是BC边上一点，过点B作AC的平行线与过A、B、D三点的圆交于点E，连接DE，则DE的最小值是 ．#ZZ01
12．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝6，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论正确的 ．（填序号）
①CE＝CF；②当EF∥AB时，点F恰好落在弧BC上；③当EF与半圆相切时，AD＝2；④当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是63．
13．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，直线l经过△ABC的内心O，过点C作CD⊥l，垂足为D，连接AD，则AD的最小值是 ．
14．已知⊙O半径为4，点A，B在⊙O上，∠BAC＝90°，sin∠B=21313，则线段OC的最大值为 ．
15．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝4，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：
①∠F＝30°；
②CE＝CF；
③线段EF的最小值为23；
④当AD＝1时，EF与半圆相切；
⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是83．
其中正确的结论的序号为 ．
16．如图，半圆O的直径DE＝12cm，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12cm．半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，当圆心O运动到点B时停止，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为t（s），运动开始时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8cm．当t＝ 时，Rt△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．
17．如图，在平面直角坐标系中，⊙O与x轴正半轴，y轴负半轴分别交于点A，B，点C（﹣2，2）在⊙O上，点D为OB的中点，连结CD并延长CD交⊙O于点E，点F在x轴的正半轴上，联结DF，CF交⊙O于点G，若弧AG＝弧BE，则△CDF的面积为 ．#ZZ01
18．△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4，E是AC的中点，MN分别是边AB、BC上的动点，D也是BC边上的一个动点，以CD为直径作⊙O，连接ED交⊙O于F，连接FM，MN，则FM+MN的最小值为 ．
19．如图，半径为2的⊙O与正六边形ABCDEF相切于点C，F，则图中阴影部分的面积为 ．
20．正方形ABCD中，E是AD边中点，连接CE，作∠BCE的平分线交AB于点F，则以下结论：①∠ECD＝30°，②△BCF的外接圆经过点E；③四边形AFCD的面积是△BCF面积的5倍；④BFAB=5−12．其中正确的结论有 .（请填写所有正确结论的序号）
21．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（﹣5，2），M（﹣5，3），⊙P的半径为1，直线l：y＝ax，给出下列四个结论：
①当a＝1时，直线l与⊙P相离；
②若直线l是⊙P的一条对称轴，则a=−25；
③若直线l与⊙P只有一个公共点A，则OA＝27；
④若直线l上存在点B，⊙P上存在点N，使得∠MBN＝90°，则a的最小值为−34．
其中所有正确的结论序号是 ．
22．已知矩形MNPQ的顶点M，N，P，Q分别在正六边形ABCDEF的边DE，FA，AB，CD上，在点M从E移动到D的过程中，下列对矩形MNPQ的判断：
①矩形MNPQ的面积与周长保持不变；
②矩形MNPQ的面积逐渐减少；
③矩形MNPQ的周长逐渐增大；
④矩形MNPQ的对角线长存在最小值．
一定正确的是 ．（填序号）
23．如图，AB是半圆O的直径，点C在半径OA上，过点C作CD⊥AB交半圆O于点D．以CD，CA为边分别向左、下作正方形CDEF，CAGH．过点B作GH的垂线与GH的延长线交于点I，M为HI的中点．记正方形CDEF，CAGH，四边形BCHI的面积分别为S1，S2，S3．
（1）若AC：BC＝2：3，则S1S2的值为 ；
（2）若D，O，M在同条直线上，则S1+S2S3的值为 ．
24．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点，⊙D过A、B、C三点，P是⊙D上一动点，连接PC、PO，则2PC+5PO的最小值为 ．
25．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝12，圆C半径为6，P为斜边AB上的一个动点，PM、PN分别与圆C相切于M、N，连接MN交PC于点Q，则AQ的最小值为 ．
参考答案与试题解析
一．填空题（共25小题）
1．在平面直角坐标系中，A（1，0），B(0，3)，过点B作直线BC∥x轴，点P是直线BC上的一个动点以AP为边在AP右侧作Rt△APQ，使∠APQ＝90°，且AP：AQ＝1：2，连结AB、BQ，则△ABQ周长的最小值为 213+2 ．
【考点】圆周角定理；轴对称﹣最短路线问题；坐标与图形性质；勾股定理的逆定理．
【专题】平移、旋转与对称；应用意识．
【答案】213+2．
【分析】设P（m，3）．作AM⊥BC于M，QN⊥BC于N．利用新三角形的性质求出点Q的坐标推出，点Q的运动轨迹是直线y=−3x+53，作点A关于直线y=−3x+53的对称点A′，连接BA′交直线于Q′，连接AQ′，此时△ABQ′的周长最小．
【解答】解：∠APQ＝90°，且AP：AQ＝1：2，
∴∠AQP＝30°．
∴tan∠AQP=PAPQ=33．
设P（m，3）．作AM⊥BC于M，QN⊥BC于N．
∵∠AMP＝∠APQ＝∠QNP＝90°，
∴∠APM+∠NPQ＝90°，∠NPQ+∠PQN＝90°，
∴∠APM＝∠PQN，
∴△AMP∽△PNQ，
∴AMPN=PMNQ=PAPQ=33，
∴3PN=m−1NQ=13，
∴PN＝3，NQ=3（m﹣1），
∴Q（m+3，23−3m），
∴点Q的运动轨迹是y=−3x+53，
作点A关于直线y=−3x+53的对称点A′，连接BA′交直线于Q′，连接AQ′，此时△ABQ′的周长最小．
∵A′（7，23），B（0，3），A（1，0），
∴A′B=72+(3)2=213，AB=12+(3)2=2，
∴△ABQ的周长的最小值＝AQ′+BQ′+AB＝A′Q′+BQ′+AB＝A′B+AB＝213+2，
故答案为：213+2．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题．
2．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为 23 ；当点E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为 3−1 ．
【考点】垂径定理；坐标与图形性质．
【专题】圆的有关概念及性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】作GM⊥AC于M，连接AG．因为∠AFC＝90°，推出点F在以AC为直径的⊙M上推出当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣GM，想办法求出FM、GM即可解决问题；
【解答】解：作GM⊥AC于M，连接AG．
∵GO⊥AB，
∴OA＝OB，
在Rt△AGO中，∵AG＝2，OG＝1，
∴AG＝2OG，OA=22−12=3，
∴∠GAO＝30°，AB＝2AO＝23，
∴∠AGO＝60°，
∵GC＝GA，
∴∠GCA＝∠GAC，
∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC，
∴∠GCA＝∠GAC＝30°，
∴AC＝2OA＝23，MG=12CG＝1，
∵∠AFC＝90°，
