2025年中考数学二轮复习：二次函数 压轴解答题练习题（含答案解析）

这是一份2025年中考数学二轮复习：二次函数 压轴解答题练习题（含答案解析），共48页。试卷主要包含了中，，，与y轴交于点C，综合与实践等内容，欢迎下载使用。
一．解答题（共20小题）
1．（2024•楚雄州一模）网络直播带货已经成为一种热门的销售方式．某水果生产商在一销售平台上直播销售枇杷，已知枇杷的成本价为20元/千克，每日销售量y（千克）与销售单价x（元）满足一次函数关系，如下表记录的是有关数据，出于营销考虑，要求枇杷销售单价不低于成本且不高于32元/千克．设销售枇杷的日获利为w（元）．
（1）求日销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种枇杷的日获利w最大？最大利润为多少元？
2．（2024•沈丘县一模）如图，抛物线：y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A和B（﹣3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣3），直线y＝x+m经过点B，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．
（1）求抛物线的解析式和E点坐标；
（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△BOD相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
3．（2024•新泰市一模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，2），且顶点P的坐标为（﹣1，3）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，点D(−52，34)，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CD的上方，连接MC，MD．求△MCD面积的最大值及此时点M的横坐标；
（3）如图2，设点Q是抛物线对称轴上的一点，且在点C的下方，连接QC，将线段QC绕点Q逆时针旋转90°，点C的对应点为F，直线PF交抛物线于点E（点E与点P不重合），判断此时能否求出点E的坐标，如能，求出点E的坐标，不能，说明理由．
4．（2024•雅安模拟）某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式：
（2）如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？
（3）设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？
5．（2024•红塔区三模）在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中，
（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？
（2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出t的值．
6．（2024•金乡县三模）某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的50%．在销售过程中发现：当销售单价为35元时，每天可售出350件，若销售单价每提高5元，则每天销售量减少50件．设销售单价为x元（销售单价不低于35元）
（1）当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为多少件？
（2）求这种儿童玩具每天获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；
（3）当销售单价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
7．（2024•德城区一模）以x为自变量的两个函数y与g，令h＝y﹣g，我们把函数h称为y与g的“相关函数”例如：以x为自变量的函数y＝x2与g＝2x﹣1它们的“相关函数”为h＝y﹣g＝x2﹣2x+1．h＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0恒成立，所以借助该“相关函数”可以证明：不论自变量x取何值，y≥g恒成立．
（1）已知函数y＝x2+mx+n与函数g＝4x+1相交于点（﹣1，﹣3）、（3，13），求函数y与g的“相关函数”h；
（2）已知以x为自变量的函数y＝3x+t与g＝x﹣2，当x＞1时，对于x的每一个值，函数y与g的“相关函数”h＞0恒成立，求t的取值范围；
（3）已知以x为自变量的函数y＝ax2+bx+c与g＝﹣2bx﹣c（a、b、c为常数且a＞0，b≠0），点A(12，0)、B（﹣2，y1）、C（1，y2）是它们的“相关函数”h的图象上的三个点，且满足2c＜y2＜y1，求函数h的图象截x轴得到的线段长度的取值范围．
8．（2024•市中区校级一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
9．（2024•武威二模）如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x＝2与x轴交于点C，直线y＝﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m），且与y轴、直线x＝2分别交于点D、E，点D是BE的中点．
（1）求m的值；
（2）求该抛物线对应的函数关系式；
（3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB＝PE？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2024•浉河区二模）综合与实践．
某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考查，刹车距离．
【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．
【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下：
发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系；
②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．
【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：
（1）求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若汽车刹车4s后，行驶了多长距离；
（3）若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由．
11．（2024•天长市二模）已知，在平面直角坐标系内，抛物线y＝ax2+2x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求抛物线与直线AC的解析式；
（2）点P在抛物线的对称轴上，且使得|PA﹣PC|的值最大，过对称轴上的另一点Q任作与x轴不平行的直线l，交抛物线于点M，N，若△PMN的内心始终在抛物线的对称轴上，求点Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，已知点D是线段AC上（不含端点A，C）的一个动点，过点D作直线DEAB，交直线l于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，求线段DF的最小值．
12．（2024•柳州一模）2023年8月5日，在成都举行的第31届世界大学生夏季运动会女子篮球金牌赛中，中国队以99比91战胜日本队，夺得冠军，女篮最重要的球员之一韩旭在日常训练中也迎难而上，勇往直前．投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系xOy，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是3m，韩旭进行了两次投篮训练．
（1）第一次训练时，韩旭投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
①在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接：
②结合表中数据或所画图象，求篮球运行的最高点距离地面的竖直高度；
③已知此时韩旭距篮筐中心的水平距离5m，韩旭第一次投篮练习是否成功，请说明理由．
（2）第二次训练时，韩旭出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝a（x﹣3）2+4.25，若投篮成功，求此时韩旭距篮筐中心的水平距离d的取值范围．
13．（2024•朝阳区校级三模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝t，点A（﹣t，m），B（2t，n），C（x0，y0）在抛物线上．
（1）当t＝2时，直接写出m与n的大小关系；
（2）若对于5＜x0＜6，都有m＞y0＞n，求t的取值范围．
