2025年中考数学二轮复习：二次函数的特殊三角形存在性问题 压轴练习题（含答案）

这是一份2025年中考数学二轮复习：二次函数的特殊三角形存在性问题 压轴练习题（含答案），共19页。试卷主要包含了二次函数的特殊三角形存在性问题等内容，欢迎下载使用。
一、二次函数的特殊三角形存在性问题
1．如图，已知抛物线L1:y=−x2与直线y=−1相交于A、B．
（1）AB＝ ；
（2）抛物线L1随其顶点沿直线y=12x向上平移，得到抛物线L2，抛物线L2与直线y=−1相交于C，D （点C在点D左边），已知抛物线L2顶点M的横坐标为m．
①当m＝6时，求抛物线L2的解析式及CD的值；
②连接MC,MD，当△MCD为等边三角形时，求点M的坐标．
2．已知抛物线与x轴交于点A−2,0、B3,0，与y轴交于点C0,4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，请连接BC，求出△BPC的面积最大值及此时点P的坐标．
（3）如图2，将抛物线向右平移12个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为y'，若抛物线y'与原抛物线对称轴交于点Q．点E是新抛物线y'对称轴上一动点，在（2）的条件下，当△PQE是等腰三角形时，求点E的坐标．
3．如图、已知直线y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x=−1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线对称轴上的点P，使得以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点P称为“圣和点”、此题中，是否存在“圣和点”、若存在，请求出“圣和点”P的坐标：若不存在，请说明理由．
4．如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．
（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．
5．已知二次函数y=mx2+2x−1，其中m≠0.
（1）若该二次函数的图象与x轴仅有一个公共点A，求实数m的值.
（2）在(1)的条件下，若直线y=kx−1的图象与二次函数的图象交于两点B(x1,y1),C(x2,y2)，且x10时，该函数图象与x轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足：2a2+2(y1+y2)a+y12+y22=0,2a2−2(y3+y4)a+y32+y42=0.请问是否存在实数m(m>1)，使得AB,CD,m⋅EF这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3？若存在，求出m的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由(注：m⋅EF表示一条长度等于EF的m倍的线段).
8．如图，抛物线C1:y=ax2+43x−4的图象经过点D(1,−1)，与x轴交于点A，点B.
（1）求抛物线C1的表达式；
（2）将拋物线C1向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到拋物线C2，求拋物线C2的表达式，并判断点D是否在拋物线C2上；
（3）在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形.若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
9． 如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(−3,0)和点B，与y轴交于点C(0,3)，点D在抛物线上．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点D在第二象限内，且△ACD的面积为3时，求点D的坐标；
（3）在直线BC上是否存在点P，使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），交y轴于点C，抛物线上一点D的坐标为（4，3）
（1）求该二次函数所对应的函数解析式；
（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，PE//x轴，PF//y轴，求线段EF的最大值；
（3）如图2，点M是线段CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，当△CBN是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．
答案解析部分
1．【答案】（1）2
（2）解：①对于y=12x，
当x=6时，y=12×6=3，
∴抛物线L2的顶点坐标为(6,3)，
∴抛物线L2的解析式为y=−(x−6)2+3，
当y=−1时，−1=−(x−6)2+3，
解得：x=8或4，
∴C(4,−1),B(8,−1)
∴CD=4；
故答案为：y=−(x−6)2+3；4
②解：∵点M在直线y=12x上，
∴M(m,12m)，
∴抛物线L2的解析式为y=−(x−m)2+12m，
当y=−1时，−1=−(x−m)2+12m，
解得：x=2m+42+m或x=−2m+42+m，
∴C(2m+42+m,−1)，D(−2m+42+m,−1)，
∴CD=2m+4，
如图，过点M作MD⊥CE于点E，则ME=12m+1，CE=2m+42，
∵△MCD是等边三角形，
∴∠MCE=60°，
∴tan∠MCE=MECE=12m+12m+42=3，
解得：m=4或−2（不合题意，舍去），
∴点M的坐标为(4,2)
2．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于点A(−2,0)、B(3,0)，
∴设抛物线的解析式为：y=a(x+2)(x−3)(a≠0)，
把C(0,4)代入y=a(x+2)(x−3)(a≠0)中，得
4=−6a，
∴a=−23，
∴抛物线的解析式为：y=−23(x+2)(x−3)，
即y=−23x2+23x+4；
（2）解：设P点的坐标为(t,−23t2+23t+4)，过点P作PN⊥x轴于点N，与BC交于点M，如图1，
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，则
3k+b=0b=4，
解得k=−43b=4，
∴直线BC的解析式为：y=−43x+4，
∴M(t,−43t+4)，
∴PM=−23t2+2t，
∵S△BPC=S△PMC+S△PMB=12PM⋅ON+12PM⋅BN=12PM⋅OB，
∴S△BPC=12(−23t2+2t)×3=−t2+3t=−t−322+94，
∵a=−14ac−b24a，即b2−4ac>4a2.
