2024-2025学年四川省合江县高三上册9月月考数学质量检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省合江县高三上册9月月考数学质量检测试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分和两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．
第I卷（选择题 共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，集合，则集合的子集个数为（ ）
A．7B．8C．16D．32
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
5．都是复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．
D．则
6．已知函数在R上单调递减，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．0,4
7．2023年的某一天某红酒厂商为了在线出售其红酒产品，联合小Y哥直播间，邀请某“网红”来现场带货．在带货期间，为吸引顾客光临直播间、增加客流量，发起了这样一个活动：如果在直播间进来的顾客中，出现生日相同的顾客，则奖励生日相同的顾客红酒1瓶．假设每个随机来访的顾客的出生日期都是相互独立的，并且每个人都等可能地出生在一年（365天）中任何一天（2023年共365天），在远小于365时，近似地，，其中．如果要保证直播间至少两个人的生日在同一天的概率不小于，那么来到直播间的人数最少应该为（ ）
A．21B．22C．23D．24
8．函数在区间上所有零点的和等于（ ）
A．2B．4C．6D．8
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，D．的最小值为
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间上单调递减
C．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象
D．若，则
11．关于函数，，下列说法正确的是（ ）
A．对任意的，
B．对任意的，
C．函数的最小值为
D．若存在使得不等式成立，则实数a的最大值为
第II卷（非选择题共92分）
注意事项：
（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效．
（2）本部分共8个小题，共92分．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12．已知函数，则在处的切线方程为 .
13．已知函数，且，则的值为 ．
14．已知二次函数，且，若不等式恒成立，则的取值范围是 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数．
(1)求曲线的对称轴；
(2)已知，，求的值．
16．设函数，其中．
(1)若，且对任意的，都有，求实数的取值范围；
(2)若对任意的，，都有，求实数的取值范围．
17．已知等差数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)若，令，求数列的前项和．
18．已知，，是自然对数的底数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；
(3)当时，若满足，求证.
19．已知正整数，集合，，，，，，2，，．对于中的元素，，，，，，定义．令．
(1)直接写出的两个元素及的元素个数；
(2)已知，，，，满足对任意，都有，求的最大值；
(3)证明：对任意，，，，总存在，使得．
1．C
【分析】由根号内大于等于，真数大于，计算即可得.
【详解】由题意得，解得，
故其定义域为.
故选：C.
2．B
【分析】由条件确定结合中的元素，由此可得集合的子集个数.
【详解】因为，，
所以，
所以集合的子集个数为.
故选：B.
3．C
【分析】分别求出两个命题，得到递推关系，最后得到充分性和必要性即可.
【详解】由，解得，由，解得，
所以“”是“”的充要条件，
故选：C
4．B
【分析】根据三角函数的定义可先得，再根据诱导公式计算即可.
【详解】由正弦函数的定义可知，
再利用诱导公式知.
故选：B
5．C
【分析】举反例即可判断A，设，计算出和即可判断B，设，，分别计算和即可判断C，虚数不能比较大小，即可判断D
【详解】对于A，当时，，但，故A错误，
对于B，设，显然，，故B错误，
对于C，设，
所以，
所以
，
又
所以，故C正确
对于D选项，若，则虚数不能比较大小，故D错误，
故选：C
6．D
【分析】由函数fx在上单调递减，列出相应的不等式组，即可求解.
【详解】当时，，
因为和都是减函数，所以在−∞,1上单调递减，
当时，，要使其在上单调递减，则，
所以，解得，故D正确.
故选：D.
7．C
【分析】设人数为，根据古典概型概率公式求出“至少有两个人在同一天生日”的概率，再进行化简计算即可.
【详解】设直播间进来了个人，则这个人生日的可能性有种，这个人中任意两个人都不在同一天生日的可能结果种数为，
设“这个人中任意两个不是同一天生日”，根据古典概型概率公式可得，
则其对立事件“这个人中至少有两个人的生日在同一天”的概率为.
由题意：，从而，得，化简得，即，故.
故选：C.
8．D
【分析】根据y=fx在的零点，转化为的图象和函数的图象在交点的横坐标，画出函数图象，可得到两图象关于直线对称，且y=fx在上有8个交点，即可求出.