∴点F在以AC为直径的⊙M上，
当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣GM=3−1．
故答案为23，3−1．
【点评】本题考查垂径定理、直角三角形30度角的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
3．点I为△ABC的内心，连AI交△ABC的外接圆于点D，若AI＝2CD，点E为弦AC的中点，连接EI，IC，若IC＝6，ID＝5，则IE的长为 4 ．
【考点】三角形的内切圆与内心；三角形的外接圆与外心．
【专题】圆的有关概念及性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】延长ID到M，使得DM＝ID，连接CM．想办法求出CM，证明IE是△ACM的中位线即可解决问题；
【解答】解：延长ID到M，使得DM＝ID，连接CM．
∵I是△ABC的内心，
∴∠IAC＝∠IAB，∠ICA＝∠ICB，
∵∠DIC＝∠IAC+∠ICA，∠DCI＝∠BCD+∠ICB，∠BCD＝∠IAB，
∴∠DIC＝∠DCI，
∴DI＝DC＝DM，
∴∠ICM＝90°，
∴CM=IM2−IC2=8，
∵AI＝2CD＝10，
∴AI＝IM，∵AE＝EC，
∴IE=12CM＝4，
故答案为4．
【点评】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、三角形的中位线定理、直角三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．
4．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，I为△ABC的内心，连接OI，AI，BI．若OI⊥BI，OI＝1，则AB的长为 25 ．
【考点】三角形的内切圆与内心；三角形中位线定理；垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【专题】计算题；几何综合题；数形结合；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】25．
【分析】延长BI交⊙O于M点，连接MA，通过中位线定理可求出AM的长，再通过角的关系可求得∠MIA＝45°，进而求证直角三角形MAI为等腰直角三角形，求得MI的长，MB的长，利用勾股定理求出AB的长．
【解答】解：延长BI交⊙O于M点，连接MA，
在△ABM中斜边AB经过圆心O，
∴∠AMB＝90°，
又∵BI⊥OI，AO＝OB，
∴OI为△AMB的中位线，
∴AM＝2OI＝2，
在Rt△ABC中，I为三个角平分线的交点
∴∠IAB+∠IBA＝45°，
即∠MIA＝45°（三角形外角与内角的关系），
∴Rt△MAI为等腰直角三角形，
∴MA＝MI＝IB＝2，
根据勾股定理可得，
AB2＝MA2+MB2＝22+42＝20，
即AB＝25，
故答案为：25．
【点评】本题考查了三角形中位线，三角形内切圆圆心，直角三角形以及勾股定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理，三角形内切圆圆心，直角三角形性质以及勾股定理．
5．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，AB＝5，AC＝4，D是BC上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E，连接BE，则BE的最小值是 13−2 ．
【考点】圆周角定理；三角形三边关系；勾股定理．
【专题】与圆有关的计算；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】如图，连接BO′、BC．在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E，利用勾股定理求出BO′即可解决问题．
【解答】解：如图，取AC的中点O′，连接BO′、BC．
∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5，
∴BC=AB2−AC2=52−42=3，
在Rt△BCO′中，BO′=BC2+CO′2=22+32=13，
∵O′E+BE≥O′B，
∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E=13−2，
故答案为：13−2．
【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定等E的运动轨迹是以AC为直径的圆上运动，属于中考填空题中压轴题．
6．如图，正方形ABCD中，AB＝4，M是CD边上一个动点，以CM为直径的圆与BM相交于点Q，P为CD上另一个动点，连接AP，PQ，则AP+PQ的最小值是 213−2 ．
【考点】垂径定理；轴对称﹣最短路线问题；正方形的性质．
【专题】几何动点问题；动点型；数形结合；几何直观；推理能力．
【答案】213−2．
【分析】AP+PQ中，A点是定点，P，Q是动点，P在线段DC上，想到将军饮马，Q在以BC为直径的圆上，最终转化为点圆最值问题．
【解答】解：连接CQ，以CD为一条边在右侧作正方形CDEF，则∠MQC＝90°，
∴∠BQC＝90°，
∴点Q在以BC为直径的圆上运动，
∵AD＝DE，∠ADP＝∠EDP，DP＝DP，
∴△ADP≌△EDP（SAS），
∴AP＝EP，
∴AP+PQ＝EP+PQ≥EQ≥EO﹣ON=OF2+EF2−2=62+42−2=213−2，
∴AP+PQ的最小值为213−2，
故答案为：213−2．
【点评】本题考查了将军饮马、隐圆、点圆最值问题，关键是找出定点和动点，以及动点在什么图形上运动．
7．如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8，AB是⊙O的直径，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形A′B′C′D′，且AD′交⊙O于点E，AB′交⊙O于点F，D′C′与⊙O相切于点M．下列说法正确的有 ①②③④ ．（只填写序号）
①AE＝4，②AE=EM=MB，③AF=43，④∠DAD′＝30°．
【考点】圆的综合题．
【专题】几何综合题；压轴题；推理填空题；矩形 菱形 正方形；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】①②③④．
【分析】连接OE，OM，过点O作ON⊥AD′于点N，可得四边形OMD′N是矩形，证明OM＝ND′＝4，根据OA＝OE，ON⊥AD′，可得AN＝EN＝2，进而可以判断①正确；证明△OAE是等边三角形，可得∠EOM＝60°，∠BOM＝60°，进而可以判断②正确；连接BF，根据AB是⊙O的直径，可得∠AFB＝90°，利用含30度角的直角三角形即可判断③正确；根据∠DAB＝90°，∠D′AO＝60°，即可判断④正确．
【解答】解：如图，连接OE，OM，过点O作ON⊥AD′于点N，
∵D′C′与⊙O相切于点M，
∴OM⊥C′D′，
∴四边形OMD′N是矩形，
∴OM＝ND′，
∵AB＝8，AB是⊙O的直径，
∴OM＝ND′＝4，
在矩形ABCD中，由旋转可知：AD′＝AD＝6，
∴AN＝AD′﹣ND′＝6﹣4＝2，
∵OA＝OE，ON⊥AD′，
∴AN＝EN＝2，
∴AE＝4，故①正确；
∵AE＝AO＝OE＝4，
∴△OAE是等边三角形，
∴∠AOE＝∠OEA＝60°，
∴∠OED′＝120°，
∵∠D′＝∠OMD′＝90°，
∴∠EOM＝60°，
∴∠BOM＝60°，
∴AE=EM=MB，故②正确；
如图，连接BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∵∠EAO＝60°，∠D′AB′＝90°，
∴∠BAF＝30°，
∴BF=12AB＝4，
∴AF=3BF＝43，故③正确；
∵∠DAB＝90°，∠D′AO＝60°，
∠DAD′＝30°，故④正确．
综上所述：正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
