2024-2025学年上海市浦东新区高三上册第一次月考（9月）数学质量检测试题（含解析）

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1．已知全集，集合，则 .
2．在复平面内，复数所对应的点的坐标为−1,1，则 .
3．函数y＝sin2xcs2x的最小正周期是 .
4．记为等差数列的前项和.若，则公差 .
5．直线与直线的夹角大小为 .
6．已知，若关于的方程解集为，则的取值范围为 .
7．在一次射击训练中，某运动员5次射击的环数依次是，则该组数据的方差 .
8．已知函数，则在点处的切线的倾斜角为 .
9．如图，对于直四棱柱，要使，则在四边形中，满足的条件可以是 ．（只需写出一个正确的条件）
10．将半径为1的半圆形纸片卷成一个无盖的圆锥筒，则该圆锥简的高为 .
11．在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为 .
12．已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点、，P是与在第一象限的交点，当时，双曲线的离心率等于 .
二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．设，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件
14．下列函数中，既是奇函数又在区间上是严格减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
15．已知是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若不平行，则与可能垂直于同一平面
B．若平行于同一平面，则与不可能异面
C．若不平行，则在内存在与平行的直线
D．若垂直于同一平面，则与一定平行
16．设函数，若对于任意，在区间上总存在确定的，使得，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
三､解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．如图，在直三棱柱中，，交于点为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小.
18．在三角形中，内角所对边分别为，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，三角形的面积为，求三角形的周长.
19．某高中随机抽取名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）.
(1)求身高不低于170cm的学生人数；
(2)将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人．
① 求从这三个组分别抽取的学生人数；
② 若要从6名学生中抽取2人，求组中至少有1人被抽中的概率．
20．近年来,为“加大城市公园绿地建设力度,形成布局合理的公园体系”,许多城市陆续建起众多“口袋公园”、现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”、如图所示,以中点A为圆心,为半径的扇形草坪区,点在弧BC上（不与端点重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ为步行道,其中PQ与AB垂直,PR与AC垂直.设.
(1)如果点P位于弧BC的中点,求三条步行道PQ、PR、RQ的总长度;
(2)“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步行道PQ、PR、RQ开辟临时摊点,积极推进“地摊经济”发展,预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少?（精确到1万元）
21．如图，椭圆的上、下焦点分别为、，过上焦点与轴垂直的直线交椭圆于、两点，动点、分别在直线与椭圆上.
(1)求线段的长；
(2)若线段的中点在轴上，求的面积；
(3)是否存在以、为邻边的矩形，使得点在椭圆上？若存在，求出所有满足条件的点的纵坐标；若不存在，请说明理由.
1．##空集
【分析】解得集合，结合补集的定义和运算即可求解.
【详解】由题意知，，
又，所以.
故
2．
【分析】由已知求得，进一步得到，再根据复数的乘法运算法则计算可得．
【详解】根据题意知，所以，
所以.
故
3．
【详解】试题分析：先利用二倍角公式化简函数，再求函数的周期．
考点：二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法
4．3
【分析】由等差数列的性质，已知条件转化为，可求公差.
【详解】为等差数列an的前项和，若公差为，且，
则有，得，解得.
故3
5．##
【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角.
【详解】因为直线的斜率为，倾斜角为，
直线的斜率为，倾斜角为，
故直线与直线的夹角大小为.
故答案为.
6．
【分析】由题意得无解，对分，和且讨论，再结合判别式即可求解.
【详解】由，
整理得，
即，
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当且时，方程无解，即无解，
，解得，又，
的取值范围为.
故答案为.
7．##
【分析】根据平均数公式和方差公式计算可得.
【详解】因为平均数，
所以方差.
故
8．
【分析】利用导数求出切线斜率，然后由反三角表示即可.
【详解】因为，所以，
记在点处的切线的倾斜角为，则，则，
所以.
故
9．（只要使得即可）.
【分析】利用线面垂直的判定定理及线面垂直的定义可得出结论.
【详解】连接，如下图所示：
因为平面，平面，则，
若，，、平面，平面，
平面，.
故（只要使得即可）.
10．
【分析】根据圆锥展开图可知圆锥底面周长等于半圆形纸片弧长，母线为半圆形纸片的半径，进而利用圆锥的轴截面计算可得.
【详解】
如图所示，由题意可知圆锥的母线，设圆锥的半径为，高为，
则圆锥底面周长等于半圆形纸片弧长，故得，
故.
故
11．
【分析】根据题意，由投影向量的定义，代入计算，即可求解.
【详解】由条件可得，，
所以在方向上的投影向量的坐标为
.
故
12．
【分析】根据P点是椭圆和双曲线的交点，结合椭圆双曲线的定义表示出，，在△中结合余弦定理即可列出方程求解．
【详解】设椭圆标准方程为，椭圆离心率为，
设双曲线标准方程为，双曲线离心率为，
它们的左右焦点为、，由题可知，
设，，则，
由①②得，，，
代入③整理得，，
两边同时除以得，，即，
所以，
解得(舍去)，或，
即.
故答案为.
13．C
【分析】由可推出同号，则根据分类讨论可得出，根据，两边同乘可得，即可选出选项.