【详解】因为，
令，则，
则函数的零点就是函数的图象和函数的图象在交点的横坐标，
可得和的函数图象都关于直线对称，
则交点也关于直线对称，画出两个函数的图象，如图所示.
观察图象可知，函数的图象和函数的图象在上有8个交点，
即有8个零点，且关于直线对称，
故所有零点的和为.
故选：D
9．BC
【分析】利用特征值判断A，根据不等式的性质判断B，利用基本不等式判断C，根据对勾函数的性质判断D.
【详解】对于A，当时，故A错误；
对于B，若，则，即，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，显然，
所以，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，因为，
令，则，令，
由对勾函数的性质可知，函数在上单调递增，
所以，
所以 ，当且仅当时取等号，故D错误.
故选：BC
10．ACD
【分析】根据二倍角公式以及辅助角公式化简，即可根据周期公式判断A，根据整体法判断B，根据函数图象的平移判断C，根据弦切互化以及二倍角公式即可求解D.
【详解】，
对于A，的周期为，A正确，
对于B，当，则，故B错误，
对于C，将函数的图象向右平移个单位长度，得到，故C正确，
对于D，，则，
故，
故，D正确，
故选：ACD
11．ACD
【分析】A：构造函数，利用导数的性质进行判断即可；
B：利用特殊值法，进行判断即可；
C：利用导数的性质进行判断即可；
D：利用转化法，根据特称命题与它的否命题的真假关系，结合构造函数法、导数进行判断即可.
【详解】A：设，
，当时，单调递增，
当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，即，所以有，即，所以本选项正确；
B： ，，显然，所以本选项不正确；
C：由，
设当时，，所以函数单调递增，
所以当时，，
因此当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，函数有最小值，最小值为，因此本选项正确；
D：命题：存在使得不等式成立，
它的否命题为：，不等式恒成立，
，
构造函数，，
当时，单调递增，
当时，单调递减，当时，函数有最小值，
最小值为：，
，
当时，而，所以，
当时，要想恒成立，只需恒成立
当，， 也成立，
即成立，也就是成立，
构造新函数，
当时，单调递减，当时，单调递增，
当时，函数有最大值，即，要想不等式恒成立，
只需，
当时，，而的值域为全体实数集，显然不可能恒成立，
因此当时，对于，不等式恒成立，
因此当时，存在使得不等式成立，所以实数a的最大值为，
因此本选项结论正确，
故选：ACD
关键点睛：构造函数，利用导数的性质，结合存在性和任意性的定义是解题的关键.
12．
【分析】先求函数定义域，再用导数几何意义求出切线斜率，之后求出点坐标，点斜式解出切线方程并化为直线的一般式即可.
【详解】由题意知：，x∈0,+∞，
，则切线斜率，
又，所以，
所以在点处的切线方程为：，
即.
故答案为.
13．
【分析】由函数解析式可知，函数为奇函数，有，计算即可.
【详解】，令，函数定义域为R，
∵，∴为奇函数，∴．
则，．
故-10
14．
【分析】本道题利用换元法，将题目所求式子转化成二元线性规划问题，结合数形思想，计算斜率范围，得到z的范围，即可．
【详解】结合题意,建立不等式组,得到,处理该不等式得到
令,建立新不等式组得到,绘制可行域,得到
可行域是画虚线位置,处理目标函数
转化成直线可得,因而该直线过定点,因此该直线斜率介于1号和2号直线之间,,设该直线与曲线的切点为,斜率为,得到方程为
,过定点,代入,解得,因而,解得
A的坐标为,因而PA的斜率为,得到,解得
,综上所述,z的范围为
本道题考查了线性规划以及过曲线切线斜率计算方法，难度较大．
15．(1)
(2)
【分析】(1)先化简的解析式，再根据对称轴公式即可求解；
(2)先代入函数求出，再根据同角三角函数的关系求出，再根据即可求解.
【详解】（1），
，
，
由，
得曲线的对称轴为；
（2）由题意可得，
即，
又，
则，
即，
所以，
故

.
16．(1)
(2)
【分析】（1）先求出，根据函数的对称性知时，，故分类为和，分别得到，再根据可得；
（2）“对任意的，，都有”等价于最大值与最小值之差不大于8，根据二次函数的性质对进行分类计算最大值最小值，即可.
