2025年中考数学二轮复习：图形的对称 压轴解答题练习题（含答案解析）

这是一份2025年中考数学二轮复习：图形的对称 压轴解答题练习题（含答案解析），共76页。试卷主要包含了根据以下素材，解决问题，教材呈现，综合与实践，如图1，有一张矩形纸片ABCD，发现等内容，欢迎下载使用。
一．解答题（共25小题）
1．如图，在等边△ABC中，点D是BC边上一点（点D不与B，C重合）BD＜CD，连接AD，点D关于直线AB的对称点为点E，连接DE交AB于点N．在AD上取一点F，使∠EFD＝∠BAC，延长EF交AC于点G．
（1）若∠BAD＝α，求∠AGE的度数（用含α的代数式表示）；
（2）用等式表示线段CG与DE之间的数量关系，并证明．
2．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，AC的中垂线DE交AC于D，交BC于点E．
（1）如图1，连接AE，则AE＝ ；
（2）如图2，延长DE交AB的延长线于点F，连接CF，请求出CF的长；
（3）如图3，点P为直线DE上一动点，点Q为直线AB上一动点，则BP+PQ的最小值为 ．
3．（1）如图1，已知在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、DC上运动，当∠EAF＝45°时，求证：DF+BE＝EF；
（2）如图2，若将直角三角形ABC沿斜边翻折得到△ADC，且∠B＝∠D＝90°，点E、F分别在边BC、DC上运动，且∠EAF=12∠BAD，试猜想（1）中的结论还成立吗？请加以说明．
4．在数学实验课上，李静同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：
操作一：如图1，将Rt△ABC纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点A与B重合，折痕为DE．
（1）如果AC＝5cm，BC＝7cm，可得△ACD的周长为 ；
（2）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，可得∠B的度数为 ；
操作二：如图2，李静拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线CD折叠，使点A与点E重合，若AB＝10cm，BC＝8cm，请求出BE的长．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．
（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是 ．
（2）连接MB，若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．
6．根据以下素材，解决问题：
7．教材呈现：华师版义务教育教科书数学七下第82页的部分内容．
（1）对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
问题推广：
（2）如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝108°，求∠BPC的度数；
（3）如图2，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP于点H，若∠ACB＝84°，则∠PBH＝ 度．
8．综合与实践．
9．如图1，有一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF、CE和AC（如图2）．
（1）求证：①△AOE≌△COF；②四边形AFCE是菱形；
（2）当AE＝4，ED＝3时，求折痕EF的长．
10．（1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点，求证：△BFG≌△BCG．
（2）探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD＝8，AB＝6．将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH＝CH，直接写出AE的长．
11．如图，为探究一类矩形ABCD的性质，小明在BC边上取一点E，连接DE，经探究发现：当DE平分∠ADC时，将△ABE沿AE折叠至△AFE，点F恰好落在DE上，据此解决下列问题：
（1）求证：△AFD≌△DCE；
（2）如图，延长CF交AE于点G，交AB于点H．求证：EF•DF＝GF•CF．
12．如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问：点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？求出这个最小值．
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式x2+4+(12−x)2+9的最小值．
13．如图1，矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，EF与HC交于点O．
（1）求证：四边形CFHE是菱形；
（2）如图2，AB＝4，BC＝8，点H与点A重合时，求OF的长．
14．如果两个角之差的绝对值等于60°，则称这两个角互为等差角，即若|∠α﹣∠β|＝60°，则称∠α和∠β互为等差角．（本题中所有角都是指大于0°，且小于180°的角）
（1）若∠1和∠2互为等差角．当∠1＝40°，则∠2＝ .当∠1＝90°，则∠2＝ ；
（2）如图1，将一长方形纸片沿着EP对折（点P在线段BC上，点E在线段AB上）使点B落在点B′．若∠EPB′与∠B′PC互为等差角，求∠BPE的度数；
（3）再将纸片沿着FP对折（点F在线段CD或AD上）使点C落在点C′．如图2，若点E，C′，P在同一直线上，且∠B′PC′与∠EPF互为等差角，求∠EPF的度数（对折时，线段PB′落在∠EPF内部）．
15．已知点A（x1，y1），B（x2，y2），则AB之间的距离为(x1−x2)2+(y1−y2)2．
（1）若已知点A（﹣1，1），B（1，0），求线段AB的长；
（2）在（1）的条件下，若存在点C(12，32)，请判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若y=x2−2x+5+x2−6x+45，求当x为何值时，y取最小值．
16．如图，在平面直角坐标系中，点E在原点，点D（0，2），点F（1，0），线段DE和EF构成一个“L”形，另有点A（﹣1，5），点B（﹣1，﹣1），点C（6，﹣1），连AD，BE，CF．若将这个“L”形沿y轴上下平移，当AD+DE+BE的值最小时，E点坐标为 ；若将这个“L”形沿x轴左右平移，当AD+DE+EF+CF的值最小时，E点坐标为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），点B（﹣1，5）．
（1）①画出线段AB关于y轴对称的线段CD；
②在y轴上找一点P使PA+PB的值最小（保留作图痕迹）；
（2）按下列步骤，用不带刻度的直尺在线段CD找一点Q使∠BAQ＝45°．
①在图中取点E，使得BE＝BA，且BE⊥BA，则点E的坐标为 ；
②连接AE交CD于点Q，则点Q即为所求．
18．对于特殊四边形，通常从定义、性质、判定、应用等方面进行研究，我们借助于这种研究的过程与方法来研究一种新的四边形﹣﹣﹣﹣﹣筝形．
定义：在四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝CD，我们把这样四边形ABCD称为筝形
性质：按下列分类用文字语言填写相应的性质：
从对称性看：筝形是一个轴对称图形，它的对称轴是 ；
从边看：筝形有两组邻边分别相等；
从角看： ；
从对角线看： ．
判定：按要求用文字语言填写相应的判定方法，补全图形，并完成方法2的证明．
方法1：从边看：运用筝形的定义；
方法2：从对角线看： ；
如图，四边形ABCD中， ．求证：四边形ABCD是筝形
应用：如图，探索筝形ABCD的面积公式（直接写出结论）．
19．如图1，有5个边长为1的小正方形组成的纸片，可以把它剪拼成一个正方形．
（1）拼成的正方形的面积是 ，边长是 ；
（2）仿照上面的做法，你能把下面这十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成一个大正方形吗？若能，在图2中画出拼接后的正方形，并求边长；若不能，请说明理由．
20．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝16，点E在射线BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，使得点B的对应点落在点B'处．
（1）若点E为BC的中点，连接CB'，判断AE与CB'的位置关系，并说明理由；
（2）若点B落在矩形ABCD内，且在矩形的对称轴上，求BE的长；
（3）连接DB'，若以点A、B'、D为顶点的三角形是直角三角形，直接写出BE的长．
21．在平面直角坐标系中，经过点M（0，m）且平行于x轴的直线记作直线y＝m．给出如下定义：①把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对称点，对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段②将点P（x，y）关于y轴的对称点记作点P1，再将点P1关于直线y＝m的对称点记作点P2，则称点P2为点P（x，y）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”．例如：点P（3，1）关于y轴和直线y＝3的“青一对称点”为点P2（﹣3，5）．
（1）点A（3，4）关于y轴和直线y＝1的“青一对称点”A2的坐标是 ；
（2）点B（3m+n，m﹣n）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”B2的坐标是（﹣9，5），求m和n的值；
（3）若点C（6x﹣5，2x+1）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”C2在第二象限，且满足条件的x的整数解有且只有一个，求m的取值范围．
22．如图，在正方形ABCD中，F为边AB上一点，E为边BC延长线上一点，且CE＝AF，连接EF，与对角线AC相交于点G．
（I）求证：FG＝EG；
（Ⅱ）求证：AF+AD=2AG；
（Ⅲ）连接BG，点P，M，N分别是△BGE三条边BE，BG，EG上的动点，若AD＝6，AF＝2，求PM+PN的最小值（直接写出结果即可）．
23．如图，△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝∠ABC，D是AB边上一动点，连接CD，将△ACD沿CD翻折后得到△A'CD，射线CA'与射线AB相交于点E．
（1）若△A'DE是直角三角形，求∠ACD的度数；
（2）若△A′DE中有两个角相等，求∠ACD的度数．
24．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC和AB上，DF＝AE．求证：DF⊥AE；
（2）如图2，在矩形ABCD中，将四边形AFGD折叠，得到四边形EFGP，EP交CD于点H，点A落在BC边上的点E处，折痕交边AB于F，交边CD于G，连接AE交GF于点O．若ADAB=34，且tan∠CGP=43，GF=35，求AE与CP的长．