14．（2024•喀什地区一模）如图，在Rt△ABC，∠ABC＝90°，该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0），B（0，2），C（4，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为该二次函数第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标；
（3）M为二次函数上一点，N为x轴上一点，当B、C、M、N成的四边形是平行四边形时，直接写出N的坐标．
15．（2024•电白区一模）在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙AB、CD之间悬挂一条近似抛物线y＝ax2−45x+3的彩带，如图2所示，已知墙AB与CD等高，且AB、CD之间的水平距离BD为8米．
（1）如图2，两墙AB，CD的高度是 米，抛物线的顶点坐标为 ；
（2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙AB距离为3米，使抛物线F1的最低点距墙AB的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离；
（3）为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将M到地面的距离提升为3米，通过适当调整M的位置，使抛物线F2对应的二次函数的二次项系数始终为15，若设点M距墙AB的距离为m米，抛物线F2的最低点到地面的距离为n米，探究n与m的关系式，当2≤n≤94时，求m的取值范围．
16．（2024•中原区校级三模）水龙头关闭不严会造成滴水．为了调查漏水量与漏水时间的关系，某兴趣小组进行以下试验与探究：
试验：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒，每5min记录一次容器中的水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表中的一组数据．
（1）探究：根据上表中的数据，拟用下面三个函数模型模拟水量y与时间t的关系：①y=mt，②y＝kt+b，③y＝pt2+qt+r，你认为选用函数 （填序号）模拟最合理（不必说明理由），并求出相应的函数表达式和漏记的a值；
（2）应用：
①兴趣小组用100mL量筒进行测量，请估计在第30分钟量筒是否滴满？
②成年人每天大约需饮水1600mL，请估算这个水龙头一天的漏水量可供一位成年人饮用多少天？（结果保留一位小数）
17．（2024•万山区一模）排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次模拟测试中，某生在O处将球垫偏，之后又在A、B两处先后垫球，球沿抛物线C1→C2→C3运动（假设抛物线C1、C2、C3在同一平面内），最终正好在O处垫住，O处离地面的距离为1米．如图所示，以O为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，x轴平行于地面水平直线m，已知点A(32，38)，点B的横坐标为−32，抛物线C1表达式为y＝ax2﹣2ax和抛物线C3表达式为y＝2ax2+bx（a≠0）．
（1）求抛物线C1的函数表达式；
（2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由；
（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该生第三次垫球处B离地面的高度至少为多少米？
18．（2024•龙马潭区二模）如图，抛物线y＝ax2+5ax+b经过点D（﹣1，﹣5），且交x轴于A（﹣6，0），B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，过点D作DM⊥x轴，垂足为M，点P在直线AD下方抛物线上运动，过点P作PE⊥AD，PF⊥DM，求2PE+PF的最大值，以及此时点P的坐标．
（3）将原抛物线沿射线CA方向平移52个单位长度，在平移后的抛物线上存在点G，使得∠CAG＝45°，请写出所有符合条件的点G的横坐标，并写出其中一个的求解过程．
19．（2024•重庆模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于A（8，0）、B（﹣2，0）两点，与y轴交于点C，连接AC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，直线CD交x轴于点D（2，0），点P为线段AC下方抛物线上的一点，过点P作PH∥y轴交直线CD于点H，在直线CD上取点Q，连接PQ，使得HQ＝PQ，求2PQ−54PH的最大值及此时P点的坐标；
（3）连接BC，把原抛物线y=14x2+bx+c沿射线BC方向平移25个单位长度，点M是平移后新抛物线上的一点，过点M作MN垂直x轴于点N，连接AM，直接写出所有使得△AMN∽△ABC的点M的横坐标．
20．（2024•临沂一模）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm）．测得如下数据：
（1）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是 cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 cm；
②求满足条件的抛物线解析式；
（2）技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长OB为274cm，球网高CD为15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度OA的值约为1.27cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的OA值（乒乓球大小忽略不计）．
参考答案与试题解析
一．解答题（共20小题）
1．（2024•楚雄州一模）网络直播带货已经成为一种热门的销售方式．某水果生产商在一销售平台上直播销售枇杷，已知枇杷的成本价为20元/千克，每日销售量y（千克）与销售单价x（元）满足一次函数关系，如下表记录的是有关数据，出于营销考虑，要求枇杷销售单价不低于成本且不高于32元/千克．设销售枇杷的日获利为w（元）．
（1）求日销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种枇杷的日获利w最大？最大利润为多少元？
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】（1）y＝﹣10x+420；
（2）当销售单价定为31元时，销售这种枇杷的日获利w最大，最大利润为1210元．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可得；
（2）先根据利润＝销售量×（销售单价﹣成本价）求出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得．
【解答】解：（1）设日销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由题意得：22k+b=20027k+b=150，
解得k=−10b=420，
则日销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝﹣10x+420；
（2）由题意得：w＝（﹣10x+420）（x﹣20）
＝﹣10x2+620x﹣8400
＝﹣10（x﹣31）2+1210，
∵20≤x≤32，﹣10＜0，
∴由二次函数的性质可知，当x＝31时，w取得最大值，最大值为1210，
答：当销售单价定为31元时，销售这种枇杷的日获利w最大，最大利润为1210元．
【点评】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键．
2．（2024•沈丘县一模）如图，抛物线：y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A和B（﹣3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣3），直线y＝x+m经过点B，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．
（1）求抛物线的解析式和E点坐标；
（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△BOD相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3，点E的坐标为（2，5）；
（2）点P的坐标为（0，7）或（0，5）．
【分析】（1）把B（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，求出抛物线解析式，把B（﹣3，0）代入y＝x+m，求出直线的解析式，联立抛物线和直线的解析式求出点E的坐标；
（2）通过坐标求出DE和BD的长，利用分类讨论思想分△BOD∽△PED和△BOD∽△EPD两种情况，从而求出点P的坐标．
【解答】解：（1）把B（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，
得9−3b+c=0c=−3，解得b=2c=−3，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3，
把B（﹣3，0）代入y＝x+m，
∴直线BE的解析式为y＝x+3，
