2024-2025学年四川省成都市高三上册9月诊断性评价数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省成都市高三上册9月诊断性评价数学检测试题（含解析），共14页。试卷主要包含了已知集合P=，，则PQ=，命题“”的否定是，设，则“”是“”的，设，，，函数的最小正周期是，已知函数则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合P=，，则PQ=（ ）
A．B．
C．D．
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．若复数满足，其中为虚数为单位，则=
A．B．C．D．
5．设，，．若，则实数的值等于
A．B．C．D．
6．函数的最小正周期是（ ）
A．B．πC．D．2π
7．已知函数则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数B．是增函数
C．是周期函数D．的值域为
8．盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时从中任取3个来使用，比赛后仍放回盒中.第二次比赛时再从中任取3个球，则第二次取出的球都是新球的概率为（ ）
A．B．C．D．
二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要.求全部选对的得6分，部分选对的按比例得分，有错选的得0分.
9．已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（ ）
A．变量之间呈现负相关关系B．
C．可以预测，当时，约为D．由表格数据知，该回归直线必过点
10．已知等差数列的公差为，前项和为，且，成等比数列，则（ ）
A．B．
C．当时，是的最大值D．当时，是的最小值
11．已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．B．
C．D．
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．函数的定义域是 ．
13．的展开式中，的系数是 用数字作答
14．设O为坐标原点，直线x=a与双曲线的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为 .
四､解答题：本大题有5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知集合，.
(1)若，求；
(2)若存在正实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围.
16．在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
17．电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查，其中女性有名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称为“体育迷”．
(1)根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取名观众，抽取次，记被抽取的名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差．
附.
18．已知椭圆.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.
19．已知函数为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.
(1)求的值；
(2)求的单调区间；
(3)设，其中为的导函数.证明：对任意，.
x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
非体育迷
体育迷
合计
男
女
合计
1．B
【分析】根据集合交集定义求解.
【详解】
故选：B
本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
2．C
【分析】根据存在量词命题与全称量词命题的关系进行判断.
【详解】根据存在量词命题与全称量词命题的关系可知：
命题“”的否定是.
故选：C
3．A
【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.
【详解】求解二次不等式可得：或，
据此可知：是的充分不必要条件.
故选：A.
本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.
4．A
【详解】因为，所以， ，所以， 故选A.
考点：复数的概念与运算.
5．A
【详解】由已知得，因为，则，因此，解得，故选A．
考点：平面向量数量积．
6．B
【分析】因为，根据辅助角公式可化简为，根据正弦二倍角公式和正弦周期公式，即可求得答案.
【详解】
,
故最小正周期,
故选：B.
本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题较易，能较好地考查考生的运算求解能力及对复杂式子的变形能力等.
7．D
【分析】根据函数奇偶性、单调性、周期性的定义，逐一分析选项即可.
【详解】分段函数的左右两边的函数图像不关于轴对称， A不正确.
当时，不单调， B不正确.
当时，没有周期性， C不正确.
当时，的值域为，当时，的值域为，所以的值域为，D正确.
故选:D.
8．A
【分析】令表示第一次任取3个球使用时，取出i个新球，分别求出其概率，再由全概率公式求解即可.
【详解】令表示第一次任取3个球使用时，取出i个新球，B表示“第二次任取的3个球都是新球”，则有，，，，根据全概率公式，第二次取到的球都是新球的概率为.
故选：A.
9．ACD
根据回归直线斜率知A正确；利用回归直线必过样本中心点可构造方程求得，可知B错误，D正确；将代入回归直线知C正确.
【详解】对于A，由得：，故呈负相关关系，A正确；
对于B，，，
，解得：，B错误；
对于C，当时，，C正确；
对于D，由知：，回归直线必过点，即必过点，D正确.
故选：ACD.
10．ACD
【分析】根据等比中项的性质得到方程，即可得到，再根据等差数列的通项公式、求和公式及单调性判断即可.
【详解】因为，，成等比数列，所以，即，
整理得，因为，所以，
所以，则，故A正确、B错误；
当时单调递减，此时，
所以当或时取得最大值，即，故C正确；
当时单调递增，此时，
所以当或时取得最小值，即，故D正确；
故选：ACD
11．ABD
【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.
12．(0,+∞)
【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.
【详解】由题意得，
故(0,+∞)
本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.
13．
【分析】利用二项展开式的通项得，令，得，从而得出答案.
【详解】写出通项，
因为要求展开式中的系数,所以令得，
所以.
故答案为.
14．
【分析】写出双曲线C的渐近线方程，求出D，E坐标，由三角形面积建立a，b的关系，借助均值不等式即可作答.
【详解】双曲线C的渐近线方程为，
不妨令点D为在第一象限，E在第四象限，由解得，同理，
，所以的面积，
于是，双曲线的焦距，当且仅当时取等号，所以的焦距的最小值为
故8
15．(1)
(2)
【分析】（1）解指数不等式，一元二次不等式化简集合，然后由交集定义计算；
（2）根据充分不必要条件的定义得不等式组求解；
【详解】（1）
因，则.
当时，，所以.
（2）因“”是“”成立的充分不必要条件，则A是B的真子集.
所以，经检验“=”满足.
所以实数m的取值范围是.
16．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；
（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.
【详解】（1）证明：在四边形中，作于，于，
因为，
所以四边形为等腰梯形，
所以，
故，，
所以，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又，
所以平面，
又因为平面，
所以；
（2）解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
，
则，
则，
设平面的法向量，
则有，可取，
则，
所以与平面所成角的正弦值为.
17．(1)“体育迷”与性别无关；
(2)分布列见解析，，.
【分析】（1）根据频率分布直方图计算可得“体育迷”的人数，由此可得列联表；根据列联表计算可得，由此可得结论；
（2）根据频率分布直方图计算可知，由二项分布概率公式计算可得分布列；由二项分布数学期望和方差计算公式可求得.
【详解】（1）由频率分布直方图可知：在抽取的人中，“体育迷”有人，从而可得列联表如下：
将列联表中的数据代入公式计算得：，
没有充分的理由认为“体育迷”与性别有关，即“体育迷”与性别无关.
（2）由频率分布直方图可知抽到“体育迷”的频率为，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为，则，
所有可能的取值为，
，，
，；
的分布列如下：
；.
18．（1）；（2）直线与圆相切.
【详解】试题分析：（1）把椭圆：化为标准方程，确定，，利用求得离心率；（2）设点，，其中，由，即，用、表示，当或分别根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较，从而判断直线与圆的位置关系.
（1）由题意椭圆的标准方程为，
所以，，从而，
所以.
（2）直线与圆相切，证明如下：
设点，，其中，
因为，所以，即，解得，
当时，，代入椭圆的方程得，
此时直线与圆相切.
当时，直线的方程为，
即，
圆心到直线的距离为，又，，
故.
故此直线与圆相切.
考点：椭圆的性质，直线与圆的位置关系.
19．(1)
(2)的递增区间为，递减区间为
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义分析运算；
（2）求导，利用导数求原函数的单调区间；
（3）根据题意分析可得对，，构建新函数、，分别利用导数求最值，即可证明.
【详解】（1）由题意可得：，，
∵在,处的切线与轴平行，即，
.
（2）由（1）得：，，
令，，
当时，则，故；
当时，则，；
∵，
则时，；时，；
故的单调递增为，单调递减为.
（3）由，即，，
对，，等价于对，，
由（2）对于，，则，，
当时，；当时，；
可得在上单调递增，在上单调递减，
故，即，
设，则对恒成立，
故在上单调递增，则，即；
综上：，故，gx