2025年中考数学二轮复习：图形认识初步 压轴解答题练习题（含答案解析）

这是一份2025年中考数学二轮复习：图形认识初步 压轴解答题练习题（含答案解析），共55页。试卷主要包含了阅读下面材料，回答下列问题，【新知理解】，定义等内容，欢迎下载使用。
一．解答题（共25小题）
1．如图，数轴上线段AB＝2（单位长度），CD＝4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣10，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．
（1）问运动多少时BC＝8（单位长度）？
（2）当运动到BC＝8（单位长度）时，点B在数轴上表示的数是 ；
（3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式BD−APPC=3，若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由．
2．如图所示，在数轴上原点O表示数0，A点在原点的左侧，所表示的数是a；B点在原点的右侧，所表示的数是b，并且a、b满足|a+8|+|b﹣4|＝0
（1）点A表示的数为 ，点B表示的数为
（2）若点P从点A出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度；点Q从点B出发沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度．P、Q两点同时运动，并且在点C处相遇，试求点C所表示的数．
（3）在P、Q运动的过程中，当P、Q两点的距离为2个单位长度时，求点Q表示的数．
3．如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM=13∠AOC，∠BON=13∠BOD．（本题中所有角均大于0°且小于等于180°）
（1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，则∠MON＝ °；
（2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度数；
（3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），直接写出所有使∠MON＝2∠BOC的n值．
4．点O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）①如图1，若∠DOE＝25°，求∠AOC的度数；
②如图2，若∠DOE＝α，直接写出∠AOC的度数（用含α的式子表示）；
（2）将图1中的∠COD绕点O按顺时针方向旋转至图2所示位置．探究∠DOE与∠AOC的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
5．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为a+b2．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
【综合运用】
（1）填空：
①A、B两点间的距离AB＝ ，线段AB的中点表示的数为 ；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ；点Q表示的数为 ．
（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
（3）求当t为何值时，PQ=12AB；
（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
6．下列各小题中，都有OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．
（1）如图①，若点A、O、B在一条直线上，∠EOF＝ ；
（2）如图②，若点A、O、B不在一条直线上，∠AOB＝140°，则∠EOF＝ ；
（3）由以上两个问题发现：当∠AOC在∠BOC的外部时，∠EOF与∠AOB的数量关系是∠EOF＝ ；
（4）如图③，若OA在∠BOC的内部，∠AOB和∠EOF还存在上述的数量关系吗；请简单说明理由；
7．阅读下面材料，回答下列问题：
已知点A表示数a，点B表示数b，则A、B两点之间的距离表示为AB＝|a﹣b|．
（1）若点A表示数x，点B表示数﹣2，且AB＝4，则x的值是 ．
（2）若|x+5|+|x﹣6|＝14，则x的值是 ．
（3）在数轴上，点D表示的数是最大的负整数，O是原点，E在O的右侧且到O的距离是10，动点P沿数轴从点D开始运动，到达E点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒．在整个运动过程中，请用含t的代数式表示线段DP的长度．
（4）在（3）的情况下，当PD＝2PO时，请直接写出运动时间t的值？
8．【新知理解】
如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．
（1）线段的中点 这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）；
（2）若AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，则AC＝ cm；
【解决问题】
（3）如图②，已知AB＝12cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由
9．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD=12∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角．
（1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝ ．
（2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？
（3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．
10．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板如图摆放（∠MON＝90°）．
（1）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图②，使边OM恰好平分∠BOC，问：ON是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图③，使边ON在∠BOC的内部，如果∠BOC＝60°，则∠BOM与∠NOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
11．把两个三角尺按如图所示那样拼在一起（三角尺分别含30°，45°，60°，90°角，点A、C、D在一条直线上）．
（1）求∠ACE的度数；
（2）若CF是∠BCE的平分线，求∠ECF的度数．
12．如图是一个三角形，现分别连接这个三角形三边的中点将这个三角形分割成4个较小的三角形（即分割成四部分）得到图1，再连接中间这个三角形三边的中点继续将它分割得到图2；再继续连接最中心三角形三边的中点将它分割得到图3．
（1）图2中大三角形被分割成 个三角形；图3中大三角形被分割成 个三角形．
（2）按上面的方法继续分割下去，第10个图形分割成几个三角形？第n个图形呢（用n的代数式表示结论）？
13．如图①，已知线段AB＝20cm，点C为AB上的一个动点，点D，E分别是AC和BC的中点
（1）若点C恰好是AB中点，则DE的长是多少？（直接写出结果）
（2）若BC＝14cm，求DE的长
（3）试说明不论BC取何值（不超过20cm），DE的长不变
（4）知识迁移：如图②，已知∠AOB＝130°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC，试求出∠DOE的大小，并说明∠DOE的大小与射线OC的位置是否有关？
14．棱长为a的正方体，摆成如图所示的形状．
（1）如果这一物体摆放三层，试求该物体的表面积；
（2）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下20层，求该物体的表面积．
（3）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下n层，求该物体的表面积．
15．已知∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE．
（1）如图①，当∠BOC＝70°时，求∠DOE的度数；
（2）如图②，当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时，∠DOE的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数；
（3）如图③，当射线OC在∠AOB外绕O点旋转时，画出图形，判断∠DOE的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数．
16．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝110°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN＝30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．求∠BON的度数．
（2）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 （直接写出结果）．
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC的数量关系，并说明理由．
17．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．
