2024-2025学年山西省朔州市怀仁市高三上册10月月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年山西省朔州市怀仁市高三上册10月月考数学检测试题（附解析），共18页。试卷主要包含了本卷主要考查内容， 设为函数在区间的两个零点，则， 已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数，导数，三角函数，解三角形.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，若，则所有整数a的取值构成的集合为（ ）
A. {1，2}B. {1}C. {0，1，2}D. N
【正确答案】C
【分析】对集合分空集和非空集类讨论，计算即可.
【详解】，故中至多一个元素，
当时，，
当时，．
故选：C．
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】
利用诱导公式即可求解.
【详解】解：，
.
故选：B.
3. 下列函数中，存在极值的函数为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据极值的定义进行求解即可.
【详解】A：因为函数是实数集上的增函数，所以函数没有极值；
B：因为函数是正实数集上的增函数，所以函数没有极值；
C：因为函数在区间(0,+∞)、上是减函数，所以函数没有极值；
D：因为，所以该函数在上是增函数，在上是减函数，因此是函数的极小值点，符合题意，
故选：D
4. 若f(x)=1−aex1+exsinx偶函数，则（ ）
A. 1B. 0C. D. 2
【正确答案】A
【分析】由已知为偶函数，可得，列方程求解即可.
【详解】由f(x)=1−aex1+exsinx，
得f(−x)=1−ae−x1+e−xsin(−x)，
因为为偶函数，所以，
即1−ae−x1+e−xsin(−x)=1−aex1+exsinx，
所以，解得
故选.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据指示函数，对数函数单调性让其和0，1比较大小，即可得解.
【详解】根据题意知单调递增，所以，
单调递增，所以，
单调递减，所以，
即可解得.
故选：C
6. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．若，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【正确答案】D
【分析】将已知等式利用余弦定理统一成边的形式，化简变形可求得结果.
【详解】，
，
，．
，即．
，，即．
故选：D
7. 若函数存在零点，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】
由题意得，令，求的取值范围可得答案.
【详解】由，则，
令，
则，
当得，单调递增，当得，单调递减，
所以，，
当趋向于正无穷大时，也趋向于正无穷大，
所以函数存在零点，则.
故选：D
方法点睛：本题考查函数零点问题．解题方法是把零点个数转化为方程解的个数，再转化为函数图象交点个数，由图象观察所需条件求得结论．考查了分析问题、解决问题的能力．
8. 设为函数在区间的两个零点，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据正弦函数的性质和诱导公式，可得再由二倍角公式和同角基本关系式求解.
【详解】因为，又因为，所以
则，
因为，所以，
所以.
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则使得“”成立的一个充分条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】AD
【分析】由不等式的性质可判断AD；取特值可判断B；可化为结合的单调性可判断C.
【详解】对于A，因为，，故故A选项正确；
对于B，取，此时满足，但，B选项错误；
对于C，可得：，
则，因为，即
所以，因为函数在不单调，所以C选项错误；
对于D，由可知，，因为，
所以，故D选项正确，
故选：AD．
10. 已知函数，则（ ）
A. 当时，函数的最小值为
B. 当时，函数的极大值点为
C. 存在实数使得函数在定义域上单调递增
D. 若恒成立，则实数的取值范围为
【正确答案】AD
【分析】由函数极值的求解以及极值点的辨析即可判断AB，由在上恒成立即可判断C，分离参数，构造函数求得其最小值，即可判断D.
【详解】因为函数，则，其中，
当时，则，令，可得，
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
当时，有极小值，即最小值，故A正确；
当时，则，令，可得，
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
当时，函数有极小值，则为极小值点，故B错误；
假设存在实数使得函数在定义域上单调递增，
则在上恒成立，即在上恒成立，
所以在上恒成立，因为的值域为，
所以函数无最小值，
故不存在实数使得函数在定义域上单调递增，故C错误；
若恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，令，则，
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
当时，有极小值，即最小值，所以，故D正确；
故选：AD
11. 定义域为的函数满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 函数为奇函数
C. D. 4为函数的一个周期
【正确答案】ACD
【分析】对于A，令可求出，对于B，令，再结合函数奇偶性的定义判断即可，对于C，分别令，分析求解，对于D，令，再结合周期的定义分析判断
【详解】对于A，令，可得，A选项正确；
对于B，令，有，
从而有，可知为偶函数，B选项错误；
对于C，令，有；
令，有，可得，
从而有，有，
当时，，可得，与矛盾，
可知，可求得，，有，C选项正确；
对于D，令，有，有，
从而有，可知4是函数的一个周期，D选项正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则的最小值为__________.
