创新考法1大学知识新定义题（小题狂练）-2025年高考数学题型破局系列（附答案解析）

这是一份创新考法1大学知识新定义题（小题狂练）-2025年高考数学题型破局系列（附答案解析），共29页。

一．单选题.
【笛卡尔积 2024年广东模拟预测】
1．对于非空数集，定义，将称为“与的笛卡尔积”．记非空数集的元素个数为，若是两个非空数集，则的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【欧拉函数 原创】
2．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素（也称互质）的正整数的个数，例如，，．则（ ）
A．数列单调B．
C．数列是等比数列D．
【亲近函数 2025年吉林期末】
3．若定义域均为的函数，满足：，且，使得，则称与互为“亲近函数”.已知与互为“亲近函数”，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【斐波那契数列 原创】
4．我们把由0和1组成的数列称为0—1数列，0—1数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列中的奇数换成0，偶数换成1可得到0—1数列，记数列的前项和为，则的值为（ ）
A．673B．674C．675D．676
【泰勒级数 原创】
5．英国著名数学家布鲁克・泰勒（Brk Taylr）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世．泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限项连加式来表示一个函数，如：，其中．根据该展开式可知，与的值最接近的是（ ）
A．B．C．D．
【向量的广义坐标 2024云南昆明模拟预测】
6．向量的广义坐标是用于描述向量或系统状态的一组数值，其选择取决于问题的特定背景和需求．在物理学、工程学、计算机图形学等领域，广义坐标被广泛应用．比如，物理学中的振动系统可能采用角度作为广义坐标，而工程学中的结构分析可能使用特定坐标系来简化问题．通过选择适当的广义坐标，可以更自然地描述问题，简化数学表达，提高问题的可解性，并使模型更符合实际场景．已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点．对于内任意一点P，若，则称有序实数对为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为，，关于下列命题正确的（ ）
A．点关于点O的对称点不一定为
B．A，B两点间的距离为
C．若向量平行于向量，则的值不一定为0
D．若线段的中点为C，则点C的广义坐标为
【凹函数 2024年广东广州检测】
7．丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.已知在上为“凹函数”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【费马小定理 2024年河北沧州、泊头联考】
8．设为非负整数，为正整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若为质数，为不能被整除的正整数，则，这个定理是费马在1636年提出的费马小定理，它是数论中的一个重要定理．现有以下4个命题：；②对于任意正整数；③对于任意正整数；④对于任意正整数．则所有的真命题为（ ）
A．①③④B．②③④C．①②③D．①②④
【阿基米德多面体 2025年上黑龙江阶段测试】
9．半正多面体（semiregular slid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的.它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），点满足，则直线与平面所成角的正弦值（ ）
A．为定值B．存在最大值，且最大值为1
C．为定值1D．存在最小值，且最小值为
【集合论 2025年上北京朝阳期中】
10．数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记为集合的元素个数，为集合的子集个数，若集合满足：①，；②，则的最大值是（ ）
A．99B．C．D．96
二．多选题.