（1）求线段MN的长度；
（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC＝a，其他条件不变，求MN的长度；
（3）如图2，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？
18．探究：有一长6cm，宽4cm的矩形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转180°，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作：
方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①；
方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②．
（1）请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大；
（2）如果该矩形的长宽分别是5cm和3cm呢？请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大；
（3）通过以上探究，你发现对于同一个矩形（不包括正方形），以其一组对边中点所在直线为轴旋转得到一个圆柱，怎样操作所得到的圆柱体积大（不必说明原因）？
19．已知O为直线AB上一点，∠EOF为直角，OC平分∠BOE．
（1）如图1，若∠AOE＝45°，求∠COF的度数；
（2）若∠EOF的位置如图2所示，OD平分∠AOC，且∠AOD＝75°，求∠COF的度数．
20．知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判．
情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题．
情景二：A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由：
你赞同以上哪种做法？你认为应用数学知识为人类服务时应注意什么？
21．已知数轴上有A、B、C三个点对应的数分别是a、b、c，且满足|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0；动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．
（1）求a、b、c的值；
（2）若点P到A点距离是到B点距离的2倍，求点P的对应的数；
（3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由．
22．如图，已知OA+OB＝20cm，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，若点C从点O出发以1cm/s的速度沿OA方向运动，同时点D从点B出发以3cm/s的速度沿BO方向运动．
（1）如图1，当运动时间为2s时，求AC+OD的值；
（2）如图1，若在运动过程中，始终保持OD＝3AC，求OA的长；
（3）如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使OM＝OA，点P是直线OB上一点，且MP﹣BP＝OP，求OPMB的值．
23．如图，将一副三角板按照如图1所示的位置放置在直线EF上，现将含30°角的三角板OCD绕点O逆时针旋转180°，在这个过程中．
（1）如图2，当OD平分∠AOB时，试问OC是否也平分∠AOE，请说明理由．
（2）当OC所在的直线平分∠AOE时，求∠AOD的度数；
（3）试探究∠BOC与∠AOD之间满足怎样的数量关系，并说明理由．
24．将一副三角板按图1摆放在直线MN上，AF平分∠BAD，AG平分∠BAE．
（1）∠BAD＝ ；∠FAG＝ ；
（2）如图2，若将三角板ABC绕A点以5°/秒的速度顺时针旋转t秒（t＜21），求∠FAG的度数；
（3）如图3，三角板ABC绕A点以m°/秒的速度顺时针旋转，同时，三角板ADE绕A点以n°/秒的速度逆时针旋转，当AD与AB边首次重合时两三角板都停止运动，若运行t秒时，有∠MAD=56∠CAE成立，试求此时m与n的关系．
25．已知∠AOB＝90°，∠COD＝80°，OE是∠AOC的角平分线．
（1）如图1，若∠AOD=13∠AOB，则∠DOE＝ ；
（2）如图2，若OF是∠AOD的角平分线，求∠AOE﹣∠DOF的值；
（3）在（1）的条件下，若射线OP从OE出发绕O点以每秒12°的速度逆时针旋转，射线OQ从OD出发绕O点以每秒8°的速度顺时针旋转，若OP、OQ同时开始旋转t秒（0＜t＜674）后得到∠COP=54∠AOQ，求t的值．
参考答案与试题解析
一．解答题（共25小题）
1．如图，数轴上线段AB＝2（单位长度），CD＝4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣10，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．
（1）问运动多少时BC＝8（单位长度）？
（2）当运动到BC＝8（单位长度）时，点B在数轴上表示的数是 4或16 ；
（3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式BD−APPC=3，若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由．
【考点】两点间的距离；比较线段的长短；数轴；一元一次方程的应用．
【专题】分类讨论．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设运动t秒时，BC＝8（单位长度），然后分点B在点C的左边和右边两种情况，根据题意列出方程求解即可；
（2）由（1）中求出的运动时间即可求出点B在数轴上表示的数；
（3）随着点B的运动，分别讨论当点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况．
【解答】解：（1）设运动t秒时，BC＝8单位长度，
①当点B在点C的左边时，
由题意得：6t+8+2t＝24
解得：t＝2；
②当点B在点C的右边时，
由题意得：6t﹣8+2t＝24
解得：t＝4．
（2）当运动2秒时，点B在数轴上表示的数是4；
当运动4秒时，点B在数轴上表示的数是16．
（3）方法一：
存在关系式BD−APPC=3．
设运动时间为t秒，
1）当t＝3时，点B和点C重合，点P在线段AB上，0＜PC≤2，且BD＝CD＝4，AP+3PC＝AB+2PC＝2+2PC，
当PC＝1时，BD＝AP+3PC，即BD−APPC=3；
2）当3＜t＜134时，点C在点A和点B之间，0＜PC＜2，
①点P在线段AC上时，BD＝CD﹣BC＝4﹣BC，AP+3PC＝AC+2PC＝AB﹣BC+2PC＝2﹣BC+2PC，
当PC＝1时，有BD＝AP+3PC，即BD−APPC=3；
点P在线段BC上时，BD＝CD﹣BC＝4﹣BC，AP+3PC＝AC+4PC＝AB﹣BC+4PC＝2﹣BC+4PC，
当PC=12时，有BD＝AP+3PC，即BD−APPC=3；
3）当t=134时，点A与点C重合，0＜PC≤2，BD＝CD﹣AB＝2，AP+3PC＝4PC，
当PC=12时，有BD＝AP+3PC，即BD−APPC=3；
4）当134＜t＜72时，0＜PC＜4，BD＝CD﹣BC＝4﹣BC，AP+3PC＝AB﹣BC+4PC＝2﹣BC+4PC，
PC=12时，有BD＝AP+3PC，即BD−APPC=3．
∵P在C点左侧或右侧，
∴PD的长有2种可能，即5或3.5．
方法二：
设线段AB未运动时点P所表示的数为x，B点运动时间为t，
则此时C点表示的数为16﹣2t，D点表示的数为20﹣2t，A点表示的数为﹣10+6t，B点表示的数为﹣8+6t，P点表示的数为x+6t，
∴BD＝20﹣2t﹣（﹣8+6t）＝28﹣8t，
AP＝x+6t﹣（﹣10+6t）＝10+x，
PC＝|16﹣2t﹣（x+6t）|＝|16﹣8t﹣x|，
PD＝20﹣2t﹣（x+6t）＝20﹣8t﹣x＝20﹣（8t+x），
∵BD−APPC=3，
∴BD﹣AP＝3PC，
∴28﹣8t﹣（10+x）＝3|16﹣8t﹣x|，
即：18﹣8t﹣x＝3|16﹣8t﹣x|，
①当C点在P点右侧时，
18﹣8t﹣x＝3（16﹣8t﹣x）＝48﹣24t﹣3x，
∴x+8t＝15，
∴PD＝20﹣（8t+x）＝20﹣15＝5；
②当C点在P点左侧时，
18﹣8t﹣x＝﹣3（16﹣8t﹣x）＝﹣48+24t+3x，
∴x+8t=332，
∴PD＝20﹣（8t+x）＝20−332=3.5；
∴PD的长有2种可能，即5或3.5．
【点评】本题考查两点间的距离，并综合了数轴、一元一次方程和线段长短的比较，难度较大，注意对第三问进行分情况讨论，不要漏解．
2．如图所示，在数轴上原点O表示数0，A点在原点的左侧，所表示的数是a；B点在原点的右侧，所表示的数是b，并且a、b满足|a+8|+|b﹣4|＝0
（1）点A表示的数为 ﹣8 ，点B表示的数为 4
（2）若点P从点A出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度；点Q从点B出发沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度．P、Q两点同时运动，并且在点C处相遇，试求点C所表示的数．
（3）在P、Q运动的过程中，当P、Q两点的距离为2个单位长度时，求点Q表示的数．
【考点】两点间的距离；数轴；非负数的性质：绝对值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案；
（2）直接利用两点之间的距离为12，进而得出等式求出答案；
（3）直接利用两点相遇前或相遇后分析得出答案．
【解答】解：（1）∵在数轴上原点O表示数0，A点在原点的左侧，所表示的数是a；B点在原点的右侧，所表示的数是b，a、b满足|a+8|+|b﹣4|＝0，
∴a+8＝0，b﹣4＝0，
解得：a＝﹣8，b＝4，
则点A表示的数为：﹣8，点B表示的数为：4；
（2）设x秒时两点相遇，
