2024-2025学年四川省成都市高三上册10月月考数学学情检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省成都市高三上册10月月考数学学情检测试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了 已知集合,,则，已知,,,则,,的大小关系为等内容，欢迎下载使用。
正确的选项填涂在答题卡相应位置.
1. 已知集合,,则
A. B. C. D.
2. 2024年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一,奖牌榜第二的优异成绩.首金是中国组合黄雨婷和盛李豪在10米气步枪混合团体赛中获得,两人在决赛中14次射击环数如右图,则
A.盛李豪的平均射击环数超过10.6
B.黄雨婷射击环数的第80百分位数为10.65
C.盛李豪射击环数的标准差小于黄雨婷射击环数的标准差
D.黄雨婷射击环数的极差小于盛李豪射击环数的极差
3.已知,,,则,,的大小关系为
A. B. C. D.
4.已知实数,,满足，且，则下列说法正确的是
A. B. C. D.
5.“函数的值域为R”的一个充分不必要条件是
A. B. C． D．
6. 核燃料是重要的能量来源之一，在使用核燃料时，为了冷却熔化的核燃料，可以不断向反应堆注入水，但会产生大量放射性核元素污染的冷却水，称为核废水.核废水中含有一种放射性同位素氚，它有可能用辐射损伤细胞和组织，影响生物的繁殖和生态平衡. 已知氚的半衰期约为12年，则氚含量变成初始量的大约需要经过( )年.（）
A. 155 B.159 C. 162 D. 166
7.若函数的图象如图1所示，则如图2对应的函数可能是
A. B.
C. D.
8. 已知函数,则方程的所有根之和为
A．0 B．3 C．6 D．9
二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分, 部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．已知函数的定义域为,，则
A． B． C．fx是奇函数 D．fx在上单调递增
10．已知复数的共轭复数分别为，则下列命题为真命题的是
A． B．
C．若，则 D．若，则
11.设函数,则下面说法正确的是
A. 当时，函数在定义域上仅有一个零点
B. 当时，函数在上单调递增
C.若函数存在极值点,则 D.若,则的最小值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若函数在上单调，则实数的取值范围为_____．
13.若是定义在R上的奇函数，，，则__ __________．
14. 若过点作曲线的切线有且仅有两条，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数为奇函数．
（1）求实数的值；
（2）若函数，且在区间上没有零点，求实数的取值范围．
16.（15分）已知三棱锥D-ABC，D在平面ABC上的射影为△ABC的重心O，，.
（1）证明：BC⊥AD；
（2）E为AD上靠近A的三等分点，若三棱锥D-ABC的体积为，求二面角的余弦值．
17. （15分）某小区有3000名居民，想通过验血的方法筛选乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占.为减轻工作量，随机地按人一组分组，然后将各组个人的血样混合在一起化验.若混合血样呈阴性，说明这个人全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次。
（1）若试估算该小区化验的总次数；
（2）若，且每人单独化验一次花费10元，人混合化验一次花费元，求当为何值时，每个居民化验的平均费用最少.
注：假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.当时，.
18. （17分）在平面直角坐标系中，已知，，动点P满足，且.设动点P形成的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）过点的直线与曲线C交于M，N两点，试判断是否存在直线，使得A，B，M，N四点共圆.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
19. （17分）在高等数学中，我们将在处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的泰勒展开式.当时泰勒展开式也称为麦克劳林公式.比如在处的麦克劳林公式为：，
由此当时，可以非常容易得到不等式
请利用上述公式和所学知识完成下列问题：
(1)写出在处的泰勒展开式;
(2)若，恒成立，求a的范围;（参考数据）
(3)估计的近似值.（精确到）
2024-2025学年四川省成都市高三上学期10月月考数学学情检测试卷
选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应位置.
1. 已知集合,,则
A. B. C. D.
【正确答案】B
，故，故选B.
2. 2024年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一,奖牌榜第二的优异成绩.首金是中国组合黄雨婷和盛李豪在10米气步枪混合团体赛中获得,两人在决赛中14次射击环数如右图,则
A.盛李豪的平均射击环数超过10.6
B.黄雨婷射击环数的第80百分位数为10.65
C.盛李豪射击环数的标准差小于黄雨婷射击环数的标准差
D.黄雨婷射击环数的极差小于盛李豪射击环数的极差
【正确答案】C
盛李豪的射击环数只有两次是10.8环，5次10.6环，其余都是10.6环以下，所以盛李豪平均射击环数低于10.6，故A错误；由于，故第80百分位数是从小到大排列的第12个数10.7，故B错误；由于黄雨婷的射击环数更分散，故标准差更大，故C正确；黄雨婷射击环数的极差为10.8-9.7=1.1，盛李豪的射击环数极差为10.8-10.3=0.5，故D错误.故选C.