y=x2+2x−3y=x+3，解得x=2y=5或x=−3y=0（点B的坐标，舍去），
∴点E的坐标为（2，5）；
（2）把x＝0代入y＝x+3，得y＝3，
∴点D的坐标为（0，3），
∵点E的坐标为（2，5），点B的坐标为（﹣3，0），
∴DE=22，BD=32，
由于点P在y轴上，设P（0，a），则PD＝a﹣3，
①若△BOD∽△PED，
得ODDE=BDPD，即322=32PD，
解得PD＝4，
∴点P的坐标为（0，7），
②若△BOD∽△EPD，
得BDDE=OPPD，即3222=3PD，
解得PD＝2，
∴点P的坐标为（0，5），
综上所述，点P的坐标为（0，7）或（0，5）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，求两函数交点的坐标，相似三角形的性质，第（2）题的难点在于利用分类讨论思想求出点P的坐标．
3．（2024•新泰市一模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，2），且顶点P的坐标为（﹣1，3）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，点D(−52，34)，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CD的上方，连接MC，MD．求△MCD面积的最大值及此时点M的横坐标；
（3）如图2，设点Q是抛物线对称轴上的一点，且在点C的下方，连接QC，将线段QC绕点Q逆时针旋转90°，点C的对应点为F，直线PF交抛物线于点E（点E与点P不重合），判断此时能否求出点E的坐标，如能，求出点E的坐标，不能，说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；分类讨论；图形的全等；推理能力．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+2；
（2）点M的横坐标为：−54时，△MCD面积的最大值为12564；
（3）能求出点E的坐标，点E的坐标为（﹣2，2）．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由△MCD面积＝S△MHD+S△MHC，即可求解；
（3）证明△QNF≌△CHQ（AAS），得到CG＝2﹣t＝QN，QH＝1＝FN，则点F（t﹣3，t+1），求出直线PF的表达式，进而求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣h）2+k＝a（x+1）2+3，
当x＝0时，y＝a（0+1）2+3＝2，
解得：a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣（x+1）2+3＝﹣x2﹣2x+2；
（2）如图1，过点M作MH∥y轴交CD于点H，
由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y=12x+2，
设点M（m，﹣m2﹣2m+2），点H（m，12m+2），
则△MCD面积＝S△MHD+S△MHC=12MH×（xC﹣xD）=12×[（﹣m2﹣2m+2）﹣（m+2）]×52=−54（m2+52m），
∵−54＜0，故函数由最大值，
当m=−54时，△MCD面积的最大值为12564；
（3）能求出点E的坐标，理由：
设点Q（﹣1，t），如图2，
①当点Q在点C的下方时，
过点Q作x轴的平行线交y轴于点H，交过点F与y轴的平行线于点N，
∵∠FQN+∠QFN＝90°，∠FQN+∠CQH＝90°，
∴∠FNQ＝∠QCH，
∵∠N＝∠CHQ＝90°，CQ＝QF，
∴△QNF≌△CHQ（AAS），
∴CH＝2﹣t＝QN，QH＝1＝FN，
∴点F（t﹣3，t+1），
由点P、F的坐标得，直线PF的表达式为：y＝x+4②，
联立①②得：x+4＝﹣x2﹣2x+2，
解得：x＝﹣2（不合题意的值已舍去），
即点E（﹣2，2）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质和旋转的性质；会利用三角形全等的知识解决线段相等的问题；会解一元二次方程；理解坐标与图形性质．
4．（2024•雅安模拟）某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式：
（2）如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？
（3）设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用；待定系数法求一次函数解析式．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由待定系数法求解即可；
（2）利用总利润等于每千克的利润乘以销售量，列出函数关系式并根据问题实际得出自变量的取值范围，并根据每天所获利润为3600元，建立方程，求解即可；
（3）将w关于x的二次函数写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（30，150）；（80，100）分别代入得：
30k+b=15080k+b=100，
解得：k=−1b=180，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180；
（2）设利润为w元，
由题意得：
w＝（x﹣30）（﹣x+180）
＝﹣x2+210x﹣5400，
∴w＝﹣x2+210x﹣5400（30≤x≤80）；
令﹣x2+210x﹣5400＝3600，
解得x＝60或x＝150（舍），
∴如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为60元；
（3）由（2）知，w＝﹣（x﹣105）2+5625，
∵﹣1＜0，
∴当x≤105时，w随x的增大而增大，
∵30≤x≤80，
∴当x＝80时，w最大，最大为5000元．
∴当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是5000元．
【点评】本题考查了二次函数与一次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
5．（2024•红塔区三模）在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中，
（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？
（2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出t的值．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】（1）32；
（2）t=5．
【分析】（1）将点坐标代入解析式，求解；
（2）分情况讨论：①t≥3时，对称轴在直线x＝3右侧或与x＝3重合，②t＜3时，分别确定自变量取值范围内的函数极值，建立方程求解．
【解答】解：（1）图象经过点（2，1），
∴4﹣4t+3＝1，解得t=32．
（2）y＝x2﹣2tx+3＝（x﹣t）2+3﹣t2，
∴x＝t时，y最小值=3−t2
①t≥3时，对称轴在直线x＝3右侧或与x＝3重合，
y最小值=32−2t×3+3=−6t+12=−2，解得t=73（舍去）；
②t＜3时，对称轴在直线x＝3左侧，
y最小值=3−t2=−2，解得t=−5（舍去）或t=5；
综上，t=5．
【点评】本题考查二次函数的性质，根据自变量取值范围确定函数极值是解题的关键．
6．（2024•金乡县三模）某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的50%．在销售过程中发现：当销售单价为35元时，每天可售出350件，若销售单价每提高5元，则每天销售量减少50件．设销售单价为x元（销售单价不低于35元）
（1）当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为多少件？
（2）求这种儿童玩具每天获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；
（3）当销售单价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据儿童玩具进价为每件30元，每件儿童玩具的销售利润不高于进价的50%，求出x的取值范围；
（2）根据总利润＝每件利润×销售量列出函数解析式；
（3）根据（2）中解析式，由函数的性质和x的取值范围求出最大值．
【解答】解：（1）∵x≤30×（1+50%）＝45，
∴x≤45，
当x＝45时，每天的销售量为350﹣50×45−355=250（件），
∴当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为250件；
（2）根据题意得，w＝（350−x−355×50）（x﹣30）＝（﹣10x+700）（x﹣30）＝﹣10x2+1000x﹣21000，
∴这种儿童玩具每天获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式为w＝﹣10x2+1000x﹣21000；
（3）∵w＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，
∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝50，
∵x≤45，
∴当x＝45时，w最大＝﹣10×（45﹣50）2+4000＝3750，