则3x+x＝4﹣（﹣8），
解得：x＝3，
即3秒时，两点相遇，
此时点C所表示的数为：﹣8+3×3＝1；
（3）当两点相遇前的距离为2个单位长度时，
3x+x＝10，
解得：x=52，
此时此时点Q所表示的数为：4﹣1×52=1.5；
当两点相遇后的距离为2个单位长度时，
3x+x＝14，
解得：x=72，
此时此时点Q所表示的数为：4﹣1×72=0.5；
综上所述：点Q表示的数为：1.5或0.5．
【点评】此题主要考查了两点之间距离以及绝对值的性质，正确分类讨论是解题关键．
3．如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM=13∠AOC，∠BON=13∠BOD．（本题中所有角均大于0°且小于等于180°）
（1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，则∠MON＝ 100 °；
（2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度数；
（3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），直接写出所有使∠MON＝2∠BOC的n值．
【考点】角的计算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）当∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，可得∠MON＝∠MOB+∠BON，再根据已知条件进行计算即可；
（2）根据∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），分两种情况画图：①当0＜n＜60时，如（图1），②当60＜n＜120时，如（图2），结合（1）进行角的和差计算即可；
（3）根据∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），∠MON＝2∠BOC，分两种情况画图：①当0＜n＜60时，如图3，②当60＜n＜180时，如图4和5，结合（2）进行角的和差计算即可．
【解答】解：（1）∵∠AOM=13∠AOC，∠BON=13∠BOD，
∴∠MOC=23∠AOC，∠DON=23∠BOD，
当∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，
∴∠MON＝∠MOB+∠BON
=23∠AOC+13∠BOD
=23×120°+13×60°
＝80°+20°
＝100°；
故答案为：100°；
（2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），
①当0＜n＜60时，如（图1），
∵∠BOC＝n°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°，
∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝60°﹣n°，
∴∠MON＝∠MOC+∠BOC+∠BON
=23（120°﹣n°）+n°+13（60°﹣n°）
＝100°；
②当60＜n＜120时，如（图2），
∵∠BOC＝n°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°，
∠BOD＝∠BOC﹣∠DOC＝n°﹣60°，
∴∠MON＝∠MOC+∠DOC+∠DON
=23（120°﹣n°）+60°+23（n°﹣60°）
＝100°；
综上所述：∠MON的度数为100°；
（3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），∠MON＝2∠BOC，
①当0＜n＜60时，如图3，
∵∠BOC＝n°，
∴∠MON＝2∠BOC＝2n°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°+n°，
∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝n°+60°，
∴∠MON＝∠MOC+∠DOC﹣∠DON
=23（120°+n°）+60°−23（n°+60°）
＝100°，
∴2n°＝100°
∴n＝50；
②当60＜n＜120时，如图4，
∵∠BOC＝n°，
∴∠MON＝2∠BOC＝2n°，
∴∠AOC＝360°﹣（∠AOB+∠BOC）＝360°﹣（120°+n°）＝240°﹣n°，
∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝n°+60°，
∴∠MON＝360°﹣∠AOM﹣∠AOB﹣∠BON
＝360°−13（240°﹣n°）﹣120°−13（60°+n°）
＝140°，
∴2n°＝140°，
∴n＝70；
当120＜n＜180时，如图5，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣120°﹣n°﹣60°＝180°﹣n°，
∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝180°﹣n°+60°＝240°﹣n°，∠BOD＝∠AOD+∠AOB＝180°﹣n°+120°＝300°﹣n°，
∵∠AOM=13∠AOC，∠BON=13∠BOD，
∴∠AOM＝80°−13n，∠BON＝100°−13n，
∴∠MON＝∠BOM﹣∠BON
＝（∠AOB+∠AOM）﹣∠BON
＝（120°+80°−13n）﹣（100°−13n）
＝100°，
∴2n°＝100°，
∴n＝50；
综上所述：n的值为50或70．
【点评】本题考查了角的计算，解决本题的关键是分情况画图讨论．
4．点O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）①如图1，若∠DOE＝25°，求∠AOC的度数；
②如图2，若∠DOE＝α，直接写出∠AOC的度数（用含α的式子表示）；
（2）将图1中的∠COD绕点O按顺时针方向旋转至图2所示位置．探究∠DOE与∠AOC的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
【考点】角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①首先求得∠COE的度数，然后根据角平分线的定义求得∠COB的度数，再根据∠AOC＝180°﹣∠BOC即可求解；
②解法与①相同，把①中的25°改成α即可；
（2）把∠AOC的度数作为已知量，求得∠BOC的度数，然后根据角的平分线的定义求得∠COE的度数，再根据∠DOE＝∠COD﹣∠COE求得∠DOE，即可解决．
【解答】解：（1）①∵∠COD＝90°，∠DOE＝25°，
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣25°＝65°，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠COE＝130°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣130°＝50°；
②∵∠COD＝90°，∠DOE＝α，
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣α，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠COE＝180°﹣2α，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣（180°﹣2α）＝2α；
（2）∠DOE=12∠AOC，理由如下：
如图2，∵∠BOC＝180°﹣∠AOC，
又∵OE平分∠BOC
∴∠COE=12∠BOC=12（180°﹣∠AOC）＝90°−12∠AOC，
又∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣（90°−12∠AOC）=12∠AOC．
【点评】本题考查了角度的计算，正确理解角平分线的定义，理解角度之间的和差关系是关键．
5．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为a+b2．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
【综合运用】
（1）填空：
①A、B两点间的距离AB＝ 10 ，线段AB的中点表示的数为 3 ；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ﹣2+3t ；点Q表示的数为 8﹣2t ．
（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
（3）求当t为何值时，PQ=12AB；
（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
【考点】两点间的距离；数轴；绝对值；一元一次方程的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等列方程得到t＝2，于是得到当t＝2时，P、Q相遇，即可得到结论；
（3）由t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，于是得到PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，列方程即可得到结论；
（4）由点M表示的数为 −2+(−2+3t)2=3t2−2，点N表示的数为 8+(−2+3t)2=3t2+3，即可得到结论．
【解答】解：（1）①10，3；
②﹣2+3t，8﹣2t；
（2）∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等
∴﹣2+3t＝8﹣2t，
解得：t＝2，
∴当t＝2时，P、Q相遇，
此时，﹣2+3t＝﹣2+3×2＝4，
∴相遇点表示的数为4；