【点评】本题属于几何综合题，是中考选择题的压轴题，考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，矩形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是得到△OAE是等边三角形．
8．如图，AB为⊙O的直径，CD、CB为⊙O的切线，D、B为切点，连接AD、BD，OC交⊙O于点E，AE交BD于G，AE的延长线交BC于点F，以下结论：①AD∥OC；②点E为△CDB的内心；③FC＝FE；④EG＝FE；⑤∠CFE＝∠AGB．其中正确的有 ①②④⑤ ．
【考点】三角形的内切圆与内心；垂径定理；圆周角定理；切线的性质．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】①②④⑤．
【分析】如图所示，连接OD，DE，EB，先证明Rt△CDO≌Rt△CBO（HL），得到∠COD＝∠COB，再由圆周角定理得到∠COB=∠DAB=12∠DOB即可判断①；根据切线的性质和三角形内角和定理得到∠DOC+∠DCO＝90°＝∠ODE+∠CDE，进而推出∠BDE=12∠BOE则DE是∠CDB的角平分线，同理可证得BE是∠CBD的平分线，即可判断②；若FC＝FE，则应有∠OCB＝∠CEF，应∠CEF＝∠AEO＝∠EAB＝∠OCB，进而推出∠COB＝60°而∠COB的度数不一定是60度，即可判断③；由E为△CBD的内心，推出BE是∠FBG的角平分线，证明△FEB≌△GEB（ASA），据此可判断④⑤．
【解答】解：如图，连接OD，DE，EB，
∵CD、BC是⊙O的切线，
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，OD＝OB，
∵OC＝OC，
∴Rt△CDO≌Rt△CBO（HL），
∴∠COD＝∠COB，
∴∠COB=∠DAB=12∠DOB，
∴AD∥OC，故①正确；
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC＝90°，
∴∠DOC+∠DCO＝90°＝∠ODE+∠CDE，
∵OD＝OE，
∴2∠ODE+∠DOC＝180°
∴∠CDE=12∠DOC，
∵∠BDE=12∠BOE，
∴∠CDE＝∠BDE，即DE是∠CDB的角平分线，同理可证得BE是∠CBD的平分线，
∴E为△CBD的内心，故②正确；
若FC＝FE，则应有∠OCB＝∠CEF，应有∠CEF＝∠AEO＝∠EAB＝∠OCB，
∴∠COB＝∠OAE+∠OEA＝2∠OCB，
∴∠COB＝60°，
而∠COB的度数不一定是60度，故③不正确；
∵E为△CBD的内心，
∴BE是∠FBG的角平分线，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，即BE⊥FG，
∴△FEB≌△GEB（ASA），
∴EG＝FE，BG＝BF，故④正确；
∵BG＝BF，
∴∠BGF＝∠BFG，
∴∠CFE＝∠AGB，故⑤正确；
因此正确的结论有：①②④⑤．
故答案为：①②④⑤．
【点评】本题主要考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，内心的概念，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等，解决本题的关键是掌握切线的性质．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相切于点D，连结AD，BE＝3，BD＝35．P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为 6或230 ．
【考点】圆的综合题．
【专题】几何综合题；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】6或230．
【分析】连接OD，DE，根据切线的性质和勾股定理求出OD＝6，然后分三种情况讨论：①当AP＝PD时，此时P与O重合，②如图2，当AP′＝AD时，③如图3，当DP′′＝AD时，分别进行求解即可．
【解答】解：如图1，连接OD，DE，
∵半圆O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
在Rt△OBD中，OB＝OE+BE＝OD+3，BD＝35．
∴OB2＝BD2+OD2，
∴（OD+3）2＝（35）2+OD2，
解得OD＝6，
∴AO＝EO＝OD＝6，
①当AP＝PD时，此时P与O重合，
∴AP＝AO＝6；
②如图2，当AP′＝AD时，
在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∴OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴ODAC=BDBC=BOBA，
∴6AC=3535+CD=3+63+6+6，
∴AC＝10，CD＝25，
∴AD=AC2+CD2=100+20=230，
∴AP′＝AD＝230；
③如图3，当DP′′＝AD时，
∵AD＝230，
∴DP′′＝AD＝230，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠BAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AD平分∠BAC，
过点D作DH⊥AE于点H，
∴AH＝P″H，DH＝DC＝25，
∵AD＝AD，
∴Rt△ADH≌Rt△ADC（HL），
∴AH＝AC＝10，
∴AH＝AC＝P″H＝10，
∴AP″＝2AH＝20（P为AB边上一点，不符合题意，舍去），
综上所述：当△ADP为等腰三角形时，AP的长为6或230．
故答案为：6或230．
【点评】此题属于圆的综合题，考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，综合性强，解决本题的关键是利用分类讨论思想．
10．如图，∠ACB＝60°，半径为2的⊙O与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设t＝PE+2PF，则t的取值范围是 6﹣23≤t≤6+23 ．
【考点】切线的性质．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】6﹣23≤t≤6+23．
【分析】设半径为2的⊙O与角的两边相切于M，N，连接OM，ON，延长NO交CB于D，求得∠CND＝∠OMD＝90°，根据直角三角形的性质得到∠CDN＝30°，求得OD，得到CN=33DN，如图1，延长EP交BC于Q，推出△ECQ与△PFQ是直角三角形，根据直角三角形的性质得到CE＝EQ，PQ＝2PF，求得t＝PE+2PF＝PE+PQ＝EQ，当EQ与⊙O相切且点P在圆心的右侧时，t有最大值，连接OP，则四边形ENOP是正方形，根据正方形的性质得到EN＝OP＝2，求得t；如图2，当EQ与⊙O相切且点P在圆心的，左侧时，t有最小值，同理可得t，于是得到结论．
【解答】解：设半径为2的⊙O与角的两边相切于M，N，如图1，连接OM，ON，延长NO交CB于D，
∴∠CND＝∠OMD＝90°，
∵∠ACB＝60°，
∴△CND是直角三角形，
∴∠CDN＝30°，
∵ON＝OM＝2，
∴OD＝4，
∴DN＝OD+ON＝4+2＝6，
∴CN=33DN＝23，
如图1，延长EP交BC于Q，
∵EQ⊥AC，PF⊥BC，
∴∠CEQ＝∠PFQ＝90°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠EQC＝30°，
∴△ECQ与△PFQ是直角三角形，
∴3CE＝EQ，PQ＝2PF，
∴t＝PE+2PF＝PE+PQ＝EQ，
当EQ与⊙O相切且点P在圆心的右侧时，t有最大值，
连接OP，
则四边形ENOP是正方形，
∴EN＝OP＝2，CN＝CM＝23，
∴t＝PE+2PF＝PE+PQ＝EQ=3CE=3（CN+EN）=3（23+2）＝6+23；
如图2，当EQ与⊙O相切且点P在圆心的左侧时，t有最小值，
同理可得t＝PE+2PF＝PE+PQ＝EQ=3CE=3（CN﹣EN）=3（23−2）＝6﹣23；
故t的取值范围是6﹣23≤t≤6+23，
故答案为：6﹣23≤t≤6+23．
【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