3.已知,,,则,,的大小关系为
A. B. C. D.
【正确答案】A
由于在单调递减，故，又因为，所以，故选A.
4.已知实数,,满足，且，则下列说法正确的是
A. B. C. D.
【正确答案】C
由题，，取，则，故A错误；，故B错误；，故D错误；因为，所以，即，故C正确.故选C.
5. “函数的值域为R”的一个充分不必要条件是
A. B. C． D．
【正确答案】D
因为函数的值域为R，所以在方程中，，即，解得或，从而是“函数的值域为R”的充分不必要条件.故选D.
6. 核燃料是重要的能量来源之一，在使用核燃料时，为了冷却熔化的核燃料，可以不断向反应堆注入水，但会产生大量放射性核元素污染的冷却水，称为核废水.核废水中含有一种放射性同位素氚，它有可能用辐射损伤细胞和组织，影响生物的繁殖和生态平衡。已知氚的半衰期约为12年，则氚含量变成初始量的大约需要经过( )年.（）
A. 155 B.159 C. 162 D. 166
【正确答案】B
设氚含量变成初始量的大约需要经过t年，则，，即，故选B.
7.若函数的图象如图1所示，则如图2对应的函数可能是
A. B.
C. D.
【正确答案】A
由的定义域为知，中，不符合图2，故排除B，D；对于C，当时，，不满足图2，故C错误；将函数的图关于轴对称，得到的图，向右平移1个单位得到的图，最后纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数的图可能为图2，故选A.
8.已知函数,则方程的所有根之和为
A．0 B．3 C．6 D．9
【正确答案】C
方程的根为函数
和的图象交点横坐标，
由函数得，
如下图所示，两函数图象共有4个交点，且由于两个函数图象关于点中心对称，故
方程的所有根之和为6，故选C.
二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分, 部分选对的得部分分,有选错的得0分,。
9．已知函数的定义域为,，则
A． B．
C．fx是奇函数 D．fx在上单调递增
【正确答案】 AC
由知，当时， ，即，故A正确；若，则满足条件，但，且fx是在上单调递减，故B,D错误；当时，，即，故C正确，故选AC.
10．已知复数的共轭复数分别为，则下列命题为真命题的是
A． B．
C．若，则 D．若，则
【正确答案】ABD
设且，则，
，
所以，所以，故A正确；
，，故B正确；当时，满足，但不能得出，故C错误；，故，故D正确，故选ABD.
11.设函数,则下面说法正确的是
A. 当时，函数在定义域上仅有一个零点
B. 当时，函数在上单调递增
C.若函数存在极值点,则
D.若,则的最小值为
【正确答案】ABD
当时， ，由得，，函数在定义域上仅有一个零点，故A正确；当时，函数,当时，，故函数在上单调递增，故B正确； ，当时，函数在定义域上单调递增，且当时，，当时，，此时函数存在零点，即函数函数在上单调递减，在上单调递递增，故此时函数存在极值点，当时，，故函数在上单调递减，在上单调递递增，故，故当时，函数存在零点，函数存在极值点,综上，当函数存在极值点时，或，故C错误；对于D，恒成立,当时，或，当且仅当两个零点重合时, 即，函数在上单调递减，在上单调递增，满足, 则,当时取“=”，故D正确，故选ABD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.若函数在上单调，则实数的取值范围为_____．
【正确答案】或
函数的对称轴为，故当或时，函数在上单调，即或，故答案为或.
13.若是定义在R上的奇函数，，，则________．
【正确答案】2
因为是定义在R上的奇函数，故，又因为，
所以,故，所以，，即的周期为4，
由于为定义在R上的奇函数，故，，，故，，故答案为2.
14. 若过点作曲线的切线有且仅有两条，则的取值范围是 ．
【正确答案】
设切点为，，故切线方程为，将代入切线方程得，
令，则
，
故的单调减区间，增区间是.当时，，当时，，，当与有且仅有两个交点时，，故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）已知函数为奇函数．
(1)求实数的值；
(2)若函数，且在区间上没有零点，求实数的取值范围．
【正确答案】(1) ;(2)
（1）因为是奇函数，所以，1分
即，3分
所以，故，则，5分
当时，显然不成立;经验证：符合题意；所以；6分
（2）由，，8分
当时，，故在上单调递减. 9分
故.10分
因为在区间上没有零点，所以或12分
所以13分
16.（15分）已知三棱锥D-ABC，D在平面ABC上的射影为△ABC的重心O，，.