（3）∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，
∴PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，
又PQ=12AB=12×10＝5，
∴|5t﹣10|＝5，
解得：t＝1或3，
∴当：t＝1或3时，PQ=12AB；
（4）不变．
∵点M表示的数为 −2+(−2+3t)2=3t2−2，
点N表示的数为 8+(−2+3t)2=3t2+3，
∴MN＝|（3t2−2）﹣（3t2+3）|＝|3t2−2−3t2−3|＝5．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
6．下列各小题中，都有OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．
（1）如图①，若点A、O、B在一条直线上，∠EOF＝ 90° ；
（2）如图②，若点A、O、B不在一条直线上，∠AOB＝140°，则∠EOF＝ 70° ；
（3）由以上两个问题发现：当∠AOC在∠BOC的外部时，∠EOF与∠AOB的数量关系是∠EOF＝ 12∠AOB ；
（4）如图③，若OA在∠BOC的内部，∠AOB和∠EOF还存在上述的数量关系吗；请简单说明理由；
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，点A、O、B在一条直线上，即可得到∠EOF的度数；
（2）根据OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∠AOB＝140°，即可得到∠EOF的度数；
（3）根据（2）中的方法，即可得到∠EOF与∠AOB的数量关系；
（4）若OA在∠BOC的内部，∠AOB和∠EOF还存在上述的数量关系，方法同（3）．
【解答】解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠COF=12∠COB；∠COE=12∠AOC，
又∵∠AOB＝180°，
∴∠EOF=12∠COB+12∠AOC=12（∠BOC+∠AOC）=12∠AOB＝90°；
故答案为：90°；
（2）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠COF=12∠COB；∠COE=12∠AOC，
又∵∠AOB＝140°，
∴∠EOF=12∠COB+12∠AOC=12（∠BOC+∠AOC）=12∠AOB＝70°；
故答案为：70°；
（3）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠COF=12∠COB；∠COE=12∠AOC，
∴∠EOF=12∠COB+12∠AOC=12（∠BOC+∠AOC）=12∠AOB；
故答案为：12∠AOB；
（4）存在．
∵OF平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠COF=12∠COB；∠COE=12∠AOC；
∴∠EOF=12∠COB−12∠AOC=12（∠BOC﹣∠AOC）=12∠AOB．
【点评】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是依据角的和差关系进行计算．
7．阅读下面材料，回答下列问题：
已知点A表示数a，点B表示数b，则A、B两点之间的距离表示为AB＝|a﹣b|．
（1）若点A表示数x，点B表示数﹣2，且AB＝4，则x的值是 2或﹣6 ．
（2）若|x+5|+|x﹣6|＝14，则x的值是 ﹣6.5或7.5 ．
（3）在数轴上，点D表示的数是最大的负整数，O是原点，E在O的右侧且到O的距离是10，动点P沿数轴从点D开始运动，到达E点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒．在整个运动过程中，请用含t的代数式表示线段DP的长度．
（4）在（3）的情况下，当PD＝2PO时，请直接写出运动时间t的值？
【考点】两点间的距离；绝对值；一元一次方程的应用．
【专题】代数几何综合题；运算能力．
【答案】（1）2或﹣6；
（2）﹣6.5或7.5；
（3）见解答；
（4）运动时间t的值是13或1或10或323．
【分析】（1）AB＝4，那么|x+2|＝4，所以x+2＝4或﹣4，解方程即可求得x的值；
（2）根据数轴上两点间距离理解|x+5|+|x﹣6|所表示的含义，从而列方程求解；
（3）分两种情况：①当0≤t≤5.5时，②当5.5＜t≤11时，根据时间×速度可得点P的路程，从而可得PD的长；
（4）分两种情况：①当点P从点D运动到点E时，存在两种情况：点P在OD上或P在OE上，②当点P从点E运动到点D时，存在两种情况：点P在OD上或P在OE上，分别列方程可解答．
【解答】解：（1）∵点A表示数x，点B表示数﹣2，且AB＝4，
∴|x+2|＝4，
∴x＝﹣2+4＝2或﹣2﹣4＝﹣6，
即x＝2或﹣6；
故答案为：2或﹣6；
（2）|x+5|+|x﹣6|＝14，
设A表示数﹣5，B表示数6，P表示数x，
①当点P位于线段AB上时，
|x+5|+|x﹣6|＝x+5+6﹣x＝11（不合题意，舍去）；
②当点P位于A点左侧时，
|x+5|+|x﹣6|＝﹣x﹣5﹣x+6＝﹣2x+1＝14，
解得：x＝﹣6.5；
③当点P位于B点右侧时，
|x+5|+|x﹣6|＝x+5+x﹣6＝2x﹣1＝14，
解得：x＝7.5；
综上，x＝﹣6.5或x＝7.5；
故答案为：﹣6.5或7.5；
（3）∵点D表示的数是最大的负整数，O是原点，E在O的右侧且到O的距离是10，
∴点D表示的数为﹣1，点E表示的数为10，
分两种情况：
①当0≤t≤5.5时，PD＝2t；
②当5.5＜t≤11时，PD＝22﹣2t；
（4）由（3）知：OD＝1，OE＝10，
分两种情况：
①当点P从点D运动到点E时，存在两种情况：点P在OD上或P在OE上，
当点P在OD上时，
∵PD＝2PO，
∴2t=23，
∴t=13；
当点P在OE上时，
∵PD＝2PO，
∴OD＝OP，
∴2t＝2，
∴t＝1；
②当点P从点E运动到点D时，存在两种情况：点P在OD上或P在OE上，
当点P在OE上时，
∵PD＝2PO，
∴OD＝OP＝1，
∴22﹣2t＝2，
∴t＝10；
当点P在OD上时，
∵PD＝2PO，
∴22﹣2t=23，
∴t=323；
综上，运动时间t的值是13或1或10或323．
【点评】本题考查绝对值的应用．理解两点间的距离的意义是解决本题的关键．用到的知识点为：数轴上两点间的距离等于数轴上表示这两个点的数的差的绝对值．
8．【新知理解】
如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．
（1）线段的中点 是 这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）；
（2）若AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，则AC＝ 4或6或8 cm；
【解决问题】
（3）如图②，已知AB＝12cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由
【考点】两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据“巧点”的定义即可求解；
（2）分点C在中点的左边，点C在中点，点C在中点的右边，进行讨论求解即可；
（3）分①由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除；②当P为A、Q的巧点时；③当Q为A、P的巧点时；进行讨论求解即可．
【解答】解：（1）如图，当C是线段AB的中点，则AB＝2AC，
∴线段的中点是这条线段的“巧点”．
故答案为：是；
（2）∵AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，
∴AC＝12×13=4cm或AC＝12×12=6cm或AC＝12×23=8cm；
故答案为：4或6或8；
（3）t秒后，AP＝2t，AQ＝12﹣t（0≤t≤6）
①由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除．
②当P为A、Q的巧点时，
Ⅰ．AP=13AQ，即2t=13(12−t)，解得t=127s；
Ⅱ．AP=12AQ，即2t=12(12−t)，解得t=125s；
Ⅲ．AP=23AQ，即2t=23(12−t)，解得t＝3s；
③当Q为A、P的巧点时，
Ⅰ．AQ=13AP，即(12−t)=2t×13，解得t=365s（舍去）；
Ⅱ．AQ=12AP，即(12−t)=2t×12，解得t＝6s；
Ⅲ．AQ=23AP，即(12−t)=2t×23，解得t=367s．
【点评】考查了两点间的距离，一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
9．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD=12∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角．
（1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝ 20° ．
（2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？
（3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．
【考点】角的计算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据“内半角”的定义，可求出∠COD的度数，再根据∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD，可得出结论；
（2）由旋转可分别求出∠BOC和∠AOD的度数，再根据“内半角”的定义，可列出等式60−α=60+α2，即可求出α的值；
（3）由旋转可知，分四种情况，分别进行讨论，根据“内半角”的定义，可求出对应的时间．