25．如图①，在长方形ABCD中，已知AB＝10，AD＝6，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，把△ADP沿着AP翻折得到△AEP．
（1）如图②，射线PE恰好经过点B，试求此时t的值．
（2）当射线PE与边AB交于点Q时，是否存在这样的t的值，使得QE＝QB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．解答题（共25小题）
1．如图，在等边△ABC中，点D是BC边上一点（点D不与B，C重合）BD＜CD，连接AD，点D关于直线AB的对称点为点E，连接DE交AB于点N．在AD上取一点F，使∠EFD＝∠BAC，延长EF交AC于点G．
（1）若∠BAD＝α，求∠AGE的度数（用含α的代数式表示）；
（2）用等式表示线段CG与DE之间的数量关系，并证明．
【考点】轴对称的性质；等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】（1）60°+α；（2）CG=233DE．
【分析】（1）由三角形内角和定理及外角定理结合∠EFD＝∠BAC即可求解；
（2）在CG上截取CM＝BD，连接BM，BE，BM交AD于点H，连接BE，AE，再证明四边形EBMG是平行四边形，可得CG＝2BD，记AB 与DE的交点为点N，则由轴对称可知：DE⊥AB，NE＝ND，再解Rt△BND即可．
【解答】解：（1）如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°
∵∠EFD＝∠BAC，
∴∠EFD＝60°，
∵∠EFD＝∠1+∠BAD＝∠1+α，
∴∠1＝60°﹣α，
∵∠AGE+∠1+∠BAC＝180°，
∴∠AGE＝180°﹣60°﹣∠1＝120°﹣∠1，
∴∠AGE＝120°﹣（60°﹣α）＝60°+α；
（2）CG=233DE．理由如下：
如图2中，在CG上截取CM＝BD，连接BM，BE，AE，BM交AD于点H，
∵△BCA为等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝60°，BC＝AB，
∴△ABD≌△BCM（SAS），
∴∠3＝∠4，
∵∠AHM＝∠3+∠5，
∴∠AHM＝∠4+∠5＝60°，
∵∠EFD＝∠BAC＝60°，
∴∠AHM＝∠EFD，
∴EG∥BM，
∵点D关于直线AB的对称点为点E，
∴AE＝AD，BE＝BD，∠ABE＝∠ABC＝60°，
∴∠EBC＝120°，
∴∠EBC+∠C＝180°，
∴EB∥AC，
∴四边形EBMG是平行四边形，
∴BE＝GM，
∴BE＝GM＝BD＝CM，
∴CG＝2BD，记AB与DE的交点为点N，则由轴对称可知：DE⊥AB，NE＝ND，
在Rt△DNB中，DN＝BD•sin∠ABC=32BD，
∴DE＝2DN=3BD，
∴CGDE=2BD3BD=233，
∴CG=233DE．
【点评】本题考查了三角形的内角和，外角定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键
2．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，AC的中垂线DE交AC于D，交BC于点E．
（1）如图1，连接AE，则AE＝ 52 ；
（2）如图2，延长DE交AB的延长线于点F，连接CF，请求出CF的长；
（3）如图3，点P为直线DE上一动点，点Q为直线AB上一动点，则BP+PQ的最小值为 125 ．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质；勾股定理．
【专题】几何综合题；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1）52；
（2）5；
（3）125．
【分析】（1）先由线段垂直平分线的性质得AE＝CE，设AE＝CE＝x，则BE＝BC﹣CE＝4﹣x，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）先由线段垂直平分线的性质得AF＝CF，设AF＝CF＝y，则BF＝y﹣2，在Rt△BCF中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）连接CF，过B作BM⊥CF于M，交直线DE于P'，如图3所示：
【解答】解：（1）∵DE是AC的中垂线，
∴AE＝CE，
设AE＝CE＝x，则BE＝BC﹣CE＝4﹣x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：22+（4﹣x）2＝x2，
解得：x=52，
即AE=52，
故答案为：52；
（2）∵DE是AC的中垂线，
∴AF＝CF，
设AF＝CF＝y，则BF＝y﹣2，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：（y﹣2）2+42＝y2，
解得：y＝5，
即CF的长为5；
（3）方法一：连接CF，过B作BM⊥CF于M，交直线DE于P'，过P'作P'Q'⊥BF于Q'，如图3所示：
∵DE是AC的中垂线，
∴AF＝CF，
∴∠AFD＝∠CFD，
∵P'M⊥CF，P'Q'⊥BF，
∴P'M＝P'Q'，
则点M与Q'关于DE对称，此时BM＝BP'+P'M＝BP'+P'Q'，
即BP+PQ的值最小＝BM，
由（2）得：AF＝CF＝5，AB＝2，
∴BF＝AF﹣AB＝3，
∵∠CBF＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴△BCF的面积=12CF×BM=12BF×BC
∴BM=BF×BCCF=3×45=125，
即BP+PQ的最小值为125，
故答案为：125．
方法二：
作点B关于DE的对称点H，交DF于G，过点H作HQ⊥AB于Q，交DE于点P，如图4所示：
则点P、Q就是使BP+PQ最小的点，
由对称得：∠AFD＝∠CFD，∠AFD＝∠HFD，BP＝HP，FB＝FH，
∴∠CFD＝∠HFD，
∴点C、H、F三点共线．BP+PQ＝HP+PQ＝HQ，
由“垂线段最短”得：BP+PQ的最小值为HQ．
在等腰△BFH中，∵FB＝FH，HQ⊥BF过B作BM⊥CF于M，
∴HQ＝BM（等腰三角形两腰上的高相等）．
由方法一得：BM=125．
∴BP+PQ的最小值为125．
故答案为：125．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理、轴对称的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握线段垂直平分线的性质和勾股定理是解题的关键．
3．（1）如图1，已知在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、DC上运动，当∠EAF＝45°时，求证：DF+BE＝EF；
（2）如图2，若将直角三角形ABC沿斜边翻折得到△ADC，且∠B＝∠D＝90°，点E、F分别在边BC、DC上运动，且∠EAF=12∠BAD，试猜想（1）中的结论还成立吗？请加以说明．
【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】证明题；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解答．
【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，然后推出∠AFG＝∠AFE＝45°，判定△AFG≌△AFE，得到FG＝EF，然后等量代换即可解决问题；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，然后推出∠AFG＝∠AFE＝∠BAD，判定△AFG≌△AFE，得到FG＝EF，然后等量代换即可推出上面的结论仍然成立．
【解答】（1）证明：如图1，把△ABE绕点A逆时针旋转90°，使AB与AD重合，得到△ADG，
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADG＝∠ABE＝∠ADF＝∠BAD＝90°，
∴点C、D、G三点共线，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝90°﹣45°＝45°，
又∵∠DAG＝∠BAE，
∴∠DAG+∠DAF＝45°，
即∠FAG＝∠FAE，
又∵AG＝AE，AF＝AF，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴FG＝FE，
又∵FG＝FD+DG，DG＝BE，
∴DF+BE＝EF；
（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：
如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°，使AB与AD重合，得到△ADG，
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，
∵∠B＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠ABE＝∠ADF＝90°，
∴点C、D、G三点共线，
∵∠EAF=12∠BAD，
∴∠BAE+∠DAF=12∠BAD，
又∵∠DAG＝∠BAE，
∴∠DAG+∠DAF=12∠BAD，
即∠FAG＝∠FAE，
又∵AG＝AE，AF＝AF，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴FG＝FE，
又∵FG＝FD+DG，DG＝BE，
∴DF+BE＝EF．
【点评】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的周长，等边三角形的性质等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．
4．在数学实验课上，李静同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：
操作一：如图1，将Rt△ABC纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点A与B重合，折痕为DE．
（1）如果AC＝5cm，BC＝7cm，可得△ACD的周长为 12cm ；
（2）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，可得∠B的度数为 36° ；
操作二：如图2，李静拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线CD折叠，使点A与点E重合，若AB＝10cm，BC＝8cm，请求出BE的长．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【答案】见试题解答内容
【分析】操作一：（1）由翻折的性质可知：BD＝AD，于是AD+DC＝BC，从而可知△ACD的周长＝BC+AC；
（2）设∠CAD＝x，则∠BAD＝2x，由翻折的性质可知∠CBA＝2x，然后根据直角三角形两锐角互余可知：x+2x+2x＝90°．
操作二：先利用勾股定理求得AC的长，然后利用面积法求得DC的长，在Rt△ACD中，利用勾股定理可求得AD的长，由翻折的性质可知：DE＝DA，最后根据BE＝AB﹣DE﹣AD计算即可．
【解答】解：操作一：（1）翻折的性质可知：BD＝AD，
∴AD+DC＝BC＝7．
∴△ACD的周长＝CD+AD+AC＝BC+AC＝7+5＝12cm．
故答案为：12cm．
（2）设∠CAD＝x，则∠BAD＝2x．
