初中数学苏科版（2024）七年级下册7.5 多边形的内角和与外角和复习练习题

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分层练习
考查题型一 三角形的内角和定理
1．中，，则是
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．都有可能
【详解】解：设，则，，
由题意可得：，解得：，
．
故本题选：．
2．如图，两面镜子，的夹角为，当光线经过镜子后反射，，．若，则的度数是
A．B．C．D．
【详解】解：如图，
由题意可得：，，
，
，
．
故本题选：．
3．如图，在中，，．若是的高，与角平分线相交于点，则的度数为
A．B．C．110D．
【详解】解：，，
，
是的平分线，
，
是的高，
，
，
．
故本题选：．
考查题型二 三角形的外角性质
1．下列说法正确的是
A．三角形的一个外角等于任意两个内角的和
B．三角形的一个外角小于它的一个内角
C．三角形的一个外角大于它的相邻的内角
D．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
【详解】解：、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，说法错误；
、三角形的一个外角不一定小于它的一个内角，说法错误；
、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，说法错误；
、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，说法正确．
故本题选：．
2．如图，，，的大小关系是
A．B．C．D．
【详解】解：如图，
由三角形的外角性质可知：，，又，
．
故本题选：．
3．如图，在中，平分，则、、的数量关系为
A．B．
C．D．
【详解】解：平分，
，
，
，
．
故本题选：．
4．在中，平分，交于，是上一点，，交于，若，，则的度数为
A．B．C．D．
【详解】解：，
，
，
，
是的一个外角，，
，
平分，
，
．
故本题选：．
考查题型三 A字模型与8字模型
1．如图，在中，，直线分别与，交于，两点，则
A．B．C．D．
【详解】解：，，
，
，
．
故本题选：．
2．小枣一笔画成了如图所示的图形，若，，，则等于
A．B．C．D．
【详解】解：如图，
由“8字模型”可得：，
，，，
，
．
故本题选：．
3．如图，，的度数为
A．B．C．D．
【详解】解：如图，连接，
由“8字模型”可得：，
四边形中，，
，
，
，
，
故本题选：．
4．（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：．
（2）如图②，，分别平分，，若，，求的度数；
（3）如图③，直线平分，平分的外角，猜想与、的数量关系并证明．
【详解】（1）证明：，，
，
，
；
（2）解：，分别平分，，
，，
由（1）的结论可得：①，
②，
①②得：，
，
，，
，
；
（3）解：，理由如下：
直线平分，平分的外角，
，，
，
，
，
，
，
，
即．
考查题型四 飞镖模型
1．有一块直角三角板放置在上，三角板的两条直角边、恰好分别经过点、，在中，，则的度数是
A．B．C．D．
【详解】解：，
，
，
，
．
故本题选：．
2．如图，的度数为
A．B．C．D．
【详解】解：如图，
由“飞镖模型”可得：
，
．
故本题选：．
3．如图，已知，则为多少度
A．B．C．D．
【详解】解：由“飞镖模型”可得：，，
．
故本题选：．
4．如图1，像我们常见的学习用品——圆规，我们把这样图形叫做“规形图”．
（1）观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块直角三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，，则 ；
②如图3，平分，平分，若，，请用含和的式子表示的度数．
【详解】解：（1），理由如下：
如图，连接并延长到点，
是的外角，
．
同理可得：，
．
又，，
；
（2）①由（1）中的结论可得：，
又，，
，
故本题答案为：36；
②由（1）中的结论可得：，
，
又平分，平分，
，，
，
又，
，即．
又，，
．
考查题型五 角平分线模型
【内内模型】
1．如图，在中，角平分线，相交于点．若，则的度数是
A．B．C．D．
【详解】解：，，
，
，分别是、的角平分线，
，
．
故本题选：．
2．如图，在中，，三等分，，三等分．若，则 ．
【详解】解：，
，
，三等分，，三等分，
，
，
，
，
．
故本题答案为：36．
【内外模型】
3．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则等于
A．B．C．D．
【详解】解：是中的平分线，是的外角的平分线，
，，
又，，
，，
．
故本题选：．
4．如图在中，，分别平分，，交于，为外角的平分线，的延长线交于点，记，，则以下结论①，②，③，④正确的是
A．①②③B．①③④C．①④D．①②④
【详解】解：为外角的平分线，平分，