【详解】由题知，则同号，
当时，有，
当时，有，
故能推出，
当成立时，又，
对不等式两边同时乘以可得，
故“”是“”的充分必要条件.
故选：C.
14．B
【分析】由奇函数的定义域可得A错误；由奇函数的性质和导数可得B正确；由奇函数的性质可得C错误；由正弦函数的单调性可得D错误；
【详解】函数的定义域为，不关于原点对称，所以不是奇函数，故A错误；
函数的定义域为，关于原点对称，
且，
所以函数为奇函数，
又恒成立，所以在上为减函数，故B正确；
定义域为不关于原点对称，所以不是奇函数，故C错误；
由正弦函数的单调性可得在为增函数，
又，
所以在区间上是严格增函数，故D错误；
故选：B.
15．C
【分析】根据空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断即可得出答案.
【详解】对于A，若与垂直于同一平面，则有，A选项错误；
对于B，若平行于同一平面，则与可能相交可能平行也可能异面，B选项错误；
对于C，若不平行，则与相交，在内平行于交线的直线与平行，C选项正确；
对于D，若垂直于同一平面，则与可能平行可能相交，D选项错误.
故选：C.
16．C
【分析】由三角函数图象的单调性得,,根据，可得即可根据求解.
【详解】因为，
若，则，
所以,，即,，
由在区间上总存在确定的，使得，
则在区间上总存在确定的，使得，
当时，,
故，故
故的最大值为：，
故选：C．
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据直三棱柱的性质可得，，进而根据线面垂直的判定与性质得到，即可证明；
（2）由（1）知两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用坐标运算求得平面的一个法向量为，又，即可求得直线与平面所成角的大小.
【详解】（1）因为三棱柱为直三棱柱，
所以平面，
又平面，所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，，平面，
所以平面.
（2）由（1）知两两垂直，如图建立空间直角坐标系.
由已知，
则，，，，.
设，所以，
因为，所以，即，
所以平面的一个法向量为.
又，
设直线与平面所成角的大小为，
则
所以直线与平面所成角的大小为.
18．(1)
(2)
【分析】(1)由正弦定理进行边角互化可得，结合两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系可求出，即可求出.
(2)由三角形的面积公式可得，结合及余弦定理即可求出，即可得出结果.
【详解】（1）由正弦定理得，所以
所以，整理得，
因为，所以，因此，所以，
所以.
（2）由的面积为，得，解得，
又,则，.
由余弦定理得，解得，，
所以的周长为.
19．(1)60人；
(2)①30人，20人，10人；②
【分析】（1）先求出,的频率可得结果．
（2）①由分层抽样可得各组的人数; ②分别列举各种情况可得概率．
【详解】（1）由频率分布直方图可知,的频率为
，
故身高在以上的学生人数为（人．
（2）①，，三组的人数分别为，，人．
因此应该从，，三组中每组各抽取（人，（人，（人．
②设组的3位同学为，，，组的2位同学为，，组的1位同学为，
则从6名学生中抽取2人有15种可能：
,，,，,．,，,，,，,，,，
,，,，,，,，,，,，,．
其中组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能：,，,，,，,，
,，,，,，,，,．
所以组中至少有1人被抽中的概率为．
20．(1)(米)
(2)2022万元
【分析】(1)根据图依次求出三条线段长度即可求出总长度;
(2)将PQ、PR、RQ三边通过图中的关系用关于的等式表示,再记经济总效益,将进行表示,通过辅助角公式化简求出最值即可.
【详解】（1）解:由题,
,同理,故,
由于点P位于弧BC的中点,所以点P位于的角平分线上,
则,
,
因为,,
所以为等边三角形,
则,
因此三条街道的总长度为（米）.
（2）由图可知,
,
,
,
在中由余弦定理可知:
,
则,
设三条步行道每年能产生的经济总效益,则
,
当即时取最大值,
最大值为.
答:三条步行道每年能产生的经济总效益最高约为2022万元.
21．(1)
(2)
(3)或.
【分析】（1）根据已知求出点的横坐标，根据对称性可得线段的长；；
（2）线段PQ的中点在轴上，得点纵坐标，代入椭圆方程得点横坐标，此时轴，易得其面积；
（3）假设存在，为邻边的矩形，使得点E在椭圆C上，设，，，由平行四边形对角线互相平分把点坐标用点坐标表示，然后把坐标代入椭圆方程，利用垂直得向量的数量积为0，得出的关系，结合起来可得或，再分别代入求得，得结论．
【详解】（1）由可得：，，从而，
所以令，则，解得：，
所以.
（2）线段的中点在轴上，则，所以，即轴，
所以令，则，解得：，
所以；
（3），
假设存在以，为邻边的矩形，使得点E在椭圆C上，
设，，，，
因为四边形是矩形，一定为平行四边形，所以，
则，，所以，
都在椭圆上，，变形得①，
又，所以，即，
则②，
②代入①得，解得：或，
若时，，，此时与重合，点坐标为；
若时，联立，
消去可得：，解得：，
因为，所以，
所以存在满足题意的点，其纵坐标为或.
.
思路点睛：对于圆锥曲线中探索性问题，求解步骤如下：
第一步：假设结论存在；
第二步：结合已知条件进行推理求解；
第三步：若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设；
第四步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范．