由翻折的性质可知：∠BAD＝∠CBA＝2x，
∵∠B+∠BAC＝90°，
∴x+2x+2x＝90°．
解得；x＝18°．
∴2x＝2×18°＝36°．
∴∠B＝36°．
故答案为：36°．
操作二：在Rt△ABC中，AC=AB2−BC2=6．
由翻折的性质可知：ED＝AD，DC⊥AB．
∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，
∴10CD＝6×8．
∴CD＝4.8．
在Rt△ADC中，AD=AC2−CD2=62−4．82=3.6．
∴EA＝3.6×2＝7.2．
∴BE＝10﹣7.2＝2.8．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，利用面积法求得CD的长度是解题的关键．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．
（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是 50° ．
（2）连接MB，若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得∠A的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案；
（2）根据垂直平分线的性质，可得AM与MB的关系，再根据三角形的周长，可得答案；根据两点之间线段最短，可得P点与M点的关系，可得PB+PC与AC的关系．
【解答】解：（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是 50°，
故答案为：50°；
（2）如图：
①∵MN垂直平分AB．
∴MB＝MA，
又∵△MBC的周长是14cm，
∴AC+BC＝14cm，
∴BC＝6cm．
②当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，△BPM周长的最小值是8+6＝14cm，
【点评】本题考查了轴对称，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出PB＝PA．
6．根据以下素材，解决问题：
【考点】剪纸问题；一元一次方程的应用．
【专题】数形结合；分类讨论；运算能力．
【答案】问题1、A、D，一共可以做成32只竖式无盖纸盒；
问题2、至少需要1011张彩纸．
【分析】问题1、易得应选择A、D方案，设A方案的彩纸a张，则D方案的彩纸（17﹣a）张，进而根据4×4的正方形的个数和1×1的正方形的个数相等列出方程求解即可；
问题2、设装饰竖式无盖纸盒x个，则装饰横式无盖纸盒（2022﹣x）个．得到可能的方案选择，根据所给图形判断出两种类型的方案分别需要的彩纸的张数，进而根据两种方案得到的小正方形的个数等于需要的小正方形的个数，判断所得解是否符合即可．
【解答】解：问题1、∵只有A方案和D方案中没有4×3的长方形，
∴应选择的两种裁剪方案是A、D．
设A方案的彩纸a张，则D方案的彩纸（17﹣a）张．
∴4×4的正方形有2a+17﹣a＝（a+17）个，1×1的正方形有16（17﹣a）个．
∴a+17＝16（17﹣a）．
解得：a＝15．
∴17﹣a＝2（张）．
故答案为：A、D．
答：一共可以做成32只竖式无盖纸盒；
问题2、设装饰竖式无盖纸盒x个，则装饰横式无盖纸盒（2022﹣x）个．
∴竖式纸盒需要4×4的正方形x个，1×1的正方形x个；
横式纸盒需要4×3的长方形（2022﹣x）个，1×1的正方形2（2022﹣x）个．
∴一共需要4×4的正方形x个，4×3的长方形（2022﹣x）个，1×1的正方形（4044﹣x）个．
①选择A、B两种方案．需要用A方案的彩纸x2张，B方案的彩纸2022−x2张．
2022−x2×8＝4044﹣x．
解得：x＝1348．
∴彩纸的张数为：13482+2022−13482=1011（张）．
②选择A、C两种方案．需要用C方案的彩纸（2022﹣x）张，A方案的彩纸x−(2022−x)2=（x﹣1011）张．
4×（2022﹣x）＝4044﹣x．
解得：x＝1348．
∴彩纸的张数为：（2022﹣1348）+1348−6742=1011（张）．
③选择B、C两种方案．需要C方案的彩纸x张，B方案的彩纸2022−x−x2=（1011﹣x）张．
4x+8（1011﹣x）＝4044﹣x．
解得：x＝1348．
∴彩纸的张数为1011张．
④选择B、D两种方案．需要D方案的彩纸x张，B方案的彩纸2022−x2张．
16x+8×2022−x2=4044﹣x．
13x＝﹣4044．
不合题意，舍去．
⑤选择C、D两种方案．需要C方案的彩纸（2022﹣x）张，D方案的彩纸[x﹣（2022﹣x）]＝（2x﹣2022）张．
4（2022﹣x）+16（2x﹣2022）＝4044﹣x．
29x＝28308
x=2830829．
不合题意，舍去．
答：至少需要1011张彩纸．
【点评】本题考查一元一次方程的应用．根据题意判断出两种方案组合下分别需要的彩纸的张数是解决本题的易错点；找到能解决问题的相等关系是解决本题的关键．
7．教材呈现：华师版义务教育教科书数学七下第82页的部分内容．
（1）对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
问题推广：
（2）如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝108°，求∠BPC的度数；
（3）如图2，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP于点H，若∠ACB＝84°，则∠PBH＝ 48 度．
【考点】翻折变换（折叠问题）；角平分线的定义；三角形内角和定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．
【答案】（1）25，（三角形内角和定理），25°，115°；
（2）117°，
（3）48．
【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可；
（2）先由折叠的性质和平角的定义得到∠AED+∠ADE＝126°，进而求出∠A＝54°，同（1）即可得到答案；
（3）先由角平分线的定义得到∠BAC＝2∠BAP，∠CBM＝2∠CBP，再由三角形外角的性质得到∠CBP＝∠BAP+42°，根据三角形外角的定理推出∠P＝42°，再由垂线的定义得到∠BHP＝90°，则∠PBH＝180°﹣∠P﹣∠BHP＝48°．
【解答】解：（1）∵BP平分∠ABC（已知），
∴∠PBC=12∠ABC=12×80°＝40°．
同理可得∠PCB＝25°．
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理），
∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB（等式的性质）
＝180°﹣40°﹣25°
＝115°．
故答案为：25，（三角形内角和定理），25°，115°；
（2）由折叠的性质可得∠AED＝∠PED，∠ADE＝∠PDE，
∵∠1+∠AEP＝180°，∠2+∠ADP＝180°，∠1+∠2＝108°，
∴2∠AED+2∠ADE＝252°，
∴∠AED+∠ADE＝126°，
∴∠A＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝54°，
∵∠A＝54°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝126°，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB，
∴2∠PBC+2∠PCB＝126°，
即∠PBC+∠PCB＝63°，
∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝117°，
（3）∵AP平分∠BAC，BP平分∠CBM，
∴∠BAC＝2∠BAP，∠CBM＝2∠CBP，
∵∠CBM＝∠BAC+∠ACB，
∴2∠CBP＝2∠BAP+84°，即∠CBP＝∠PBM＝∠BAP+41°；
∵∠PBM是△ABP的外角，
∴∠PBM＝∠BAP+∠P，
∴∠P＝42°，
∵BH⊥AP，
即∠BHP＝90°，
∴∠PBH＝180°﹣∠P﹣∠BHP＝48°；
故答案为：48．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键．
8．综合与实践．
【考点】翻折变换（折叠问题）；平行线的性质；三角形内角和定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】任务1：80°；
任务2：30°；
任务3：①θ+115°；
②从舒适档调整为工作档调整过程中，靠背GF需要转过25度．
【分析】任务1：利用平行线的性质和三角形的内角和定理求解即可；
任务2：过F作FQ∥CE，则FQ∥AB，根据平行线的性质得到∠GFQ＝∠FIB，∠CFQ+∠FCE＝180°，进而可由∠GFC＝150°推导出∠FCE﹣∠FIB＝30°；
任务3：①根据平行线的性质得到∠FCP＝θ+10°，再根据三角形的内角和定理求解即可；
②求出工作档时的∠GFC，进而作差即可得答案．
【解答】解：任务1：
∵CE∥FG，∠ECB＝150°，
∴∠GFC＝∠ECB＝150°，
∵α+∠OBA+（180°﹣∠GFC）＝180°，∠OBA＝70°，
∴α＝150°﹣70°＝80°；
任务2：由题意，∠GFC＝150°，CE∥AB，
如图3，过F作FQ∥CE，则FQ∥AB，
∴∠GFQ＝∠FIB，∠CFQ+∠FCE＝180°，
∴∠GFC＝∠GFQ+∠CFQ＝∠FIB+180°﹣∠FCE＝150°，
∴∠FCE﹣∠FIB＝30°；
任务3：①如图4，β＝105°，α＝10°，∠B＝θ，CK∥AB，
∴∠BCK＝∠B＝θ，
∴∠FCP＝∠BCE＝θ+α＝θ+10°，
∵β+∠FCP+180°﹣∠GFB＝180°，
∴105°+θ+10°+180°﹣∠GFB＝180°，
∴∠GFB＝θ+115°，
故答案为：θ+115°；
②工作档时如图，已知∠FPC＝β＝95°，∠KCE＝5°，∠B＝θ，CK∥AB，
∴∠BCK＝∠B＝θ，
∴∠FCP＝∠BCE＝∠BCK﹣∠ECK＝θ﹣5°，
∵∠FPC+∠FCP+180°﹣∠GFB＝180°，
∴95°+θ﹣5°+180°﹣∠GFB＝180°，
∴∠GFB＝θ+90°，
∵θ+115°﹣（θ+90°）＝115°﹣90°＝25°，
∴从舒适档调整为工作档调整过程中，靠背GF需要转过25度．
【点评】本题考查平行线的性质、三角形的内角和定理，理解题意，看懂角度前后的变化是解答的关键．
9．如图1，有一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF、CE和AC（如图2）．
（1）求证：①△AOE≌△COF；②四边形AFCE是菱形；
（2）当AE＝4，ED＝3时，求折痕EF的长．
【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1）①见解答；
②见解答；
（2）22．
【分析】（1）①根据折叠的性质推出EF垂直平分AC，则OA＝OC，根据矩形的性质得出AD∥BC，则∠AEO＝∠CFO，利用AAS证明△AOE≌△COF即可；
②根据全等三角形的性质得出AE＝CF，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”求出四边形AFCE是平行四边形，再根据“邻边相等的平行四边形是菱形”即可得解；