【正确答案】##4.5
【分析】先根据，将函数解析式构造为；再利用基本不等式即可求解.
【详解】因为，则.
因为，则，
所以
当且仅当，即时等号成立.
的最小值为.
故答案为.
13. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里的一个非常重要的不动点定理，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数．函数有______个不动点．
【正确答案】1
【分析】由题意可知即求函数的零点个数，当时，,当时，，当时，对求导可得的单调性和值域，即可求出的零点个数.
【详解】令，即，
由题意可知即求函数的零点个数，
当时，，此时不存在零点；
当时，，此时不存在零点；
当时，，
令，，因为，解得：，
令，，因为，解得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，，
故在上有且仅有一个零点，
综上所述，仅有一个不动点．
故1.
14. 若直线为曲线的一条切线，则的最大值为__________.
【正确答案】##
【分析】设，切点为，再根据导数的几何意义求出切线方程，再结合题意求出的关系，再构造新的函数，利用导数求出最大值即可.
【详解】设，则，
设切点，则，
则切线方程为，整理可得，
所以，解得，
所以，所以，
设，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以当时，取得最大值，
所以的最大值为.
故
关键点点睛：设出切点，根据直线为曲线的一条切线，求出的关系，是解决本题的关键.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知为锐角，且满足.
（1）求的值；
（2）求的值.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用平方关系求出，再根据结合两角和的正弦公式即可得解；
（2）利用倍角公式先求出，再根据结合两角差的余弦公式即可得解.
【小问1详解】
解：因为为锐角，所以，
所以，所以，
所以；
【小问2详解】
解：由（1）知，
，
所以
.
16. 已知的内角的对边分别为的面积为．
（1）求；
（2）若，且的周长为5，设为边BC中点，求AD.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据三角形的面积公式结合正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解；
（2）根据三角形的周长，结合余弦定理求出，再向量化即可得解.
【小问1详解】
依题意，，
所以，
由正弦定理可得，，
由余弦定理，，解得，
因为，所以；
【小问2详解】
依题意，，
因为，解得，
因为，
所以，
所以．
17. 已知函数且.
（1）当时，求的值域；
（2）若在上的最大值大于，求的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由对数真数大于零可求得定义域，由对数运算法则可整理得到，结合可求得的值域；
（2）由对数运算法则得到，令，由对勾函数单调性可求得的值域，分别在和的情况下，由对数函数单调性可确定最大值，由最大值大于可构造不等式求得的范围.
【小问1详解】
由得：，则的定义域为；
当时，，
当时，（当且仅当时取等号），
，则的值域为.
【小问2详解】
；
令，
则在上单调递减，在上单调递增，
又，，，的值域为；
当时，，，解得：（舍）；
当时，，，解得：；
综上所述：实数取值范围为.
18. 已知是函数的两个相邻的对称中心的点的横坐标.
（1）求图象的对称轴方程；
（2）若对任意，都有，求的取值范围；
（3）若关于的方程在区间上有两个不同的根，求的取值范围.
【正确答案】（1）；
（2）；
（3）.
【分析】（1）由三角恒等变换化简，根据周期为求出，得到解析式，由解析式求对称轴方程即可；
（2）不等式恒成立转化为求在给定区间上的最大值，利用正弦型函数的图象与性质求解即可；
（3）化简方程，求出自变量变化时的范围，在作出正弦函数的图象，数形结合求解即可.
【小问1详解】
，
因为是函数相邻两个对称中心，所以，解得，
，
令，可得的对称轴方程为.
【小问2详解】
若对任意，都有，只需
由可得，故，
所以，
因此，即，因此；
【小问3详解】
关于的方程，化简后得
，，，
作出图象，如图，
由图可知，当，即时，有两根.
19. 已知函数.
（1）设函数，讨论的单调性；
（2）设分别为的极大值点和极小值点，证明.
【正确答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【分析】（1）先求得，然后对进行分类讨论来求得的单调区间.
（2）由极值点的知识求得的关系式，由此将要证明的不等式转化为证明，利用构造函数法，结合导数来证得不等式成立.
【小问1详解】
，
，
当时，在上恒成立，则在上单调递增，
当时，单调递减，
单调递增，
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
【小问2详解】
分别是的极大值点和极小值点，
，且对于有，
且对称轴，所以，
，
所以，
综上，要证，
只需证，
因为，
即证：，
设.
所以，
所以在上单调递增，所以.
所以成立.
求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间.如果导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.利用导数证明不等式，首先考虑将要证明的不等式进行转化，转化为可构造函数并能利用导数进行证明的结构，从而来对问题进行求解.