11．如图，等腰△ABC中，底边BC长为10，腰长为7，点D是BC边上一点，过点B作AC的平行线与过A、B、D三点的圆交于点E，连接DE，则DE的最小值是 26 ．#ZZ01
【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质．
【专题】与圆有关的计算；应用意识．
【答案】26．
【分析】如图，连接AE，AD，OE，OD，作AJ⊥BC于J，OK⊥DE于K．首先证明∠EOD＝2∠C＝定值，推出⊙O的半径最小时，DE的值最小，推出当AB是直径时，DE的值最小．
【解答】解：如图，连接AE，AD，OE，OD，作AJ⊥BC于J，OK⊥DE于K．
∵BE∥AC，
∴∠EBC+∠C＝180°，
∵∠EBC+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠C，
∵∠EOD＝2∠EAD，
∴∠EOD＝2∠C＝定值，
∴⊙O的半径最小时，DE的值最小，
∴当AB是⊙O的直径时，DE的值最小，
∵AB＝AC＝7，AJ⊥BC，
∴BJ＝CJ＝5，
∴AJ=AC2−CJ2=72−52=26，
∵OK⊥DE，
∴EK＝DK，
∵AB＝7，
∴OE＝OD＝3.5，
∵∠EOK＝∠DOK＝∠C，
∴sin∠EOK＝sin∠C=AJAC=267，
∴EK3.5=267，
∴EK=6，
∴DE＝26，
∴DE的最小值为26，
故答案为：26．
【点评】本题考查三角形的外接圆，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
12．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝6，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论正确的 ①② ．（填序号）
①CE＝CF；②当EF∥AB时，点F恰好落在弧BC上；③当EF与半圆相切时，AD＝2；④当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是63．
【考点】切线的性质；扇形面积的计算；轴对称的性质；圆周角定理；直线与圆的位置关系．
【专题】综合题；几何直观；推理能力．
【答案】①②．
【分析】①由点E与点D关于AC对称可得CE＝CD，再根据DF⊥DE即可证到CE＝CF，②利用三角形的中位线的判定方法得到△FBD等边三角形，只需证明∠AFB＝90°，就能得出结论，③连接OC，OD，易证△AOC是等边三角形，AD＝OD，根据含30°角的直角三角形的性质求出AD长，④首先根据对称性确定线段EF扫过的图形，然后探究出该图形与△ABC的关系，就可求出线段EF扫过的面积．
【解答】解：①连接CD，如图1所示：
∵点E与点D关于AC对称，
∴CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF＝90°，
∴∠E+∠F＝90°，∠CDE+∠CDF＝90°，
∴∠F＝∠CDF，
∴CD＝CF，
∴CE＝CD＝CF，
故①正确，
②连接FB、CO、CD，如图2所示：
∵点E与点D关于AC对称，
∴ED⊥AC，
∴∠AGD＝90°，
∴∠AGD＝∠ACB＝90°，
∴ED∥BC，
∵EC＝CF
∴FH＝DH，
∵DE∥BC，
∴∠FHC＝∠FDE＝90°，
∴BC是DF的垂直平分线，
∴BF＝BD，CF＝CD，
∴∠FBH＝∠DBH＝30°，
∴∠FBD＝60°，
∴△FDB是等边三角形，
∴∠FDB＝60°，
∵EF∥AB，
∴∠CFB＝∠FDBC＝60°，
∴△FDC是等边三角形，
∴DC＝DF
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠FBA＝90°，
∵OA＝OC，∠FBA＝30°，
∴∠A＝∠ACO＝60°，
∴△OAC是等边三角形
又∵EF∥AB，EG＝GD，
∴CG＝AG，
∵AC⊥ED，
∴DA＝DC，
∴DAC是等边三角形，
∴点O与点D重合，
即：OF与DF重合，
∴DF＝OF＝OA
∴点F恰好落在弧BC上，
故②正确，
③连接OC，CD，如图3所示：
∵EF与半圆相切，
∴OC⊥EF，
∴∠ECO＝90°，
∴∠ECA+∠ACO＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵OA＝OC，∠B＝30°，
∴∠A＝∠ACO＝60°，
∴△OAC是等边三角形，∠ECA＝∠B＝30°，
∴AC＝OA=12AB＝3，
∵点E与点D关于AC对称，
∴∠ECA＝∠DCA＝30°，
∴∠A+∠DCA＝90°，
∴AD=12AC=32，
故③错误，
④∵点D与点E关于AC对称，点D与点F关于BC对称，
∴当点D从点A运动到点B时，点E的运动路径AM与AB关于AC对称，点F的运动路径NB与AB关于BC对称．
∴EF扫过的图形面积就是图4中△MAC和△NCB面积，
∴S△MAC+△NCB＝2S△ABC
＝2×12×AC•BC
＝AC•BC
＝3×33
＝93，
∴EF扫过的面积为93，
故④错误．
故答案为：①②．
【点评】本题是一个几何综合题，考查了等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形中位线的判定、切线的性质、轴对称的性质、含30°角的直角三角形判定和性质、求图形面积等知识，熟练掌握几何图形的性质和判定是解题的关键．
13．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，直线l经过△ABC的内心O，过点C作CD⊥l，垂足为D，连接AD，则AD的最小值是 22 ．
【考点】三角形的内切圆与内心；勾股定理．
【专题】推理填空题；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】22．
【分析】圆O与Rt△ABC三边的切点分别为E，F，G，连接OE，OF，OG，先根据圆O是Rt△ABC的内切圆，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，求出正方形CEOF的边长为x，根据勾股定理可得OC=2，连接AQ，过点Q作QP⊥AC于点P，当点D运动到线段QA上时，AD取得最小值，再利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图，圆O与Rt△ABC三边的切点分别为E，F，G，连接OE，OF，OG，
∵圆O是Rt△ABC的内切圆，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴CE＝CF，BE＝BG，AF＝AG，AB=32+42=5，
∴四边形CEOF是正方形，
设正方形CEOF的边长为x，
则BE＝BG＝3﹣x，AF＝AG＝4﹣x，
根据题意，得
3﹣x+4﹣x＝5，
解得x＝1，
∴OC=12+12=2，
∵CD⊥l，
∴∠CDO＝90°，
∴点D在以OC为直径的圆Q上，如图，
连接AQ，过点Q作QP⊥AC于点P，
当点D运动到线段QA上时，AD取得最小值，
∴CP＝QP=12，
∴AP＝AC﹣CP＝4−12=72，圆Q的半径QD=22，
∴QA=QP2+AP2=(12)2+(72)2=522，
∴AD的最小值为AQ﹣QD=522−22=22．
故答案为：22．
【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，正方形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握三角形内切圆与内心．
14．已知⊙O半径为4，点A，B在⊙O上，∠BAC＝90°，sin∠B=21313，则线段OC的最大值为 4133+83 ．
【考点】圆周角定理；解直角三角形．
【专题】圆的有关概念及性质；图形的相似；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】如图，连接OA，OB，作AD⊥OA，使得∠ADO＝∠ABC．利用相似三角形的性质证明OC=23BD，求出BD的最大值即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OA，OB，作AD⊥OA，使得∠ADO＝∠ABC．