（2）根据矩形的性质、折叠的性质求出ED′＝ED＝3，∠D′＝∠D＝90°，AD′＝CD，根据勾股定理求出CD=7，AC＝214，则OA=12AC=14，根据菱形的性质求出AC⊥EF，OE＝OF，再根据勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：①根据折叠的性质得，AF＝CF，EF垂直平分AC，
∴OA＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，
在△AOE和△COF中，
∠AEO=∠CFO∠AOE=∠COFOA=OC，
∴△AOE≌△COF（AAS）；
②由①得，△AOE≌△COF，
∴AE＝CF，
∵AD∥BC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵AF＝CF，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
根据折叠的性质得ED'＝ED＝3，∠D'＝∠D＝90°，AD′＝CD，
在Rt△AED′中，
AD'=AE2−DE2=42−32=7，
∴CD=7，
在Rt△ADC 中，
∵AD＝AE+ED＝4+3＝7，
∴AC=AD2+CD2=72+(7)2=214，
∴OA=12AC=14，
∵四边形AFCE是菱形，
∴AC⊥EF，OE＝OF，
在Rt△AOE 中，
OE=AE2−OA2=42−(14)2=2，
∴EF=2OE=22．
【点评】本题考查矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练运用相关图形的判定和性质是解题的关键．
10．（1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点，求证：△BFG≌△BCG．
（2）探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD＝8，AB＝6．将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH＝CH，直接写出AE的长．
【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质．
【专题】证明题；图形的全等；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）92．
【分析】（1）利用HL证明△BFG≌△BCG即可；
（2）延长BH，AD交于点Q，设FH＝HC＝x，根据勾股定理求出x，证明△BFG∽△BCH，设AE＝EF＝m，则DE＝8﹣m，然后对应边成比例即可求出结果．
【解答】（1）证明：∵将△AEB沿BE翻折到△BEF处，四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BF，∠BFE＝∠A＝90°，∠BFG＝90°＝∠C，
∴AB＝BC＝BF，
在Rt△BFG和Rt△BCG中，
BG=BGBF=BC，
∴Rt△BFG≌Rt△BCG（HL）；
（2）解：如图，延长BH，AD交于点Q，
设FH＝HC＝x，
在Rt△BCH中，BC2+CH2＝BH2，
∴82+x2＝（6+x）2，
解得x=73，
∴DH＝DC﹣HC=113，
∵∠BFG＝∠BCH＝90°，∠HBC＝∠FBG，
∴△BFG∽△BCH，
∴BFBC=BGBH=FGHC，
∴68=BG6+73=FG73，
∴BG=254，FG=74，
∵EQ∥GB，DQ∥CB，
∴△EFQ∽△GFB，△DHQ∽△CHB，
∴BCDQ=CHDH，
∴8DQ=736−73，
∴DQ=887，
设AE＝EF＝m，
则DE＝8﹣m，
∴EQ＝DE+DQ＝8﹣m+887=1447−m，
∵△EFQ∽△GFB，
∴EQBG=EFFG，
∴1447−m254=m74，
∴m=92．
∴AE的长为92．
【点评】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，解决本题的关键是得到△EFQ∽△GFB，△DHQ∽△CHB．
11．如图，为探究一类矩形ABCD的性质，小明在BC边上取一点E，连接DE，经探究发现：当DE平分∠ADC时，将△ABE沿AE折叠至△AFE，点F恰好落在DE上，据此解决下列问题：
（1）求证：△AFD≌△DCE；
（2）如图，延长CF交AE于点G，交AB于点H．求证：EF•DF＝GF•CF．
【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．
【专题】三角形；图形的全等；矩形 菱形 正方形；展开与折叠；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）见解答．
【分析】（1）利用矩形的性质和翻折的性质可得AF＝CD，从而利用AAS证明结论；
（2）利用等腰三角形两个底角相等，通过计算角度，可证明△GEF∽△DCF，由相似三角形的性质得GFDF=EFCF，从而解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BCD＝∠CDA＝∠BAD＝90°，AB＝CD，AD＝BC，
∵ED平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠EDC＝45°，
∴∠DEC＝90°﹣∠EDC＝45°，
∵将△ABE沿AE折叠至△AFE，
∴△ABE≌△AFE，
∴AB＝AF，∠AFD＝∠B＝90°，
∴AF＝AB＝DC，
在△AFD与△DCE中，
∠AFD=∠C∠ADF=∠DECAF=CD，
∴△AFD≌△DCE（AAS）；
（2）证明：∵△AFD≌△DCE，
∴AD＝DE，AF＝DF＝DC＝CE，
∴∠DCF＝∠DFC=12（180°﹣∠EDC）=12（180°﹣45°）＝67.5°，
由折叠知：△ABE≌△AFE，
∴∠BEA＝∠FEA=12（180°﹣∠DEC）=12（180°﹣45°）＝67.5°，
即∠GEF＝∠EFG＝∠DCF＝∠DFC，
∴△GEF∽△DCF，
∴GFDF=EFCF，
∴EF•DF＝GF•CF．
【点评】本题是相似三角形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质，翻折的性质以及全等三角形的判定与性质，是解题的关键．
12．如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问：点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？求出这个最小值．
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式x2+4+(12−x)2+9的最小值．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；二次根式的性质与化简；勾股定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；
（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
（3）由（1）（2）的结果可作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式x2+4+(12−x)2+9的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值．
【解答】解：（1）∵AC=AB2+BC2=25+(8−x)2，
CE=CD2+DE2=x2+1，
∴AC+CE=x2+1+25+(8−x)2；
（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，
过A作AF⊥DE交ED的延长线于F，
∴DF＝AB＝5，
∴AE=62+82=10，
∴AC+CE的最小值是10；
（3）如图2所示，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C，
设BC＝x，则AE的长即为代数式x2+4+(12−x)2+9的最小值．
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，EF＝ED+DF＝3+2＝5，
所以AE=AF2+EF2=13，
即x2+4+(12−x)2+9的最小值为13．
【点评】此题主要考查了轴对称求最短路径，本题利用了数形结合的思想，求形如x2+4+(12−x)2+9的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解．
13．如图1，矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，EF与HC交于点O．
（1）求证：四边形CFHE是菱形；
（2）如图2，AB＝4，BC＝8，点H与点A重合时，求OF的长．
【考点】翻折变换（折叠问题）；菱形的判定与性质；矩形的性质．
【专题】证明题；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）OF=5．
【分析】（1）先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF＝FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明；
（2）过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，即可求出OF的长．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，
即HE∥CF，
∴∠HEF＝∠EFC，
由翻折可知：∠EFC＝∠HFE，
∴∠HEF＝∠HFE，
∴HE＝HF，
∵FC＝FH，
∴HE＝CF，
∵EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
∵CF＝FH，
∴四边形CFHE是菱形；
（2）解：点H与点A重合时，设BF＝x，则AF＝FC＝BC﹣BF＝8﹣x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴CE＝AF＝8﹣x＝5，
∵CD＝AB＝4，
∴DE=CE2−CD2=52−42=3，
如图，过点F作FM⊥AD于M，得矩形ABFM，矩形CDMF，
∴AM＝BF，DM＝CF，MF＝AB＝4，
∴ME＝8﹣3﹣3＝2，
由勾股定理得，EF=MF2+ME2=42+22=25，
∴OF=12EF=5．
【点评】此题考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键．
14．如果两个角之差的绝对值等于60°，则称这两个角互为等差角，即若|∠α﹣∠β|＝60°，则称∠α和∠β互为等差角．（本题中所有角都是指大于0°，且小于180°的角）
（1）若∠1和∠2互为等差角．当∠1＝40°，则∠2＝ 100° .当∠1＝90°，则∠2＝ 30°或150° ；
（2）如图1，将一长方形纸片沿着EP对折（点P在线段BC上，点E在线段AB上）使点B落在点B′．若∠EPB′与∠B′PC互为等差角，求∠BPE的度数；
（3）再将纸片沿着FP对折（点F在线段CD或AD上）使点C落在点C′．如图2，若点E，C′，P在同一直线上，且∠B′PC′与∠EPF互为等差角，求∠EPF的度数（对折时，线段PB′落在∠EPF内部）．
【考点】翻折变换（折叠问题）；绝对值；角的计算．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1）100°，30°或150°；
