2024-2025学年上海市嘉定区高三上册第一次月考数学质量检测试题（含解析）

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1．已知集合，，若，则 ．
2．已知等差数列中，，则数列的通项公式是 .
3．双曲线的渐近线方程是 .
4．若圆锥的侧面积为，高为4，则圆锥的体积为
5．在的展开式中，的系数为 .（用数字作答）
6．x为实数，且不等式有解，则实数m的取值范围是 .
7．若命题“对任意的，都有”为假命题，则实数的取值范围为 .
8．已知正实数满足,则的最小值为 .
9．用1～9这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的奇数共有 个
10．已知不等式的解集为，则函数的单调递增区间为 .
11．已知函数的表达式为，若对于任意，都存在，使得成立，则实数的取值范围是 .
12．已知数列都是公差为1的等差数列，其首项分别为，且，是正整数，设则数列的前项和= .
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
14．已知集合，，则下列结论正确的是（ ）
A．存在，使得
B．当时，
C．当时，
D．对任意的，都有
15．在区间上，若，则下列四个图中，能表示函数的图像的是（ ）
A． B．
C． D．
16．群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中.有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设是一个非空集合，“.”是上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：
①对任意的，有；
②对任意的，有；
③存在，使得对任意的，有称为单位元；
④对任意的，存在，使，称与互为逆元.
则称关于“.”新构成一个群.则下列说法正确的有（ ）
A．关于数的乘法构成群
B．自然数集关于数的加法构成群
C．实数集关于数的乘法构成群
D．关于数的加法构成群
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，，直线与平面所成的角为.
(1)求四棱锥的体积；
(2)求异面直线与所成的角的大小.
18．已知在中，所对的边分别为，若且．
(Ⅰ)求角A、B、C的大小；
(Ⅱ)设函数，求函数的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离．
19．已知椭圆的右焦点为，直线.

(1)若到直线的距离为，求；
(2)若直线与椭圆交于两点，且的面积为，求；
20．给定正整数，设集合．若对任意，，，两数中至少有一个属于，则称集合具有性质．
(1)分别判断集合与是否具有性质；
(2)若集合具有性质，求的值；
(3)若具有性质的集合中包含6个元素，且，求集合．
21．已知，，是自然对数的底数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；
(3)当时，若满足，求证.
1．
【分析】由交集定义可得答案.
【详解】因，，，则，故.
故
2．##
【分析】设公差为d，由基本量代换列方程组，解出，即可得到通项公式.
【详解】设等差数列{an}的公差为d，由题意可得：，
解得：，
所以.
故答案为.
3．
【分析】直接由双曲线的方程求解即可
【详解】因为双曲线方程为，
所以双曲线的渐近线方程为，即，
故
4．
【分析】圆锥的半径为r，母线长为l，高为h，则侧面积为，再结合，可得的值.然后根据锥体体积公式计算即可.
【详解】
设圆锥的半径为，母线长为，高为 ，有，解得.
故 .
5．40
【分析】根据所给的二项式写出通项，要求自变量的二次方的系数，只要使得指数等于2，得出式子中的系数的表示式，得到结果．
【详解】∵（2x+1）5的通项式式是C5r（2x）5﹣r＝∁5r25﹣rx5﹣r
当5﹣r＝2时，即r＝3时，得到含有x2的项，
∴它的系数是C5322＝40
故答案为40．
本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是写出二项式的通项.
6．
【分析】求出的最小值，只需m大于最小值即可满足题意.
【详解】利用三角不等式，有，当时等号成立
因为有解，只需即可,
所以实数m的取值范围是.
故
7．
【分析】根据“存在，”为真命题，讨论，，求解.
【详解】命题“对任意的，都有”为假命题，
则“存在，”为真命题，
当时，满足；
当时，满足；
当时，需，解得；
综上.
故
8．
【分析】因为，展开利用基本不等式求解即可.
【详解】因为正实数满足,
所以,
当且仅当即时等号成立,
所以的最小值为.
故答案为:.
9．840
【分析】根据题意先分类然后分步，进而结合排列、组合即可求解.
【详解】1～9这九个数字中由5个奇数和4个偶数，
要使四位数满足各个数位上数字和为偶数的奇数，则个位数字必须为奇数，
前三位数字由1个奇数和2个偶数或3个奇数组成，
所以，.
故答案为.
10．
【分析】根据不等式的解集可知一元二次不等式所对应的一元二次方程的根，利用韦达定理可求出，的值，再根据复合函数求单调区间的方法，得出单调递增区间.
【详解】解：因为不等式的解集为，
所以和为方程的两根且，
所以，解得，
则，
令，解得，
所以函数的定义域为，
因为的单调递增区间为 ，在定义域上单调递增，
所以的增区间为（开闭均正确）.
故答案为.
11．
【分析】确定函数单调递增，计算，得到，确定，解得答案.
【详解】在上单调递增，
当时，，，
，，即，
故是值域的子集，故，解得.
故答案为.
12．
【分析】求出的通项公式，从而得到的通项公式，得到为首项为4，公差为1的等差数列，利用等差数列求和公式计算即可.
【详解】数列，，
所以，
则，，且，
所以为首项为4，公差为1的等差数列，
所以.
