2024-2025学年重庆市九龙坡区高三上册10月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年重庆市九龙坡区高三上册10月月考数学检测试题（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题必须使用2B铅笔填涂， 已知锐角，，则， 已知向量，，满足，，，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号；
2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题；
3.请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；
4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回.
第I卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A. B. C. D.
2. 设复数满足，则（ ）
A. B. 1C. D.
3. 设等差数列的前项和为，且，则（ ）
A. 58B. 68C. 116D. 136
4. 遗忘曲线由德国心理学家艾宾浩斯研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律，某同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：，则记忆率为20%时经过的时间约为（ ）（参考数据：，）
A. 80小时B. 90小时C. 100小时D. 120小时
5. 在平行四边形中，点，，分别满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数，若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A. B. 7C. D.
7. 已知锐角，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，满足，，，则（ ）
A. B. 当时，
C. 当时，D. 在上的投影向量的坐标为
10. 已知函数，，定义域均为，下列说法正确是（ ）
A. 函数与有相同的最小正周期
B. 若函数在上单调递增，则的最小值为
C. 当，的图象可以由函数的图象向右平移个单位得到
D. 当时，若方程在区间内的解为，，则
11. 已知函数与及其导函数f'x与的定义域均为.若为奇函数，，，则（ ）
A. B.
C 曲线y=f'x关于点12,1中心对称D.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则______________.
13. 育才中学研究性学习小组为测量如图所示的陶行知雕塑的高度，在和它底部位于同一水平高度的三点，，处测得雕塑顶端处仰角均为，且，，则该雕塑的高度为______________m．

14. 已知函数，则函数的零点个数是______________.
四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知正项等差数列满足：且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，，求数列的前项和.
16. 心流是由心理学家米哈里提出的概念，指人们在进行某项活动时，完全投入并享受其中的状态.某中学的学习研究小组为设计创新性学习活动，随机抽取了100名学生进行调研，男生与女生的人数之比为3：2，其中女生有35名自述活动过程中体验到心流，男生有15名没有体验到心流.
（1）完成2×2列联表，依据表中数据，以及小概率值独立性检验，能否认为学生在创新性学习活动中是否体验到心流与性别有关？
（2）在体验到心流的学生中，有，两名同学表示特别喜爱这种创新性学习活动，希望参加到进一步的学习中，在接下来的进一步学习中，研究小组将每次从体验到心流的学生中不放回的随机抽名同学参加，记抽取两次后抽中或的概率为，当为何值时最大？请证明你的结论.
参考公式：，其中.
参考数据：
17. 在中，的对边分别为，，，且满足_______________.
请在①；②，这两个中任选一个作为条件，补充在横线上，并解答问题.
（1）求；
（2）若面积为，，点在线段上，且，求的长.
18. 已知圆交轴于，两点，椭圆过点且以为长轴.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线与椭圆交于，两点，与圆交于，两点，若不重合的两条直线与分别平分线段，.
①求证：为定值；
②已知直线，与椭圆分别交于，，，，且，求四边形面积最大值.
19. 已知函数的图象与的图象关于直线对称.
（1）求函数的解析式；
（2）若在定义域内恒成立，求的取值范围；
（3）求证：
2024-2025学年重庆市九龙坡区高三上学期10月月考数学
检测试题
注意事项：
1.答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号；
2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题；
3.请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；
4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回.
第I卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】先求出，图知道阴影部分表示中把中去掉后剩下元素组成的集合，写出结果即可.
【详解】，由图知道阴影部分表示中把中去掉后剩下元素组成的集合.
即图中阴影部分表示的集合为.
故选：A.
2. 设复数满足，则（ ）
A. B. 1C. D.
【正确答案】B
【分析】利用复数的除法算出复数，由模长公式计算.
【详解】复数满足，得，
则.
故选：B.
3. 设等差数列的前项和为，且，则（ ）
A. 58B. 68C. 116D. 136
【正确答案】B
【分析】利用等差数列的通项公式结合前项和公式求解即可.
【详解】因为，所以即
所以
故选：B.
4. 遗忘曲线由德国心理学家艾宾浩斯研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律，某同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：，则记忆率为20%时经过的时间约为（ ）（参考数据：，）
A. 80小时B. 90小时C. 100小时D. 120小时
【正确答案】C
【分析】根据题设得到，两边取对数求解，即可得出结果.
【详解】根据题意得，整理得到，两边取以10为底的对数，
得到，即，又，
所以，得到，
故选：C
5. 在平行四边形中，点，，分别满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】以为基底，根据向量的加法、减法、数乘运算求解即可.
【详解】由题意，如图，

，
故选：A
6. 已知函数，若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A B. 7C. D.
【正确答案】D
【分析】判断函数的奇偶性单调性，据此可得，再由基本不等式求最值即可.
【详解】因为，所以函数的定义域为，关于原点对称，
又，
所以为奇函数，且易知在上单调递减，
又，即
所以，即，
，当且仅当即时等号成立，
故选：D
7. 已知为锐角，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用诱导公式与两角和的余弦公式化简已知条件等式得，根据角的范围与函数值的大小比较得，从而得到，然后利用两角差的余弦公式求得，再利用二倍角的余弦公式求可得.