所以ax2+bx+c=−a的两根为x1,x2，可得AB≤|x1−x2|=b2−4a(c+a)|a|
同理ax2+bx+c=a的两根为x3,x4，可得CD=|x3−x4|=b2−4a(c−a)|a|.
同理ax2+bx+c=0的两根为x5,x6，可得m⋅EF=m⋅|x5−x6|=m⋅b2−4ac|a|.
由于m>1，结合图象与计算可得AB4a2符合要求.
所以m=2，此时该函数的最小值为4ac−b24a=−8a24a=−2a.
综上所述，存在两个m的值符合题意；
当m=305时，此时该函数的最小值为−5a3；
当m=2时，此时该函数的最小值为−2a.
8．【答案】（1）解：∵ 抛物线C1:y=ax2+43x−4的图象经过点D(1,−1)
∴ a+43-4=-1
解得a=53
∴ 抛物线C1的表达式为y=53x2+43x−4
（2）解：点D在拋物线C2上；
y=53x2+43x−4=53（x+25）2−6415
将抛物线C1 向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到拋物线C2，
∴ 拋物线C2的表达式为y=53（x−35）2−1915
∴ x=1，y=53（1−35）2−1915=-1
∴ 点D（1，-1）在拋物线C2上.
（3）解：存在点P，使△PBD是等腰直角三角形
①当∠P1BD=90°，P1B=BD，如图所示，过点B作直线l∥y轴，过点P1作P1E⊥l于E，过点D作DF⊥l于F，则∠EP1B+∠EBP1=90°
∴ ∠P1EB=∠BFD=90°，∠EBP1+∠FDB=90°，
∴ ∠EP1B=∠FDB
∴∆EP1B≅∆FBD（AAS）
∴ EP1=FB=1，EB=FD=3
∴ 点P1的横坐标为-1，点P1的纵坐标为3，
∴ 把-1代入拋物线C2的表达式y=53（x−35）2−1915得y=3=EB，则P1在抛物线C2上
∴ 点P1存在，坐标为（-1，3）.
②当∠P2DB=90°，P2D=BD，如图所示，过点D作直线l∥x轴，过点P2作P1F⊥l于F，过点B作BE⊥l于E，
同理可证 ∆FP2D≅∆EDB（AAS）
∴ FD=EB=1，P2F=DE=3
∴ 点P1的横坐标为2，点P2的纵坐标为P2F-BE=3-1=2
∴ 把2代入拋物线C2的表达式y=53（x−35）2−1915得y=2，则P2在抛物线C2上
∴ 点P2存在，坐标为（2，2）.
