2024-2025学年天津市河东区高三上册第一次月考数学质量检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年天津市河东区高三上册第一次月考数学质量检测试卷（附解析），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 已知集合，则集合B为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】确定全集中的元素，根据补集的含义，即可求得答案.
【详解】∵集合，
又，
∴,
故选：D．
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】必要性：若，则可得，所以可得，必要性成立；
若，则，而，故充分性不成立，
“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】判断出的奇偶性，结合的符号可选出答案.
【详解】因为的定义域为，
所以是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D
因为，所以排除A
故选：C
4. 已知数列是等比数列，，数列是等差数列，前项和为，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】利用等比中项的性质可求出的值，利用等差中项的性质可求出的值，再利用等差数列的求和公式以及等比中项的性质可求得的值.
【详解】因为数列an是等比数列，则，可得，
因为等差数列bn前项和为，，
则，可得，所以，
因此，.
故选：A.
5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】由指数函数，对数函数单调性可得答案.
【详解】因函数在0,+∞上单调递增，
则，，
则.
故选：A
6. 设数列前n项和，数列的前m项和，则m的值为（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 20
【正确答案】A
【分析】由结合题意可得，再由裂项求和法可化简，即可得答案.
【详解】由，
又，
则，
又时，，则.
则，
则.
令.
故选：A
7. 已知奇函数的定义域为，且对任意实数满足，当时，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据函数的奇偶性以及对称性，可得函数的周期性，结合对数的运算性质，可得答案.
【详解】由函数为奇函数，则为关于成中心对称；
由函数对任意实数满足，则函数关于直线成轴对称；
故，则，即函数的最小正周期.
，
由，则，即.
故选：D.
8. 已知函数的部分图象如图所示，其中，，则以下说法正确的个数为（ ）
①函数的最小正周期是；
②函数的图象关于直线对称；
③把函数图像上的点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到的图象；
④当时，
A. 0B. 1C. 2D. 3
【正确答案】C
【分析】根据函数图象求出的解析式，再根据正弦函数的图象性质逐一判断即可.
【详解】由图象知：，解得，故①错误；
所以，解得.
将代入得，
所以，即，
又因为，所以，.
当时，，
所以函数的图象关于直线对称，故②正确；
把函数图像上的点横坐标缩短为原来的，
得到，故③正确；
当时，，
，，故④错误.
所以说法正确的是②③.
故选：C.
9. 设函数f（x）是定义在区间上函数，f'（x）是函数f（x）的导函数，且，则不等式 的解集是
A. B. （1，＋∞）C. （－∞，1）D. （0，1）
【正确答案】D
【分析】构造函数，求导，结合，可得在上单调递增，则不等式，可变为，则，结合单调性即可求解．
【详解】构造函数，则，由，所以，即在上单调递增．因为，则不等式，可变为，则，所以，所以，故选D
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查学生发散思维和计算能力，属中档题．解题的关键在于根据给出的条件，构造新函数，求导可应用题中条件，得到新函数的单调性，把问题转化为根据单调性解不等式问题，进而得到答案．
二、填空题
10. 的展开式中，常数项为______．
【正确答案】3
【分析】先求出展开式中的通项公式，然后令的指数为0求解.
【详解】由展开式中的通项公式为：，
令，则，
故展开式中的常数项为：，
故3.
11. 袋子中有5个大小相同的球，其中红球2个，白球3个，依次从中不放回的取球，则第一次取到白球且第二次取到红球的概率是__________；若在已知第一次取到白球的前提下，第二次取到红球的概率是__________.
【正确答案】 ①. ##0.3 ②. 12##0.5
【分析】由题意设第一次取到白球为事件A，第二次取到红球为事件B，由古典概型概率公式和独立事件的乘法公式分别求出，结合条件概率公式计算即可求解.
【详解】由题意，设第一次取到白球为事件A，第二次取到红球为事件B，
则，
所以.
故；.
12. 已知等比数列前项和（其中）．则的最小值是__________．
【正确答案】
【分析】由等比数列前n项和可得，再利用基本不等式可得答案.
【详解】因为等比数列的前n项和，
所以，
，
，
又，即，
解得，，，
，
当且仅当，即，时等号成立.
故答案为.
13. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，若实数满足，则实数的取值范围是______．
【正确答案】
【分析】分析可知函数在上单调递增，且，由已知条件可得出，结合函数的单调性和奇偶性可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，
则函数在上单调递增，且，
因为，由，
可得，即，
即，所以，，即，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为.
14. 已知函数，（i）若，将函数沿x轴向右平移单位后得到函数图像关于y轴对称，则______；（ii）若在上单调，则ω的最大值为______．
【正确答案】 ①. ②.
【分析】（i）根据辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦型函数图像平移的性质，结合正弦型奇偶性进行求解即可；
（ii）根据正弦型函数单调性与周期性的关系，结合正弦型函数的单调性分类讨论进行求解即可.
【详解】.
（i）若，则，
函数沿x轴向右平移单位后得到函数图像的解析式为：
，
由题意可知：函数的图像关于y轴对称，
所以函数是偶函数，
于是有，
因，所以令，得；
（ii）因为函数在上单调，
所以函数的最小正周期，
解得，
当函数在上单调递增时，
因，所以，
则有，
即，
而，所以令，则有；
当函数在上单调递减时，
因为，所以，
则有，
即，
而，所以令，则有；
综上所述：ω的最大值为，
故
关键点点睛：本题的关键是根据题意分类讨论.