答：当销售单价为45时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3750元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
7．（2024•德城区一模）以x为自变量的两个函数y与g，令h＝y﹣g，我们把函数h称为y与g的“相关函数”例如：以x为自变量的函数y＝x2与g＝2x﹣1它们的“相关函数”为h＝y﹣g＝x2﹣2x+1．h＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0恒成立，所以借助该“相关函数”可以证明：不论自变量x取何值，y≥g恒成立．
（1）已知函数y＝x2+mx+n与函数g＝4x+1相交于点（﹣1，﹣3）、（3，13），求函数y与g的“相关函数”h；
（2）已知以x为自变量的函数y＝3x+t与g＝x﹣2，当x＞1时，对于x的每一个值，函数y与g的“相关函数”h＞0恒成立，求t的取值范围；
（3）已知以x为自变量的函数y＝ax2+bx+c与g＝﹣2bx﹣c（a、b、c为常数且a＞0，b≠0），点A(12，0)、B（﹣2，y1）、C（1，y2）是它们的“相关函数”h的图象上的三个点，且满足2c＜y2＜y1，求函数h的图象截x轴得到的线段长度的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）h＝x2﹣2x﹣3；
（2）t≥﹣4；
（3）函数w的图象截x轴得到的线段长度的取值范围大于0小于2且不等于1．
【分析】（1）利用待定系数法求得y＝x2+2x﹣2，进而得到h＝y﹣g＝（x2+2x﹣2）﹣（4x+1）＝x2﹣2x﹣3；
（2））首先推导出相关函数h＝y﹣g＝2x+t+2，进而得到当x＞1时，对于x的每一个值，函数y与g的“相关函数”h＞0恒成立，h＝2x+t+2＞0（x＞1）恒成立，当x＝1 时，w＝t+4，当x＞1时，t+4≥0恒成立，所以t≥﹣4；
（3）∵函数y＝ax2+bx+c与g＝﹣2bx﹣c，推导出h＝ax2+3bx+2c，进一步解得y1＝4a﹣6b+2c，y2＝a+3b+2c，从而得到c=−18a−34b，由2c＜y2＜y1，推导了出2c＜a+3b+2c＜4a﹣6b+2c，得到−13＜ba＜13且ba≠0，最后求得函数h的图象截x轴得到的线段长度为：|x1−x2|=(x1+x2)2−4x1x2=9b2a2−8ca=9b2a2−8(−a8−3b4)a=9b2+a2+6aba2=|a+3ba|=|1+3t|，进而得到−13＜t＜13且t≠0．
【解答】解：（1）∵已知函数 y＝x2+mx+n与函数g＝4x+1相交于点 （﹣1，﹣3）、（3，13），代入得：
(−1)2−m+n=−332+3m+n=13，
解得m=2n=−2，
∴函数y＝x2+2x﹣2，
∴h＝y﹣g＝（x2+2x﹣2）﹣（4x+1）＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵函数y＝3x+t与g＝x﹣2，
∴相关函数h＝y﹣g＝2x+t+2，
∵当x＞1时，对于x的每一个值，函数y与g的“相关函数”h＞0恒成立，
∴h＝2x+t+2＞0（x＞1）恒成立，
当x＝1 时，w＝2×1+t+2＝t+4，
当x＞1时，t+4≥0恒成立，所以t≥﹣4；
（3）∵函数y＝ax2+bx+c与g＝﹣2bx﹣c，
∴h＝ax2+3bx+2c，
将点 A(12，0)，B（﹣2，y1），C（1，y2）代入解析式得：
14a+32b+2c=0，
y1＝4a﹣6b+2c，y2＝a+3b+2c，
∴c=−18a−34b，
∵2c＜y2＜y1，
∴2c＜a+3b+2c＜4a﹣6b+2c，
解不等式得：−13＜ba＜13且ba≠0，
令t=ba，则−13＜t＜13且t≠0，
设函数h与x轴交于 （x1，0），（x2，0），
∴x1 x2是方程ax2+3bx+2c＝0的两根，
∴x1+x2=−3ba x1⋅x2=2ca
∴函数h的图象截x轴得到的线段长度为：|x1−x2|=(x1+x2)2−4x1x2=9b2a2−8ca=9b2a2−8(−a8−3b4)a=9b2+a2+6aba2=|a+3ba|=|1+3t|，
∵−13＜t＜13且t≠0，
∴0＜|1+3|＜2且|1+3t|≠1，即0＜|x1﹣x2|＜2且|x1﹣x2|≠1，
∴函数w的图象截x轴得到的线段长度的取值范围大于0小于2且不等于1．
【点评】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“相关函数“的定义．
8．（2024•市中区校级一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；函数的综合应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）利用待定系数法确定直线BC的解析式为y＝﹣x+5，设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5），则DE＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，利用三角形的面积公式进行讨论：当DE：EF＝2：3时，S△BDE：S△BEF＝2：3；当DE：EF＝3：2时，S△BDE：S△BEF＝3：2，从而可得到关于x的方程，然后解方程求出x就看得到对应的D点坐标；
（3）先确定抛物线的对称轴，如图，设M（2，t），利用两点间的距离公式得到BC2＝50，MC2＝t2﹣10t+29，MB2＝t2+9，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当BC2+MC2＝MB2时，△BCM为直角三角形，则50+t2﹣10t+29＝t2+9；当BC2+MB2＝MC2时，△BCM为直角三角形，则50+t2+9＝t2﹣10t+29；当MC2+MB2＝BC2时，△BCM为直角三角形，则t2﹣10t+29+t2+9＝50，然后分别解关于t的方程，从而可得到满足条件的M点坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5，
得：a−b+5=525a+5b+5=0，
解得a=−1b=4，
则抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）能．
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
把C（0，5），B（5，0）代入得m=55k+m=0，
解得k=−1m=5，
所以直线BC的解析式为y＝﹣x+5，
设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5），
∴DE＝﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，
当DE：EF＝2：3时，S△BDE：S△BEF＝2：3，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝2：3，
整理得3x2﹣17x+10＝0，
解得x1=23，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（23，659）；
当DE：EF＝3：2时，S△BDE：S△BEF＝3：2，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝3：2，
整理得2x2﹣13x+15＝0，
解得x1=32，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（32，354）；
综上所述，当点D的坐标为（23，659）或（32，354）时，直线BC把△BDF分成面积之比为2：3的两部分；
（3）抛物线的对称轴为直线x＝2，如图，
设M（2，t），
∵B（5，0），C（0，5），
∴BC2＝52+52＝50，MC2＝22+（t﹣5）2＝t2﹣10t+29，MB2＝（2﹣5）2+t2＝t2+9，
当BC2+MC2＝MB2时，△BCM为直角三角形，∠BCM＝90°，即50+t2﹣10t+29＝t2+9，解得t＝7，此时M点的坐标为（2，7）；
当BC2+MB2＝MC2时，△BCM为直角三角形，∠CBM＝90°，即50+t2+9＝t2﹣10t+29，解得t＝﹣3，此时M点的坐标为（2，﹣3）；
当MC2+MB2＝BC2时，△BCM为直角三角形，∠CMB＝90°，即t2﹣10t+29+t2+9＝50，解得t1＝6，t2＝﹣1，此时M点的坐标为（2，6）或（2，﹣1），
综上所述，满足条件的M点的坐标为（2，7），（2，﹣3），（2，6），（2，﹣1）．
【点评】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与x轴的交点坐标；能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题．
9．（2024•武威二模）如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x＝2与x轴交于点C，直线y＝﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m），且与y轴、直线x＝2分别交于点D、E，点D是BE的中点．
（1）求m的值；
（2）求该抛物线对应的函数关系式；