③当∠BP3D=90°，P3D=P3B，如图所示，过点P3作直线l∥x轴，过点B作BE⊥l于E，过点D作DF⊥l于F，
同理可证∆EP3B≅∆FDP3（AAS）
∴ BE=P3F=1，EP3=FD
设点P3（m，n）
∴ m+2=n+1，1-m=1
解得：m=0，n=1
∴ P3（0，1）
则m=0时，y=53（0−35）2−1915≠1
则P3不存在
综上，在x轴上方的抛物线C2上，存在点P， 使△PBD是等腰直角三角形，点P的坐标为 P1（-1，3）或P2（2，2） .
9．【答案】（1）解：把A(−3,0)，C(0,3)代入y=−x2+bx+c得：
−9−3b+c=0c=3，
解得b=−2c=3，
∴抛物线的解析式为y=−x2−2x+3；
（2）解：过D作DK∥y轴交AC于K，如图：
由A(−3,0)，C(0,3)得直线AC解析式为y=x+3，
设D(t,−t2−2t+3)，则K(t,t+3)，
∴DK=−t2−2t+3−(t+3)=−t2−3t，
∵△ACD的面积为3，
∴12DK⋅|xA−xC|=3，即12(−t2−3t)×3=3，
解得t=−1或t=−2，
∴D的坐标为(−1,4)或(−2,3)；
（3）解：P的坐标为(0,3)或(25−19318,−7+1936)或(25+19318,−7−1936)或(119,−23)．
10．【答案】（1）解：设二次函数的解析式为y＝a（x﹣b)（x﹣c），
∵ y＝ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为（1，0）和（3，0），
∴ 二次函数解析式：y＝a（x﹣1）（x﹣3）．
又∵ 点D（4，3）在二次函数上，
∴（4﹣3）×（4﹣1）a＝3，
∴ 解得：a＝1，
∴ 二次函数的解析式：y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3．
（2）解：如图1所示．
因点P在二次函数图象上，设P（p，p2﹣4p+3）．
∵y＝x2﹣4x+3与y轴相交于点C，
∴点C的坐标为（0，3）．
又∵点B的坐标为B（3，0），
∴OB＝OC
∴△COB为等腰直角三角形．
又∵PF//y轴，PE//x轴，
∴△PEF为等腰直角三角形．
∴EF＝2PF．
设一次函数的lBC的表达式为y＝kx+b，
又∵B（3，0）和C（0，3）在直线BC上，
3k+b=0b=3，解得：k=−1b=3，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
∴yF＝﹣p+3．
FP＝﹣p+3﹣（p2﹣4p+3）＝﹣p2+3p．
∴EF＝﹣2p2+32p．
∴线段EF的最大值为，EFmax＝0−9×2−42＝924；
（3） 解：①如图2所示：
设点N的坐标为（m，m2﹣4m+3），则点M的坐标为（m，3），
若∠CNB＝90°时，点N在抛物线上，作MN//y轴，l//x轴交y轴于点E，
BF⊥l交l于点F．
∵C、D两点的坐标为（0，3）和（4，3），
∴CD∥x轴．
又∵∠CNE＝∠NBF，∠CEN＝∠NFB＝90°，
∴△CNE∽△NBF．
∴CENE＝NFBF，
又∵CE＝﹣m2+4m，NE＝m；NF＝3﹣m，BF＝﹣m2+4m﹣3，
∴−m2+4mm＝3−m−m2+4m−3，
化简得：m2﹣5m+5＝0．
解得：m1＝5+52，m2＝5−52．
∴M点坐标为（5+52，3）或（5−52，3）
②如图3所示：
当∠CBN＝90°时，过B作BG⊥CD，
∵∠NBF＝∠CBG，∠NFB＝∠BGC＝90°，
∴△BFN∽△CGB，
∵△BFN为等腰直角三角形，
∴BF＝FN，
∴0﹣（m2﹣4m+3）＝3﹣m．
∴化简得，m2﹣5m+6＝0．
解得，m＝2或m＝3（舍去）
∴M点坐标为，（2，3）．
综上所述，满足题意的M点坐标为可以为（2，3），（5+52，3），（5−52，3）．