【戴德金分割 2025上山东聊城阶段测试】
11．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的定义出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，， 中的每个元素都小于中的每个元素，称为戴德金分割．下列结论正确的是（ ）
A．是一个戴德金分割
B．存在一个戴德金分割，使得有一个最大元素，没有最小元素
C．存在一个戴德金分割，使得有一个最大元素，有一个最小元素
D．存在一个戴德金分割，使得没有最大元素，也没有最小元素
【卡西尼卵形线 2025年上广东阶段考试】
12．到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是（ ）
A．曲线的方程是
B．曲线关于坐标轴对称
C．曲线与轴没有交点
D．的面积不大于
【笛卡尔叶形线 2024年重庆市联考】
13．数学家笛卡尔研究了许多优美的曲线，如笛卡尔叶形线D在平面直角坐标系中的方程为．当时，以下四个结论正确的是（ ）
A．曲线D经过第三象限
B．曲线D关于直线轴对称
C．对任意，曲线D与直线一定有公共点
D．对任意，曲线D与直线一定有公共点
【激励函数 2025年宁夏内蒙古模拟预测】
14．在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．则（ ）
A．双曲正弦函数是增函数B．双曲余弦函数是增函数
C．双曲正切函数是增函数D．
【阿基米德平衡法 2024年江苏镇江丹阳高级中学阶段检测】
15．阿基米德的“平衡法”体现了近代积分法的基本思想，他用平衡法求得抛物线弓形（抛物线与其弦所在直线围成的图形）面积等于此弓形的内接三角形（内接三角形的顶点C在抛物线上，且在过弦的中点与抛物线对称轴平行或重合的直线上）面积的.现已知直线与抛物线交于A，B两点，且A为第一象限的点，E在A处的切线为l，线段的中点为D，直线轴所在的直线交E于点C，下列说法正确的是（ ）
A．若抛物线弓形面积为8，则其内接三角形的面积为6
B．切线l的方程为
C．若，则弦对应的抛物线弓形面积大于
D．若分别取的中点，，过，且垂直y轴的直线分别交E于，，则
【高斯函数 2025年上湖北 期中】
16．高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数（表示不超过的最大整数）称为高斯函数.已知正项数列的前项和为，且，令，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【向量的叉乘 2024 全国专题练习】
17．定义：两个向量的叉乘的模，则下列命题正确的是（ ）
A．若平行四边形的面积为4，则
B．在正中，若，则
C．若，，则的最小值为12
D．若，，且为单位向量，则的值可能为
【球面三角学 2024年江西三模】
18．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球的半径为R，A，B，为球面上三点，劣弧BC的弧长记为，设表示以为圆心，且过B，C的圆，同理，圆的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面．设，则下列结论正确的是（ ）
A．若平面是面积为的等边三角形，则
B．若，则
C．若，则球面的体积
D．若平面为直角三角形，且，则
【欧拉线】
19．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若满足，顶点，，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ）
A．题中的“欧拉线”为方程：
B．圆M上的点到直线的最小距离为
C．若圆M与圆有公共点，则
D．若点在圆M上，则的最大值是
【双曲函数 2025上河北阶段测试】
20．在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，它是工程数学中重要的函数，也是一类很重要的初等函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．已知双曲正弦函数的解析式为，双曲余弦函数的解析式为（其中为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数为奇函数
C．若直线与函数和的图象共有三个交点，这三个交点的横坐标分别为，则
D．若存在，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为
三．填空题.
【黄金椭圆 2025上广东佛山阶段测试】
21．椭圆的离心率e满足，则称该椭圆为“黄金椭圆”．若是“黄金椭圆”，则 ；“黄金椭圆”两个焦点分别为、（），P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接PM并延长交于N，则 ．
【拐点 2025上天津期中】
22．对于三次函数，定义：设f″x是函数y=f(x)的函数y=f′x的导数，若f″x=0有实数解，则称点为函数y=f(x)的“拐点”；此时的图象关于“拐点”对称. 已知函数的“拐点”为，则点坐标为 ，y=fx在点的切线为y=gx，若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是 .
【切比雪夫多项式 2024江苏南京第二十九中学模考】
23．以俄国著名数学家切比雪夫（Tschebyscheff，1821-1894）的名字命名的第一类切比雪夫多项式和第二类切比雪夫多项式，起源于多倍角的余弦函数和正弦函数的展开式，是与棣莫弗定理有关、以递归方式定义的多项式序列，是计算数学中的特殊函数．有许多良好的结论，例如：①，，对于正整数时，有成立，②，成立．由上述结论可得的数值为 ．
【维向量 2025上上海期中】
24．我们称（为正整数）元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则
【凹数列 2025年上重·阶段测试】
25．若数列满足对任意都有，则称数列为上的“凹数列”.已知，若数列为上的“凹数列”，则实数的取值范围是 .
1.试题特点分析：新定义题目是通过给出新概念、新运算或新模型，创设全新的问题情景，要求考生依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.
2.解题方法阐述：首先要对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号等关键要素.其次明确知识联系与加工，探求新定义与已学知识之间的联系，寻找解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点.
