2024-2025学年天津市西青区高三上册第一次月考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年天津市西青区高三上册第一次月考数学检测试卷（附解析），共19页。试卷主要包含了 已知集合，，则， “”是“”的， 三个数，，的大小关系为， 已知双曲线， 已知函数等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】直接根据并集含义即可得到答案.
【详解】因为集合，，
所以，
故选：A.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】B
【分析】分别判断充分性和必要性是否成立即可.
【详解】若，如，则，故充分性不成立；
若，则，则，故必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3. 三个数，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】利用函数的性质求出的范围，即得解.
【详解】由题得，
，.
所以.
故选：A
本题主要考查指数对数函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4. 已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（ ）

A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】利用排除法，根据选项代特值检验即可.
【详解】设题设函数为，由选项可知：ABCD中的函数定义域均为R，
对于选项D：若，但此时，矛盾，故可排除D；
对于选项C：若，但此时，矛盾，故可排除C；
对于选项B：若，但此时，矛盾，故可排除B.
故选：A.
5. 随着居民家庭收入的不断提高，人们对居住条件的改善的需求也在逐渐升温．某城市统计了最近5个月的房屋交易量，如下表所示：
若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则下列说法错误的是（ ）
A. 根据表中数据可知，变量与正相关
B. 经验回归方程中
C. 可以预测时房屋交易量约为（万套）
D. 时，残差为
【正确答案】D
【分析】首先求出、，根据回归方程必过样本中心点求出参数，从而得到回归方程，再一一判断即可.
【详解】对于B，依题意，，
所以，解得，所以，故B正确；
对于A，因为经验回归方程，，
所以变量与正相关，故A正确；
对于C，当时，，
所以可以预测时房屋交易量约为（万套），故C正确；
对于D，当时，，
所以时，残差，故D错误.
故选：D
6. 在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】
根据三棱锥的表面积进一步求出正方体的棱长，最后求出正方体的外接球的半径，进一步求出结果．
【详解】解：设正方体的棱长为，则，
由于三棱锥的表面积为，
所以
所以
所以正方体的外接球的半径为，
所以正方体的外接球的体积为
故选：．
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
7. 将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数 的图象，则（ ）
A. B. 在上单调递增
C. 在上的最小值为D. 直线是图象的一条对称轴
【正确答案】D
【分析】由平移变换内容得可判断A；求出的增区间可判断B；依据的范围即可求出的值域即可判断C；根据对称轴方程求解的对称轴方程即可判断D.
【详解】对于选项A，由题意，可得，
故A错误；
对于选项B，令，，
所以在上单调递增，故B错误；
对于选项C，因为，所以，故，
在上的最小值为0，故C错误；
对于选项D，函数的对称轴方程为，
化简可得，取，可得，
所以是图象的一条对称轴，故D正确.
故选：D.
8. 已知双曲线：，圆与圆的公共弦所在的直线是的一条渐近线，则的离心率为（ ）
A. B. 2C. D.
【正确答案】C
【分析】两圆的方程相减可得双曲线的一条渐近线方程，据此可求双曲线的离心率.
【详解】因为，，所以两圆方程相减可得，
由题意知的一条渐近线为，即，
双曲线的离心率．
故选：C．
9. 已知函数（，且），，若函数在区间上恰有3个极大值点，则的取值范围为（ ）
A. B. ．C. D.
【正确答案】D
【分析】利用三角恒等变换化简得到，从而得到，根据函数极大值点的个数得到方程，求出答案.
【详解】，
，，
函数在区间上恰有3个极大值点，
故，解得.
故选：D
二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将正确的答案填写到答题卡上.试题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分.
10. 是虚数单位，复数________．
【正确答案】##
【分析】根据复数除法法则计算出答案.
【详解】.
故
11. 的展开式中常数项是______．（用数字作答）
【正确答案】
【分析】利用二项式展开式的通项公式求出指定项即可.
【详解】由的展开式的通项得：，
令，得，故．
故答案为.
12. 袋子中有6个大小相同的小球，其中4个红球，2个白球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则两次都摸到红球的概率为__________；在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为__________.
【正确答案】 ①. ## ②. ##
【分析】利用古典概型和条件概率公式计算即可.
【详解】两次都摸到红球的概率为，
第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率，可通过缩小样本空间得出.
故；
13. 在中，已知，为线段的中点，若，则______．
【正确答案】
【分析】根据题意，由向量的线性运算公式可得，由平面向量基本定理可得、的值，进而计算可得答案．
【详解】根据题意，在中，已知，则，
由于为线段的中点，
则，
又，、不共线，故，，
所以．
故．
14. 已知实数，，，则的最小值是______．
【正确答案】
【分析】先利用基本不等式求得的最小值，进而求得的最小值，即可得到答案.
