2024-2025学年福建省莆田市高二上册第一次月考数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年福建省莆田市高二上册第一次月考数学检测试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了 直线的倾斜角的大小是， 空间向量在上的投影向量为， 如图，是的重心，，则， 已知，，则最小值等于， 已知、、，则等内容，欢迎下载使用。
一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 直线的倾斜角的大小是（ ）
A. B. C. D.
2. 空间向量在上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
3. 若直线y＝－ax－与直线y＝3x－2垂直，则a的值为 ( )
A. －3B. 3C. －D.
4. 已知，，三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与，，三点共面，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，是的重心，，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ）

A. B. C. 4D. 2
7. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2正方形，，M，N分别是，AB的中点，设点P是线段DN上的动点，则MP的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，，则最小值等于（ ）
A. B. 6C. D.
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分.）
9. 已知、、，则（ ）
A. 直线的方程为
B. 点到直线的距离为
C. 等腰直角三角形
D. 的面积为
10. 已知集合直线，其中是正常数，，下列结论中正确的是（ ）
A. 当时，中直线斜率为
B. 中所有直线均经过同一个定点
C. 当时，中的两条平行线间的距离的最小值为
D. 中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面
11. 材料：在空间直角坐标系中，经过点且法向量的平面的方程为，经过点且方向向量的直线方程为．
阅读上面材料，并解决下列问题：平面的方程为，平面的方程为，直线的方程为，直线的方程为，则（ ）
A. 平面与垂直
B. 平面与所成角的余弦值为
C. 直线与平面平行
D. 直线与是异面直线
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知向量，，，若，则实数______.
13. 已知直线ax+by-2=0，且3a-4b=1，则该直线必过定点_____.
14. 如图，正方形和正方形的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，，分别是，上的动点，且，则的最小值是________．
四､解答题（本大题共5小题，共77分）
15. 已知直线：，直线.
（1）若，求实数a的值；
（2）直线与坐标轴正半轴围成的三角形面积为，求直线的斜率.
16. 已知直线过点且在轴上的截距相等
（1）求直线的一般方程；
（2）若直线在轴上的截距不为0，点在直线上，求的最小值．
17 如图1，平面图形由直角梯形和拼接而成，其中，，，，，与相交于点，现沿着将其折成四棱锥（如图2）．
（1）当侧面底面时，求点到平面的距离；
（2）在（1）的条件下，线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18. 《九章算术》是我国古代的一部数学经典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵中，，，，，为棱的中点，为棱的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的正切值；
（3）求与平面所成角的正弦值．
19. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系中的点，则满足的动点的轨迹记为圆.
（1）求圆的方程；
（2）若直线为，证明：无论为何值，直线与圆恒有两个交点；
（3）若点，当在上运动时，求的最大值和最小值。
2024-2025学年福建省莆田市高二上学期第一次月考数学
检测试卷
一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 直线的倾斜角的大小是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】利用直线斜率与倾斜角关系计算即可.
【详解】由题意可知该直线的斜率为，所以其倾斜角为.
故选：B
2. 空间向量在上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据投影向量公式计算即可.
【详解】，，
由投影向量的定义和公式可知在的投影向量为，
故选：C.
3. 若直线y＝－ax－与直线y＝3x－2垂直，则a值为 ( )
A. －3B. 3C. －D.
【正确答案】D
【详解】由题意得直线垂直的充要条件为：，得－a×3＝－1，∴a＝23.
故答案选D．
4. 已知，，三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与，，三点共面，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据点与，，三点共面，可得，从而可得答案.
【详解】因为，，三点不共线，点与，，三点共面，
又，
所以，解得.
故选：A.
5. 如图，是的重心，，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据向量的线性运算的定义及重心的性质可得，利用表示可得结论.
【详解】是的重心，，
，，
，，，
，
．
故选：D．
6. 如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ）

A. B. C. 4D. 2
【正确答案】C
【分析】根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由二面角的平面角的定义知，
∴，
由，得，又，
∴
，
所以，即.
故选：C.
7. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的正方形，，M，N分别是，AB的中点，设点P是线段DN上的动点，则MP的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，根据两点距离公式表示，利用二次函数求值域，即可得到本题答案.
【详解】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为底面ABCD是边长为2的正方形，，所以，
∵点在平面上，∴设点的坐标为，
∵在上运动，∴ ，∴，∴点的坐标为，
∴，
∵，∴当时， 取得最小值.
