2024-2025学年山西省晋城市高三上册9月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年山西省晋城市高三上册9月月考数学检测试题（含解析），共28页。试卷主要包含了 若复数，则的实部为， 已知，则， 若，则， 已知，双曲线C等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题：共58分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数，则的实部为（ ）
A. 1B. -1C. 2D. -2
2. 集合，，，则集合中的元素个数为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知平面向量、满足，若，则与的夹角为（ ）
A B. C. D.
4. 已知，则（ ）
A. 7B. -7C. D.
5. 若，则（ ）
A 180B. C. D. 90
6. 已知函数的图象关于点对称，且在上没有最小值，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 某种用保温材料制成的管道在单位长度上的热损失单位：满足，其中分别为管道的内外半径（单位：），分别为管道内外表面的温度（单位：），为保温材料的导热系数（单位：），某工厂准备用这种管道传输的高温蒸汽，根据安全操作规定，管道外表面温度应控制为，已知管道内半径为，当管道壁的厚度为时，，则当管道壁的厚度为时，约为（ ）
参考数据.
A. B. C. D.
8. 在三角形中，角，，的对边分别为，，且满足，，则面积取最大值时，（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分､在每小题给出的四个进项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设，是两个平面，，是两条直线，下列命题正确的是（ ）
A. 如果，，那么.
B. 如果，，那么.
C. 如果，，，那么.
D 如果内有两条相交直线与平行，那么.
10. 已知，双曲线C：，则（ ）
A. 可能是第一象限角B. 可能是第四象限角
C. 点1,0可能在C上D. 点0,1可能在C上
11. 已知函数，则（ ）
A. 函数在上单调递减
B. 函数为奇函数
C 当时，函数恰有两个零点
D. 设数列是首项为，公差为的等差数列，则
第Ⅱ卷（非选择题：共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则______.
13. 在中，若，则______.
14. 已知，函数恒成立，则的最大值为______.
四､解答题：本题共77分，解答题应写出文宇说明､证明过程和演算步骤.
15. 已知内角的对边分别为，，，点是边的中点，，且的面积为2．
（1）若，求；
（2）若，求．
16. 如图，多面体中，为正方形，，二面角的余弦值为，且.
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
17. 如图，在平面直角坐标系中，和是轴上关于原点对称的两个点，过点倾斜角为的直线与抛物线交于两点，且．
（1）若为的焦点，求证：；
（2）过点作轴的垂线，垂足为，若，求直线的方程．
18. 现有n枚质地不同的游戏币，向上抛出游戏币后，落下时正面朝上的概率为.甲、乙两人用这n枚游戏币玩游戏.
（1）甲将游戏币向上抛出10次，用表示落下时正面朝上的次数，求的期望，并写出当为何值时，最大（直接写出结果，不用写过程）；
（2）甲将游戏币向上抛出，用表示落下时正面朝上游戏币的个数，求的分布列；
（3）将这枚游戏币依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由.
19. 已知 为坐标原点，曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线平行，且两切线间的距离为，其中 .
（1）求实数 的值;
（2）若点 分别在曲线 上，求 与 之和的最大值;
（3）若点 在曲线 上，点 在曲线 上，四边形 为正方形，其面积为，证明:
附:ln2 ≈ 0.693.
2024-2025学年山西省晋城市高三上学期9月月考数学检测试题
本试卷分和两部分，满分150分，时间120分钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案标号涂､写在答题纸上.
第I卷（选择题：共58分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数，则的实部为（ ）
A. 1B. -1C. 2D. -2
【正确答案】C
【分析】将复数的分子分母同乘以分母的共轭复数，化简整理即得.
【详解】由，可得的实部为2.
故选：C.
2. 集合，，，则集合中的元素个数为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】解不等式，得出整数的取值，即可得解.
【详解】解不等式，可得，
所以，整数的取值有、、，
又因为集合，，
则，即集合中的元素个数为.
故选：B.
3. 已知平面向量、满足，若，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】依题意可得，根据数量积运算律求出，再由夹角公式计算可得.
