2024-2025学年云南省富源县高二上册9月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年云南省富源县高二上册9月月考数学检测试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=( )
A．-4B．-2C．2D．4
3．已知i是虚数单位，若是纯虚数，则实数m的值为（ ）
A．1B．C．D．1或2
4．三条直线，，的位置如图所示，它们的斜率分别为，，，则，，的大小关系为（ ）

A．B．
C．D．
5．已知，，直线的斜率，直线的斜率，且，则的最小值为（ ）
A．8B．4C．2D．16
6．已知，，，若P，A，B，C四点共面，则（ ）
A．3B．C．7D．
7．如图，在四面体中，．点在上，且为中点，则等于（ ）
A．B．
C．D．
8．设、，向量，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列各图象表示的函数有零点的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列命题中，为真命题的是（ ）
A．，B．，
C．，D．时，的最小值是2
11．下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线的方向向量分别是，则
B．直线的方向向量，平面的法向量是，则
C．两个不同的平面的法向量分别是，则
D．直线的方向向量，平面的法向量是，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．在空间直角坐标系中，已知，关于z轴对称，则 ．
13．已知，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 .
14．已知球是正四面体的外接球，则球与四面体的体积比为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)求的最大值以及取得最大值时的集合；
(3)讨论在上的单调性．
16．如图，在直三棱柱中，分别为的中点．

(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求点到平面的距离；
(3)求平面与平面夹角的余弦值．
17．某景点某天接待了1250名游客，老年625人，中青年500人，少年125人，景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访.将统计结果按照分成5组，制成如下频率分布直方图：

(1)求抽取的样本老年、中青年、少年的人数；
(2)求频率分布直方图中a的值；
(3)估计当天游客满意度分值的分位数.
18．已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
19．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
答案
1．【正确答案】C
【分析】根据对数的运算法则即可求解.
【详解】由得，所以，
故选：C
2．【正确答案】B
【详解】由x2-4≤0,解得-2≤x≤2,所以集合A=[-2,2].又2x+a≤0,解得x≤-a2,则集合B=−∞,−a2.又集合A∩B=[-2,1],则-a2=1,所以a=-2,故选B.
3．【正确答案】B
根据纯虚数的定义，列出满足题意的式子，求解即可.
【详解】由是纯虚数，得，解得.
故选：B.
4．【正确答案】B
【分析】根据直线的倾斜角与斜率的关系判断即可.
【详解】设三条直线，，的倾斜角为,
由图可知,
所以.
故选：B.
5．【正确答案】A
【详解】因为直线的斜率，直线的斜率，且，
所以，
所以，
又，，所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为.
故选：A
6．【正确答案】C
【详解】由P，A，B，C四点共面，可得，，共面，
设，
则，解得．
故选：C.
7．【正确答案】B
【分析】连接，利用空间向量基本定理可得答案.
【详解】连接．
故选：B.
8．【正确答案】D
【详解】因为，则，解得，则，因为，则，解得，即，所以，，因此，.故选D.
9．【正确答案】ABC
【分析】由函数零点的定义对比选项即可得解.
【详解】对比各选项函数图象可知，其中与轴有交点的选项是ABC.
故选：ABC.
10．【正确答案】BC
【详解】因为,所以对恒成立,
所以A错误;
因,所以对恒成立,
所以B正确;
因为,所以对恒成立,故C正确;
因为,当且仅当即时取得等号,
但是,所以等号取不到,故D错误.
故选:BC.
11．【正确答案】AC
【详解】对于，两条不重合直线，的方向向量分别是，
则，所以，即，故正确；
对于B，直线的方向向量，平面的法向量是，
则，所以，即或，故B错误；
对于C，两个不同的平面，的法向量分别是，
则，所以，故C正确；
对于D，直线的方向向量，平面的法向量是，
则，所以，即，故D错误．
故选AC．
【易错分析】B选项：当时，有或两种情况.
12．【正确答案】－5
【详解】∵其关于z轴对称的点的坐标为，
又对称点为，则，，
∴，
故－5．
13．【正确答案】
【详解】，与的夹角为钝角，则，即.
又当与的夹角为平角时，有，得.
故实数的取值范围为且.
故
14．【正确答案】
【详解】如图，正四面体中，顶点在底面的射影为，球心在上，
设正四面体的棱长为，可得，
则正四面体高，
设外接球半径为，在直角三角形中，，
即，解得，
所以球的体积，
又四面体的体积，
所以球与四面体的体积比为.
故
15．【正确答案】(1)
(2)详见解析
(3)详见解析
【分析】（1）先化简函数的的解析式，再利用公式即可求得的最小正周期；
（2）先求得的最大值，再利用整体代入法即可求得取最大值时的集合；
（3）利用代入法即可求得在上的单调性
【详解】（1）
则的最小正周期
（2）由，得
则当，时，取得最大值
故的最大值为，取得最大值时的集合为；
（3）由，可得，
由，得，则在单调递增；
由，得，则在单调递减
故在上的单调递增区间为，单调递减区间为
16．【正确答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算即可；
（2）利用空间向量计算点面距离即可；
（3）利用空间向量计算面面夹角即可.
【详解】（1）由题意可知两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，
则，
即，
所以，
即异面直线与所成角的余弦值为；

（2）由上易知，
设面的一个法向量为，则有，
取，即，
所以点到平面的距离为；
（3）由上可知，
设面的一个法向量为，则有，
取，即，
设平面与平面夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值.
17．【正确答案】(1)50，40，10
(2)0.020
(3)82.5
【分析】（1）求出老年、中青年、少年的人数比例，从而求抽取样本中老年、中青年、少年的人数；
（2）利用频率之和为1列出方程，求出的值；
（3）利用百分位数的定义进行求解.
【详解】（1）老年625人，中青年500人，少年125人，故老年、中青年、少年的人数比例为，
故抽取100人，样本中老年人数为人，中青年人数为人，少年人数为人；
（2）由题意可得，，解得：；
（3）设当天游客满意度分值的分位数为，
因为，，
所以位于区间内，
则，解得：，
所以估计当天游客满意度分值的分位数为.
18．【正确答案】(1)
(2)6
【详解】（1），
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
（2）由（1）知，，
由=sinAcsC+csAsinC=22(31010+1010)=255，
由正弦定理，，可得，
，
.
19．【正确答案】(1)证明见解析；(2).
【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；
(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.
【详解】（1）因为，O是中点，所以，
因为平面，平面平面，
且平面平面，所以平面．
因为平面，所以.
（2）[方法一]：通性通法—坐标法
如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，
则，设,
所以，
设为平面的法向量，
则由可求得平面的一个法向量为．
又平面的一个法向量为，
所以，解得．
又点C到平面的距离为，所以，
所以三棱锥的体积为．
[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角
如图所示，作，垂足为点G．
作，垂足为点F，连接，则．
因为平面，所以平面，
为二面角的平面角．
因为，所以．
由已知得，故．
又，所以．
因为，
．
[方法三]：三面角公式
考虑三面角，记为，为，，
记二面角为．据题意，得．
对使用三面角的余弦公式，可得，
化简可得．①
使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．②
将①②两式平方后相加，可得，
由此得，从而可得．
如图可知，即有，
根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得，
结合的正切值，
可得从而可得三棱锥的体积为．
【关键点拨】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；
方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.
方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.