专题1　三角函数与解三角形【练】-2025年高考数学大题精做（题型破局）附答案解析

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（考向：边角计算问题）（24-25高三上·江苏·阶段练习）
1．记的内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求；
(2)若边上的高为，且，求.
（考向：周长问题）（24-25高三上·河北保定·期末）
2．在中，内角的对边分别为，已知.
(1)求角；
(2)若，求的周长.
（考向：面积问题）（24-25高三上·江苏·期末）
3．在中，，．
(1)若，求的值；
(2)若为锐角三角形，，求的面积．
（考向：最值范围问题）（24-25高三上·河北承德·期中）
4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，交AC于点，且．
(1)若，求的面积；
(2)求的最小值．
（考向：探索性问题 ）（2024·湖南长沙·一模）
5．在中，角，，所对的边长分别为，，，且满足.

(1)证明：；
(2)如图，点在线段的延长线上，且，，当点运动时，探究是否为定值？
（考向：边角计算问题）（24-25高三上·江苏盐城·期中）
6．在中，，，，点D在边上，为的平分线.
(1)求的长；
(2)若点P为线段上一点，且为等腰三角形，求的值.
（考向：周长问题）（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）
7．已知的内角的对边分别为，若.
(1)求；
(2)若，求的周长.
（考向：最值范围问题）（24-25高三上·山东烟台·期末）
8．在锐角中，角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求周长的取值范围.
（考向：面积问题）（24-25高三上·浙江·开学考试）
9．设中的内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若的周长为，求的面积.
（考向：探索性问题）（2024·四川自贡·一模）
10．如图，在平面四边形中，角.设.
(1)用表示四边形对角线的长；
(2)是否存在使四边形对角线最长，若存在求出及四边形对角线最长的值，若不存在请说明理由.
（押题点：三角形面积、正弦定理、余弦定理的应用，边角计算的基本问题）
11．已知的内角的对边分别为，且．
(1)证明：为钝角三角形．
(2)若的面积为，求．
（押题点：边角计算问题，与图形几何特征、平面向量的应用结合，体现新课标要求）（2024·新疆·模拟预测）
12．在中，角的对边分别为，是的平分线，是边的中线，．
(1)求；
(2)求的长．
（押题点：综合考查正弦定理求外接圆半径、正弦定理边角互化、三角形面积公式、余弦定理的应用）（2024·四川眉山·一模）
13．已知的内角A，B，C的对边分别为，，，且.
(1)求的大小；
(2)若的面积为，求外接圆的直径.
（押题点：周长、面积、最值问题，突出正弦定理、余弦定理的综合应用 ）（24-25高三上·江苏·阶段练习）
14．在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)若，求周长的最大值；
(2)若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围．
（押题点：探索性问题，三角形特征、最值、三角恒等变换、正弦定理应用，体现综合性）（24-25高三上·江苏扬州·期中）
15．在中，内角，，的对边分别为，，，.
(1)判断的形状；
(2)已知，，，点、是边上的两个动点（、不重合，且点靠近，点靠近）.记，.
①当时，求线段长的最小值；
②是否存在常数和，对于所有满足题意的、，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由.
参考公式：，.
《专题1 三角函数与解三角形【练】--大题精做（题型破局）》参考答案：
1．(1)；
(2).
【分析】（1）解法一：由已知条件结合正弦定理、两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
解法二：由已知条件结合余弦定理可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）由三角形的面积公式可得出，利用余弦定理结合已知条件可得出关于的方程，即可解得的值.
【详解】（1）解法一：由及正弦定理得，
所以，
即，即，
因为、B∈0,π，则，
所以，所以；
解法二：由及余弦定理得，
所以，即，所以，
又，所以.
（2）记边上的高为，则，
由（1）得，所以，
所以由余弦定理可得，
所以，所以，所以或（舍），故.
2．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理结合两角差的余弦展开式化简后再利用特殊角的正切值求出即可；
（2）由正弦定理和余弦定理结合题意求解即可；
【详解】（1）在中，由正弦定理得，
又因为，所以，
所以，
化简得，又因为，所以.
（2）在中，由正弦定理得，，
因为，所以，
在中，由余弦定理得，即，
所以，所以，
所以，所以周长为.
3．(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式以及正弦定理即可求得结果.
（2）利用同角三角函数的平方关系先求出的值，再正弦定理即可求得，
进而求得,利用三角形的面积公式即可求的结果.
【详解】（1）因为，所以，
所以，在中，由正弦定理得，
而，，所以．
因为，所以．
（2）在中，因为，所以，
由正弦定理得，所以，
因为为锐角三角形，所以，
所以
，
所以的面积．
4．(1)
(2)
【分析】（1）在中利用余弦定理得到，然后利用三角形面积公式计算；
（2）利用面积相等的思路得到，然后利用基本不等式求最值即可.
【详解】（1）
由，，可得．
在中，由余弦定理得，即，可得．
故．
（2），
，，
，
．
，
当且仅当，即，时，等号成立．
故的最小值为．
5．(1)证明见解析
(2)为定值.
【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理的边角变换即可得证；
（2）利用诱导公式与余弦定理，结合（1）中结论化得，从而得解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
再由余弦定得得，整理得.
（2）因为互补，所以，
结合余弦定理可得，
因为，，则，
整理得，又，
则，
从而，故为定值.
6．(1)
(2)
【分析】（1）由，结合面积公式即可得出答案；
（2）由余弦定理和角平分线定理可得，即可求出，为等边三角形，再由余弦定理和同角三角函数的基本关系即可得答案.
【详解】（1）因为为的平分线，所以，
所以，
所以，
所以，即，
可得：.