【详解】因为，且，所以，即，
所以，
设与的夹角为，则，因为，
所以，即与的夹角为.
故选：D
4. 已知，则（ ）
A. 7B. -7C. D.
【正确答案】D
【分析】由可求，再由两角和的正切可求.
【详解】因为，故，
故，而，故，故，
而，故，所以，
故，故，
故选：D.
5. 若，则（ ）
A. 180B. C. D. 90
【正确答案】A
【分析】根据题意可知将二项式变形可得，求得含的项即可得出结果.
【详解】易知，
其中展开式中含项为，
因此.
故选：A
6. 已知函数的图象关于点对称，且在上没有最小值，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】先化简解析式，根据对称性可得，再结合最小值点即可求解.
【详解】，
因为的图象关于点对称，
所以，
故，即，
当，即时，函数取得最小值，
因为在上没有最小值，
所以，即，
由解得，故，得.
故选：B
7. 某种用保温材料制成的管道在单位长度上的热损失单位：满足，其中分别为管道的内外半径（单位：），分别为管道内外表面的温度（单位：），为保温材料的导热系数（单位：），某工厂准备用这种管道传输的高温蒸汽，根据安全操作规定，管道外表面温度应控制为，已知管道内半径为，当管道壁的厚度为时，，则当管道壁的厚度为时，约为（ ）
参考数据.
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据题意将已知数据代入求得的值，再代入即可得解.
【详解】由题意可得，，，，，
代入得，得出；
则当管道壁的厚度为时，，
则
.
故选：B，
8. 在三角形中，角，，的对边分别为，，且满足，，则面积取最大值时，（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】先根据条件，结合正、余弦定理，得到角的关系，再用角的三角函数表示的面积，换元，利用导数的分析面积最大值，对应的角的三角函数值，再利用角的关系，求.
【详解】因为，
又由余弦定理：，所以，
所以.
由正弦定理得：，
所以或（舍去），故.
因为，所以.
由正弦定理.
所以.
因为，所以.
设，.
则，
由，
由，
所以在上单调递增，在上递减，
所以当时，有最大值.
即当时，的面积最大.
此时
.
故选：A
关键点点睛：本题用到了三倍角公式，因为有些教材不讲这个公式，所以该公式的记忆或推导在该题中就格外重要.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分､在每小题给出的四个进项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设，是两个平面，，是两条直线，下列命题正确的是（ ）
A. 如果，，那么.
B. 如果，，那么.
C. 如果，，，那么.
D. 如果内有两条相交直线与平行，那么.
【正确答案】ABD
【分析】由立体几何知识对选项逐一判断
【详解】对于A，由线面垂直的性质知A正确
对于B，由面面平行的性质知B正确
对于C，若，，，可得或，而位置关系不确定，故C错误
对于D，由面面平行的判定定理知D正确
故选：ABD
10. 已知，双曲线C：，则（ ）
A. 可能是第一象限角B. 可能是第四象限角
C. 点1,0可能在C上D. 点0,1可能在C上
【正确答案】BD
【分析】根据双曲线标准方程的特征，可得，即在第三象限或第四象限，分情况讨论得解.
【详解】根据题意，可得，即，即且，
所以在第三象限或第四象限.故A错误，B正确；
当在第三象限时，有，，，
双曲线方程为，当即，时，方程为，
所以点在双曲线上，故D正确；
当在第四象限时，有，，，
双曲线方程为，因为，所以点不在双曲线上，故C错误.
故选：BD.
11. 已知函数，则（ ）
A. 函数在上单调递减
B. 函数为奇函数
C. 当时，函数恰有两个零点
D. 设数列是首项为，公差为的等差数列，则
【正确答案】BCD
【分析】利用三角恒等变换化简，再利用正弦函数单调性奇偶性判断ABC，利用裂项相消及累加求和判断D.
【详解】易知，
同理，
对A, 先减后增，故A错误；
对B, 为奇函数，故B正确；
对C, ,则在单调递增，
在单调递减，即在单调递增，在单调递减，
又，
，
故函数恰有两个零点，故C正确；
对D,易知，令，则，
，
,
……………………..