【详解】由，
得，
则，由为锐角，则，
又，，
故，
所以
，
由二倍角余弦公式得，则.
又为锐角，所以，
故.
故选：C.
8. 已知函数，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】问题等价于恒成立，不妨令，求出即可得实数的取值范围.
【详解】当，恒成立，
，即恒成立.
不妨令，则
设，有，，
当时，，在上单调递增，有，
所以时， ，当且仅当时等号成立.
故，
当且仅当，即时上式取得等号，
由对数函数和一次函数的图象和性质可知，方程显然有解，
所以，得.
故选：B.
方法点睛：
问题等价于恒成立，由，利用，得到.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，满足，，，则（ ）
A. B. 当时，
C. 当时，D. 在上的投影向量的坐标为
【正确答案】BC
【分析】根据向量坐标运算及模的定义判断A，根据平行可得坐标关系判断B，根据垂直向量的数量积为0判断C，根据向量的投影向量的概念判断D.
【详解】对A，，所以，故A错误；
对B，当时，，即，故B正确；
对C，，由可得，即，故C正确；
对D，在上的投影向量为，故D错误.
故选：BC
10. 已知函数，，定义域均为，下列说法正确的是（ ）
A. 函数与有相同的最小正周期
B. 若函数在上单调递增，则的最小值为
C. 当，的图象可以由函数的图象向右平移个单位得到
D. 当时，若方程在区间内的解为，，则
【正确答案】ABD
【分析】根据正余弦型函数周期判断A，根据正弦型函数的单调性判断B，根据图象平移判断C，根据正弦型函数的对称性及诱导公式判断D.
【详解】对A，周期均为，故A正确；
对B，时，，由在上单调递增，
所以，解得，故B正确；
对C，当时，，函数y=fx的图象向右平移个单位得到
，故C错误；
对D，当时，，即，
由可知，
因为，且，所以由正弦函数性质可知，
即，所以，即，
所以，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数与及其导函数f'x与的定义域均为.若为奇函数，，，则（ ）
A. B.
C. 曲线y=f'x关于点12,1中心对称D.
【正确答案】ACD
【分析】对A，赋值法令和计算即可；对B，易知f'x为偶函数，不能确定；对C，运用已知条件推出关于中心对称，进而得到关于中心对称；对D，由f'x为偶函数得f'x周期为2，结合条件得到， 求出，进而求.
【详解】对于A，令，令，则，A正确；
对于B，为奇函数，则f'x为偶函数，则求不出，故B错误；
对于C，，
又，则，
则关于中心对称.
，结合函数图象平移，
关于中心对称，C正确；
对于D，由于f'x为偶函数，结合C所得对称中心，知f'x周期为2，且，，
又则，且
，
，
则D正确.
故选：ACD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则______________.
【正确答案】
【分析】利用分段函数解析式分别代入计算可得结果.
【详解】根据分段函数性质可得，
由可得，即
故
13. 育才中学研究性学习小组为测量如图所示的陶行知雕塑的高度，在和它底部位于同一水平高度的三点，，处测得雕塑顶端处仰角均为，且，，则该雕塑的高度为______________m．

【正确答案】
【分析】由题可得，，由正切函数定义得出，进而得出点为的外心，根据已知条件及余弦定理，正弦定理即可求解．
【详解】
由题可知，，，
设，在中，，所以，
同理可得，所以点为的外心，且外接圆半径为，
由余弦定理得，，所以，
由正弦定理得，，则，
所以该雕塑的高度为，
故．
14. 已知函数，则函数的零点个数是______________.
【正确答案】112
【分析】作出的图象，换元后，先考虑方程根的个数及根所在范围，再由数形结合求原函数零点的个数.
【详解】作出的图象，如图，
令，考虑方程的根，由图象可知有16个根，
分别设为，由图象知，
，
再考虑，分别作出直线，
可知原函数共有零点个.
故112
关键点点睛：本题的关键点一个是作出函数的图象，再一个就是通过换元结合图象先求出方程的根的个数及范围，最后再由数形结合确定原函数零点个数.
四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知正项等差数列满足：且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，，求数列的前项和.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用已知，，成等比数列，用等差数列基本量列方程并求解，再由等差数列通项公式可得结论；
（2）分别利用等差与等比数列求和公式分组求和法可得结论.
【小问1详解】
设正项等差数列an的公差为，则，
由成等比数列，
得，则，
又，即，解得（舍），或.
所以.
数列an的通项公式为.
【小问2详解】
由题意得，，
则，且，
故bn是以为首项，为公比的等比数列，
则，
.
故数列的前项和为.
16. 心流是由心理学家米哈里提出的概念，指人们在进行某项活动时，完全投入并享受其中的状态.某中学的学习研究小组为设计创新性学习活动，随机抽取了100名学生进行调研，男生与女生的人数之比为3：2，其中女生有35名自述活动过程中体验到心流，男生有15名没有体验到心流.