【详解】由题意，设，
又由，
当且仅当时，即时等号成立，
即的最小值为，所以的最小值是.
故答案为.
本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中先利用基本不等式求得的最小值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
15. 已知函数，，，其中表示a，b中最大的数．若，则________；若对恒成立，则t的取值范围是________．
【正确答案】 ①. ②. .
【分析】由函数的定义，求，由时，，当时，可得已知条件等价于在上恒成立，化简可求的范围．
详解】由已知，
若，则，所以，
当时，，当时，，
因为对恒成立；
所以当时，恒成立，
所以当时，恒成立，
若，则当时，，矛盾，
当时，可得恒成立，所以，
所以t的取值范围是为，
故，.
三､解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 在中，角，，的对边分别为，，.已知，，.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由余弦定理计算可得；
（2）利用余弦定理计算可得；
（3）首先求出，从而由二倍角公式求出、，最后由两角和的正弦公式计算可得.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理可得，
又，，
由余弦定理，即，解得或（舍去），
所以.
【小问2详解】
由余弦定理.
【小问3详解】
由（2）可得，
所以，
，
又，
所以
.
17. 如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上一点.
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
（3）.
【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可；
（2）根据（1）的结论及点到面的距离公式计算即可；
（3）利用空间向量计算面面夹角即可.
【小问1详解】
以点为坐标原点，分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
，设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，则.
又，可得，因平面，所以平面.
【小问2详解】
因为平面，所以点到平面的距离等于点A到平面的距离.
易知，则点A到平面的距离为.
【小问3详解】
易知，设平面的一个法向量为，
则，即，令，则.
设平面与平面的夹角为，
则
故平面与平面的夹角的余弦值为.
18. 已知椭圆的离心率为，左顶点与上顶点的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）点在椭圆上，且点不在轴上，线段的垂直平分线与轴相交于点，若为等边三角形，求直线的方程.
【正确答案】（1）
（2）或
【分析】（1）根据已知条件得出关于，再由以及可得出、的值，由此可得出椭圆的方程；
（2）分析可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的斜率为，设点，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，进而可求得线段的中垂线方程，进而可求得点的坐标，由为等边三角形可得出，可得出关于的方程，解出的值，即可得出直线的方程.
【小问1详解】
解：（1）由题意可知离心率，即可得，
且，又，解得，，
所以椭圆C的方程为.
【小问2详解】
解：如下图所示：
由题意可知A−2,0，结合图形可知，直线的斜率存在，设直线的斜率为，
因为点不在轴上，则，直线的方程为，
设，联立可得，
显然是方程的一个根，
由韦达定理可得，则，
所以，即，
可得的中点为，
所以直线的垂直平分线方程为，
令，解得，即，
若为等边三角形，则，
即，
整理得，解得或（舍），所以，，
所以，直线的方程为或.
关键点点睛：本题第（2）小问的关键在于设出直线的方程求出后，进一步求出点、的坐标，结合得出关于的方程求解.
19. 已知为等差数列，前项和为是首项为2的等比数列，且公比大于0，.
（1）求和的通项公式；
（2）若数列满足：，求数列的前项和；
（3）若数列满足：，证明.
【正确答案】（1），；
（2）；
（3）证明见解析．
【分析】（1）由等比数列的通项公式求得公比，即可得数列的通项公式，再结合等差数列的通项公式求出公差和首项后，即可得解；
（2）利用裂项相消法即可得解；
（3）真分数的性质：设，则，利用此性质将放大为即可证明．
【小问1详解】
解：设公差为d，公比为q，
∵，，∴，解得或，
∵，∴，
故数列的通项公式为，
∵，，
∴，，解得，，
故数列的通项公式为；
小问2详解】
解：，
.
【小问3详解】
证明：，
设，，则，∴，
∴，
∴．
20. 设函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设函数
（i）当时，取得极值，求的单调区间；
（ii）若存在两个极值点，证明.
【正确答案】（1）
（2）（i）单调增区间，，单调减区间为
（ii）证明见解析
【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；
（2）（i），时，取得极值，所以，求出，进而可求出函数的单调区间；
（ii），存在两个极值点，即方程，在上有两个不等实根，所以，而等价于，构造函数即可得证.
【小问1详解】
，
则，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
【小问2详解】
（i），
，
∵时，取得极值，∴，解得，
∴，
令，得或；令，得，
∴的单调增区间为，，单调减区间为；
（ii），
∵存在两个极值点，
∴方程，即在上有两个不等实根.
∵，解得，
则
∴所证不等式等价于，
即，
不妨设，即证，
令，，
则，
∴在上递增，∴，
∴成立，
∴.
方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
时间
1
2
3
4
5
交易量（万套）
0.8
1.0
1.2
1.5