（3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB＝PE？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】平面直角坐标系；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）m＝3；
（2）y=14x2−x；
（3）P(3+5，1+52)或P(3−5，1−52)．
【分析】（1）先求出点D 和点E 坐标，再根据中点坐标公式，即可求出m；
（2）易得B（﹣2，3），根据二次函数的对称性得出A（4，0），设抛物线对应的函数关系式为y＝ax2+bx+c，把B（﹣2，3），O（0，0），A（4，0）代入，求出a、b、c的值，即可得出抛物线对应的函数关系式为．
（3）连接CD，易得C（2，0），则BC＝CE，进而得出CD是BE的垂直平分线，用待定系数法求出CD所在直线的函数表达式为y=12x−1，与二次函数表达式联立求解即可．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣2x﹣1＝﹣1，
∴D（0，﹣1），
当x＝2时，y＝﹣2x﹣1＝﹣2×2﹣1＝﹣5，
∴E（2，﹣5），
∵B（﹣2，m），点D是BE的中点，
∴m﹣（﹣1）＝（﹣1）﹣（﹣5），
解得：m＝3．
（2）∵m＝3，
∴B（﹣2，3），
∵该抛物线经过原点O，对称轴x＝2，
∴A（4，0），
设抛物线对应的函数关系式为y＝ax2+bx+c，
把B（﹣2，3），O（0，0），A（4，0）代入得：
c=03=4a−2b+c0=16a+4b+c，
解得：a=14b=−1c=0，
∴抛物线对应的函数关系式为y=14x2−x．
（3）连接CD，
∵对称轴x＝2与x轴交于点C，
∴C（2，0），
∵B（﹣2，3），E（2，﹣5），
∴BC=(2+2)2+32=5，CE=0−(−5)=5，
∴BC＝CE，
∴点C在BE的垂直平分线上，
∵点D是BE的中点，
∴CD是BE的垂直平分线，
设CD所在直线的函数表达式为y＝kx+t，
把D（0，﹣1），C（2，0）代入得：
−1=t0=2k+t，
解得：k=12t=−1，
∴CD所在直线的函数表达式为y=12x−1，
联立得：y=12x−1y=14x2−x，
解得：x1=3+5y1=1+52，x2=3−5y2=1−52，
∴P(3+5，1+52)或P(3−5，1−52)．
【点评】本题考查了二次函数的对称轴，中点坐标公式，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
10．（2024•浉河区二模）综合与实践．
某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考查，刹车距离．
【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．
【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下：
发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系；
②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．
【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：
（1）求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若汽车刹车4s后，行驶了多长距离；
（3）若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由．
【考点】二次函数的应用．
【专题】待定系数法；二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y＝﹣3t2+30t，
（2）72m；
（3）不会．
理由见解答．
【分析】（1）利用待定系数法即可求出y关于t的函数解析式；
（2）将t＝4代入（1）中求出的解析式，即可求出行驶了多长距离；
（3）求出（1）中函数的最大值，与80m比较，即可解决问题．
【解答】解：（1）设y＝at2+bt+c，
将（0，0），（1，27），（2，48）代入，
得c=0a+b+c=274a+2b+c=48，
解得a=−3b=30c=0，
∴y关于t的函数解析式为：y＝﹣3t2+30t，
（2）当t＝4时，y＝﹣3×42+30×4＝72，
答：汽车刹车4s后，行驶了72m；
（3）不会．
理由如下：∵y＝﹣3t2+30t＝﹣3（t﹣5）2+75，
∴当t＝5时，汽车停下，行驶了75m，
∵75＜80，
∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车．
【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键．
11．（2024•天长市二模）已知，在平面直角坐标系内，抛物线y＝ax2+2x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求抛物线与直线AC的解析式；
（2）点P在抛物线的对称轴上，且使得|PA﹣PC|的值最大，过对称轴上的另一点Q任作与x轴不平行的直线l，交抛物线于点M，N，若△PMN的内心始终在抛物线的对称轴上，求点Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，已知点D是线段AC上（不含端点A，C）的一个动点，过点D作直线DEAB，交直线l于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，求线段DF的最小值．
【考点】二次函数综合题．
【专题】函数的综合应用；运算能力．
【答案】（1）抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，直线AC的解析式为y＝3x+3；
（2）（1，2）；
（3）125．
【分析】（1）运用待定系数法求一次函数、二次函数解析式，即可作答．
（2）先作图，根据内心定义，得出直线BC或直线AC1与对称轴的交点即为Q点，求出直线BC的解析式为y＝﹣x+3，代入x＝1，即可作答．
（3）运用分类讨论，①当直线l经过点A，C1时，则根据勾股定理得在Rt△DEF中，则有DF=(23a)2+a2=139a2，②当直线l经过点B，C时，则根据勾股定理得在Rt△DEF中，则有DF=(−43a+4)2+a2=259a2−323a+16，结合二次函数的图象性质，即可作答．
【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2+2x+c交x 轴于A，B 两点，交 y轴于点C，且A（﹣1，0），B（3，0）．
∴a−2+c=0，9a+6+c=0，
解得a=−1，c=3，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3
当x＝0时，y＝3，
∴点C的坐标为（0，3），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，把点A，C的坐标代入，
得 −m+n=0，n=3，
解得m=3，n=3，
∴直线AC的解析式为y＝3x+3，
（2）由y＝﹣x2+2x+3可知：对称轴为直线x=−b2a=1，
连接AC并延长交于对称轴，交点即为点P，
此时|PA﹣PC|的值最大，
把x＝1代入y＝3x+3，解得y＝6
∴点P的坐标为（1，6），
设点C关于直线x＝1对称的点为C1（2，3），
要使得△PMN的内心始终在对称轴上，
根据对称性，直线l必经过BC或经过AC1，
即直线BC或直线AC1与对称轴的交点即为Q点，
设点直线BC的解析式为y＝mx+n，
把点B（3，0）和点C的坐标（0，3）分别代入y＝mx+n，
得0=3m+n3=0+n，
解得m=−1n=3，
根据点B（3，0）和点C的坐标（0，3）
可求出直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝2，
根据对称性，直线AC与对称轴的交点也为Q，坐标均为（1，2），
（3）由于直线l有两条，分两种情况分析：
①当直线l经过点A，C1时，
设直线AC1的解析式y＝px+q，
把C1（2，3）和A（﹣1，0）代入y＝px+q，
得3=2p+q0=−p+q，
解得p=1q=1，
∴直线AC1的解析式为y＝x+1，
设点D的纵坐标为a，把y＝a代入直线AC和直线AC1，
可得xD=a−33，xE=a−1，
∴DE=(a−1)−a−33=23a，
又∵EF＝a，
在Rt△DEF中，则有DF=(23a)2+a2=139a2，
由题可知，0＜a＜3，
∴此时DF不存在最小值，
②当直线l经过点B，C时，
设点D的纵坐标为a，把y＝a代入直线AC和直线BC，
可得xD=a−33，xE=3−a
∴DE=(3−a)−a−33=−43a+4，
∴EF＝a，
在Rt△DEF中，则有DF=(−43a+4)2+a2=259a2−323a+16，
令 t=259a2−323a+16=259(a−4825)2+14425，
∴当a=4825时，t有最小值，最小值为14425，
即当点D的纵坐标为4825时，
则DF=14425=125
DF有最小值为125．
【点评】本题考查了二次函数的几何综合，涉及待定系数法求一次函数、二次函数解析式，轴对称性质，勾股定理，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