3.解题经验分享：第一、概念是解题的基础，只有准确把握新定义的内涵，才能进行后续的解题步骤. 第二、与已知知识建立联系，这样可以借助已有的知识和解题经验来处理新定义题.第三、识别关键信息，判断这些信息如何与新定义相结合.
《创新考法1 大学知识新定义题（小题狂练）--题型破局系列》参考答案：
1．B
【分析】根据、的定义对进行分析，利用基本不等式确定正确答案.
【详解】设，，
则，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值是.
故选：B
2．C
【分析】再求出，，后判断ABD，同样求得后根据等比数列定义判断C．
【详解】，，不单调，A错；
，B错误；D错误；
易知所有偶数与不互素，所有奇数与互素，，，
所以，即数列是等比数列，C正确．
故选：C．
3．A
【分析】由函数的单调性知是的唯一零点，根据“亲近函数”的定义可知在内存在零点，利用换元法，分离参数后结合对勾函数的性质，即可求解.
【详解】因为函数，，均在上为增函数，
所以在上为增函数，且，
故是的唯一零点，要使和互为“亲近函数”，
则存在，使得，即在内存在零点，
所以方程有解，令，则，
故，易知不是此方程的解；
当时，有，由对勾函数的性质可知，，
故的取值范围是．
故选：A.
4．B
【分析】由，列举得到数列中，求解；巧解：利用奇＋奇＝偶，偶＋奇＝奇求解.
【详解】解：因为，
所以，，
所以数列的前若干项为，，
则，
所以．
故选：B．
巧解：，
因为奇＋奇＝偶，偶＋奇＝奇，奇数换成0，偶数换成1，即，所以，
所以．
故选：B．
5．B
【分析】由，再根据，转化为角度制求解.
【详解】解：由题意知，
因为，
所以．
故选：B．
6．D
【分析】根据广义坐标的定义，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量共线性质逐一判断即可.
【详解】对于A，，设关于点的对称点为，则，
因为，不共线，所以，A错误；
对于B，因为，
所以，
当向量，是相互垂直的单位向量时，，两点间的距离为，否则距离不为，B错误；
对于C，当与中至少一个是时，结论成立；
当与都不为时，设（），有，即，所以，C错误；
对于D，，
所以线段中点的广义坐标为，D正确
故选：D
7．C
【分析】根据“凹函数”的定义转化为在上恒成立，再构造函数求出最大值即可得解.
【详解】因为，
所以.
因为在上为“凹函数”，所以在上，即恒成立，
令，，
则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
所以.
故选：C
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
①若在上恒成立，则；
②若在上恒成立，则；
③若在上有解，则；
④若在上有解，则.
8．C
【分析】利用费马小定理，结合二项式定理整除问题求解.
【详解】对于①，因为，所以被7除所得余数为1，所以被7除所得余数为2，65被7除所得余数也为2，所以．①正确．
对于②，若正整数能被13整除，则能被13整除，所以；若正整数不能被13整除，由费马小定理得，，则．②正确．
对于③，若正整数能被7整除，则能被7整除，所以；若正整数不能被7整除，由费马小定理得，即，又，所以．③正确．
对于④，当不能被5整除时，由费马小定理得，即，又，所以．④错误．
故选：C．
9．A
【分析】根据条件可得在线段（不包括点），将该半正多面体补成正方体，可得直线与平面所成角等于直线与平面所成角，得解.
【详解】，即在线段（不包括点）.
如图，将该半正多面体补成正方体，则平面平面，
因此直线与平面所成角等于直线与平面所成角.
在正四面体中，设正四面体的棱长为2，作平面，垂足为，
连接，则即为直线与平面所成角.
易求，所以，
所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将向量条件转化为，即在线段（不包括点），将该半正多面体补成正方体求解.
10．B
【分析】设，根据元素个数得到子集个数，即，分析出，即可求解.
【详解】设，
则，即，
所以,
若,则，即左边为奇数，右边为偶数，不成立，
若，则，即左边为奇数，右边为偶数，不成立，
所以,即，
因为，
且满足，
所以包含了的个元素外，
还包含个属于而不属于的元素，
当时，则,
如，符合题意.