在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，
∴sin∠ABC=ACBC=21313，
设AC＝213k，BC＝13k，则AB＝313k，
∵∠ADO＝∠ABC，∠DAO＝∠BAC＝90°，
∴△DAO∽△BAC，
∴ADAB=AOAC，
∵∠DAO＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠OAC，
∴△DAB∽△OAC，
∴BDOC=ABAC=313k213k=32，
∴OC=23BD，
在Rt△ADO中，∵∠DAO＝90°，
∴sin∠ADO=OAOD=21313，
∵OA＝OB＝4，
∴OD＝213，
∵OD﹣OB≤BD≤OD+OB，
∴213−4≤BD≤213+4，
∴BD的最大值为213+4，
∴OC的最大值=4133+83，
故答案为4133+83．
【点评】本题考查圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
15．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝4，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：
①∠F＝30°；
②CE＝CF；
③线段EF的最小值为23；
④当AD＝1时，EF与半圆相切；
⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是83．
其中正确的结论的序号为 ②③④ ．
【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算；轴对称的性质；三角形三边关系；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；圆周角定理；点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系．
【专题】压轴题；推理能力．
【答案】②③④．
【分析】（1）由对称证明出∠F＝∠CDF，得到只有当CD⊥AB时，∠F＝∠CDF＝∠CBA＝30°；
（2）由点E与点D关于AC对称可得CE＝CD，再根据DF⊥DE即可证到CE＝CF；
（3）根据“点到直线之间，垂线段最短”可得CD⊥AB时CD最小，由于EF＝2CD，求出CD的最小值就可求出EF的最小值；
（4）连接OC，易证△AOC是等边三角形，AD＝OD，根据等腰三角形的“三线合一”可求出∠ACD，进而可求出∠ECO＝90°，从而得到EF与半圆相切；
（5）首先根据对称性确定线段EF扫过的图形，然后探究出该图形与△ABC的关系，就可求出线段EF扫过的面积．
【解答】解：①连接CD，如图1所示．
∵点E与点D关于AC对称，
∴CE＝CD．
∴∠E＝∠CDE．
∵DF⊥DE，
∴∠EDF＝90°．
∴∠E+∠F＝90°，∠CDE+∠CDF＝90°．
∴∠F＝∠CDF．
只有当CD⊥AB时，∠F＝∠CDF＝∠CBA＝30°，故①错误；
②又∵∠F＝∠CDF，
∴CD＝CF，
∴CE＝CD＝CF．故②正确；
③当CD⊥AB时，如图2所示．
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝4，∠CBA＝30°，
∴∠CAB＝60°，AC＝2，BC＝23，
∵CD⊥AB，∠CBA＝30°，
∴CD=12BC=3，
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
点D在线段AB上运动时，CD的最小值为3．
∵CE＝CD＝CF，
∴EF＝2CD．
∴线段EF的最小值为23．故③正确；
④当AD＝1时，连接OC，如图3所示，
∵OA＝OC，∠CAB＝60°，
∴△OAC是等边三角形．
∴CA＝CO，∠ACO＝60°．
∵AO＝2，AD＝1，
∴DO＝1．
∴AD＝DO，
∴∠ACD＝∠OCD＝30°，
∵点E与点D关于AC对称，
∴∠ECA＝∠DCA，
∴∠ECA＝30°，
∴∠ECO＝90°，
∴OC⊥EF，
∵EF经过半径OC的外端，且OC⊥EF，
∴EF与半圆相切．故④正确；
⑤∵点D与点E关于AC对称，
点D与点F关于BC对称，
∴当点D从点A运动到点B时，
点E的运动路径AM与AB关于AC对称，
点F的运动路径NB与AB关于BC对称．
∴EF扫过的图形就是图5中阴影部分．
∴S阴影＝2S△ABC＝2×12•AC•BC＝43．故⑤错误．
故答案为②③④．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质、含30°角的直角三角形、垂线段最短等知识，综合性强，有一定的难度，第五个问题解题的关键是通过特殊点探究EF的运动轨迹，属于中考压轴题．
16．如图，半圆O的直径DE＝12cm，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12cm．半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，当圆心O运动到点B时停止，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为t（s），运动开始时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8cm．当t＝ 1s，4s，7s 时，Rt△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．
【考点】切线的判定；含30度角的直角三角形；圆周角定理．
【专题】推理填空题；动点型；与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】1s，4s，7s．
【分析】分4种情况讨论：①当圆心O运动到点E与点C重合是时；②当圆心O运动到AC右侧与AC相切时；③过C点作CF⊥AB，交AB于F点，当半圆O与△ABC的边AB相切时，圆心O到AB的距离等于6cm，且圆心O又在直线BC上，即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切，此时点O运动了8cm，所求运动时间为t＝4．
【解答】解：①当圆心O运动到点E与点C重合是时，
∵AC⊥OE，OC＝OE＝6cm，
此时AC与半圆O所在的圆相切，点O运动了2cm，
所求运动时间为t＝2÷2＝1（s）；
②当圆心O运动到AC右侧与AC相切时，
此时OC＝6cm，点O运动的距离为8+6＝14（cm），
所求运动时间为t＝14÷2＝7（s）；
③如图1，过C点作CF⊥AB，交AB于F点；
∵∠ABC＝30°，BC＝12cm，
∴FO＝6cm；
当半圆O与△ABC的边AB相切时，
∵圆心O到AB的距离等于6cm，
且圆心O又在直线BC上，
∴O与C重合，
即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切；
此时点O运动了8cm，所求运动时间为t＝8÷2＝4（s），
当点O运动到B点的右侧，且OB＝12cm时，
如图2，过点O作OQ⊥直线AB，垂足为Q．
在Rt△QOB中，∠OBQ＝30°，则OQ＝6cm，
即OQ与半圆O所在的圆相切．
此时点O运动了32cm．
所求运动时间为：t＝32÷2＝16s，
综上可知当t的值为1s或4s或7秒或16s时，
Rt△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．
因为圆心O运动到点B时停止，
所以此种情况不符合题意舍去，
故答案为：1s，4s，7s．
【点评】此题主要考查了切线的判定，含30度角的直角三角形，直线与圆的位置关系，解决本题的关键是利用时间t来表示线段之间的关系是动点问题中是常用的方法之一，要会灵活运用．
17．如图，在平面直角坐标系中，⊙O与x轴正半轴，y轴负半轴分别交于点A，B，点C（﹣2，2）在⊙O上，点D为OB的中点，连结CD并延长CD交⊙O于点E，点F在x轴的正半轴上，联结DF，CF交⊙O于点G，若弧AG＝弧BE，则△CDF的面积为 4+52 ．#ZZ01