【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB＝70°，∠COD是∠AOB的内半角，
∴∠COD=12∠AOB＝35°，
∵∠AOC＝15°，
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD＝70°﹣15°﹣35°＝20°；
故答案为：20°．
（2）如图2，由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝α，
∴∠BOC＝63°﹣α，∠AOD＝63°+α，
∵∠COB是∠AOD的内半角，
∴∠COB=12∠AOD，即63°﹣α=63°+α2，
解得α＝21°，
当旋转的角度α为21°时，∠COB是∠AOD的内半角；
（3）能，理由如下，
由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝3t°；根据题意可分以下四种情况：
①当射线OC在∠AOB内，如图4，
此时，∠BOC＝30°﹣3t°，∠AOD＝30°+3t°，
则∠COB是∠AOD的内半角，
∴∠COB=12∠AOD，即30°﹣3t°=12（30°+3t°），
解得t=103（秒）；
②当射线OC在∠AOB外部，有以下两种情况，如图5，图6，
如图5，此时，∠BOC＝3t°﹣30°，∠AOD＝30°+3t°，
则∠COB是∠AOD的内半角，
∴∠COB=12∠AOD，即3t°﹣30°=12（30°+3t°），
解得t＝30（秒）；
如图6，此时，∠BOC＝360°﹣3t°+30°，∠AOD＝360°﹣3t°﹣30°，
则∠AOD是∠BOC的内半角，
∴∠AOD=12∠BOC，即360°﹣3t°﹣30°=12（360°﹣3t°+30°），
解得t＝90（秒）；
综上，在旋转一周的过程中，射线OA、OB、OC、OD构成内半角时，旋转的时间分别为：103秒；30秒；90秒．
【点评】本题属于新定义类问题，主要考查旋转中角度的表示，及角度的和差运算；由旋转正确表达对应的角是本题解题关键．
10．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板如图摆放（∠MON＝90°）．
（1）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图②，使边OM恰好平分∠BOC，问：ON是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图③，使边ON在∠BOC的内部，如果∠BOC＝60°，则∠BOM与∠NOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
【考点】余角和补角；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由角平分线的定义可知∠BOM＝∠MOC，由∠NOM＝90°，可知∠BOM+∠AON＝90°，∠MOC+∠NOC＝90°，根据等角的余角相等可知∠AON＝∠NOC；
（2）根据题意可知∠NOC+∠NOB＝60°，∠BOM+∠NOB＝90°，由∠BOM＝90°﹣∠NOB、∠BON＝60°﹣∠NOC可得到∠BOM＝∠NOC+30°．
【解答】解：（1）ON平分∠AOC．
理由如下：∵∠MON＝90°，
∴∠BOM+∠AON＝90°，∠MOC+∠NOC＝90°．
又∵OM平分∠BOC，
∴∠BOM＝∠MOC，
∴∠AON＝∠NOC．
∴ON平分∠AOC．
（2）∠BOM＝∠NOC+30°．
理由如下：∵∠CON+∠NOB＝60°，∠BOM+∠NOB＝90°，
∴∠BOM＝90°﹣∠NOB＝90°﹣（60°﹣∠NOC）＝∠NOC+30°．
∴∠BOM与∠NOC之间存在的数量关系是：∠BOM＝∠NOC+30°．
【点评】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义，根据等角的余角相等证得∠AON＝∠NOC是解题的关键．
11．把两个三角尺按如图所示那样拼在一起（三角尺分别含30°，45°，60°，90°角，点A、C、D在一条直线上）．
（1）求∠ACE的度数；
（2）若CF是∠BCE的平分线，求∠ECF的度数．
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用直角三角形各内角度数进而得出∠ACE的度数；
（2）首先得出∠BCE的度数，再结合角平分线的性质得出答案．
【解答】解：（1）∵把两个三角尺按如图所示那样拼在一起（三角尺分别含30°，45°，60°，90°角，点A、C、D在一条直线上），
∴∠ACE＝180°﹣∠ECD＝120°；
（2）∵∠ACB＝45°，
∴∠BCE＝120°﹣45°＝75°，
∵CF是∠BCE的平分线，
∴∠FCE＝∠BCF＝37.5°．
【点评】此题主要考查了角的计算以及角平分线的定义，正确利用直角三角形各内角度数是解题关键．
12．如图是一个三角形，现分别连接这个三角形三边的中点将这个三角形分割成4个较小的三角形（即分割成四部分）得到图1，再连接中间这个三角形三边的中点继续将它分割得到图2；再继续连接最中心三角形三边的中点将它分割得到图3．
（1）图2中大三角形被分割成 7 个三角形；图3中大三角形被分割成 10 个三角形．
（2）按上面的方法继续分割下去，第10个图形分割成几个三角形？第n个图形呢（用n的代数式表示结论）？
【考点】认识平面图形．
【专题】规律型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）读图可得：图2中大三角形被分割成7个三角形；图3中大三角形被分割成10个三角形；
（2）由图2、图3总结规律，图2是4个，图3是4+3×1个，图4是4+3×2个，…则图10有4+3×9＝31个，第n个图形有4+3（n﹣2）＝（3n﹣2）个．
【解答】解：（1）图2中大三角形被分割成4个三角形；图3中大三角形被分割成7个三角形．
（2）图10有4+3×9＝31个，
第n个图形有4+3（n﹣2）＝（3n﹣2）个．
【点评】此题是一个找规律的题目，要认真观察图形，寻找规律，再作答．
13．如图①，已知线段AB＝20cm，点C为AB上的一个动点，点D，E分别是AC和BC的中点
（1）若点C恰好是AB中点，则DE的长是多少？（直接写出结果）
（2）若BC＝14cm，求DE的长
（3）试说明不论BC取何值（不超过20cm），DE的长不变
（4）知识迁移：如图②，已知∠AOB＝130°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC，试求出∠DOE的大小，并说明∠DOE的大小与射线OC的位置是否有关？
【考点】角的计算；两点间的距离；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据中点的性质求出AC、BC的长，根据线段中点的定义计算即可；
（2）根据中点的性质求出AC、BC的长，根据线段中点的定义计算即可；
（3）根据中点的性质求出AC、BC的长，根据线段中点的定义计算，即可说明DE的长不变；
（4）根据角平分线的定义得到∠DOC=12∠AOC，∠EOC=12BOC，结合图形计算即可求出∠DOE的大小．
【解答】解：（1）∵点C恰为AB的中点，
∴AC＝BC=12AB＝10cm，
∵点D、E分别是AC和BC的中点，
∴DC=12AC＝5cm，CE=12BC＝5cm，
∴DE＝10cm．
（2）∵AB＝20cm，BC＝14cm，
∴AC＝6cm，
∵点D、E分别是AC和BC的中点，
∴CD＝3cm，CE＝7cm，
∴DE＝CD+CE＝10cm；
（3）∵点D、E分别是AC和BC的中点，
∴CD=12AC，CE=12BC，
∴DE＝CD+CE=12（AC+BC）=12AB＝10cm，
∴不论BC取何值（不超过20cm），DE的长不变．
（4）∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠DOC=12∠AOC，COE=12∠COB，
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE=12（∠AOC+∠COB）=12∠AOB，
∵∠AOB＝130°，
∴∠DOE＝65°．
∴∠DOE的度数与射线OC的位置无关．
【点评】本题考查的是两点间的距离的计算和角的计算，掌握线段中点的定义、角平分线的定义、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
14．棱长为a的正方体，摆成如图所示的形状．
（1）如果这一物体摆放三层，试求该物体的表面积；
（2）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下20层，求该物体的表面积．
（3）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下n层，求该物体的表面积．
【考点】几何体的表面积．
【专题】投影与视图．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题中图示，从上、下、左、右、前、后等六个方向直视的平面图相同，即三视图的面积相等，故根据正方形的数量求出主视图的面积，即可得到该物体的表面积．
【解答】解：（1）6×（1+2+3）•a2＝36a2．
故该物体的表面积为36a2；
（2）6×（1+2+3+…+20）•a2＝1260a2．
故该物体的表面积为1260a2；
（3）6×（1+2+3+…+n）•a2＝3n（1+n）a2．
故该物体的表面积为3n（1+n）a2．
【点评】本题考查了平面图形的有关知识，关键是要注意立体图形的各个面及每个面的正方形的个数．
15．已知∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE．
（1）如图①，当∠BOC＝70°时，求∠DOE的度数；
（2）如图②，当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时，∠DOE的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数；