(1)证明：BC⊥AD；
(2)E为AD上靠近A的三等分点，若三棱锥D-ABC的体积为，求二面角的余弦值．
【正确答案】（1）见解答；（2）
（1）如图所示，连结并延长交于，因为O为△ABC的重心，所以是的中点，1分
又因为，所以由等腰三角形三线合一可得，2分
因为D在平面ABC上的射影为O，所以平面ABC，3分
又平面ABC，所以，4分
又平面，所以平面，5分
又平面，所以，6分
（2）由（1）知，面ABC，过作轴平行于，则轴垂直于面ABC，
如图以为轴，轴，建立空间直角坐标系，7分
在中，，由（1）知，， 故，
，8分
所以三棱锥A-BCD的体积为 ，则
因为为△ABC的重心，故，9分
则，
因为E为AD上靠近A的三等分点，所以，
故10分
设为平面的一个法向量，则，
取，则，故，12分
易得是平面的一个法向量，13分
设二面角的平面角为，则为钝角，
所以，
所以二面角的余弦值为.15分
17. （15分）某小区有3000名居民，想通过验血的方法筛选乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占.为减轻工作量，随机地按人一组分组，然后将各组个人的血样混合在一起化验.若混合血样呈阴性，说明这个人全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次。
（1）若试估算该小区化验的总次数；
（2）若，且每人单独化验一次花费10元，人混合化验一次花费元，求当为何值时，每个居民化验的平均费用最少.
注：假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.当时，.
【正确答案】(1)270;(2)10
（1）设每组需要检验的次数为X，若混合血样为阴性，则X=1，若混合血样呈阳性，则X=21，1分
所以，，3分
所以
5分
一共有组，故估计该小区化验的总次数是.7分
（2）设每组n人总费用为Y元，若混合血样呈阴性，则Y=n+9；若混合血样呈阳性，则Y=11n+9, 8分
故，10分
12分
每位居民的化验费用为
=元14分
当且仅当，即时取等号，故n=10时，每个居民化验的平均费用最少.15分
18. （17分）在平面直角坐标系中，已知，，动点P满足，且.设动点P形成的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）过点的直线l与曲线C交于M，N两点，试判断是否存在直线，使得A，B，M，N四点共圆.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
【正确答案】（1）；（2）不存在
（1）设，则，，，1分
因为，所以，2分
所以，，所以，，3分
又因为，整理得，4分
所以曲线C的方程为；5分
（2）易知当的斜率不存在时，直线l与曲线C没有两个交点，所以直线l的斜率存在，6分
设l：，将直线l与曲线C联立，得，
消去y，整理得，7分
因为且，
所以且，8分
设，，则，，
所以MN的中点，且，9分
将，代入上式，
整理得，10分
当时，线段MN的中垂线方程为：， 11分
令y＝0，解得，即与x轴的交点坐标为，12分
当k＝0时，线段MN的中垂线为y轴，与x轴交于原点，符合Q点坐标，13分
因为AB的中垂线为x轴，所以若A，B，M，N共圆，则圆心为，
所以，14分
所以，15分
整理得，即，16分
因为且，
所以上述方程无解，即不存在直线符合题意. 17分
19. （17分）在高等数学中，我们将在处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的泰勒展开式.当时泰勒展开式也称为麦克劳林公式.比如在处的麦克劳林公式为：，
由此当时，可以非常容易得到不等式
请利用上述公式和所学知识完成下列问题：
(1)写出在处的泰勒展开式.
(2)若，恒成立，求a的范围;（参考数据）
(3)估计的近似值（精确到）
【正确答案】（1）；（2）；（3）
(1)在处的泰勒展开式为：
，2分
（2）因为
由在处的泰勒展开式，先证，
令，3分
，易知，所以在上单调递增，
所以，所以在上单调递增，所以，4分
所以在上单调递增，所以，
再令，，易得，
所以在上单调递增，在上单调递减，6分
而，所以 恒成立，7分
当时， ，所以成立，8分
当时，令，，易求得，
所以必存在一个区间，使得在上单调递减，
所以时，，不符合题意. 10分
综上所述，.11分
（3）因为转化研究的结构12分
13分
14分
两式相减得15分
取得
所以估计的近似值为（精确到）. 17分