【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】一次函数及其应用；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】4+52．
【分析】先求出∠ECF＝45°，再过D作DH⊥CF，构造一线三直角模型，求出点H，由C、D两点确定直线CD的表达式，求出点K，由C、H两点确定直线CF的表达式，求出点F，最后利用S△CDF＝S△CKF+S△DK求．
【解答】解：过D作DH⊥CF，垂足为H，过H作MN∥y轴，交x轴于点Q，过C作CM⊥MN，垂足为M，过D作DN⊥MN，垂足为N，设直线CD交x轴于点K，CM交y轴于点P，
∵AG=BE，
∴EG=BA，
∵∠BOA＝90°，
∴∠ECF＝45°，
∴HC＝HD，
∵点C（﹣2，2），
∴OC＝22，
∴OB＝22，
∴OD=2，
∴D（0，−2），
设直线CD的表达式为y＝kx−2，代入点C（﹣2，2）得k＝﹣1−22，
∴y＝（﹣1−22）x−2，令y＝0得x＝2﹣22，
∴OK＝22−2，
∵∠HCM+∠CHM＝90°，∠DHN+∠CHM＝90°，
∴∠HCM＝∠DHN，
∵∠CMH＝∠HND，CH＝HD，
∴△CMH≌△HND（AAS），
∴CM＝HN，MH＝DN，
∴MN＝MH+HN＝DN+CM＝DN+CP+PM＝DN+2+DN＝2DN+2，
∵MN＝PD＝PO+OD＝2+2，
∴2DN+2＝2+2，
∴DN=22，
∴OQ=22，
∴QH＝HN﹣QN＝CM﹣OD＝2+22−2=2−22，
∴H（22，2−22），
设直线CH的表达式为y＝mx+n，代入点C（﹣2，2）、H（22，2−22）得−2m+n=22m2+n=2−22，
∴m=1−227n=16−427，
∴y=1−227x+16−427，令y＝0得x＝42，
∴OF＝42，
∴KF＝OK+OF＝22−2+42=62−2，
∴S△CDF＝S△CKF+S△DKF=12×KF×2+12×KF×2=62−2+12×（62−2）×2=4+52．
【点评】本题考查了一次函数表达式的求法，结合了一线三直角模型求点的坐标，关键是确定∠ECF＝45°．
18．△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4，E是AC的中点，MN分别是边AB、BC上的动点，D也是BC边上的一个动点，以CD为直径作⊙O，连接ED交⊙O于F，连接FM，MN，则FM+MN的最小值为 92 ．
【考点】圆的综合题．
【专题】几何综合题；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】92．
【分析】连接CF，根据圆周角定理可得∠CFD＝90°，取CE的中点G，连接FG，可得FG=12CE，以CE为直径作圆G，可得点F在圆G上，将△ABC沿AB对折得到△ABC′，过点G作GN″⊥BC′于点N″，交AB于点M，交圆G于点F，此时GN″最短，所以FM+MN＝FM+MN″＝FN″最小，延长BC，B″G交于点P，可得∠BPN″＝30°，根据含30度角的直角三角形即可解决问题．
【解答】解：如图，连接CF，
∵CD⊙O为直径，
∴∠CFD＝90°，
∴∠CFE＝90°，
取CE的中点G，连接FG，
∴FG=12CE，
∵AC＝4，E是AC的中点，
∴CE＝AE=12AC＝2，
∴CG＝FG＝1，
以CE为直径作圆G，
∴点F在圆G上，
将△ABC沿AB对折得到△ABC′，
过点G作GN″⊥BC′于点N″，交AB于点M，交圆G于点F，
此时GN″最短，
∴FM+MN＝FM+MN″＝FN″最小，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，
∴BC=3AC＝43，∠CBC′＝60°，
延长BC，B″G交于点P，
∵∠PN″B＝90°，
∴∠BPN″＝30°，
∵CG＝1，
∴PG＝2，
∴CP=3，
∴BP＝43+3=53，
∴BN″=532，
∴PN″=3BN″=152，
∴FN″=152−2﹣1=92．
∴FM+MN的最小值为92，
故答案为：92．
【点评】本题属于圆的综合题，考查了翻折变换，最短距离问题，含30度角的直角三角形，圆周角定理，解决本题的关键是正确作出辅助线．
19．如图，半径为2的⊙O与正六边形ABCDEF相切于点C，F，则图中阴影部分的面积为 1334−4π3 ．
【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算；切线的性质．
【专题】推理填空题；正多边形与圆；运算能力；推理能力．
【答案】1334−4π3．
【分析】连接OC，OF，CF，过点O作OH⊥DE于点H，交CF于点G，过点D作DM⊥CF于点M，过点E作EN⊥CF于点N，根据正六边形的性质证明CF＝2CG＝23，可得CD＝2CM，EF＝2FN，列式计算得4CM＝23，所以CM=32，根据阴影部分的面积＝S梯形CDEF+S△COF﹣S扇形COF，即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OC，OF，CF，过点O作OH⊥DE于点H，交CF于点G，过点D作DM⊥CF于点M，过点E作EN⊥CF于点N，
∵半径为2的⊙O与正六边形ABCDEF相切于点C，F，
∴OC⊥CD，OF⊥EF，
∴∠OCD＝∠OFE＝90°，
∵∠BCD＝120°，
∴∠BCF＝∠DCF=12∠BCD＝60°，
∴∠OCF＝30°，
∵OC＝OF，
∴∠COF＝120°，
∵CF∥DE，OH⊥DE，
∴OG⊥CF，
∴OG=12OC＝1，
∴CG=3，
∴CF＝2CG＝23，
∵∠DCF＝60°，CD＝2CM，
同理：EF＝2FN，
∵CD＝EF＝DE＝MN，
∴CM＝FN，
∵CM+MN+NF＝CF，
∴4CM＝23，
∴CM=32，
∴CD=3，
∴DM=3CM=32，
∴S梯形CDEF=12（DE+CF）•DM=12（3+23）×32=934，
∵S扇形COF=120π×22360=4π3，S△COF=12×CF•OG=12×23×1=3，
∴阴影部分的面积＝S梯形CDEF+S△COF﹣S扇形COF=934+3−4π3=1334−4π3．
故答案为：1334−4π3．
【点评】本题考查了正多边形和圆，切线的性质，扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握正多边形和圆的性质．
20．正方形ABCD中，E是AD边中点，连接CE，作∠BCE的平分线交AB于点F，则以下结论：①∠ECD＝30°，②△BCF的外接圆经过点E；③四边形AFCD的面积是△BCF面积的5倍；④BFAB=5−12．其中正确的结论有 ③④ .（请填写所有正确结论的序号）
【考点】三角形的外接圆与外心；角平分线的性质；正方形的性质；圆周角定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】③④．
【分析】根据tan∠ECD=12≠33，可判断出①不正确；延长CF交DA的延长线于G，不妨正方形的边长为2，可证得∠G＝∠BCF，△AGF∽△BCF，进而计算求得AG，AF，BF，进而求得EF，从而判断出②④，计算△BCF和四边形AFCD的面积，从而判断出③．
【解答】解：∵∠D＝90°，
∴tan∠ECD=DECD=12，
∴∠ECD≠30°，
故①不正确；
如图，
延长CF交DA的延长线于G，
不妨正方形的边长为2，
∴CE=DE2+CD2=5，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠G＝∠BCF，△AGF∽△BCF，
∴BFAF=BCAG，
∵CF平分∠BCE，
∴∠BCF＝∠ECF，
∴∠G＝∠ECF，
∴GE＝CE=5，
∴AG＝GE﹣AE=5−1，
∴BFAF=25−1，
∴BFAF+BF=25−1+2，
∴BFAB=25+1=5−12，
∴④正确，
∴BF=5−12AB=5−1，
∴AF＝AF﹣BF＝2﹣（5−1）＝3−5，
∴EF2＝AF2+AE2＝（3−5）2+1＝15﹣65，
∵BF2＝（5−1）2＝6﹣25，
∴EF≠BF，
∴∠CEF≠∠B＝90°，
故②不正确，
∵S△BCF=12BC⋅BF=12×2×(5−1)=5−1，
S正方形ABCD＝4，
∴S四边形AFCD＝4﹣（5−1）＝5−5=5（5−1），
∴四边形AFCD的面积是△BCF面积的5倍，
故③正确，
故答案为：③④．