故选：D
8. 已知，，则的最小值等于（ ）
A. B. 6C. D.
【正确答案】D
【分析】令，，得到点，分别在直线，上，设线段的中点为，则，且点在直线上，将所求问题，转化为点到原点的距离的倍，根据点到直线距离公式，即可求出结果.
【详解】令，，由已知可得点，分别在直线，上，
设线段的中点为，则，
到原点的距离，
依题意点在直线上，
所以点到原点的最小距离即为原点到直线的距离，为，
因此的最小值为，因此的最小值等于.
故选：D.
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分.）
9. 已知、、，则（ ）
A. 直线的方程为
B. 点到直线的距离为
C. 为等腰直角三角形
D. 的面积为
【正确答案】ABC
【分析】利用截距式方程可判断A选项；利用点到直线的距离公式可判断B选项；利用斜率关系以及两点间的距离公式可判断C选项；利用三角形的面积公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，直线的方程为，整理得，A对；
对于B选项，直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
则点到直线距离为，B对；
对于C选项，，，则，
所以，又，，
所以，所以为等腰直角三角形，C对；
对于D选项，的面积为，D错误.
故选：ABC.
10. 已知集合直线，其中是正常数，，下列结论中正确的是（ ）
A. 当时，中直线的斜率为
B. 中所有直线均经过同一个定点
C. 当时，中的两条平行线间的距离的最小值为
D. 中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面
【正确答案】AC
【分析】代入特殊值求出直线判断A，利用平行线间距离公式结合放缩法求解最值判断C，举反例判断B，D即可.
【详解】对于A，当时，，中直线的方程为，
即，故其斜率为，故A正确；
对于B，当时，直线方程为，该直线必过，
当时，直线方程为，化简得，不一定过，故B错误，
对于C，当时，中的两条平行直线间的距离为，
而，则，
故，即最小值为，故C正确；
对于D，点不满足方程，所以中的所有直线不可覆盖整个平面，故D错误，
故选：AC.
11. 材料：在空间直角坐标系中，经过点且法向量的平面的方程为，经过点且方向向量的直线方程为．
阅读上面材料，并解决下列问题：平面的方程为，平面的方程为，直线的方程为，直线的方程为，则（ ）
A. 平面与垂直
B. 平面与所成角的余弦值为
C. 直线与平面平行
D. 直线与是异面直线
【正确答案】AD
【分析】首先确定平面的法向量和直线的方向向量；由可知A正确；利用线面角的向量求法可知B错误；由及直线所过点在平面内，可知，得C错误；由与不平行及直线方程构成的方程组无解可知两直线异面，则D正确.
【详解】由材料可知：平面的法向量，平面的法向量，直线的方向向量，直线的方向向量；
对于A，，，则平面与垂直，A正确；
对于B，，
平面与所成角的余弦值为，B错误；
对于C，，，直线平面或直线平面，
直线过点，又满足，直线平面，C错误；
对于D，与不平行，直线与直线相交或异面，
由得：，此时无解，直线与直线无交点，
直线与直线是异面直线，D正确.
故选：AD.
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知向量，，，若，则实数______.
【正确答案】
【分析】先根据坐标运算求出的坐标，然后利用数量积的坐标运算公式直接求解即可.
【详解】因为，，所以，又，
所以，解得.
故
13. 已知直线ax+by-2=0，且3a-4b=1，则该直线必过定点_____.
【正确答案】(6，-8)
【分析】由已知得b=，代入到直线方程中得a(4x+3y)=y+8，根据运算法则：零乘以任何数都得零，联立方程组解之可得该直线过定点.
详解】由3a-4b=1，得b=，代入ax+by-2=0，得a(4x+3y)=y+8，
令解得，所以该直线过定点(6，-8).
故(6，-8).
本题考查直线的恒过定点，属于中档题.
14. 如图，正方形和正方形的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，，分别是，上的动点，且，则的最小值是________．
【正确答案】##
【分析】利用二面角的定义证得就是二面角的平面角，即为，再利用空间向量将的长转化为的模求解，利用空间向量的线性运算和数量积、一元二次函数的图象与性质运算即可得解.
【详解】解：连接，如下图，

由题意，，，正方形中，
正方形中，平面，平面，
平面平面，
∴就是二面角的平面角，则，
∴向量与向量夹角为，且，，
设，，，则，
且由题意，
∴
，
∴
，
令，，图象开口向上，且对称轴为，
∴当时，取得最小值，
即最小值为，
∴的最小值是.
故答案为.
四､解答题（本大题共5小题，共77分）
15. 已知直线：，直线.