12．（2024•柳州一模）2023年8月5日，在成都举行的第31届世界大学生夏季运动会女子篮球金牌赛中，中国队以99比91战胜日本队，夺得冠军，女篮最重要的球员之一韩旭在日常训练中也迎难而上，勇往直前．投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系xOy，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是3m，韩旭进行了两次投篮训练．
（1）第一次训练时，韩旭投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
①在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接：
②结合表中数据或所画图象，求篮球运行的最高点距离地面的竖直高度；
③已知此时韩旭距篮筐中心的水平距离5m，韩旭第一次投篮练习是否成功，请说明理由．
（2）第二次训练时，韩旭出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝a（x﹣3）2+4.25，若投篮成功，求此时韩旭距篮筐中心的水平距离d的取值范围．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】（1）①作图见解析过程；
②3.8m；
③韩旭第一次投篮练习成功，理由见解析过程；
（2）d=5+3．
【分析】（1）①描点，作图即可；②根据图表，可得抛物线关于直线x＝3对称，图象开口向下，进而可求最高点距离地面的竖直高度；③设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+3.8，将（0，2.0）代入，求得a=−15，则y=−15(x−3)2+3.8，将x＝5代入得，y=−15(5−3)2+3.8=3，则韩旭第一次投篮练习成功；
（2）将（0，2.0）代入得，2.0＝a（0﹣3）2+4.25，解得，a=−14，则y=−14(x−3)2+4.25，当y＝3时，3=−14(x−3)2+4.25，求出满足要求的值即可．
【解答】解：（1）①如图，
②∵（2，3.6）、（4，3.6），
∴抛物线关于直线x＝3对称，
∵图象开口向下，
∴篮球运行的最高点距离地面的竖直高度为3.8m；
③韩旭第一次投篮练习成功，理由如下：
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+3.8，
将（0，2.0）代入得，2.0＝a（0﹣3）2+3.8，
解得，a=−15，
∴y=−15(x−3)2+3.8，
将x＝5代入得，y=−15(5−3)2+3.8=3，
∴韩旭第一次投篮练习成功；
（2）将（0，2.0）代入得，2.0＝a（0﹣3）2+4.25，
解得，a=−14，
∴y=−14(x−3)2+4.25，
当y＝3时，3=−14(x−3)2+4.25，
解得，x1=5+3，x2=−5+3（不合题意，舍去），
∴此时韩旭距篮筐中心的水平距离d=5+3．
【点评】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的图象与性质是解题的关键．
13．（2024•朝阳区校级三模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝t，点A（﹣t，m），B（2t，n），C（x0，y0）在抛物线上．
（1）当t＝2时，直接写出m与n的大小关系；
（2）若对于5＜x0＜6，都有m＞y0＞n，求t的取值范围．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）m＞n；（2）2≤t≤52或t≤﹣6．
【分析】（1）依据题意，当t＝2时，对称轴为直线x＝2，又抛物线a＞0，故抛物线开口向上，从而抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，又此时A（﹣2，m），B（4，n），进而2﹣（﹣2）＞4﹣2，再结合A点离对称轴的距离大于B点离对称轴的距离，最后可以判断得解；
（2）依据题意，由5＜x0＜6，都有m＞y0＞n，又抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，从而C（x0，y0）到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，小于点A到对称轴的距离，故|x0−t|＞|2t−t||x0−t|＜|t−(−t)|，进而分类讨论可以得解．
【解答】解：（1）由题意，当t＝2时，对称轴为直线x＝2．
又抛物线a＞0，
∴抛物线开口向上．
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
又此时A（﹣2，m），B（4，n），
∴2﹣（﹣2）＞4﹣2．
∴A点离对称轴的距离大于B点离对称轴的距离．
∴m＞n．
（2）由题意，∵对于5＜x0＜6，都有m＞y0＞n，
又抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，
∴C（x0，y0）到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，小于点A到对称轴的距离，
∴|x0−t|＞|2t−t||x0−t|＜|t−(−t)|．
①当t＞0时，
∴t＜|x0﹣t|＜2t．
若x0＞t，
∴2t＜x0＜3t．
又5＜x0＜6，
∴2t≤5且3t≥6．
∴2≤t≤52．
若x0＜t，
∴2t＜t﹣x0＜3t．
∴﹣2t＜x0＜﹣t．
又5＜x0＜6，
∴﹣2t≤5且﹣t≥6．
∴−52≤t且t≤﹣6．
∴此时无解．
②当t＜0时，
∴﹣t＜|x0﹣t|＜﹣2t．
若x0＞t，
∴﹣t＜x0﹣t＜﹣2t．
∴0＜x0＜﹣t．
又5＜x0＜6，
∴﹣t≥6．
∴t≤﹣6．
若x0＜t，
∴﹣t＜t﹣x0＜﹣2t．
∴3t＜x0＜2t．
又5＜x0＜6，
∴3t≤5且2t≥6．
∴t≤53且t≥3．
∴此时无解．
综上，2≤t≤52或t≤﹣6．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
14．（2024•喀什地区一模）如图，在Rt△ABC，∠ABC＝90°，该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0），B（0，2），C（4，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为该二次函数第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标；
（3）M为二次函数上一点，N为x轴上一点，当B、C、M、N成的四边形是平行四边形时，直接写出N的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y=−12x2+32x+2；
（2）P（2，3）；
（3）N点坐标为（1，0）或（−5+412，0）或（−5−412，0）或（7，0）．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过P点作PQ∥y轴交BC于点Q，设P（t，−12t2+32t+2），则Q（t，−12t+2），则S=12×4×（−12t2+2t）＝﹣（t﹣2）2+4，当t＝2时，△BCP的面积最大，此时P（2，3）；
（3）设M（m，−12m2+32m+2），N（n，0），根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，结合中点坐标公式求n的值即可．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（0，2），C（4，0）代入y＝ax2+bx+c，
∴a−b+c=0c=216a+4b+c=0，
解得a=−12b=32，
∴抛物线的解析式为y=−12x2+32x+2；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+2，
∴4k+2＝0，
解得k=−12，
∴直线BC的解析式为y=−12x+2，
过P点作PQ∥y轴交BC于点Q，
设P（t，−12t2+32t+2），则Q（t，−12t+2），
∴PQ=−12t2+32t+2+12t﹣2=−12t2+2t，
∴S=12×4×（−12t2+2t）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，
当t＝2时，△BCP的面积最大，此时P（2，3）；
（3）设M（m，−12m2+32m+2），N（n，0），
当BC为平行四边形的对角线时，4＝m+n，2=−12m2+32m+2，
解得m＝0，n＝4（舍）或m＝3，n＝1，
∴N（1，0）；
当BM为平行四边形的对角线时，m＝4+n，0=−12m2+32m+4，
解得m=3+412，n=−5+412或m=3−412，n=−5−412，
∴N（−5+412，0）或（−5−412，0）；
当BN为平行四边形的对角线时，n＝4+m，2=−12m2+32m+2，
解得m＝0，n＝4（舍）或m＝3，n＝7，
∴N（7，0）；
综上所述：N点坐标为（1，0）或（−5+412，0）或（−5−412，0）或（7，0）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
15．（2024•电白区一模）在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙AB、CD之间悬挂一条近似抛物线y＝ax2−45x+3的彩带，如图2所示，已知墙AB与CD等高，且AB、CD之间的水平距离BD为8米．
（1）如图2，两墙AB，CD的高度是 3 米，抛物线的顶点坐标为 （3，1.4） ；