当时，则,
如，符合题意.
所以的最大值为，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查交集与并集的混合运算，及集合的元素个数与集合子集间的关系，解题的关键由已知条件求，再分和讨论，体现了分类讨论的数学思想方法，难度较大.
11．BD
【分析】根据戴德金分割的定义，结合选项，分别举例，判断正误.
【详解】对于A，因为，所以A错误．
对于B，设，满足戴德金分割，则有一个最大元素1，没有最小元素，所以B正确．
对于C，若有一个最大元素，有一个最小元素，则不能同时满足，所以C错误．
对于D，设，满足戴德金分割，此时中没有最大元素，中也没有最小元素，所以D正确．
故选：BD
12．ABD
【分析】由已知，利用两点间距离公式，可得动点的轨迹方程，即可判断A；由对称性代入即可判断B；在的轨迹方程中令，可解出，即可判断C；由三角形的面积公式，即可判断D.
【详解】设，由，
得，
化简得，故A正确；
该方程中把改为或把改为方程均不变，故B正确；
在方程中，令得，
当时，或，当时，，当时，，故C不正确；
，故D正确.
故选：ABD.
13．BD
【分析】当时，判断是否成立判断A；将点代入方程，判断与原方程是否相同，从而判断B；举反例判断C；联立直线和曲线方程，判断方程组是否有解判断D.
【详解】当时， 方程为，
当时，，故第三象限内的点不可能在曲线上，故A错误；
将点代入曲线方程得，故曲线关于直线对称，故B正确；
当，联立，
其中，
将代入得，即，则方程组无解，
故曲线与直线无公共点，故C错误；
联立，得，
设， ，
当时， 在单调递增， 单调递减，
则值域为，所以有解成立；
当时，成立；
当时， ，单调递增，
又 ，
所以成立，
所以曲线与直线一定有公共点，故D正确.
故答案为：BD
【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键是熟练掌握三次函数的性质，从而利用导数分类讨论研究其零点，从而得解.
14．ACD
【分析】对A、B：借助导数求导后即可得；对C：借助双曲正弦函数与双曲余弦函数将双曲正切函数化简后，结合指数函数性质即可得；对D：借助双曲正弦函数与双曲余弦函数，分别将等式左右两边化简即可得.
【详解】对A：令，
则恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故A正确；
对B：令，
则，由A知，为增函数，又，
故当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，故B错误；
对C：，
由在上单调递增，且，
故是增函数，故C正确；
对D：由C知，则，
，
故，故D正确.
故选：ACD.
15．ABD
【分析】A选项直接通过题目中给出的条件进行判断；B选项联立直线抛物线求出A点坐标，求导确定斜率，写出切线方程进行判断；C选项令，进行判断；
D选项根据条件依次求出各点坐标，分别计算三角形的面积进行判断.
【详解】
A选项：内接三角形的面积，正确；
B选项：，解得，又A为第一象限的点，，
，，故切线方程为，即，正确；
C选项：由，得，令，，弓形面积为，
所以不等式不成立，错误；
D选项：由知，轴，，又的中点，，易求，， ，，因此成立，正确.
故选：ABD.
【点睛】本题需要依次判断四个选项，A选项直接利用定义判断，B选项关键在于按照切线方程的通用求法进行求解，C选项通过特殊值进行排除即可，
D选项关键在于求出各点坐标，再求三角形面积进行判断.
16．BCD
【分析】根据与的关系，化简可得，判断A，B；再由裂项相消法求判断C；利用放缩法判断D.
【详解】对于A，B，，
所以当时，，
又，则，
所以，故A错，B对；
对于C，，
，
，故C对；
对于D，，
，
当时，，
，
，故D对；
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是正确理解高斯函数，根据递推式，从而可归纳出通项公式，进而可求得答案.
17．ABD
【分析】根据两个向量叉乘的模的定义及向量数量积的运算逐个分析判断即可.