（2）∠EPB的值为40°或80°；
（3）∠EPF＝80°．
【分析】（1）按照“等差角”的定义写出式子，解方程即可；
（2）由∠EPB'+∠EPB'+∠EPB′+60°＝180°即可求；
（3）由∠BPE+∠EPB′+∠B′PF+∠FPC＝180°，即可求．
【解答】解：（1）∵∠1和∠2互为等差角，∠1＝40°，
∴|∠1﹣∠2|＝60°，
∴40°﹣∠2＝60°或40°﹣∠2＝﹣60°，
解得：∠2＝﹣20°（舍去）或100°，
∵∠1和∠2互为等差角，∠1＝90°，
∴|∠1﹣∠2|＝60°，
∴90°﹣∠2＝60°或90°﹣∠2＝﹣60°，
解得：∠2＝30°或150°，
故答案为：100°，30°或150°；
（2）∵∠EPB′与∠B′PC互为等差角，
当∠EPB′＜∠B′PC时，∠B′PC﹣∠EPB′＝60°，
∴∠B′PC＝∠EPB′+60°，
∵△BEP翻折得△B'EP，
∴∠EPB＝∠EPB'，
∵∠EPB+∠EPB'+∠B′PC＝180°，
∴∠EPB'+∠EPB'+∠EPB′+60°＝180°，
解得：∠EPB′＝40°，
当∠EPB′＞∠B′PC时，∠B′PC﹣∠EPB′＝60°，可得∠EPB′＝80°．
综上所述，∠EPB的值为40°或80°；
（3）∵点E、C′、P在同一直线上，且∠B′PC′与∠EPF互为等差角，
∴∠B′PC＜∠EPF，∠EPF﹣∠B′PC＝60°＝∠B′PF，
∵∠BPE＝∠B′PE＝∠EPF﹣60°，∠FPC＝∠EPF，
∴∠BPE+∠EPB′+∠B′PF+∠FPC＝180°，
∴∠EPF﹣60°+∠EPF+∠EPF＝180°，
∴∠EPF＝80°．
【点评】此题考查了通过翻折计算角的度数，关键在于翻折后两个角相等．
15．已知点A（x1，y1），B（x2，y2），则AB之间的距离为(x1−x2)2+(y1−y2)2．
（1）若已知点A（﹣1，1），B（1，0），求线段AB的长；
（2）在（1）的条件下，若存在点C(12，32)，请判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若y=x2−2x+5+x2−6x+45，求当x为何值时，y取最小值．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；两点间的距离公式；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】（1）5；
（2）△ABC是等腰直角三角形，理由见解析；
（3）当x为32时，y取最小值．
【分析】（1）根据AB之间的距离公式即可得到AB=(−1−1)2+(1−0)2=5；
（2）根据勾股定理和勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定定理即可得到结论
（3）根据配方法得到y=x2−2x+5+x2−6x+45=(x−1)2+22+(x−3)2+62，于是得到代数式(x−1)2+22+(x−3)2+62的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，2）、点B（3，6）（2，3）的距离之和，求y的最小值，相当于在x轴上找一点P（x，0），使得P到点A（1，2）、点B（3，6）（2，3）的距离之和的最小值，设点A关于x轴的对称点为A′，则PA＝PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，由两点之间，线段最短可得，PA′+PB的最小值为线段A′B的长度；过B作BH∥y轴交A′H于H，交x轴于C，根据三角形和梯形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，1），B（1，0），
∴AB=(−1−1)2+(1−0)2=5；
故线段AB的长为5；
（2）△ABC是等腰直角三角形，
理由：∵AC=(−1−12)2+(1−32)2=102，BC=(1−12)2+(0−32)2=102，
∴AC＝BC，AC2+BC2=52+52=5＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（3）∵y=x2−2x+5+x2−6x+45=(x−1)2+22+(x−3)2+62，
∴代数式(x−1)2+22+(x−3)2+62的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，2）、点B（3，6）（2，3）的距离之和，
求y的最小值，相当于在x轴上找一点P（x，0），使得P到点A（1，2）、点B（3，6）（2，3）的距离之和的最小值，
设点A关于x轴的对称点为A′，则PA＝PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，由两点之间，线段最短可得，PA′+PB的最小值为线段A′B的长度；
∵A（1，2），
∴A′（1，﹣2），
过B作BH∥y轴交A′H于H，交x轴于C，
∴△BCP的面积+四边形A′HCP的面积＝S△A′HB，
∴12×（3﹣x）×6+12×（3﹣x+2）×2=12×2×(2+6)，
解得x=32，
答：当x为32时，y取最小值．
【点评】本题考查了对称点﹣最短路径问题，勾股定理，等腰直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，正确地作出图形是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，点E在原点，点D（0，2），点F（1，0），线段DE和EF构成一个“L”形，另有点A（﹣1，5），点B（﹣1，﹣1），点C（6，﹣1），连AD，BE，CF．若将这个“L”形沿y轴上下平移，当AD+DE+BE的值最小时，E点坐标为 （0，1） ；若将这个“L”形沿x轴左右平移，当AD+DE+EF+CF的值最小时，E点坐标为 （3.5，0） ．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；坐标与图形变化﹣平移．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．
【答案】（1）E（0，1）；
（2）E（3.5，0）．
【分析】将AD向下平移2个单位，得线段A'E，作点B关于y轴的对称点B'，连接EB'，A'B'，A'B'与y轴交于点E'，可以推出当AD+DE+BE的值最小时，E点位于E'处，再求出A'B'的解析式即可求出E'的坐标；将AD向下平移2个单位得到A''E，将CF向左平移1个单位得到C''E，连接A''C''交x轴于点E''，可以推出当AD+DE+EF+CF的值最小时，E点位于E''处，再求出A''C''的解析式即可求出E''的坐标．
【解答】解：将AD向下平移2个单位，得线段A'E，作点B关于y轴的对称点B'，连接EB'，A'B'，A'B'与y轴交于点E'，
则A'E＝AD，BE＝B'E，
∵点E在原点，点D（0，2），
∴DE＝2，
∴AD+DE+BE＝A'E+2+B'E≥2+A'B'，
即AD+DE+BE的值最小时，点E位于点E'位置，
设A'B'的解析式为y＝kx+b，
∵点A（﹣1，5），点B（﹣1，﹣1），
∴A'B'的图象过点A'（﹣1，3），B'（1，﹣1），
∴3=−k+b−1=k+b，
解得k=−2b=1，
∴A'B'的解析式为y＝﹣2x+1，
当x＝0时，y＝1，
∴E'（0，1），
∴当AD+DE+BE的值最小时，E点坐标为（0，1），
故答案为：（0，1）；
将AD向下平移2个单位得到A''E，将CF向左平移1个单位得到C''E，连接A''C''交x轴于点E''，
则A''E＝AD，C''E＝CF，
∵点E在原点，点D（0，2），点F（1，0），
∴DE＝2，EF＝1，
∴AD+DE+EF+CF＝A''E+2+1+C''E≥3+A''C''，
即当AD+DE+EF+CF的值最小时，点E位于E''处，
设A''C''的解析式为y＝mx+n，
∵点A（﹣1，5），点C（6，﹣1），
∴A''C''图象过点A''（﹣1，3），C''（5，﹣1），
∴3=−m+n−1=5m+n，
解得m=−23n=73，
∴A''C''的解析式为y=−23x+73，
当y＝0时，0=−23x+73，
解得x＝3.5，
∴E''（3.5，0），
∴当AD+DE+EF+CF的值最小时，E点坐标为（3.5，0），
故答案为：（3.5，0）．
【点评】本题考查最短路线问题，解答时涉及轴对称，平移，三角形两边之和大于第三边，能用一条线段表示两线段和的最小值是解题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），点B（﹣1，5）．
（1）①画出线段AB关于y轴对称的线段CD；
②在y轴上找一点P使PA+PB的值最小（保留作图痕迹）；
（2）按下列步骤，用不带刻度的直尺在线段CD找一点Q使∠BAQ＝45°．
①在图中取点E，使得BE＝BA，且BE⊥BA，则点E的坐标为 （4，3） ；
②连接AE交CD于点Q，则点Q即为所求．
【考点】作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①由轴对称的性质可作出线段CD；②连接BD，交y轴于点P，连接AP，则此时点P使PA+PB的值最小；
（2）①由垂直的定义可作出线段BE，可写出点E的坐标；②连接AE交CD于点Q，由等腰直角三角形的性质可知∠BAQ＝45°，点Q即为所求．
【解答】解：（1）①如图1所示；
②如图1，连接BD，交y轴于点P，连接AP，则此时点P使PA+PB的值最小，理由是：两点之间，线段最短；
（2）①由垂直的定义可作出线段BE，点E坐标为（4，3），
故答案为：（4，3）；
②如图2，点Q即为所求．
【点评】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，等腰直角三角形的性质等，解题关键是能够将最短路径问题转化为两点之间线段最短的问题及灵活运用等腰直角三角形的性质等．
18．对于特殊四边形，通常从定义、性质、判定、应用等方面进行研究，我们借助于这种研究的过程与方法来研究一种新的四边形﹣﹣﹣﹣﹣筝形．
定义：在四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝CD，我们把这样四边形ABCD称为筝形
性质：按下列分类用文字语言填写相应的性质：
从对称性看：筝形是一个轴对称图形，它的对称轴是 其中一条对角线所在直线 ；
从边看：筝形有两组邻边分别相等；
从角看： 筝形只有一组对角相等 ；
从对角线看： 有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分 ．
判定：按要求用文字语言填写相应的判定方法，补全图形，并完成方法2的证明．
方法1：从边看：运用筝形的定义；
方法2：从对角线看： 有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分 ；
如图，四边形ABCD中， AC垂直平分BD于O点，且AO≠CO ．求证：四边形ABCD是筝形
应用：如图，探索筝形ABCD的面积公式（直接写出结论）．
【考点】轴对称图形．
【专题】新定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】性质：根据图形及定义可以得出结论；
判定：结合图形与筝形的性质，可得出判定定理；
应用：拆分筝形成两个三角形即可得出结论．
【解答】解：性质：从对称性看：筝形是轴对称图形，它的对称轴是其中一条对角线所在直线．
从角看：筝形只有一组对角相等；