（3）如图③，当射线OC在∠AOB外绕O点旋转时，画出图形，判断∠DOE的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数．
【考点】角平分线的定义．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据角平分线的定义，OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，则可求得∠COE、∠COD的值，∠DOE＝∠COE+∠COD；
（2）结合角的特点，∠DOE＝∠DOC+∠COE，求得结果进行判断和计算；
（3）正确作出图形，判断大小变化．
【解答】解：（1）∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COE=12∠COB=35°，∠COD=12∠AOC=10°，
∴∠DOE＝45°；
（2）∠DOE的大小不变等于45°，
理由：∠DOE＝∠DOC+∠COE=12∠COB+12∠AOC
=12(∠COB+∠AOC)
=12∠AOB=45°；
（3）∠DOE的大小发生变化，∠DOE＝45°或135°．
如图①，则为45°；如图②，则为135°．（说明过程同（2））
【点评】正确作图，熟记角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键．
16．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝110°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN＝30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．求∠BON的度数．
（2）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 11或47 （直接写出结果）．
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC的数量关系，并说明理由．
【考点】余角和补角；角的计算．
【专题】综合题；分类讨论．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据角平分线的定义以及直角的定义，即可求得∠BON的度数；
（2）分两种情况：ON的反向延长线平分∠AOC或射线ON平分∠AOC，分别根据角平分线的定义以及角的和差关系进行计算即可；
（3）根据∠MON＝90°，∠AOC＝70°，分别求得∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝70°﹣∠AON，再根据∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（70°﹣∠AON）进行计算，即可得出∠AOM与∠NOC的数量关系．
【解答】解：（1）如图2，∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠MOB，
又∵∠BOC＝110°，
∴∠MOB＝55°，
∵∠MON＝90°，
∴∠BON＝∠MON﹣∠MOB＝35°；
（2）分两种情况：
①如图2，∵∠BOC＝110°
∴∠AOC＝70°，
当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，∠AOD＝∠COD＝35°，
∴∠BON＝35°，∠BOM＝55°，
即逆时针旋转的角度为55°，
由题意得，5t＝55°
解得t＝11；
②如图3，当NO平分∠AOC时，∠NOA＝35°，
∴∠AOM＝55°，
即逆时针旋转的角度为：180°+55°＝235°，
由题意得，5t＝235°，
解得t＝47，
综上所述，t＝11s或47s时，直线ON恰好平分锐角∠AOC；
故答案为：11或47；
（3）∠AOM﹣∠NOC＝20°．
理由：∵∠MON＝90°，∠AOC＝70°，
∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝70°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（70°﹣∠AON）＝20°，
∴∠AOM与∠NOC的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝20°．
【点评】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义的运用，用含∠AON的式子表示出∠AOM和∠NOC的长是解题的关键．解题时注意分类思想和方程思想的运用．
17．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．
（1）求线段MN的长度；
（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC＝a，其他条件不变，求MN的长度；
（3）如图2，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？
【考点】两点间的距离．
【专题】分类讨论；线段、角、相交线与平行线．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）（2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案；
（3）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：（1）∵线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM=12AC＝5厘米，CN=12BC＝3厘米，
∴MN＝CM+CN＝8厘米；
（2）∵点M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM=12AC，CN=12BC，
∴MN＝CM+CN=12AC+12BC=12a；
（3）设运动t秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点．
①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点，得10﹣2t＝6﹣t，解得t＝4；
②当5＜t≤163时，P为线段CQ的中点，2t﹣10＝16﹣3t，解得t=265；
③当163＜t≤6时，Q为线段PC的中点，6﹣t＝3t﹣16，解得t=112；
④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点，2t﹣10＝t﹣6，解得t＝4（舍），
综上所述：t＝4或265或112．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
18．探究：有一长6cm，宽4cm的矩形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转180°，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作：
方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①；
方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②．
（1）请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大；
（2）如果该矩形的长宽分别是5cm和3cm呢？请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大；
（3）通过以上探究，你发现对于同一个矩形（不包括正方形），以其一组对边中点所在直线为轴旋转得到一个圆柱，怎样操作所得到的圆柱体积大（不必说明原因）？
【考点】点、线、面、体．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据矩形旋转是圆柱，可得几何体，根据圆柱的体积公式，可得答案；
（2）根据矩形旋转是圆柱，可得几何体，根据圆柱的体积公式，可得答案；
（3）根据矩形旋转所的几何体的大小比较，可得答案．
【解答】解：（1）方案一：π×32×4＝36π（cm3），
方案二：π×22×6＝24π（cm3），
∵36π＞24π，
∴方案一构造的圆柱的体积大；
（2）方案一：π×（52）2×3=754π（cm3），
方案二：π×（32）2×5=454π（cm3），
∵754π＞454π，
∴方案一构造的圆柱的体积大；
（3）由（1）、（2），得
以较长一组对边中点所在直线为轴旋转得到的圆柱的体积大．
【点评】本题考查了点线面体，利用矩形旋转得圆柱是解题关键．
19．已知O为直线AB上一点，∠EOF为直角，OC平分∠BOE．
（1）如图1，若∠AOE＝45°，求∠COF的度数；
（2）若∠EOF的位置如图2所示，OD平分∠AOC，且∠AOD＝75°，求∠COF的度数．
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由∠AOE＝45°，可以求得∠BOE＝135°，再由OC平分∠BOE，可求得∠COE＝67.5°，∠EOF为直角，所以可得∠COF＝∠EOF﹣∠EOC＝22.5°；
（2）由OD平分∠AOC，可得∠AOC＝2∠AOD＝150°，∠BOC＝180°﹣∠AOC＝30°，再根据OC平分∠BOE，可得∠EOC＝∠BOC＝30°，进而得出∠COF＝∠EOF﹣∠EOC＝60°．
【解答】解：（1）∵∠AOE＝45°，
∴∠BOE＝135°，
∵OC平分∠BOE，
∴∠COE＝67.5°，
∵∠EOF为直角，
∴∠COF＝∠EOF﹣∠EOC＝22.5°；