15. 设，函数与函数在区间内恰有3个零点，则a的取值范围是________．
【正确答案】，．
【分析】设，结合题意可知函数在区间，内恰有3个零点，分析时不符合题意，时，结合二次函数的正负及的正负即可求解．
【详解】由题意，函数与函数在区间，内恰有3个零点，
设，
即函数在区间，内恰有3个零点，
当时，函数在区间，内最多有2个零点，不符合题意；
当时，函数的对称轴为，
，
所以，函数在，上单调递减，在上单调递增，且，
当，即时，函数在区间，上无零点，
所以函数在，上有三个零点，不符合题意；
当，即时，函数在区间，上只有一个零点，
则当，时，，
令，解得或，符合题意；
当，即时，函数在区间，上有1个零点，
则函数在，上有2个零点，
则，即，所以；
当，即时，函数在区间，上有2个零点，
则函数在，上只有1个零点，
则或或，即无解．
综上所述，的取值范围是，．
故，．
本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题判断函数零点个数的常用方法：
(1) 直接法： 令则方程实根的个数就是函数零点的个；
(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.
三、解答题
16. 在中，内角所对的边分别为，已知的面积为．
(1) 求和的值；
(2) 求的值．
【正确答案】（1），（2）
【分析】（1）由面积公式可得结合可求得解得再由余弦定理求得a=8.最后由正弦定理求sinC的值;（2）直接展开求值.
【详解】（1）△ABC中,由得由,得又由解得由,可得a=8.由,得.
（2）,
本题主要考查三角变换及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查基本运算求解能力.
17. 如图所示，在三棱柱中，平面，.是棱的中点，为棱中点，是的延长线与的延长线的交点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，进而利用向量法即可证明平面；
（2）利用向量法求解直线与平面所成的夹角的正弦值即可；
（3）利用向量法求解平面与平面所成的夹角的余弦值即可.
【小问1详解】
在三棱柱中，平面，，
则直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图：

由，得，，
在中，且是棱的中点，则也是的中点，即，，
设平面的一个法向量n=x,y,z，则
则，令，得，
，因为，所以，
又因为平面，所以平面．
【小问2详解】
由（1）知平面的法向量，又，
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【小问3详解】
设平面的一个法向量，
则，令，得
设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值．
18. 已知等差数列的前n项和为，，，数列满足：，．
（1）证明：是等比数列；
（2）证明：；
（3）设数列满足：，求．
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）.
【分析】（1）利用构造法，结合等比数列的定义即可证明；
（2）由题及（1）可求得与，即可完场证明；
（3）由错位相减法可得答案.
【小问1详解】
因，则，.
则是以为首项，公比为的等比数列；
【小问2详解】
设的公差为，
则，则；
由（1），，因，
则
注意到， ，则命题得证；
【小问3详解】
由（1）可得，则，
则.
得，则，
两式相减得：
.
19. 已知无穷数列中，、、…、构成首项为2，公差为的等差数列，、、…、，构成首项为，公比为的等比数列，其中，．
（1）当，时，求数列的通项公式；
（2）若m是偶数且，求．
（3）若对任意的，都有成立，记数列的前n项和为．判断是否存在m，使得成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【正确答案】（1）
（2）
（3）不存在，理由见解析
【分析】（1）根据等差数列，等比数列的通项公式，根据的取值利用分段数列的形式表示通项公式即可；
（2）根据题意结合等差数列和等比数列的求和公式即可求解；
（3）由题意可知数列的周期，先将数列的前项和求出，然后利用周期性可得，构造函数，利用定义法可求出的最大值，即可判断.
【小问1详解】
当时，，
当时，，
所以；
【小问2详解】
因为m是偶数，
所以
；
【小问3详解】
因为对任意的，都有成立，
所以数列的周期为，
由（1）可得，
又，
所以，
设，
则，
因为，所以，
即，
故时，取得最大值，最大值为，
从而最大值为，不可能有成立，
故不存在满足条件的实数.
关键点点睛：解决（3）的关键是利用数列的周期性，结合函数的单调性求解.
20. 已知函数，，（）．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数k的取值范围；
（3）设，证明：当时，函数f（x）存在唯一的极大值点，且．
【正确答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；
（2），考虑和两种情况，得到函数的单调区间，只需，设，求导得到单调区间，计算最值即可；
（3）求导得到单调区间，确定，结合（2）中的结论得到，设，求导得到函数单调递增，计算最值得到证明．
【小问1详解】
由得，
又，所以，
所以切线方程为：，即；
【小问2详解】
，
当时，，为上的增函数，
所以存在，，不符合题意；
当时，由，得，
时，是减函数，
时，是增函数，
所以，所以只需，
设，则，
当时，，为增函数；当时，，为减函数，
则，所以当且仅当时不等式成立，
综上所述：；
【小问3详解】
，
因为是上的减函数，由正切函数的性质及可知，
在内，存在唯一实数，使得，
当时，f'x>0，为增函数，
当时，f'x