（2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙AB距离为3米，使抛物线F1的最低点距墙AB的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离；
（3）为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将M到地面的距离提升为3米，通过适当调整M的位置，使抛物线F2对应的二次函数的二次项系数始终为15，若设点M距墙AB的距离为m米，抛物线F2的最低点到地面的距离为n米，探究n与m的关系式，当2≤n≤94时，求m的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数图象及其性质；二次函数的应用；数据分析观念．
【答案】（1）3，（4，1.4）；
（2）点M到地面的距离为2.25米；
（3）m的取值范围为：8﹣25≤m≤8−15．
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（2）由待定系数法求出函数表达式，当x＝3时，y=14（x﹣2）2+2＝2.25，即可求解；
（3）设出抛物线的表达式为：y=15（x﹣3−12m）2+n，将点C的坐标代入上式得：3=15（8﹣3−12m）2+n，得到n=−120m2+45m−15，进而求解．
【解答】解：（1）由题意得，抛物线的对称轴为直线x＝4，
则x＝4=−b2a=−452a，
解得：a＝0.1；
则抛物线的表达式为：y＝0.1x﹣0.8x+3，
则点A（0，3），即AB＝CD＝3（米），
当x＝4时，y＝0.1x2﹣0.8x+3＝1.4，
即顶点坐标为：（4，1.4），
故答案为：3，（4，1.4）；
（2）设抛物线的表达式为：y＝a′（x﹣2）2+2，
将点A的坐标代入上式得：3＝a′（0﹣2）2+2，
解得：a′=14，
则抛物线的表达式为：y=14（x﹣2）2+2，
当x＝3时，y=14（x﹣2）2+2＝2.25（米），
即点M到地面的距离为2.25米；
（3）由题意知，点M、C纵坐标均为3，则右侧抛物线关于M、C对称，
则抛物线的顶点的横坐标为：12（m+8）＝4+12m，
则抛物线的表达式为：y=15（x﹣4−12m）2+n，
将点C的坐标代入上式得：3=15（8﹣4−12m）2+n，
整理得：n=−120m2+45m−15；
当n＝2时，即2=−120m2+45m−15，
解得：m＝8﹣25（不合题意的值已舍去）；
当n=94时，
同理可得：m＝8−15，
故m的取值范围为：8﹣25≤m≤8−15．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，求出函数相应的解析式，根据函数的顶点式可以求得函数的最值．
16．（2024•中原区校级三模）水龙头关闭不严会造成滴水．为了调查漏水量与漏水时间的关系，某兴趣小组进行以下试验与探究：
试验：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒，每5min记录一次容器中的水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表中的一组数据．
（1）探究：根据上表中的数据，拟用下面三个函数模型模拟水量y与时间t的关系：①y=mt，②y＝kt+b，③y＝pt2+qt+r，你认为选用函数 ② （填序号）模拟最合理（不必说明理由），并求出相应的函数表达式和漏记的a值；
（2）应用：
①兴趣小组用100mL量筒进行测量，请估计在第30分钟量筒是否滴满？
②成年人每天大约需饮水1600mL，请估算这个水龙头一天的漏水量可供一位成年人饮用多少天？（结果保留一位小数）
【考点】根据实际问题列二次函数关系式．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】（1）②；y＝3t+2；a＝62；
（2）①没有滴满；②2.7天．
【分析】（1）由题意可得，应该用一次函数模拟水量y与时间t的关系，根据待定系数法求得解析式即可解答；
（2）①将x＝30代入函数解析式，即可解答；
②计算水龙头一天的漏水量，再除以成年人每天需要的饮水量即可解答．
【解答】解：（1）由题意可得，应该用一次函数模拟水量y与时间t的关系，故选函数②，
把t＝5，y＝17；t＝10，y＝32代入函数解析式可得，
17=5k+b32=10k+b，
解得k=3b=2，
∴水量y与时间t的解析式为y＝3x+2，
故漏记的a＝20×3+2＝62；
（2）①将x＝30代入函数解析式，可得y＝30×3+2＝92＜100，
∴在第30分钟量筒没有滴满；
②水龙头一天的漏水量为3×60×24＝4320mL，
4320÷1600＝2.7天，
答：这个水龙头一天的漏水量可供一位成年人饮用2.7天．
【点评】本题考查了一次函数的应用，熟练用待定系数法求一次函数是解题的关键．
17．（2024•万山区一模）排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次模拟测试中，某生在O处将球垫偏，之后又在A、B两处先后垫球，球沿抛物线C1→C2→C3运动（假设抛物线C1、C2、C3在同一平面内），最终正好在O处垫住，O处离地面的距离为1米．如图所示，以O为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，x轴平行于地面水平直线m，已知点A(32，38)，点B的横坐标为−32，抛物线C1表达式为y＝ax2﹣2ax和抛物线C3表达式为y＝2ax2+bx（a≠0）．
（1）求抛物线C1的函数表达式；
（2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由；
（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该生第三次垫球处B离地面的高度至少为多少米？
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】（1）y=−12x2+x；
（2）最大高度未达到要求，理由见解析；
（3）1.75米．
【分析】（1）直接利用待定系数法，即可求出抛物线C1的函数表达式；
（2）将抛物线C1表达式化为顶点式，得到顶点坐标(1，12)，求出实际最大高度，即可得到答案；
（3）由（1）可知，a=−12，得到抛物线C3表达式为y＝﹣x2+bx，进而得到对称轴为直线x=b2，顶点坐标为(b2，b24)，根据最大高度的要求和对称轴，求出b≤﹣2，再根据点B的横坐标为−32，得到yB=−94−32b，求出yB的最小值即可得到答案．
【解答】解：（1）∵抛物线C1表达式为y＝ax2﹣2ax，且经过点A(32，38)，
∴38=(32)2a−2a×32，
解得：a=−12，
∴抛物线C1的函数表达式为：y=−12x2+x；
（2）最大高度未达到要求，理由如下：
由（1）得，抛物线C1的函数表达式为y=−12x2+x，
∵y=−12x2+x=−12(x2−2x)=−12(x−1)2+12，
∴抛物线C1的顶点坐标为(1，12)，
∵O处离地面的距离为1米，
∴球在运动中离地面的最大高度为1+12=32＜2，
∴最大高度未达到要求；
（3）解：由（1）可知，a=−12，
∵抛物线C3表达式为y＝﹣x2+bx，
∴对称轴为直线x=b2，顶点坐标为(b2，b24)，
∵球在运动中离地面的最大高度达到要求，
∴b24+1≥2，
∴b≥2或b≤﹣2，
∵对称轴在x轴负半轴，
∴b＜0，
∴b≤﹣2，
∵点B的横坐标为−32，
∴yB=−94−32b，
∴当b＝﹣2时，yB有最小值，最小值为−94−32×(−2)=34，
∴点B离地面的高度至少为1+34=1.75（米）．
【点评】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
18．（2024•龙马潭区二模）如图，抛物线y＝ax2+5ax+b经过点D（﹣1，﹣5），且交x轴于A（﹣6，0），B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，过点D作DM⊥x轴，垂足为M，点P在直线AD下方抛物线上运动，过点P作PE⊥AD，PF⊥DM，求2PE+PF的最大值，以及此时点P的坐标．
（3）将原抛物线沿射线CA方向平移52个单位长度，在平移后的抛物线上存在点G，使得∠CAG＝45°，请写出所有符合条件的点G的横坐标，并写出其中一个的求解过程．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；分类讨论；解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】（1）y=12x2+52x﹣3；
（2）2PE+PF有最大值为498，此时点P的坐标为：（−92，−338）；
（3）点G的横坐标为：−13+212或−19+4696．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）证明PH=2PE，得到2PE+PF＝PH+（xF﹣xP），即可求解；
（3）当点G在x轴下方时，在△ACN中，tan∠ACO＝tan∠TCN，∠CAN＝45°，AC=45，求出点N（0，﹣18），即可求解；当点G在x轴上方时，同理可解．
【解答】解：（1）由题意得：
a−5a+b=−50=36a−30a+b，解得：a=12b=−3，
则抛物线的表达式为：y=12x2+52x﹣3；
（2）过点P作PH∥y轴交AD于点H，如图1，
由点A、D的坐标得，直线AD和x轴正半轴的夹角为45°，直线AD的表达式为：y＝﹣x﹣6，