【点评】本题考查了正方形性质，角平分线性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
21．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（﹣5，2），M（﹣5，3），⊙P的半径为1，直线l：y＝ax，给出下列四个结论：
①当a＝1时，直线l与⊙P相离；
②若直线l是⊙P的一条对称轴，则a=−25；
③若直线l与⊙P只有一个公共点A，则OA＝27；
④若直线l上存在点B，⊙P上存在点N，使得∠MBN＝90°，则a的最小值为−34．
其中所有正确的结论序号是 ①②③④ ．
【考点】圆的综合题．
【专题】推理填空题；与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】①②③④．
【分析】①根据P（﹣5，2），M（﹣5，3），⊙P的半径为1，当a＝1时，直线l：y＝x，根据直线和圆的关系进而可以判断；
②直线l是⊙P的一条对称轴，则直线l一定过圆心，所以将P（﹣5，2）代入y＝ax，即可进行判断；
③若直线l与⊙P只有一个公共点A，则直线l与圆P相切，然后根据勾股定理进行计算即可判断；
④直线l上存在点B，⊙P上存在点N，使得∠MBN＝90°，并使y＝ax中a取得最小值，则BM⊥y轴，BN⊥x轴时，即B（﹣4，3），代入y＝ax，求出a的值，即可判断．
【解答】解：①∵点P（﹣5，2），M（﹣5，3），⊙P的半径为1，
当a＝1时，直线l：y＝x，如图，直线l1与⊙P相离，故①正确；
②若直线l是⊙P的一条对称轴，则直线l一定过圆心，
所以将P（﹣5，2）代入y＝ax，得a=−25，故②正确；
③若直线l与⊙P只有一个公共点A，则直线l与圆P相切，如图中的l2，l3，
则OP=52+22=29，
∵直线l2，l3与圆P相切，
∴PA⊥l2，PB⊥l3，
∵⊙P的半径为1，
∴OB＝OA=OP2−BP2=29−1=27，故③正确；
④若直线l上存在点B，⊙P上存在点N，使得∠MBN＝90°，点B在以MN为直径的圆上运动，如图，
设N（﹣4，2），a＜−34，
则a的最小值是−34，故④正确．
∴正确的结论序号是：①②③④．
故答案为：①②③④．
【点评】本题属于圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系，正比例函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，圆周角定理，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系．
22．已知矩形MNPQ的顶点M，N，P，Q分别在正六边形ABCDEF的边DE，FA，AB，CD上，在点M从E移动到D的过程中，下列对矩形MNPQ的判断：
①矩形MNPQ的面积与周长保持不变；
②矩形MNPQ的面积逐渐减少；
③矩形MNPQ的周长逐渐增大；
④矩形MNPQ的对角线长存在最小值．
一定正确的是 ②④ ．（填序号）
【考点】正多边形和圆；矩形的性质．
【专题】代数几何综合题；推理填空题；一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；矩形 菱形 正方形；正多边形与圆；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】以EF的对称轴为y轴，AD所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设正六边形的边长为2，连接OE，过点E作EH⊥x轴于点H，根据正六边形的性质可得E（1，3），D（2，0），设ED解析式为y＝kx+b，代入值可得ED解析式为y=−3x+23，根据M在ED上，设M（x，y）（1≤x2），根据矩形MNPQ，点M和点N关于y轴对称，可得N（﹣x，y），点M和点Q关于x轴对称，可得Q（x，﹣y），所以MN＝2x，MQ＝2y，然后表示矩形MNPQ的周长、面积、对角线，进而可以逐一进行判断．
【解答】解：∵正六边形ABCDEF是轴对称图形，
∴以EF的对称轴为y轴，AD所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图，
设正六边形的边长为2，连接OE，过点E作EH⊥x轴于点H，
∴OE＝2，∠EOH＝60°，
∴OH＝1，EH=3，
∴E（1，3），D（2，0），
设ED解析式为y＝kx+b，
k+b=32k+b=0，
解得k=−3b=23，
∴ED解析式为y=−3x+23，
∵M在ED上，设M（x，y）（1≤x≤2），
矩形MNPQ中，点M和点N关于y轴对称，
∴N（﹣x，y），
∵点M和点Q关于x轴对称，
∴Q（x，﹣y），
∴MN＝2x，MQ＝2y，
∴矩形MNPQ周长C＝2（MN+MQ）＝2（2x+2y）＝4x+4（−3x+23）＝﹣4（3−1）x+83，
∵﹣4（3−1）＜0，
∴C的值随x的增大而减小，点M从E移动到D的过程中，x不断增大，
故周长C会逐渐减小，故①③错误；
∵矩形MNPQ的面积S＝MN•MQ＝2x×2（−3x+23）＝﹣43x2+83x＝﹣43（x﹣1）2+43，
∵﹣43＜0，
∴抛物线开口向下，当x＞1时，S随x的增大而减小，
故矩形的面积S逐渐减小，故②正确；
∵矩形MNPQ的对角线PM2＝MN2+NP2＝MN2+MQ2＝（2x）2+[2（−3x+23）]2＝16x2﹣48x+48＝16（x−32）2+12，
∴当x=32时，PM2有最小值，此时，对角线PM最小，故④正确．
综上所述：②④．
故答案为：②④．
【点评】本题属于代数几何综合题，是中考填空题的压轴题，考查了正多边形和圆，矩形的性质，一次函数的性质，二次函数的最值，解决本题的关键是掌握正多边形的性质．
23．如图，AB是半圆O的直径，点C在半径OA上，过点C作CD⊥AB交半圆O于点D．以CD，CA为边分别向左、下作正方形CDEF，CAGH．过点B作GH的垂线与GH的延长线交于点I，M为HI的中点．记正方形CDEF，CAGH，四边形BCHI的面积分别为S1，S2，S3．
（1）若AC：BC＝2：3，则S1S2的值为 32 ；
（2）若D，O，M在同条直线上，则S1+S2S3的值为 5−52 ．
【考点】圆周角定理；正方形的性质；垂径定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；与圆有关的计算；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设AC＝2k，BC＝3k，利用相似三角形的性质求出CD2即可解决问题．
（2）当D．O．M共线时，设CD＝a，AC＝b，由CD2＝AC•BC，推出BC=a2b，推出AB＝b+a2b=a2+b2b，CO＝OA﹣AC=a2−b22b，HM＝MI=12HL=12CB=a22b，由CO∥HM，推出DCDH=OCHM，推出aa+b=a2−b22ba22b，整理得：（ba）[（ba）2+ba−1]＝0，求出ba的值即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，利用AD，BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DC⊥AB，
∴∠ACD＝∠DCB＝90°，
∴∠ADC+∠CAD＝90°，∠ADC+∠BDC＝90°，
∴∠BDC＝∠DAC，
∴△ACD∽△DCB，
∴CD：CB＝AC：CD，
∵AC：CB＝2：3，
∴可以假设AC＝2k，BC＝3k，
∴CD2＝6k2，
∴S1S2=CD2AC2=6k24k2=32，
故答案为32．
（2）当D．O．M共线时，设CD＝a，AC＝b，
∵CD2＝AC•BC，
∴BC=a2b，
∴AB＝b+a2b=a2+b2b，CO＝OA﹣AC=a2−b22b，HM＝MI=12HL=12CB=a22b，
∵CO∥HM，
∴DCDH=OCHM，
∴aa+b=a2−b22ba22b，
整理得：（ba）[（ba）2+ba−1]＝0
∵ba≠0，
∴ba=5−12或−5−12（舍弃），
∵S1+S2S3=a2+b2b⋅a2b=1+（ba）2，
∴S1+S2S3=5−52．
故答案为5−52．
【点评】本题考查圆周角定理，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