【详解】对于A，因为平行四边形的面积为4，所以，
所以，故A正确；
对于B，因为，
所以，所以B正确；
对于C，因为，，所以，，
所以，因为，所以，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为，所以C错误；
对于D，若，，且为单位向量，
则当，，，时，，
，
此时，所以D正确.
故选：ABD.
18．BC
【分析】对于B，利用代入易得；对于C，先求得三棱锥的体积，由球面的体积即得；对于A，由条件知三边为，推得排除A，对于D，由余弦定理和题设可得，取特殊值即可排除D.
【详解】对于A，因等边三角形的面积为，则，
又，故则，故A错误；
对于B，由可得，故，即B正确；
对于C，由可得，故.
由正弦定理，的外接圆半径为，点到平面ABC的距离，
则三棱锥的体积,
而球面的体积，故C正确；
对于D，由余弦定理可知由可得，，
即，化简得，．
取，则，则，故D错误．
故选：BC
19．ABD
【分析】A选项，分析得到其欧拉线过线段的中点，且与直线垂直，从而求出的欧拉线方程；B选项，根据的欧拉线与相切，列出方程，求出，得到圆M上的点到直线的最小值为圆心到直线的距离减去半径，求出答案；C选项，根据两圆有公共点，列出不等式组，求出；D选项，的几何意义为点与两点的斜率，数形结合得到当过的直线与相切，且斜率为正时，取得最大值，利用点到直线距离公式求出答案.
【详解】线段的中点坐标为，即，
直线的斜率为，
因为，所以为等腰三角形，
三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，其欧拉线过点，且与直线垂直，
故的欧拉线斜率为1，则方程为，即，A正确；
的欧拉线与相切，
故，
圆心到直线的距离为，
则圆M上的点到直线的最小距离为，B正确；
若圆与圆有公共点，则，解得：，C错误；
为点与两点的斜率，
当过的直线与相切，且直线的斜率为正时，取得最大值，
设直线，由，解得：，
故的最大值是，D正确.
故选：ABD
20．BCD
【分析】根据双曲函数的加法公式、函数的奇偶性、函数图象过交点以及不等式能成立问题逐项分析即可求得结果.
【详解】对于A，，
，
化简后得，故A错误；
对于B，的定义域为R，，所以是偶函数；
的定义域为R，，所以是奇函数，
所以函数为奇函数，故B正确；
对于C，因为直线与函数和的图象共有三个交点，在R上单调递增，即直线与函数只有一个交点，
所以直线与函数有两个交点，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，即，，解得，
所以，则，故C正确；
对于D，，，
令，则，所以在上单调递增，
则，
又，当且仅当时，等号成立，
所以最小值为1，
因为存在，关于的不等式恒成立，
所以，
所以的取值范围为，故D正确；
故选：BCD.
【点睛】本题考查了双曲函数的定义及相关性质、函数的奇偶性、函数的单调性、函数图象交点问题，以及运用基本不等式和求导求解，关键点有：
（1）判断奇偶性前先判断函数的定义域是否关于原点对称；
（2）运用基本不等式要注意“一正二定三相等”；
（3）根据导函数判断函数的单调性，求最值；
（4）恒成立问题与能成立问题作区分.
21．
【分析】根据离心率可得关于的方程，从而可求其值，根据角平分线的形状结合椭圆的定义可得的值.
【详解】因为是“黄金椭圆”，故，故，
连接，因为为内心，故为角平分线，
由角平分线性质，有，故，
故答案为：，.
22．
【分析】由题意对已知函数进行二次求导，由f″x=0，解得，求出f1，即可得到“拐点”的坐标；求出f′1，由点斜式可得，代入，可得存在，成立， 令，利用导数求出，即可得到实数的取值范围.
【详解】由题意，由函数，得，
则，由，解得，
又，
所以函数的“拐点”的坐标为；
由，得，
所以y=fx在点的切线方程为，即，
所以，
若存在，使不等式成立，
即若存在，使不等式成立，
即成立，即成立，
令，则，
由，得，
当时，h′x>0，函数hx单调递增，
当时，h′x