从对角线看：有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分．
判定：结合性质定理，可得出：方法二：从对角线看：有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分．
结合方法二可知缺少的条件为：AC垂直平分BD于O点，且AO≠CO．
证明：按照题意，画出图形1．
∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，CB＝CD．
又∵AB=AO2+BO2，BC=BO2+CO2，AO≠CO，
∴AB≠BC，
∴由筝形定义得，四边形ABCD是筝形．
应用：筝形面积为对角线乘积的一半；
∵S筝形ABCD＝S△ABD+S△CBD=12BD•AO+12BD•CO=12BD（AO+CO）=12BD•AC，
∴筝形面积为对角线乘积的一半．
故答案为：其中一条对角线所在直线；筝形只有一组对角相等；有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分．有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分；AC垂直平分BD于O点，且AO≠CO．
【点评】本题考查了新概念中的筝形的性质及判定，解题的关键是：读懂题意理清关系，用数学的语言合理的叙述．本题属于中档题型，难度不大，对应以前接触过筝形的同学来说本题不难，对于没接触过的同学来说有点难度，失分点是性质和判定定理的叙述，结合我们学过的知识，选用合适的数学语言来叙述是得分的关键，此处体现出了数学的严谨性．
19．如图1，有5个边长为1的小正方形组成的纸片，可以把它剪拼成一个正方形．
（1）拼成的正方形的面积是 5 ，边长是 5 ；
（2）仿照上面的做法，你能把下面这十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成一个大正方形吗？若能，在图2中画出拼接后的正方形，并求边长；若不能，请说明理由．
【考点】图形的剪拼；算术平方根．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）一共有5个小正方形，那么组成的大正方形的面积为5，边长为5的算术平方根；
（2）一共有10个小正方形，那么组成的大正方形的面积为10，边长为10的算术平方根，在所给图形中截取两条长为10的且互相垂直的线段，进而拼合即可．
【解答】解：（1）拼成的正方形的面积是：5，边长为：5．
故答案为：5，5；
（2）如图2所示，能，正方形的边长为10．
【点评】本题考查了图形的剪拼、勾股定理、正方形的面积和正方形的有关画图，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键
20．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝16，点E在射线BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，使得点B的对应点落在点B'处．
（1）若点E为BC的中点，连接CB'，判断AE与CB'的位置关系，并说明理由；
（2）若点B落在矩形ABCD内，且在矩形的对称轴上，求BE的长；
（3）连接DB'，若以点A、B'、D为顶点的三角形是直角三角形，直接写出BE的长．
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）AE∥CB′；
（2）BE＝5或1033．
（3）BE＝16﹣239或16+239．
【分析】（1）根据折叠得出∠AEB＝∠AEB′，EB′＝BE＝8，根据等腰三角形的性质得出∠EB′C＝∠ECB′，根据三角形外角的性质得出∠BEB′＝∠EB′C+∠ECB′，证明∠AEB＝∠AEB′＝∠EB′C＝∠ECB′，即可证明结论；
（2）分两种情况进行讨论：当点B′在矩形的对称轴MN上时，当点B′在矩形的对称轴PQ上时，分别画出图形，进行求解即可；
（3）分两种情况进行讨论：当点B′在矩形ABCD的内部，∠AB′D＝90°时，当点B′在矩形ABCD的外部，∠AB′D＝90°时，分别画出图形，由勾股定理，矩形的性质求出结果即可．
【解答】解：（1）AE∥CB′，理由如下：
如图：
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC＝AD＝16，∠ABC＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°，AD∥BC，
∵点E为BC的中点，
∴BE＝CE=12BC＝8，
根据折叠可知：∠AEB＝∠AEB′，EB′＝BE＝8，
∴EB′＝EC，
∴∠EB′C＝∠ECB′，
∵∠BEB′＝∠EB′C+∠ECB′，
∴∠AEB＝∠AEB′＝∠EB′C＝∠ECB′，
∴AE∥CB′；
（2）当点B′在矩形的对称轴MN上时，如图所示：
则AM＝DM＝BN＝CN=12×16＝8，
∵AM∥BN，
∴四边形ABNM为平行四边形，
∵∠ABN＝90°，
∴四边形ABNM为矩形，
∴MN＝AB＝10，∠AMN＝∠ANM＝90°，
根据折叠可知：AB′＝AB＝10，BE＝B′E，
∴MB′=AB′2−AM2=102−82=6，
∴NB′＝10﹣6＝4，
设BE＝B′E＝x，则EN＝8﹣x，
∵EB′2＝EN2+B′N2，
∴x2＝（8﹣x）2+42，
解得：x＝5，
∴BE＝5；
当点B′在矩形的对称轴PQ上时，过点B′作GH⊥BC于点H，交AD于点G，如图所示：
则AP＝PB=12×10＝5，
∵∠ABH＝∠BAG＝∠BHG＝90°，
∴四边形ABHG为矩形，
∴AG＝BH，GH＝AB＝10，∠AGH＝90°，
同理得：四边形APB′G为矩形，四边形PBHB′为矩形，
∴GB′＝AP＝5，B′H＝PB＝5，
根据勾股定理得：AG＝53，
∴BH＝AG＝53，
设BE＝EB′＝x，则EH＝53−x，
根据勾股定理得：EB′2＝EH2+B′H2，
∴x2＝（53−x）2+52，
解得：x=1033，即BE=1033；
综上分析可知：BE＝5或1033．
（3）当点B′在矩形ABCD的内部，∠AB′D＝90°时，如图所示：
根据折叠可知：∠AB′E＝∠B＝90°，BE＝B′E，AB′＝AB＝10，
∵∠AB′E+∠AB′D＝90°+90°＝180°，
∴点E、B′、D在同一直线上，
根据勾股定理得：B′D＝239，
设BE＝B′E＝x，则CE＝16﹣x，DE＝x+239，
根据勾股定理得：DE2＝CE2+CD2，
即（x+239）2＝（16﹣x）2+102，
解得：x＝16﹣239，
即BE＝16﹣239；
当点B′在矩形ABCD的外部，∠AB′D＝90°时，如图所示：
根据折叠可知：∠AB′E＝∠B＝90°，BE＝B′E，AB′＝AB＝10，
此时点E、B′、D在同一直线上，
根据勾股定理得：B′D＝239，
设BE＝B′E＝x，则CE＝x﹣16，DE＝x﹣239，
根据勾股定理得：DE2＝CE2+CD2，
即（x﹣239）2＝（x﹣16）2+102，
解得：x＝16+239，
即BE＝16+239；
综上分析可知：BE＝16﹣239或16+239．
【点评】本题主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
21．在平面直角坐标系中，经过点M（0，m）且平行于x轴的直线记作直线y＝m．给出如下定义：①把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对称点，对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段②将点P（x，y）关于y轴的对称点记作点P1，再将点P1关于直线y＝m的对称点记作点P2，则称点P2为点P（x，y）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”．例如：点P（3，1）关于y轴和直线y＝3的“青一对称点”为点P2（﹣3，5）．
（1）点A（3，4）关于y轴和直线y＝1的“青一对称点”A2的坐标是 （﹣3，﹣2） ；
（2）点B（3m+n，m﹣n）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”B2的坐标是（﹣9，5），求m和n的值；
（3）若点C（6x﹣5，2x+1）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”C2在第二象限，且满足条件的x的整数解有且只有一个，求m的取值范围．
【考点】坐标与图形变化﹣对称；一元一次不等式组的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）（﹣3，﹣2）；
（2）m=2n=3；
（3）32＜m≤52．
【分析】（1）根据定义可知P2（﹣x，2m﹣y），结合所给的点代入即可求解；
（2）根据题意可得3m+n=92m−m+n=5，解方程组即可求解；
（3）先求C2（5﹣6x，2m﹣2x﹣1），再由C2在第二象限，可得5﹣6x＜0，2m﹣2x﹣1＞0，则x＞56，x＜m−12，根据满足条件的x的整数解有且只有一个，得到1＜m−12≤2，解得32＜m≤52．
【解答】解：（1）P（x，y）关于y轴的对称点P1（﹣x，y），P1（﹣x，y）关于直线y＝m的对称点P2（﹣x，2m﹣y），
∵A（3，4），
∴点A（3，4）关于y轴和直线y＝1的“青一对称点”A2的坐标是（﹣3，﹣2），
故答案为：（﹣3，﹣2）；
（2）∵点B（3m+n，m﹣n）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”B2的坐标是（﹣9，5），
∴3m+n=92m−m+n=5，
解得m=2n=3；
（3）点C（6x﹣5，2x+1）关于y轴和直线y＝m的“青一对称点”C2为（5﹣6x，2m﹣2x﹣1），
∵C2在第二象限，
∴5﹣6x＜0，2m﹣2x﹣1＞0，
∴x＞56，x＜m−12，
∵满足条件的x的整数解有且只有一个，
∴1＜m−12≤2，
解得32＜m≤52．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，平面内点的对称性，熟练掌握点的坐标特点，点的对称性是解题的关键．
22．如图，在正方形ABCD中，F为边AB上一点，E为边BC延长线上一点，且CE＝AF，连接EF，与对角线AC相交于点G．
（I）求证：FG＝EG；
（Ⅱ）求证：AF+AD=2AG；
（Ⅲ）连接BG，点P，M，N分别是△BGE三条边BE，BG，EG上的动点，若AD＝6，AF＝2，求PM+PN的最小值（直接写出结果即可）．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（I）见解答；
（Ⅱ）见解答；
（Ⅲ）855．
【分析】（I）过点F作FH⊥AB，与AC相交于点H．证明△FHG≌△ECG，即可得到FG＝EG；
（Ⅱ）取I为BF的中点，连接IG．证出AI＝IG，从而得到得IG=22AG．进一步可证明出结论；
（Ⅲ）先求出BF，BE，EF，BG，作点N关于BE的对称点N'，连接PN'，过点E作EM⊥BG交BG的延长线于点Q，推出PM+PN的最小值为EQ，再利用面积法求出EQ即可解决问题．
【解答】解：（I）如图，过点F作FH⊥AB，与AC相交于点H．
∵ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD，∠ABC＝90°．
∴FH∥BC，∠FAH＝∠FHA＝45°．
∴∠HFG＝∠E，AF＝HF．
∵CE＝AF，
∴HF＝CE．