（1）若，求实数a的值；
（2）直线与坐标轴正半轴围成的三角形面积为，求直线的斜率.
【正确答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）根据直线垂直的判定列方程求参数；
（2）由题意，分别求x、y轴上的截距，结合三角形面积求得，代入直线即可得斜率.
【小问1详解】
由知：，可得.
【小问2详解】
由直线与坐标轴正半轴围成三角形，故，
令，可得；令，可得，
所以，可得，故，
故直线的斜率为.
16. 已知直线过点且在轴上的截距相等
（1）求直线一般方程；
（2）若直线在轴上的截距不为0，点在直线上，求的最小值．
【正确答案】（1）或；
（2）.
【分析】（1）通过讨论直线截距为0和截距不为0时的情况，即得；
（2）由题可知 ，根据基本不等式即得．
【小问1详解】
因为直线过点且在轴上的截距相等，
当截距为0时，则；
当截距不为0时，可设，
则，即，
∴；
综上，的一般方程：或；
【小问2详解】
由题意得，
，
，当且仅当时，等号成立，
的最小值为.
17. 如图1，平面图形由直角梯形和拼接而成，其中，，，，，与相交于点，现沿着将其折成四棱锥（如图2）．
（1）当侧面底面时，求点到平面的距离；
（2）在（1）的条件下，线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【正确答案】（1）
（2）存在；
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得点到平面的距离.
（2）设，求得点坐标，利用二面角的余弦值列方程，求得，进而求得.
【小问1详解】
∵，，∴．
如下图所示，连接，则,
所以，
所以，
结合折叠前后图形的关系可知，故四边形为正方形，
∴，即为的中点，∴，∴．
∵侧面底面，侧面底面，
∴平面，
易知，，两两垂直．
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，如下图所示，
则，，，，，
∴，，．
设平面的法向量为，
则，取，得，，
则为平面的一个法向量，
则点到平面的距离．
【小问2详解】
假设存在满足题意的点，且（）．
∵，∴，
∴，
∴．
设平面的法向量为，
又∵，，
∴，
取，则，，
取为平面的一个法向量．
易知平面的一个法向量为，
∵二面角的余弦值为，
∴，
化简，得，
解得或（舍去）．
∴线段上存在满足题意的点，且．
18. 《九章算术》是我国古代的一部数学经典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵中，，，，，为棱的中点，为棱的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的正切值；
（3）求与平面所成角的正弦值．
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）二面角的正切值为；
（3）与平面所成角的正弦值为.
【分析】（1）先证明，根据线面平行判定定理证明平面，再证明平面，根据面面平行判定定理证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，结合向量夹角公式求二面角的余弦值，根据同角关系求结论；
（3）求直线的方向向量和平面的法向量，由线面夹角公式求结论.
【小问1详解】
由已知，，
因为为棱的中点，为棱的中点，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面，
连接，因为，，
因为为棱的中点，为棱的中点，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，，
又，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
又，平面，
所以平面平面.
【小问2详解】
由已知平面，平面，
所以，又，
所以直线两两垂直，
以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则
A3,0,0，，，，，
所以，，
设平面的法向量为m=x,y,z，则
，所以，
取，可得，，
所以为平面的一个法向量，
又为平面的 法向量，
设二面角的平面角为，
所以，
观察可得，所以，
所以，
所以二面角的正切值为.
【小问3详解】
因为，，
所以，
因为平面平面，为平面的一个法向量，
所以为平面的一个法向量，
设与平面所成角为，
所以，
所以与平面所成角的正弦值为.
19. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系中的点，则满足的动点的轨迹记为圆.
（1）求圆的方程；
（2）若直线为，证明：无论为何值，直线与圆恒有两个交点；
（3）若点，当在上运动时，求的最大值和最小值.
【正确答案】（1）
（2）证明见解析 （3）最小值，最大值为
【分析】（1）设点Px,y，根据，列出方程，即可求得圆的方程求圆的方程；
（2）求出直线过定点，根据定点在圆内可得答案；
（3）设，由两点间距离公式计算，再由辅助角公式计算可得答案.
【小问1详解】
设Px,y，由，且，
可得，
整理得，所以圆的方程为；
【小问2详解】
由直线方程为得，
解得，所以直线过定点，
由，得点在圆内，
所以无论为何值，直线与圆恒有两个交点；
【小问3详解】
设，
，
其中，
因为，
所以当时，有最小值为，
当时，有最大值为.
关键点点睛：第三问解题的关键点是设，再由两点间距离公式计算