（2）∵OD平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠AOD＝2×75°＝150°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝30°，
∵OC平分∠BOE，
∴∠EOC＝∠BOC＝30°，
∴∠COF＝∠EOF﹣∠EOC＝90°﹣30°＝60°．
【点评】本题考查了角平分线定义，邻补角定义，角的和差，准确识图是解题的关键．从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
20．知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判．
情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题．
情景二：A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由：
你赞同以上哪种做法？你认为应用数学知识为人类服务时应注意什么？
【考点】线段的性质：两点之间线段最短．
【专题】作图题；方案型．
【答案】见试题解答内容
【分析】因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间线段最短；连接AB，使AB两点同在一条直线上，与河流的交点既是最佳位置．
【解答】解：情景一：因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间的所有连线中，线段最短；
情景二：（需画出图形，并标明P点位置）
理由：两点之间的所有连线中，线段最短．
赞同情景二中运用知识的做法．应用数学知识为人类服务时应注意应用数学不能以破坏环境为代价．
【点评】此题为数学知识的应用，考查知识点两点之间线段最短．
21．已知数轴上有A、B、C三个点对应的数分别是a、b、c，且满足|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0；动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．
（1）求a、b、c的值；
（2）若点P到A点距离是到B点距离的2倍，求点P的对应的数；
（3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由．
【考点】两点间的距离；数轴；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；一元一次方程的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据绝对值和偶次幂具有非负性可得a+24＝0，b+10＝0，c﹣10＝0，解可得a、b、c的值；
（2）分两种情况讨论可求点P的对应的数；
（3）分类讨论：当P点在Q点的右侧，且Q点还没追上P点时；当P在Q点左侧时，且Q点追上P点后；当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时；当Q点到达C点后，当P点在Q点右侧时，根据两点间的距离是4，可得方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：（1）∵|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0，
∴a+24＝0，b+10＝0，c﹣10＝0，
解得：a＝﹣24，b＝﹣10，c＝10；
（2）﹣10﹣（﹣24）＝14，
①点P在AB之间，AP＝14×22+1=283，
﹣24+283=−443，
点P的对应的数是−443；
②点P在AB的延长线上，AP＝14×2＝28，
﹣24+28＝4，
点P的对应的数是4；
（3）当P点在Q点的右侧，且Q点还没追上P点时，3t+4＝14+t，解得t＝5；
当P在Q点左侧时，且Q点追上P点后，3t﹣4＝14+t，解得t＝9；
当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时，14+t+4+3t﹣34＝34，t＝12.5；
当Q点到达C点后，当P点在Q点右侧时，14+t﹣4+3t﹣34＝34，解得t＝14.5，
综上所述：当Q点开始运动后第5、9、12.5、14.5秒时，P、Q两点之间的距离为4．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，掌握非负数的性质，再结合数轴解决问题．
22．如图，已知OA+OB＝20cm，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，若点C从点O出发以1cm/s的速度沿OA方向运动，同时点D从点B出发以3cm/s的速度沿BO方向运动．
（1）如图1，当运动时间为2s时，求AC+OD的值；
（2）如图1，若在运动过程中，始终保持OD＝3AC，求OA的长；
（3）如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使OM＝OA，点P是直线OB上一点，且MP﹣BP＝OP，求OPMB的值．
【考点】线段的和差．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）12cm；
（2）OA＝5cm；
（3）OPMB=1或12．
【分析】（1）先求出OC＝1×2＝2（cm），BD＝3×2＝6（cm），根据OA＝20﹣OB，求出AC＝OA﹣OC＝（20﹣OB）﹣OC＝20﹣OB﹣2＝18﹣OB，OD＝OB﹣BD＝OB﹣6，最后求出结果即可；
（2）设运动时间为t，则OC＝t，BD＝3t，求出OD＝OB﹣3t，AC＝OA﹣t，根据OD＝3AC，得出OB﹣3t＝3（OA﹣t），求出OB＝3OA，再根据OA+OB＝20cm求出结果即可；
（3）当点P在O、B之间时，根据OA＝5cm，得出MO＝5cm，BO＝15cm，求出BM＝20cm，根据求出OP＝MP﹣BP＝MO+OP﹣BP＝5+OP﹣BP，根据OP＝OB﹣BP＝15﹣BP，得出5+OP﹣BP＝15﹣BP，求出OP＝10cm，最后求出比值即可；当点P在点B右边时，可得OP＝MB，进而可得结果．
【解答】解：（1）当运动时间为2s时，如图1，
OC＝1×2＝2（cm），
BD＝3×2＝6（cm），
∵OA+OB＝20cm，
∴OA＝20﹣OB，
∴AC＝OA﹣OC＝（20﹣OB）﹣OC＝20﹣OB﹣2＝18﹣OB，
∵OD＝OB﹣BD＝OB﹣6，
∴AC+OD＝18﹣OB+OB﹣6＝12（cm）；
（2）设运动时间为t，则OC＝t，BD＝3t，
∴OD＝OB﹣3t，AC＝OA﹣t，
∵OD＝3AC，
∴OB﹣3t＝3（OA﹣t），
∴OB＝3OA
∵OA+OB＝20cm，
∴OA+3OA＝20cm，
∴OA＝5cm．
（3）∵OA＝5cm，
∴MO＝5cm，BO＝15cm，BM＝20cm，
∵MP﹣BP＝OP，
∴点P在点O右边，
当点P在O、B之间时，如图2，
∴OP＝MP﹣BP＝MO+OP﹣BP＝5+OP﹣BP，
∵OP＝OB﹣BP＝15﹣BP，
∴5+OP﹣BP＝15﹣BP，
∴OP＝10cm，
∴OPMB=1020=12．
当点P在点B右边时，
∵MP﹣BP＝OP，MP﹣BP＝MB，
∴OP＝MB，
∴OPMB=1；
综上，OPMB=1或12．
【点评】本题主要考查了线段的和差运算，解题的关键是数形结合，根据线段之间的数量关系求出结果．
23．如图，将一副三角板按照如图1所示的位置放置在直线EF上，现将含30°角的三角板OCD绕点O逆时针旋转180°，在这个过程中．
（1）如图2，当OD平分∠AOB时，试问OC是否也平分∠AOE，请说明理由．
（2）当OC所在的直线平分∠AOE时，求∠AOD的度数；
（3）试探究∠BOC与∠AOD之间满足怎样的数量关系，并说明理由．
【考点】余角和补角；角平分线的定义；角的计算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据角平分线的定义，平角的定义即可求解；
（2）根据角平分线的定义和平角的定义求得∠AOC的度数，再根据角的和差关系即可求解；
（3）根据角的和差关系即可求解．
【解答】解：（1）当OD平分∠AOB时，OC也平分∠AOE，
∵OD平分∠AOB时，
∴∠AOD＝∠DOB，
∵∠AOC+∠AOD＝90°，
∴∠COE+∠DOB＝90°，
∴∠AOC＝∠COE，
∴OC也平分∠AOE；
（2）∵OC所在的直线平分∠AOE，
∴∠AOC=12×（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠AOD＝90°﹣67.5°＝22.5°；
（3）当∠AOD在∠AOB内部时，
∠AOD+∠BOC
＝∠AOD+∠BOD+∠COD
＝∠AOB+∠COD
＝45°+90°
＝135°；
当∠AOD在∠AOB外部时，
①旋转角度大于45度而小于等于90度，
∠BOC﹣∠AOD
＝∠AOB+∠COD
＝45°+90°
＝135°；
②旋转角度大于90度而小于等于180度，
∠BOC+∠AOD
＝360°﹣90°﹣45°
＝225°．
【点评】此题考查了角平分线的定义，角的计算，关键是观察图形得到角与角之间的关系．
24．将一副三角板按图1摆放在直线MN上，AF平分∠BAD，AG平分∠BAE．
（1）∠BAD＝ 105° ；∠FAG＝ 15° ；
（2）如图2，若将三角板ABC绕A点以5°/秒的速度顺时针旋转t秒（t＜21），求∠FAG的度数；
（3）如图3，三角板ABC绕A点以m°/秒的速度顺时针旋转，同时，三角板ADE绕A点以n°/秒的速度逆时针旋转，当AD与AB边首次重合时两三角板都停止运动，若运行t秒时，有∠MAD=56∠CAE成立，试求此时m与n的关系．
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）如图1．根据平角的定义可得∠BAD＝180°﹣∠BAC﹣∠DAE＝105°；根据角平分线定义可得∠BAF=12∠BAD＝52.5°，∠BAG=12∠BAE＝67.5°，代入∠FAG＝∠BAG﹣∠BAF，计算即可求解；