（1）完成2×2列联表，依据表中数据，以及小概率值的独立性检验，能否认为学生在创新性学习活动中是否体验到心流与性别有关？
（2）在体验到心流的学生中，有，两名同学表示特别喜爱这种创新性学习活动，希望参加到进一步的学习中，在接下来的进一步学习中，研究小组将每次从体验到心流的学生中不放回的随机抽名同学参加，记抽取两次后抽中或的概率为，当为何值时最大？请证明你的结论.
参考公式：，其中.
参考数据：
【正确答案】（1）答案见解析
（2）当时，最大.
【分析】（1）先计算，得到列联表，再求出卡方值，再判断即可；（2）先求出，再根据阶乘公式化简得到，作差比较大小得到，则为增函数，运用函数单调性可得到答案.
【小问1详解】
因为调查的女生人数为：，所以调查的男生人数为.
所以2×2列联表如下：
零假设:学生在创新性学习活动中是否体验到心流与性别无关.
根据公式和数据计算可得，
根据小概率值的独立性检验,没有充分证据推断不成立,
因此可以认为成立,即创新性学习活动中体验到心流与否与性别无关.
【小问2详解】
当时, 的值最大.
,运用阶乘公式整理得到，
.
由于，则，则为增函数.则当时， 最大.
17. 在中，的对边分别为，，，且满足_______________.
请在①；②，这两个中任选一个作为条件，补充在横线上，并解答问题.
（1）求；
（2）若面积为，，点在线段上，且，求的长.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）选择①：利用正弦定理和余弦定理可得，即；
选择②：由诱导公式可得，再结合可得；
（2）根据三角形面积以及角的正切值可解得，再由点的位置关系利用向量可求出结果.
【小问1详解】
若选择①，
由可得，
利用正弦定理可得，整理可得；
所以，又，
可得.
若选择②,
由诱导公式可得；
由可得，
可得，所以，
即.
【小问2详解】
如下图所示：
由面积为可得，即，
又且，所以；
又可得；
易知，
由可得，
即可得；
由点在线段上，且，可得，
所以
即的长为.
18. 已知圆交轴于，两点，椭圆过点且以为长轴.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线与椭圆交于，两点，与圆交于，两点，若不重合的两条直线与分别平分线段，.
①求证：为定值；
②已知直线，与椭圆分别交于，，，，且，求四边形面积的最大值.
【正确答案】（1）
（2）①证明见解析②四边形面积的最大值为3.
【分析】（1）令.设椭圆C的标准方程为，椭圆经过，代入计算即可;
（2）①画出图形，显然直线与垂直，设直线，则直线l与椭圆交于, 由于直线平分直线l与圆O的交线段，则有，
运用点差法得到.②画出图形，得到联立方程得，则直线l1与椭圆交线长为,同理可得直线l2与椭圆的一个交点算出D到直线l1的距离， 得到四边形面积 ，结合.得到.和分情况讨论，结合基本不等式得到四边形面积的最大值即可.
【小问1详解】
由,令得，令.
则可设椭圆C的标准方程为，椭圆经过，
代入计算得到.则椭圆的标准方程.
【小问2详解】
①显然直线与垂直，设直线，则
直线l与椭圆交于,

由于直线平分直线l与圆O的交线段，则有，
于是,由于则则.
②由题知，则易知
令得，则直线l1与椭圆交线长为，
同理可得直线l2与椭圆的一个交点，
则D到直线l1的距离，
所以四边形面积 .
由于.则.
当时，四边形不存在.
当时，
所以四边形面积的最大值,在时取到.
方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.有时候可以借助基本不等式求解.
19. 已知函数的图象与的图象关于直线对称.
（1）求函数的解析式；
（2）若在定义域内恒成立，求的取值范围；
（3）求证.
【正确答案】（1）
（2）1 （3）证明见解析
【分析】（1）根据两函数关于对称求解析式即可；
（2）先探求时成立，再证明当时恒成立，证明过程利用导数求出函数极大值即可；
（3）根据（2）可得，转化为，再由，累加相消即可得证.
【小问1详解】
设图象上任意一点，则其关于直线的对称点为，
由题意知，点在函数图象上，
所以，
所以.
【小问2详解】
不妨令，
则在上恒成立，
注意到且在上是连续函数，则是函数的一个极大值点，
所以，又，
所以，解得
下面证明：当时，在上恒成立，
令，则，
当时，，单调递增；
当时，单调递减，
所以，即在上恒成立，又，
所以，证毕.
综上.
【小问3详解】
由（2）知，，则，，
，
又由（2）知：在恒成立，则在0,+∞上恒成立，
当且仅当时取等号，则令，
则，
，证毕.
关键点点睛：在证明第（3）问时，关键应用（2）后合理变形，得到，再令，利用（2）中式子得，能够利用累加相消是证明的关
心流
无心流
总计
女生
35
男生
15
合计
100
0.10
0.05
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
心流
无心流
总计
女生
35
男生
15
合计
100
0.10
0.05
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
心流
无心流
总计
女生
35
5
40
男生
45
15
60
合计
80
20
100