则∠MDA＝∠PHE＝45°，
则PH=2PE，
设点P（x，12x2+52x﹣3），则点H（x，﹣x﹣6），
则2PE+PF＝PH+（xF﹣xP）＝（﹣x﹣6−12x2−52x+3）+（﹣1﹣x）=−12x2−92x﹣4，
∵−12＜0，
故2PE+PF有最大值为498，
此时点P的坐标为：（−92，−338）；
（3）原抛物线沿射线CA方向平移52个单位长度，相当于将抛物线向左平移1个单位、向上平移12个单位，如图2，
则新抛物线的表达式为：y=12x2+72x+12①，
当点G在x轴下方时，
设直线AG交y轴于点N，过点N作NT⊥AC于点T，
由点A、C（0，﹣3）的坐标得：AC=45，
在△ACN中，tan∠ACO＝tan∠TCN，∠CAN＝45°，AC=45，
设CT＝x，则NT＝2x，
则AT＝NT，即2x＝x+45，则x=45，
则CN=5x＝15，
则点N（0，﹣18），
由点A、N的坐标得，直线AN的表达式为：y＝﹣3x﹣18②，
联立①②得：12x2+72x+12=−3x﹣18，
解得：x=−13+212（不合题意的值已舍去）；
当点G在x轴上方时，
同理可得：直线AG的表达式为：y=13x+2③，
联立①③得：12x2+72x+12=13x+2，
解得：x=−19+4692（不合题意的值已舍去）；
综上，符合条件的点G的横坐标为：−13+212或−19+4696．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、图象的平移等，分类求解是解题的关键．
19．（2024•重庆模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于A（8，0）、B（﹣2，0）两点，与y轴交于点C，连接AC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，直线CD交x轴于点D（2，0），点P为线段AC下方抛物线上的一点，过点P作PH∥y轴交直线CD于点H，在直线CD上取点Q，连接PQ，使得HQ＝PQ，求2PQ−54PH的最大值及此时P点的坐标；
（3）连接BC，把原抛物线y=14x2+bx+c沿射线BC方向平移25个单位长度，点M是平移后新抛物线上的一点，过点M作MN垂直x轴于点N，连接AM，直接写出所有使得△AMN∽△ABC的点M的横坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把A（8，0），B（﹣2，0）代入抛物线y=14x2+bx+c即可求解；
（2）作QE⊥PH于点E，证明△PQE∽△CDO，用含m的式子表示PQ=52PE，利用二次函数的性质解决最值问题；
（3）求出平移后的函数解析式，分四种情况求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于A（8，0），B（﹣2，0），
∴14×64+8b+c=014×4−2b+c=0，
解得b=−32c=−4，
∴抛物线的表达式为y=14x2−32x−4；
（2）作QE⊥PH于点E，
∵HQ＝PQ，
∴PH＝2PE，
当x＝0时，y=14x2−32x−4=−4，
∴C（0，﹣4），
∴CD=22+42=25，
∵PH∥y轴，
∴∠DCO＝∠QHP，
∵HQ＝PQ，
∴∠QPH＝∠QHP，
∴∠QPH＝∠DCO，
∵∠PEO＝∠COD＝90°，
∴△PQE∽△CDO，
∴PQCD=PEOC，
∴PQ25=PE4，
∴PQ=52PE，
设直线CD的解析式y＝kx﹣4，
把D（2，0）代入，得0＝2k﹣4，
解得k＝2，
∴y＝2x﹣4，
设P(m，14m2−32m−4)，则H（m，2m﹣4），
∴E(m，18m2+14m−4)，
∴PE=(18m2+14m−4)−(14m2−32m−4)=−18m2+74m，
∴2PQ−54PH=2×52PE−54×2PE=52PE=52(−18m2+74m)=−516m2+758m，
∴当m＝7时，2PQ−54PH取得最大值49516，
∴点P的坐标为(7，−94)；
（3）∵A（8，0），B（﹣2，0），C（0，﹣4），
∴AB＝10，BC=22+42=25，AC=42+82=45，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵抛物线y=14x2+bx+c沿射线BC方向平移25个单位长度，
∴抛物线y=14x2+bx+c向右平移了2个单位长度，向下平移了4个单位长度，
∵y=14x2−32x−4=14(x−3)2−254，
∴平移后的解析式为y=14(x−3−2)2−254−4=14x2−52x−4，
∴B（﹣2，0），C（0，﹣4），
∵△AMN∽△ABC，
∴MNBC=ANAC，∠MAN＝∠BAC，
∴MN25=AN45，
∴AN＝2MN，
设M(n，14n2−52n−4)，则N（n，0），MN=|14n2−52n−4|，
∵A（8，0），
∴AN＝|8﹣n|，
∴|8−n|=2|14n2−52n−4|，
∴8−n=±2(14n2−52n−4)，
解得n1=12，n2=0，n3=4−43，n4=4+43，
综上所述，点M的横坐标为12或0或4−43或4+43．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数的平移，二次函数与坐标轴的交点，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，二次函数与几何综合，本题的关键是利用分类讨论思想解题．
20．（2024•临沂一模）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm）．测得如下数据：
（1）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是 49 cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 230 cm；
②求满足条件的抛物线解析式；
（2）技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长OB为274cm，球网高CD为15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度OA的值约为1.27cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的OA值（乒乓球大小忽略不计）．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】（1）49；230；
（2）击球高度OA的值为64.39cm．
【分析】（1）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当y＝0 时，x＝230；②待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣0.0025（x﹣90）2+49+h﹣28.75，当x＝274 时，y＝0，代入进行计算即可求解．
【解答】解：（1）①观察表格数据，可知当x＝50和x＝130 时，函数值相等，
∴对称轴为直线x=50+1302=90，顶点坐标为（90，49），
∵抛物线开口向下，
∴最高点时，乒乓球与球台之间的距离是49cm，
当y＝0时，x＝230，
∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是230cm；
故答案为：49；230；
②设抛物线解析式为y＝a（x﹣90）2+49，
将（230，0）代入得，0＝a（230﹣90）2+49，
解得：a＝﹣0.0025，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.0025（x﹣90）2+49；
（2）当OA＝28.75 时，抛物线的解析式为 y＝﹣0.0025（x﹣90）2+49，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为h，则平移距离为（h﹣28.75）cm，
∴平移后的抛物线的解析式为 y＝﹣0.0025（x﹣90）2+49+h﹣28.75，
当x＝274 时，y＝0，
∴﹣0.0025（274﹣90）2+49+h﹣28.75＝0，
解得：h＝64.39；
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为64.39cm．
【点评】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
销售单价x（元）
22
27
日销量y（千克）
200
150
刹车后行驶的时间
0
1
2
3
刹车后行驶的距离y
0
27
48
63
水平距离x/m
0
1
2
3
4
…
竖直高度y/m
2.0
3.0
3.6
3.8
3.6
…
时间t/min
5
10
15
20
25
…
水量y/mL
17
32
47
a
77
…
水平距离 x/cm
0
10
50
90
130
170
230
竖直高度 y/cm
28.75
33
45
49
45
33
0
销售单价x（元）
22
27
日销量y（千克）
200
150
刹车后行驶的时间
0
1
2
3
刹车后行驶的距离y
0
27
48
63
水平距离x/m
0
1
2
3
4
…
竖直高度y/m
2.0
3.0
3.6
3.8
3.6
…
时间t/min
5
10
15
20
25
…
水量y/mL
17
32
47
a
77
…
水平距离 x/cm
0
10
50
90
130
170
230
竖直高度 y/cm
28.75
33
45
49
45
33
0