,
则，
故，故D正确.
故选：BCD.
关键点点睛：本题考查三角函数的性质及数列求和应用，关键是利用利用裂项相消及累加求和判断D.
第Ⅱ卷（非选择题：共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则______.
【正确答案】
【分析】利用两角和差的正切公式计算，再使用二倍角的正切公式即可.
【详解】由，
且，
得，
整理得，
解得（舍）或，
所以．
故答案为.
13. 在中，若，则______.
【正确答案】
【分析】根据题意，求得和，设为线段上靠近的四等分点，得到，设，求得，即可求解.
【详解】由，可得，
即，可得，所以，
又由，可得，即，
设为线段上靠近的四等分点，则，
设，则，
所以，则，
所以.
故答案为.
14. 已知，函数恒成立，则的最大值为______.
【正确答案】7
【分析】当为正偶数时，不符合题意，当为正奇数时，只需研究 时，分离参数得恒成立，设，利用导数求的最小值可解.
【详解】当为正偶数时，
当时，，不符合题意，所以为正奇数，
则当时，恒成立，
只需研究 时，恒成立即可，
当时，成立，
则当时，因为此时小于0，所以恒成立，
当时，恒成立，
设，则，
令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，又因为为正奇数，
所以的最大值为7.
故7
思路点睛：分为奇数、偶数进行讨论，之后采用分离参数的方法求参数的最值.
四､解答题：本题共77分，解答题应写出文宇说明､证明过程和演算步骤.
15. 已知的内角的对边分别为，，，点是边的中点，，且的面积为2．
（1）若，求；
（2）若，求．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由题意得，再用三角形面积公式可解得的值，在中，由余弦定理可求出的值，继而可求出；
（2）利用与的互补关系，在和中运用余弦定理，结合题意可得的值，由面积公式可得，再由余弦定理可得，从而可得的值，由的范围即可求解.
【小问1详解】
因为点是边的中点，所以．
而，
由，，解得．
在中，由余弦定理，，
解得，则．
【小问2详解】
在中，由余弦定理，，
在中，由余弦定理，，
而，，，
所以，解得．
又，得，
在中，由余弦定理，，
得，
所以，
，
则．
16. 如图，多面体中，为正方形，，二面角的余弦值为，且.
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）通过证明AD⊥DE，，推出平面，得到平面平面；
（2）由（1）知，是二面角的平面角．以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【小问1详解】
证明：∵，由勾股定理得：，
又正方形中，且，平面
∴平面，
又∵面，
∴平面平面
【小问2详解】
解：由（1）知是二面角的平面角
作于，则
且由平面平面，平面平面，面
所以，面
取中点，连结，则，如图，建立空间直角坐标系 ，
则
∴
又，知的一个方向向量是
设面法向量，则
取，得
又面一个法向量为，
∴
设平面与平面所成锐二面角为，则
平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
17. 如图，在平面直角坐标系中，和是轴上关于原点对称的两个点，过点倾斜角为的直线与抛物线交于两点，且．
（1）若为的焦点，求证：；
（2）过点作轴的垂线，垂足为，若，求直线的方程．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）．
【分析】（1）将转化为(坐标表示),从而求出点的坐标即可解答；或者由，可看作是以为直径的圆与抛物线交点，从而求出的坐标即可解答；
（2）由，易得，即，所以点必在中垂线上，联立直线与抛物线方程，再结合即可求解.
【小问1详解】
法一：
由题可知，，
设，，
则，．
因为，故，
解之得，．
，
．
．
法二：
由题可知，，
设点，因为，故点在圆上，
又因为点也在上，联立与得
．
解之得．
因为，故．
故，．
．
．
【小问2详解】
因，，
所以，故．
所以点必在中垂线上．
方法一：
设，直线的方程为，，．
将代入
得：
，，．
因为点在中垂线上，故．
所以，即，左右两边同时除以得，解得：或，又因为
所以，．
因为，所以即．
所以，，，．
所以直线的方程为
即．
方法二：
设，直线的方程为，，，
将代入
得：
，，．
因点必在中垂线上，且,
所以点为的中点，故，．
因为，所以即．
所以，，．
所以直线的方程为．
即．
18. 现有n枚质地不同的游戏币，向上抛出游戏币后，落下时正面朝上的概率为.甲、乙两人用这n枚游戏币玩游戏.