故
13．C
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】因为函数在定义域上单调递增，
所以由推得出，故充分性成立；
由推得出，故必要性成立，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
14．D
【分析】根据几何含义可知A错误；通过求解两直线交点可知B错误；分别讨论和的情况，得到C错误；通过计算两直线重合的情况可知D正确.
【详解】对于A，表示过定点，且斜率不为的直线，
集合表示直线上所有的点，，A错误；
对于B，当时，，，
由得：，，B错误；
对于C，当时，，满足；
当，即时，直线与平行，
，解得：；
综上所述：当时，或，C错误；
对于D，若，则且直线与重合，
，方程组无解，，D正确.
故选：D.
15．A
【分析】根据导数值与函数切线斜率的关系即可判断.
【详解】根据导数值与切线斜率的关系可知，在区间上时，函数图象在任意一点处的切线斜率恒大于1，则显然BCD不合题意，
对A选项，函数在处的切线斜率等于1，且在上，切线斜率不断增大，则恒成立，故A正确.
故选：A.
16．D
【分析】反例判断A，B，C是否满足④，对于D，对所有的，设，求出，依次看是否满足要求.
【详解】A：由且，使，但，不存在，使，不正确；
B：由且，都有，但，不存在，使，不正确；
C：由且，使，但，不存在，使，不正确；
D：对所有的，可设，则，
①满足加法结合律，即，有；
②，使得，有；
③，设，使，正确.
故选：D.
关键点点睛：对于D，对所有的，可设，求出.
17．(1)；
(2)．
【分析】（1）根据直线与平面所成的角可求出，从而得出，再根据四棱锥的体积公式即可解出；
（2）取中点，连接，（或其补角）即为异面直线与所成的角，解三角形即可求出．
【详解】（1）因为底面，所以直线与平面所成的角为，在中，，，所以，而，所以，
因此四棱锥的体积．
（2）
如图所示：
取中点，连接，因为，所以四边形为平行四边形，即有，所以（或其补角）即为异面直线与所成的角．
在中，，，所以，，所以，即异面直线与所成的角为．
18．(Ⅰ),;(Ⅱ)单调递增区间为. 它的相邻两对称轴间的距离为.
【详解】(Ⅰ)由题设及正弦定理知:,得，
∴或,即或．
当时,有, 即,得,;
当时,有,即，不符题设，
∴,．
(Ⅱ) 由(Ⅰ)及题设知:；
当时,为增函数，
即的单调递增区间为.
它的相邻两对称轴间的距离为.
19．(1)8
(2)2
【分析】（1）根据到的距离为求解；
（2）将直线与椭圆联立，求得，及O到直线的距离，根据面积为求得值.
【详解】（1）因为，所以右焦点为，
又因为，所以到直线的距离，解得；
（2）设，由得，
所以，即，且，
所以，
又因为O到直线的距离为，
所以的面积为，
解得满足，所以；
20．(1)集合不具有性质，集合具有性质
(2)
(3)，，或
【分析】（1）根据性质的定义，即可判断两个集合是否满足；
（2）根据性质的定义，首先确定，再讨论是否属于集合，即可确定的取值，即可求解；
（3）首先确定集合中有0，并且有正数和负数，然后根据性质讨论集合中元素的关系，即可求解.
【详解】（1）集合中的，，
所以集合不具有性质，
集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，两数中至少有一个属于集合，所以集合具有性质；
（2）若集合具有性质，记，则，
令，则，从而必有，
不妨设，则，且，
令，，则，且，且，
以下分类讨论：
1）当时，若，此时，满足性质；
若，舍；若，无解；
2）当时，则，注意且，可知无解；
经检验符合题意，
综上；
（3）首先容易知道集合中有0，有正数也有负数，
不妨设，其中，，
根据题意，
且，从而或，
1）当时，，
并且，，
由上可得，并且，
综上可知；
2）当时，同理可得，
据此，当中有包含6个元素，且时，符合条件的集合有5个，
分别是，，或.
关键点点睛：本题的关键是确定满足性质的集合里面有0，再对其他元素进行讨论.
21．(1)极小值为0，无极大值.
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）把代入函数中，并求出f′x，根据f′x的正负得到的单调性，进而求出的极值.
（2）等价于与的图象有两个交点，求导得到函数y=gx的单调性和极值，画出y=gx的大致图象，数形结合求解即可.
（3）求出f′x，并得函数y=fx在上单调递减，在上单调递增，可得则，，要证，只需证，只需证，即证，令，对ℎx求导证明即可.
【详解】（1）当时，，定义域为，求导可得，
令，得，
当时，f′x0，函数在区间0,+∞上单调递增，
所以y=fx在处取到极小值为0，无极大值.
（2）方程，
当时，显然方程不成立，
所以，则，
方程有两个不等实根，即与的图象有2个交点，
，
当或时，，
在区间和0,1上单调递减，
并且时，gx0，
当时，，在区间1,+∞上单调递增，
时，当时，取得最小值，，
作出函数y=gx的图象，如图所示：
因此与有2个交点时，，
故的取值范围为.
（3）证明：，由，得，
当时，，当时，，
所以函数y=fx在上单调递减，在上单调递增.
由题意，且，则，.
要证，只需证，
而，且函数在上单调递减，
故只需证，
又，所以只需证，
即证，
令，
即，
，
由均值不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立.
所以函数ℎx在R上单调递增.
由，可得，即，
所以，
又函数在上单调递减，
所以，即得证.