在△FHG和△ECG中，
∠HFG=∠E，∠FGH=∠EGC，HF=CE，
∴△FHG≌△ECG（AAS）．
∴FG＝EG；
（Ⅱ）如图，取I为BF的中点，连接IG．
由（I）知FG＝EG，
∴IG∥BE，IG=12BE．
∴∠AIG＝90°．
∴∠IGA＝∠IAG＝45°．
∴AI＝IG．
∴AG=AI2+IG2=2IG．可得IG=22AG．
∴AF+AD=CE+BC=BE=2IG=2AG；
（Ⅲ）855．
理由：∵AD＝6，AF＝2，
∴FB＝AB﹣AF＝4，BE＝BC+CE＝8，
由勾股定理，得EF=FB2+BE2=42+82=45，
由（I）知BG是Rt△EFB斜边EF的中点，
∴GB＝GE=12EF=25，
∴∠GBE＝∠GEB，
如图，作点N关于BE的对称点N'，连接PN'，过点E作EM⊥BG交BG的延长线于点Q，
则PN'＝PN，∠N'EB＝∠NEB＝∠GBE，
∴PM+PN＝PM+PN'≥N'M，EN'∥QB，
∴EQ为两平行线EN'与QB间的距离，
∴PM+PN'≥N'M≥EQ，
∴PM+PN的最小值为EQ，
取BE的中点J，连接GJ，
则GJ∥FB，GH=12FB＝2，
∴GJ⊥BE，
∵S△GBE=12BG•EQ=12BE•GJ，
∴EQ=BE⋅GJBG=8×225=855，
∴PM+PN的最小值为855．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题，平行线间的距离的性质，掌握相关图形的判定和性质，以及能将两线段和的最小值用一条线段表示是解题的关键．
23．如图，△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝∠ABC，D是AB边上一动点，连接CD，将△ACD沿CD翻折后得到△A'CD，射线CA'与射线AB相交于点E．
（1）若△A'DE是直角三角形，求∠ACD的度数；
（2）若△A′DE中有两个角相等，求∠ACD的度数．
【考点】翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质．
【专题】分类讨论；三角形；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）分∠A'DE＝90°和∠A'ED＝90°两种情况画出图形，利用翻折性质和三角形内角和定理及其推论即可解决问题；
（2）分①∠DA'E＝∠DEA'，②∠A'DE＝∠A'ED，点E为线段CA'与线段AB的交点，③∠A'DE＝∠A'ED，点E为CA'的延长线与AB的延长线的交点，④∠EDA'＝∠EA'D，这四种情况画出图形，利用翻折性质和三角形内角和定理及其推论即可解决问题；
【解答】解：（1）△A'DE是直角三角形，有两种情况：
①∠A'DE＝90°，如图，
∵将△ACD沿CD翻折后得到△A'CD，
∴∠A'＝∠A＝30°，∠ACD＝∠A'CD=12∠ACE，
∴∠A'ED＝60°，
∴∠A+∠ACE＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∴∠ACD＝15°；
②∠A'ED＝90°，如图，
∴∠A+∠ACE＝90°，
∵∠A＝30°，
∴∠ACE＝60°，
∵将△ACD沿CD翻折后得到△A'CD，
∴∠ACD=12∠ACE＝30°；
综上，∠ACD的度数为15°或30°；
（2）△A′DE中有两个角相等，有四种情况：
①若∠DA'E＝∠DEA'，
∵∠DA'E＝∠A＝30°，
∴∠DEA'＝30°＝∠A，
这与∠DEA'＞∠A矛盾，
∴此种情况不存在；
②若∠A'DE＝∠A'ED，点E为线段CA'与线段AB的交点，如图，
∵将△ACD沿CD翻折后得到△A'CD，
∴∠A'＝∠A＝30°，∠ACD＝∠A'CD=12∠ACE，
∴∠A'DE＝∠A'ED＝75°，
∴∠A+∠ACE＝75°，
∴∠ACE＝45°，
∴∠ACD＝22.5°；
③若∠A'DE＝∠A'ED，点E为CA'的延长线与AB的延长线的交点，如图，
∵将△ACD沿CD翻折后得到△A'CD，
∴∠CA'D＝∠A＝30°，∠ACD＝∠A'CD=12∠ACE，
∴∠A'DE＝∠A'ED＝15°，
∴∠ADA'＝165°，
∴∠ACA'＝360°﹣30°×2﹣165°＝135°，
∴∠ACD＝67.5°；
④若∠EDA'＝∠EA'D，如图，
∵将△ACD沿CD翻折后得到△A'CD，
∴∠A'＝∠A＝30°，∠ACD＝∠A'CD=12∠ACE，
∴∠DEA'＝120°，
∴∠A+∠ACE＝120°，
∴∠ACE＝90°，
∴∠ACD＝45°；
综上，∠ACD的度数为22.5°或45°或67.5°；
【点评】本题考查翻折的性质，三角形内角和定理和推论，直角三角形的性质，四边形内角和，能分情况画出图形求解是解题的关键．
24．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC和AB上，DF＝AE．求证：DF⊥AE；
（2）如图2，在矩形ABCD中，将四边形AFGD折叠，得到四边形EFGP，EP交CD于点H，点A落在BC边上的点E处，折痕交边AB于F，交边CD于G，连接AE交GF于点O．若ADAB=34，且tan∠CGP=43，GF=35，求AE与CP的长．
【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质．
【答案】（1）见解答；
（2）AE=45，CP=8105．
【分析】（1）利用HL证明Rt△ABE≌Rt△DAF，得到∠BAE＝∠ADF，即可推出DF⊥AE；
（2）过点G作GN⊥AB于点N，过点P向BC作垂线，交BC的延长线于点M．证明△ABE∽△GNF，利用对应边成比例可求出AE；由ADAB=34，可得BE：BF：EF＝4：3：5，设 EF＝AF＝5x，则 BE＝4x，BF＝3x，在Rt△ABE 中，利用勾股定理列方程可求出x，从而求出BE，BF，EF的长，证明△EPM∽△FEB，利用对应边成比例可求出EM，PM，最后由勾股定理可求出CP．
【解答】（1）证明：四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠BAD＝90°，AB＝AD．
又∵AE＝DF，
∴Rt△ABE≌Rt△DAF（HL），
∴∠BAE＝∠ADF，
∵∠BAE+∠DAE＝90°，
∴∠DAE+∠ADF＝90°
∴DF⊥AE；
（2）解：如图，过点G作GN⊥AB于点N，过点P向BC作垂线，交BC的延长线于点M．
∵四边形ABCD是矩形，
∴GN＝AD，
∵ADAB=34，
∴GNAB=ADAB=34，
由折叠可知，AF＝EF，∠AFG＝∠EFG．
∴AE⊥FG．
∴∠BAE+∠NFG＝90°，
∠BAE+∠AEB＝90°．
∴∠NFG＝∠AEB．
又∵∠GNF＝∠ABE＝90°，
∴△ABE∽△GNF．
∴GFAE=GNAB=34，
∵GF=35，
∴AE=GF34=45．
∵∠FEP＝∠BAD＝∠BCD＝∠EPG＝90°，
∴∠BFE＝∠CEP＝∠CGP，
∴BEBF=PHPG=tan∠CGP=43．
∴BE：BF：EF＝4：3：5．
设 EF＝AF＝5x，则 BE＝4x，BF＝3x．
∴BE：AB＝4x：8x＝1：2．
∴在Rt△ABE 中，
AE=AB2+BE2=45x=45．
∴x＝1．
∴AB＝8．
∵ADAB=34
∴AD＝BC＝EP＝6．
∵∠BFE＝∠PEM，∠B＝∠M，
∴△EPM∽△FEB．
∴EMFB=PMEB=EPEF=65．
∴EM=185，PM=245，
又∵EC＝BC﹣BE＝6﹣4＝2，
∴CM＝EM﹣EC=85．
∴CP=CM2+PM2=8105．
∴AE=45，CP=8105．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数，勾股定理，能够灵活运用相关判定和性质是解题的关键．
25．如图①，在长方形ABCD中，已知AB＝10，AD＝6，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，把△ADP沿着AP翻折得到△AEP．
（1）如图②，射线PE恰好经过点B，试求此时t的值．
（2）当射线PE与边AB交于点Q时，是否存在这样的t的值，使得QE＝QB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．
【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．
【专题】分类讨论；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；应用意识．
【答案】（1）t＝1；
（2）存在这样的t值，使得QE＝QB，t的值为95或5．
【分析】（1）先证明∠APD＝∠EPA＝∠PAB，得AB＝PB＝10，根据勾股定理得PC＝8，由PD＝2＝2t，可得结论；
（2）分两种情况：点E在矩形的内部和外部，根据等量关系列方程可解答．
【解答】解：（1）如图1，
∵AB∥CD，
∴∠DPA＝∠PAB，
由轴对称得：∠DPA＝∠EPA，
∴∠EPA＝∠PAB，
∴BP＝AB＝10，
在Rt△PCB中，由勾股定理得：PC=PB2−BC2=102−62=8，
∴PD＝2＝2t，
∴t＝1；
（2）存在，分两种情况：
当点E在矩形ABCD内部时，过P作PH⊥AB于H，过Q作QG⊥CD于G，如图2，
∴PH＝QG＝AD＝6，
∵∠APQ＝∠APD＝∠PAQ，
∴AQ＝PQ，
∵PQ2＝PG2+QG2＝PG2+62＝36+PG2，
∴AQ2＝36+PG2，
∵AQ＝DG＝DP+PG，
∴（DP+PG）2＝36+PG2，
∵PD＝2t，
∴（2t+PG）2＝36+PG2，
解得：PG=9−t2t，
∵AQ＝PD+PG＝2t+9−t2t=t2+9t，
∵QE＝PQ﹣PE＝PQ﹣DP＝PQ﹣2t，
∵QE＝QB，PQ＝AQ，
∴QB＝AQ﹣2t，
∵AQ+BQ＝AB＝10，
∴AQ+AQ﹣2t＝10，
∴AQ＝5+t，
∴5+t=t2+9t，
解得t=95；
当点E在矩形ABCD的外部时，如图3：
∵∠APQ＝∠APD＝∠PAQ，
∴AQ＝PQ，
∵QE＝PE﹣PQ＝DP﹣PQ＝2t﹣PQ，QE＝QB，
∴BQ＝2t﹣AQ，即AB﹣AQ＝2t﹣AQ，
∴AB＝2t，
∴t=AB2=5（此时P与C重合），
综上，存在这样的t值，使得QE＝QB，t的值为95或5．
【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、几何动点问题，轴对称的性质等知识，解题的关键是学会正确画出图形，学会分类讨论，充分利用轴对称的性质解决问题，属于中考压轴题．
考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为a．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
3．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①a≥0； a≥0（双重非负性）．
②（a）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③a2=|a|=a(a＞0)0(a=0)−a(a＜0)（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
ab=a•b（a≥0，b≥0）ab=ab（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
4．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