（2）如图2，根据平角的定义可得∠BAD＝180°﹣∠BAC﹣∠DAE﹣∠CAM＝105°﹣5t；∠BAE＝180°﹣∠BAC﹣∠CAM＝135°﹣5t；根据角平分线定义可得∠BAF=12∠BAD=12（105°﹣5t），∠BAG=12∠BAE=12（135°﹣5t），代入∠FAG＝∠BAG﹣∠BAF，计算即可求解；
（3）如图3．根据平角的定义可得∠MAD＝180﹣∠DAE﹣∠EAN＝150°﹣nt，∠CAE＝180°﹣∠MAC﹣∠EAN＝180°﹣mt﹣nt．根据∠MAD=56∠CAE列出方程150°﹣nt=56（180°﹣mt﹣nt），解方程即可得出m与n的关系．
【解答】解：（1）如图1．
∠BAD＝180°﹣∠BAC﹣∠DAE＝180°﹣45°﹣30°＝105°；
∵AF平分∠BAD，AG平分∠BAE，
∴∠BAF=12∠BAD＝52.5°，∠BAG=12∠BAE=12（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠FAG＝∠BAG﹣∠BAF＝67.5°﹣52.5°＝15°．
故答案为105°；15°；
（2）如图2，
由题意可知：
∠BAD＝180°﹣∠BAC﹣∠DAE﹣∠CAM＝180°﹣45°﹣30°﹣5t＝105°﹣5t；
∠BAE＝180°﹣∠BAC﹣∠CAM＝180°﹣45°﹣5t＝135°﹣5t；
∵AF平分∠BAD，AG平分∠BAE，
∴∠BAF=12∠BAD=12（105°﹣5t），
∠BAG=12∠BAE=12（135°﹣5t），
∴∠FAG＝∠BAG﹣∠BAF=12（135°﹣5t）−12（105°﹣5t）＝15°；
（3）如图3．
∠MAD＝180﹣∠DAE﹣∠EAN＝180°﹣30°﹣nt＝150°﹣nt，
∠CAE＝180°﹣∠MAC﹣∠EAN＝180°﹣mt﹣nt．
当∠MAD=56∠CAE时，有150°﹣nt=56（180°﹣mt﹣nt），
解得n＝5m．
即当n＝5m时，有∠MAD=56∠CAE成立．
【点评】本题考查了角平分线定义，平角的定义以及角的计算，利用数形结合得出等式是解题关键，注意理清角之间的关系．
25．已知∠AOB＝90°，∠COD＝80°，OE是∠AOC的角平分线．
（1）如图1，若∠AOD=13∠AOB，则∠DOE＝ 25° ；
（2）如图2，若OF是∠AOD的角平分线，求∠AOE﹣∠DOF的值；
（3）在（1）的条件下，若射线OP从OE出发绕O点以每秒12°的速度逆时针旋转，射线OQ从OD出发绕O点以每秒8°的速度顺时针旋转，若OP、OQ同时开始旋转t秒（0＜t＜674）后得到∠COP=54∠AOQ，求t的值．
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【专题】分类讨论；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】（1）25°；
（2）40°；
（3）t的值为18544秒或354秒．
【分析】（1）由题意得∠AOD＝30°，再求出∠AOE＝55°，即可得出答案；
（2）先由角平分线定义得∠AOF＝∠DOF=12∠AOD，∠AOE=12∠AOC，再证∠AOE﹣∠AOF=12∠COD，即可得出答案；
（3）分三种情况：①当射线OP、OQ在∠AOC内部时，即0＜t≤3.75时，则∠POE＝（12t）°，∠DOQ＝（8t）°，由角的关系得55﹣12t=54（30﹣8t），解得t=354（舍去）；
②当射线OP在∠AOC内部时，射线OQ在∠AOC外部时，即3.75＜t≤4.5时，由角的关系得55﹣12t=54（8t﹣30），解得：t=18544；
③当射线OP、OQ在∠AOC外部时，即4.5＜t＜16.75时，由角的关系得12t﹣55=54（8t﹣30），解得：t=354．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD=13∠AOB＝30°，
∵∠COD＝80°，
∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝30°+80°＝110°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠COE=12∠AOC＝55°，
∴∠DOE＝∠AOE﹣∠AOD＝55°﹣30°＝25°；
故答案为：25°；
（2）∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF＝∠DOF=12∠AOD，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE=12∠AOC，
∴∠AOE﹣∠AOF=12∠AOC−12∠AOD=12（∠AOC﹣∠AOD）=12∠COD，
∵∠COD＝80°，
∴∠AOE﹣∠DOF=12×80°＝40°；
（3）分三种情况：
①当射线OP、OQ在∠AOC内部时，
∵30﹣8t≥0，
∴t≤3.75，
即0＜t≤3.75时，
由题意得：∠POE＝（12t）°，∠DOQ＝（8t）°，
∴∠COP＝∠COE﹣∠POE＝（55﹣12t）°，∠AOQ＝∠AOD﹣∠DOQ＝（30﹣8t）°，
∵∠COP=54∠AOQ，
∴55﹣12t=54（30﹣8t），
解得：t=354（舍去）；
②当射线OP在∠AOC内部时，射线OQ在∠AOC外部时，
∵55﹣12t≥0，
∴t≤4.5，
即3.75＜t≤4.5时，
则∠COP＝∠COE﹣∠POE＝（55﹣12t）°，∠AOQ＝∠DOQ﹣∠AOD＝（8t﹣30）°，
∴55﹣12t=54（8t﹣30），
解得：t=18544；
③当射线OP、OQ在∠AOC外部时，
∵0＜t＜674，
∴674=16.75，
即4.5＜t＜16.75时，
则∠COP＝∠POE﹣∠COE＝（12t﹣55）°，∠AOQ＝∠DOQ﹣∠AOD＝（8t﹣30）°，
∴12t﹣55=54（8t﹣30），
解得：t=354；
综上所述，t的值为18544秒或354秒．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算、角的和差、角平分线的定义等知识，正确的识别图形是解题的关键．
考点卡片
1．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
2．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
3．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
4．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
5．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
6．点、线、面、体
（1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．
（2）从运动的观点来看
点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．
（3）从几何的观点来看
点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合．
（4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体．
（5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成．
7．几何体的表面积
（1）几何体的表面积＝侧面积+底面积（上、下底的面积和）
（2）常见的几种几何体的表面积的计算公式
①圆柱体表面积：2πR2+2πRh （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）
②圆锥体表面积：πr2+nπ(r2+ℎ2)360（r为圆锥体底面圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆心角）
③长方体表面积：2（ab+ah+bh） （a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高）
④正方体表面积：6a2（a为正方体棱长）
8．认识平面图形
（1）平面图形：
一个图形的各部分都在同一个平面内，如：线段、角、三角形、正方形、圆等．
（2）重点难点突破：
通过以前学过的平面图形：三角形、长方形、正方形、梯形、圆，了解它们的共性是在同一平面内．
9．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
10．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
11．比较线段的长短
（1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法．
就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB＝CD、AB＜CD．
（2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点．
（3）线段的和、差、倍、分及计算
做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段．
如图，AC＝BC，C为AB中点，AC=12AB，AB＝2AC，D 为CB中点，则CD＝DB=12CB=14AB，AB＝4CD，这就是线段的和、差、倍、分．
12．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
13．角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC=13∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
14．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
15．线段的和差
线段的和差问题，通常可以考虑用“截长法”或“补短法”来完成，