（2）由余弦定理可得：，
所以，所以，
由角平分线定理可得：，又因为，
所以，又因为，，
所以，所以，
又因为为等腰三角形，，所以为等边三角形，
所以，则为的中点，在中，
由余弦定理可得
，所以，
所以，在中，
由余弦定理可得，
因为，所以，
所以.
7．(1)或；
(2).
【分析】（1）应用辅助角公式得出再结合角的范围求角；
（2）根据正弦定理和三角形内角和化简得出即可求角，最后应用正弦定理角化边得出周长即可.
【详解】（1）依题意，，
所以，
因为，所以或，所以或.
（2）由，
根据正弦定理和三角形内角和定理可得，
又，所以，即，
又，所以，
在中，因为，则，所以，
所以.
根据正弦定理可得，即，
所以，
所以的周长为.
8．(1)
(2)
【分析】（1）利用给定条件结合余弦定理求解角度即可.
（2）利用正弦定理边化角，再结合三角形周长公式将目标式用三角函数表示，利用三角函数的性质求解取值范围即可.
【详解】（1）在锐角中，因为，
所以由正弦定理得，故，
得到，化为，
故得，化简得，
即，由余弦定理得，
因为，所以.
（2）因为，由正弦定理得，
所以，且设周长为，
所以，
，
，
因为在锐角中，所以，
所以，解得，
综上可得，所以，
故，则，
得到，即，
故周长的取值范围为.
9．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，求得，进而得到，即可求得的值；
（2）根据题意，得到，再由（1）和余弦定理，求得，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：因为，可得，
由正弦定理得，
又因为，可得，
所以，
即，
因为，可得，所以，即，
可得，即，
因为，所以，解得.
（2）解：因为的周长为，可得，
由（1）知，由余弦定理得，
可得，解得，
所以的面积为.
10．(1)
(2)存在，，的最大值为
【分析】（1）根据余弦定理求得关于的表达式.
（2）根据三角函数的最值等知识求得正确答案.
【详解】（1）设，在三角形中，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
在中，，所以，
在三角形中，
由余弦定理得
.
（2）存在，理由如下：
由（1）得，
所以当时，取得最大值为，
此时.
11．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）由正弦定理可得，再由余弦定理即可证明；
（2）由三角形的面积公式可得，再由余弦定理可得，解方程即可求出.
【详解】（1）证明：因为，所以，
所以，所以为钝角，故为钝角三角形．
（2）解：因为的面积，
所以．
由（1）知，所以，
由余弦定理，得，
结合，解得．
12．(1)
(2),
【分析】（1）根据余弦定理即可求解，
（2）根据余弦定理可得，进而根据等面积法即可求解，利用向量的模长公式即可求解.
【详解】（1）由余弦定理可得，
进而可得，解得或（舍去），
（2）由余弦定理可得，
由于
由题意知，设，则，则，
如图所示，
由可得，
所以,解得，
由是边上的中线，得
.
所以，中线长.
13．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理得，设，，进而结合余弦定理即可求解；
（2）结合题意，由三角形的面积公式可得，进而（1）所设，求出，进而结合正弦定理求解即可.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，，
不妨设，，
则由余弦定理得，，
又，则.
（2）设外接圆的半径为，
由题意，，即，
由（1）知，设，，
则，解得，
则，所以，
则外接圆的直径为.
14．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边角互换，代入已知条件，可以求得，再结合余弦定理和基本不等式即可求得最值；
（2）通过等面积法，用两种方法表示三角形的面积即可求得三边之间的关系，用正弦定理将边化为角，用辅助角公式化简，借助角的范围来求得最值.
【详解】（1）由和正弦定理，三角形面积公式得，，因，故得，，
由余弦定理，，因，则；·
由余弦定理，，即，
整理得，，当且仅当时等号成立，即，
于是，，即当时，周长的最大值为；
（2）由可得，
由正弦定理，，即得，，，·
则
，
由为锐角三角形可得，，解得，
则，由正弦函数的图象知，，故得，
即面积的取值范围为.
15．(1)直角三角形或等腰三角形
(2)①；②成立，，
【分析】(1)利用三角形的内角和定理和诱导公式将化为，再利用两角和差公式和二倍角公式进行化简可得，进而可得结果；
(2)①设，，
方法一：在中利用正弦定理求出,，再利用三角形的面积公式和三角函数的性质进行求解；
方法二：在中，利用正弦定理求出,，再利用三角形的面积公式和三角函数的性质进行求解；
方法三：在中，利用正弦定理求出,，再利用三角形的面积公式和三角函数的性质进行求解；
②假设存在常数和，利用三角恒等变形得到恒等式，将其转化为进行求解.
【详解】（1）在中，因为，且，
所以，
即，，
所以或者.
当时，所以，为直角三角形；
当时，所以，为等腰三角形.
综上所述，为直角三角形或等腰三角形.
（2）①因为，所以，又，，所以，.
如图，设，，
方法一：在中，由正弦定理，得，
所以.
在中，由正弦定理，得，
所以
.
因为，所以，
故当，即时，.
方法二：在中，由正弦定理，得，所以.
在中，由正弦定理，得，
所以
.
因为，所以，
故当，即时，.
方法三：在中，由正弦定理，得，
所以.
在中，由正弦定理，得，
所以.
所以
，
因为，所以，
故当，即时，.
②假设存在常数，，对于所有满足题意的，，
都有成立，
则存在常数，，对于所有满足题意的，，利用参考公式，有
.
由题意，是定值，所以，是定值，
对于所有满足题意的，成立，故有，
因为，从而，
即，，所以.
故，.