5．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
6．两点间的距离公式
两点间的距离公式：
设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB=(x1−x2)2+(y1−y2)2．
说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式．
7．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
8．角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC=13∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
9．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
10．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
11．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
12．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
13．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
14．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
15．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
16．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
17．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
18．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：2+1．
19．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
20．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
21．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
22．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
23．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
24．坐标与图形变化-对称
（1）关于x轴对称
横坐标相等，纵坐标互为相反数．
（2）关于y轴对称
纵坐标相等，横坐标互为相反数．
（3）关于直线对称
①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b）
②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b）
25．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
④作出的垂线为最短路径．
26．剪纸问题
一张纸经过折和剪的过程，会形成一个轴对称图案．解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．
27．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
28．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
29．图形的剪拼
平面构成设计的基础知识，图形拼摆使学生初步理解基本形图形拼摆的概念、构成，以及基本形在平面构成设计中的意义．运用形象与空间关系的规律，设计出新颖的图形拼摆图案．2．学习用分割、组合的方法获得基本形，在教师指导下进行巧妙组合、色彩搭配，图形拼摆完成简单的平面构成设计．培养、锻炼学生的组合造型能力和空间想象能力，发展抽象思维．3．通过动手拼摆、操作，使学生初步了解分解构成的原理，增强设计意识，并在小组活动中培养学生的操作、观察、表达及思维能力，培养探索意识和合作精神．
30．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
31．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA=∠A的对边斜边=ac，csA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）因收纳需要，常常会准备一些无盖纸盒，现将长为8，宽为4的长方形彩纸进行裁剪，用来装饰竖式、横式的无盖纸盒．装饰竖式、横式的无盖纸盒．
素材1
彩纸的裁剪方案：
素材2
1个竖式无盖纸盒所需彩纸
1个横式无盖纸盒所需彩纸
问题解决
问题1
现有彩纸17张，若只装饰竖式无盖纸盒，选用素材1中的两种裁剪方案，要求裁剪无余料，且17张彩纸裁剪所得的纸片恰好全部用完，则应选择的两种裁剪方案是 ，一共可以做成多少只竖式无盖纸盒？请写出你的解答过程．
问题2
若装饰竖式和横式两种无盖纸盒共2022个，选用素材1中的两种裁剪方案，要求裁剪后无余料，且裁剪所得的纸片恰好全部用完，则至少需要多少张彩纸？
如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数．
解：∵BP平分∠ABC（已知），
∴∠PBC=12∠ABC=12×80°=40°．
同理可得∠PCB＝
°．
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（ ），
∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB（等式的性质）
＝180°﹣40°﹣
＝ ．
活动主题
设计一款日常的多功能椅子
素材1
座椅是我们日常生活中不可或缺的一部分，无论在办公室、家里还是车辆中，我们都需要座椅来提供舒适的工作和休息．
图1是某折叠式靠背椅的实物图．图2是椅子合拢状态的侧图示意图，其中椅面、靠背和椅腿在侧面示意中分别对应CE，FG、BF和AD，椅腿AD，BC可绕连结点O转动，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，靠背与椅腿的夹角∠GFB在转动过程中形状保持不变．此时椅面CE和靠背FG平行．注：三角形内角和为180°
素材2
图3是折叠椅打开状态的示意图，连杆HD与椅腿AD夹角∠HDA变小，使HD与椅面CE贴合，此时椅面CE与地图AB平行．
素材3
座椅的设计与人体工学原理密切相关，一把人体工学期标合理的座椅，可以起到减轻腿部肌肉的负担、降低能耗、使血液运行通畅、防止骨骼变形等作用．现代人体工学用椅靠背建议倾斜角度一般在105°～120°，现对折叠椅进行重新设计，使之既能满足多种需要，又能基本满足人体工学对椅背的要求．
素材4
通过将靠背GF与椅腿BF的夹角从固定角变为可调节角，在原来的基础上增加2个卡档，在椅面CE下H点与E点之间设置成三个卡档，来调整靠育GF和椅面CE的角度以满足不同的需要，图4是舒适档．椅面倾角α为椅面与水平地面的夹角，逆时针为正倾角，顺时针为负倾角．靠背倾角β为靠背GF的延长线与椅面EC的延长线的夹角．
档位
参数
测量数据
图示
舒适档
靠背倾角β
105°
椅面倾角α
10°
工作档
靠背倾角β
95°
椅面倾角α
﹣5°
问题解决
任务1
根据素材1：回答问题：当折叠椅在合拢状态时，测得∠ECB＝150°，∠OBA＝70°，延长GF，与地面BA的夹角为α，求α．
任务2
根据素材1，2，回答问题：当折叠椅打开状态时，延长GF交AB于点I，探究∠FIB与∠FCE的数量关系．
任务3
根据素材3，4，回答问题：
从舒适档调整为工作档时，椅腿FB与地面AB的夹角始终为θ．
①请用θ表示舒适档时靠背GF与椅腿BF的夹角∠GFB＝ ．
②求从舒适档调整为工作档调整过程中，靠背GF需要转过多少度？
因收纳需要，常常会准备一些无盖纸盒，现将长为8，宽为4的长方形彩纸进行裁剪，用来装饰竖式、横式的无盖纸盒．装饰竖式、横式的无盖纸盒．
素材1
彩纸的裁剪方案：
素材2
1个竖式无盖纸盒所需彩纸
1个横式无盖纸盒所需彩纸
问题解决
问题1
现有彩纸17张，若只装饰竖式无盖纸盒，选用素材1中的两种裁剪方案，要求裁剪无余料，且17张彩纸裁剪所得的纸片恰好全部用完，则应选择的两种裁剪方案是 A、D ，一共可以做成多少只竖式无盖纸盒？请写出你的解答过程．
问题2
若装饰竖式和横式两种无盖纸盒共2022个，选用素材1中的两种裁剪方案，要求裁剪后无余料，且裁剪所得的纸片恰好全部用完，则至少需要多少张彩纸？
如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数．
解：∵BP平分∠ABC（已知），
∴∠PBC=12∠ABC=12×80°=40°．
同理可得∠PCB＝
25 °．
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（ 三角形内角和定理 ），
∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB（等式的性质）
＝180°﹣40°﹣ 25°
＝ 115° ．
活动主题
设计一款日常的多功能椅子
素材1
座椅是我们日常生活中不可或缺的一部分，无论在办公室、家里还是车辆中，我们都需要座椅来提供舒适的工作和休息．
图1是某折叠式靠背椅的实物图．图2是椅子合拢状态的侧图示意图，其中椅面、靠背和椅腿在侧面示意中分别对应CE，FG、BF和AD，椅腿AD，BC可绕连结点O转动，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，靠背与椅腿的夹角∠GFB在转动过程中形状保持不变．此时椅面CE和靠背FG平行．注：三角形内角和为180°
素材2
图3是折叠椅打开状态的示意图，连杆HD与椅腿AD夹角∠HDA变小，使HD与椅面CE贴合，此时椅面CE与地图AB平行．
素材3
座椅的设计与人体工学原理密切相关，一把人体工学期标合理的座椅，可以起到减轻腿部肌肉的负担、降低能耗、使血液运行通畅、防止骨骼变形等作用．现代人体工学用椅靠背建议倾斜角度一般在105°～120°，现对折叠椅进行重新设计，使之既能满足多种需要，又能基本满足人体工学对椅背的要求．
素材4
通过将靠背GF与椅腿BF的夹角从固定角变为可调节角，在原来的基础上增加2个卡档，在椅面CE下H点与E点之间设置成三个卡档，来调整靠育GF和椅面CE的角度以满足不同的需要，图4是舒适档．椅面倾角α为椅面与水平地面的夹角，逆时针为正倾角，顺时针为负倾角．靠背倾角β为靠背GF的延长线与椅面EC的延长线的夹角．
档位
参数
测量数据
图示
舒适档
靠背倾角β
105°
椅面倾角α
10°
工作档
靠背倾角β
95°
椅面倾角α
﹣5°
问题解决
任务1
根据素材1：回答问题：当折叠椅在合拢状态时，测得∠ECB＝150°，∠OBA＝70°，延长GF，与地面BA的夹角为α，求α．
任务2
根据素材1，2，回答问题：当折叠椅打开状态时，延长GF交AB于点I，探究∠FIB与∠FCE的数量关系．
任务3
根据素材3，4，回答问题：
从舒适档调整为工作档时，椅腿FB与地面AB的夹角始终为θ．
①请用θ表示舒适档时靠背GF与椅腿BF的夹角∠GFB＝ θ+115° ．
②求从舒适档调整为工作档调整过程中，靠背GF需要转过多少度？