24．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点，⊙D过A、B、C三点，P是⊙D上一动点，连接PC、PO，则2PC+5PO的最小值为 35 ．
【考点】圆的综合题．
【专题】圆的有关概念及性质；图形的相似；运算能力；推理能力；模型思想．
【答案】见试题解答内容
【分析】2PC+5PO=2（PC+52PO），然后构造52PO，因为DP=5，OD=2，所以DP2＝OD•522，所以在DO的延长线上截取DE=522，从而得出△DOP∽△DPE，从而52PO＝PE，进而求得结果．
【解答】解：如图，
由﹣x2+2x+3＝0得，x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）
，当x＝0时，y＝3，
∴OC＝3，
∴C（0，3），
∴可得圆心D（1，1），
∴AD＝CD＝BD=5，OD=2，
延长DO至E，使DE=522，连接PE，作EF⊥OC于F，连接CE，
∴PDOD=52，DEPD=522552，
∴PDOD=DEPD，
∵∠D是公共角，
∴△EDP∽△PDO，
∴PEOP=PDOD=52，
∴PE=52OP，
∴PC+52OP＝PC+PE，
∴当E、P、C共线时，PC+52OP最小＝CE，
∵DE=522，OD=2，
∴OE=522−2=322，
∴EF＝OF＝OE•sin∠EOF=322×22=32，
在Rt△CEF中，EF=32，CF＝OF+OC=92，
∴CE=EF2+CF2=(32)2+(92)2=3210，
∴PC+52OP最小值是3210，
∴2PC+5OP=2（PC+52OP）最小值是2×3210=35，
故答案是35．
【点评】本题考查了“阿氏圆”问题，即形如“PA+k•PB”的最值问题，解决问题的关键是构造相似三角形．
25．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝12，圆C半径为6，P为斜边AB上的一个动点，PM、PN分别与圆C相切于M、N，连接MN交PC于点Q，则AQ的最小值为 62 ．
【考点】切线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】62．
【分析】过点A作⊙C的切线AE和AF，连接EF，交AC于G，同样过点B作⊙C的切线，得出等同于点G的H点，连接CE，证明△CGE∽△CEA，从而CEAC=CGCE，进而得出CG•AC＝CE2＝62＝36，同理可得，CH•CB＝36，PQ•PC＝CN2＝36，从而CQ•PC＝CG•AC，进而得出△CGQ∽△CAP，从而∠CQG＝∠BAC＝45°，同理可得，∠CQH＝∠B＝45°，从而∠GQH＝∠CQG+∠CQH＝90°，点Q在以GH为直径的圆O上运动，进一步得出结果．
【解答】解：如图，
过点A作⊙C的切线AE和AF，连接EF，交AC于G，同样过点B作⊙C的切线，得出等同于点G的H点，
连接CE，
∴CE⊥AE，
根据对称性可得，
EF⊥AC，
∴∠AEC＝∠CGE＝90°，
∵∠ACE＝∠GCE，
∴△CGE∽△CEA，
∴CEAC=CGCE，
∴CG•AC＝CE2＝62＝36，
同理可得，
CH•CB＝36，
PQ•PC＝CN2＝36，
∴CQ•PC＝CG•AC，
∴CGPC=CQAC，
∵∠ACP＝∠QCG，
∴△CGQ∽△CAP，
∴∠CQG＝∠BAC，
∵AB＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠B＝45°，
∴∠CQG＝∠BAC＝45°，
同理可得，
∠CQH＝∠B＝45°，
∴∠GQH＝∠CQG+∠CQH＝90°，
∴点Q在以GH为直径的圆O上运动，
连接AO交⊙O于Q′，作OR⊥AC于R，
∵CG•AC＝36，
∴12•CG＝36，
∴CH＝CG＝3，
∴GH=CG2+CH2=32，
∴半径OG=322，
∵OR⊥CG，
∴CR＝GR=32，
∴AR＝AC﹣CR＝12−32=212，
∵OR=12CH=32，
∴AO=OR2+AR2=(32)2+(212)2=1522，
∴AQ′＝AO﹣OQ′=1522−322=62，
故答案为：62．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
考点卡片
1．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
2．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
3．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
4．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
5．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
6．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
7．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
8．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
9．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE=12BC．
10．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
11．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
12．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
13．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
14．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
15．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
16．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
17．直线与圆的位置关系
（1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和⊙O相交⇔d＜r
②直线l和⊙O相切⇔d＝r
③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
18．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．
19．切线的判定
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．
20．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
21．三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
22．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
23．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
24．圆的综合题
考查的知识点比较多，一般考查垂径定理、圆周角定理、切线长定理、扇形的面积和弧长，经常与四边形一起，难度比较大．
25．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
26．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
27．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA=∠A的对边斜边=ac，csA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）