（1）甲将游戏币向上抛出10次，用表示落下时正面朝上的次数，求的期望，并写出当为何值时，最大（直接写出结果，不用写过程）；
（2）甲将游戏币向上抛出，用表示落下时正面朝上游戏币的个数，求的分布列；
（3）将这枚游戏币依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由.
【正确答案】（1），
（2）分布列见解析 （3）公平，理由见解析
【分析】（1）依题意可得随机变量服从二项分布，即可得出期望值，依据二项式性质可得时，最大.
（2）写出的所有可能取值，求出对应概率即可求得分布列；
（3）根据题意可求得，可知游戏规则是公平的.
【小问1详解】
依题意得：每次抛游戏币落下时正面向上的概率均为，
故，于是，
当时，最大.
【小问2详解】
记事件为“第枚游戏币向上抛出后，正面朝上”，
则，Y可取.由事件相互独立，
则.
；
；
；
故分布列为：
【小问3详解】
不妨假设按照的顺序抛这n枚游戏币；
记抛第枚游戏币后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为；
于是；
即，即.
记，则，
故数列bn为首项是，公差为的等差数列；
故，则，
故，则，因此公平.
19. 已知 为坐标原点，曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线平行，且两切线间的距离为，其中 .
（1）求实数 的值;
（2）若点 分别在曲线 上，求 与 之和的最大值;
（3）若点 在曲线 上，点 在曲线 上，四边形 为正方形，其面积为，证明:
附:ln2 ≈ 0.693.
【正确答案】（1） ，
（2）
（3）证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义求解；
（2）（法一）由（1）知：，记直线的倾斜角分别为，斜率分别为，则，则,利用导数可求得的最大值，同理求得的最值；（法二）由（1）知：，点在圆，再证直线与圆和曲线均相切，结合直线与圆的位置关系求解；
（3）由对称性可知和分别关于直线对称，设，其中，所以，令，求导得到的单调性，进而证得.
【小问1详解】
因为，所以，又因为，所以，
解得，所以在处的切线方程为:，
所以在处的切线方程为:，
所以，解得.
【小问2详解】
（法一）由（1）知：，记直线的倾斜角分别为，
斜率分别为，所以，设且，
所以,
令，则，
当时，设函数，则，
所以在单调递增，所以，即，
所以，
所以在均单调递减，且，
当时，，所以单调递增，
所以.当时，;当时，，
所以，当点坐标为时，最大为.
同理，函数与的图象关于直线对称，
且也关于直线对称，所以最大为，
所以与之和的最大值为.
（法二）由（1）知:，点在圆上.
下面证明：直线与圆和曲线均相切，
因为圆的圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切，
即，除点外，圆上的点均在直线下方,
又因为，则，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，
即，除点外，曲线上的点均在直线上方.
所以，当点坐标为时，最大为，
同理，函数与的图象关于直线对称，
且也关于直线对称，所以最大为，
综上知:与之和最大值为.
【小问3详解】
因为曲线与与曲线与有唯一交点，且关于对称，
并分居两侧，
所以曲线的上的点到曲线上的点的最小距离，且此时这两点只能为，
假设函数与函数的图象关于直线对称，
则点关于的对称点在上，
点关于的对称点在上，
因为，所以与重合，与重合，
所以是函数与函数的图象的唯一对称轴，所以和分别关于直线对称，
设，其中，
所以，
即，
又因为，
即，
所以为方程的根，即的零点为，
因为，
所以在单调递增，
故，，
所以，令，
则，所以在单调递增，
所以
关键点点睛：本题第三问的关键是得到的表达式，从而有，则为方程的根，再利用导数和零点存在性定理即可证明不等式.
X
0
1
2
3
P