【详解】（1）因为，
所以在区间上单调减，在区间上单调增，
且对任意的，都有，
若，则，
在区间上单调递减，在区间上单调递增．
“对任意的，都有”等价于“在区间上，”．
①当，即时，，
，得，所以；
②当，即时，，恒成立，故．
综上所述，，实数的取值范围为区间．
（2）设函数在区间0,4上的最大值为，最小值为，
所以“对任意的，，都有”等价于“”．
①当时，，，
由，得，又，无解；
②当时，，，
由，得，因此；
③当时，，，
由，得，因此；
④当时，，，
由，得，无解，
综上所述，实数的取值范围为区间．
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由，，可求解，，利用等差数列通项公式求解即可；
（2）由（1）知，， ，利用等差数列求和公式求解即可；
（3）由，，可知，利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则
，解得，
所以；
（2）由（1）知，， ，
所以；
（3）因为，，所以，
①，
②，
①-②得
，
所以.
18．(1)极小值为0，无极大值.
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）把代入函数中，并求出f′x，根据f′x的正负得到的单调性，进而求出的极值.
（2）等价于与的图象有两个交点，求导得到函数y=gx的单调性和极值，画出y=gx的大致图象，数形结合求解即可.
（3）求出f′x，并得函数y=fx在上单调递减，在上单调递增，可得则，，要证，只需证，只需证，即证，令，对ℎx求导证明即可.
【详解】（1）当时，，定义域为，求导可得，
令，得，
当时，f′x0，函数在区间0,+∞上单调递增，
所以y=fx在处取到极小值为0，无极大值.
（2）方程，
当时，显然方程不成立，
所以，则，
方程有两个不等实根，即与的图象有2个交点，
，
当或时，，
在区间和0,1上单调递减，
并且时，gx0，
当时，，在区间1,+∞上单调递增，
时，当时，取得最小值，，
作出函数y=gx的图象，如图所示：
因此与有2个交点时，，
故的取值范围为.
（3）证明：，由，得，
当时，，当时，，
所以函数y=fx在上单调递减，在上单调递增.
由题意，且，则，.
要证，只需证，
而，且函数在上单调递减，
故只需证，
又，所以只需证，
即证，
令，
即，
，
由均值不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立.
所以函数ℎx在R上单调递增.
由，可得，即，
所以，
又函数在上单调递减，
所以，即得证.
19．(1)，1，1，0，0，，，0，0，1，1，，20
(2)4
(3)证明见解析
【分析】（1）由题意可确定，，，，中1的个数为3，结合组合知识，即可求得答案；
（2）由题意可将原问题转化为对任意，都有的元素个数最多几个，结合引理得出相应不等式，即可求出答案；
（3）由题意知，，，共有个非空子集，记为，结合抽屉原理得存在两个不同的，，，的非空子集，，，，，，
，，，，有与奇偶性相同，继而推出必存在一个，3，，，使得为奇数，结合，1，，即可证明结论.
【详解】（1），1，1，0，0，，，0，0，1，1，，
，
中6个分量中恰有3个1，的元素个数为．
（2）对于的非空子集，，，，
设，，，，，2，，，这里是的第个分量，
定义，2，，，规定，0，，，
设，，，，2，，，
令，，，，，，，
我们先证明引理：，2，，，．
反证法：，2，，，，令，
设，，，，满足，其中，2，，，
，，2，，，且，，
，，这与矛盾，引理证毕，
回到原题，由引理，解得，
，1，1，0，0，，，0，0，1，1，，，1，0，0，1，，
，0，1，1，0，，符合题意，
综上，当时，的最大值为4．
（3）证明：，，，共有个非空子集，记为，，2，，，
则在每分量的奇偶性下恰有2种不同的状态，由知，
由抽屉原理，存在两个不同的，，，的非空子集，，
设，，，，
，，，，有与奇偶性相同，，2，，，
令，，由于，，
令，，，，则，，，
且都为偶数，，2，，，不妨设，，，，
则为偶数，
而为奇数，故，且为奇数，
故必存在一个，3，，，使得为奇数，
又由于，1，，从而．
难点点睛：本题考查了元素与集合的关系问题，综合性较强，涉及到抽屉原理以及反证法的应用，解答时需要有较强的逻辑思维能力.