，，
又是的外角，
，故①正确；
，分别平分，，
，，
，故②错误；
，
，故②错误，④正确．
故本题选：．
5．中，三个内角的平分线交于点，过点作，交边于点．
（1）如图1，猜想与的关系，并说明你的理由；
（2）如图2，作外角的平分线交的延长线于点．
①求证：；
②若，求的度数．
【详解】解：（1），理由如下：
三个内角的平分线交于点，
，
，
，
，
，
，
；
（2）①平分，
，
，
，
；
②平分，
，
三个内角的平分线交于点，
，
，
，
．
【外外模型】
6．如图，在中，，分别平分，，且，，分别平分，的外角，则的度数是
A．B．C．D．
【详解】解：由题意可得：，，
，分别平分，，，分别平分，的外角，
，，，，
，
同理可得：，
在四边形中，，，
．
故本题选：．
7．如图，在中，，是，平分线的交点．
（1） ；
（2）若是两条外角平分线的交点，则 ；
（3）在（2）的条件下，若是内角和外角的平分线的交点，试探索与的数量关系，并说明理由．
【详解】解：（1）在中，，，
是的平分线，
，
是的平分线，
，
，
在中，，
，
故本题答案为：115；
（2）是的外角，
，
是的外角，
，
．
是的平分线，
，
是的平分线，
，
．
在中，，
，
故本题答案为：65；
（3），理由如下：
是的平分线，
，
是的外角，
，
是的平分线，
，
是的外角，
，
，
．
考查题型六 折角模型
【折内模型】
1．如图，把沿翻折，叠合后的图形如图，若，，则的度数是
A．B．C．D．
【详解】解：沿翻折，
，，
，，
，
，
，
，
，
．
故本题选：．
2．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，则的度数为
A．B．C．D．
【详解】解：如图，连接，
平分，平分，，
，
，
，
，，
，，
．
故本题选：．
3．如图所示，把一个三角形纸片的三个顶角向内折叠之后（3个顶点不重合），图中 ．
【详解】解：：由“折内模型”可得：，，，
，
又，，，，
，
．
故本题答案为：360．
【折外模型】
4．如图，把纸片沿折叠，使点落在图中的处，若，，则的大小为 ．
【详解】解：，
，
纸片沿折叠，使点落在图中的处，
，，
，
，
，
．
故本题答案为．
5．如图，将一张三角形纸片的三角折叠，使点落在的处折痕为，若，，，那么下列式子中正确的是
A．B．C．D．
【详解】解：如图，设交于，
由折叠可得：，
，，
，，，
．
故本题选：．
1．如图，于点，点、分别是射线、上的动点（不与点重合），延长至点，的角平分线及其反向延长线分别交、的角平分线于点、．若中有一个角是另一个角的3倍，则为
A．或B．或C．或D．或
【详解】解：平分，平分，
，，
，
，
①当时，
，
平分，
，
，
，
；
②当时，
，
，此种情况不成立；
③当时，
设，
，
，
，
，
；
④当时，
设，
，
，
，此种情况不成立；
综上，的度数为或．
故本题选：．
2．如图所示，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，…，的平分线与的平分线交于点，点为延长线上一动点，连接，的平分线与的平分线交于点，设．下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．的值为定值D．的值为定值
【详解】解：是的平分线，是的平分线，
，，
又，，
，
，
又，
，
同理可得：，
，
……
，故A、B错误；
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
的值为定值，其值是180°，故C正确，D错误．
故本题选：C．
3．【基本模型】
（1）如图1，在中，平分，平分外角，试说明．
【变式应用】
（2）如图2，，，分别是射线，上的两个动点，与的平分线的交点为，则点，的运动的过程中，的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．
【拓展应用】
（3）如图3，，作的平分线，是射线上的一定点，是直线上的任意一点（不与点重合），连接，设的平分线与的邻补角的平分线的交点为，请直接写出的度数．
【详解】解：（1）如图1，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）的大小不变，理由如下：
如图2，
，，
，，
又平分，平分，
，，
，
；
（3）或，分两种情况：
①如图3，
，，
，，
又平分，平分，
，，
，
；
②如图4，
，，
，，
又平分，平分，
，，
，
．
4．如图，已知，，两点分别是、上的两动点，，分别平分和，射线的反向延长线与射线相交于点．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，作的角平分线交射线于点，求的度数；
（3）如图3，、为线段和上的两定点，若将沿翻折，点对应点在的内部，且满足，，请求出与，的关系．
【详解】解：（1）设，，
、分别平分、，
，，
是的外角，
，
，
，
，
又是的外角，
，
，
，
当时，；
（2）、均为的外角，
，，
，
，
，
平分，的角平分线，
，，
，
，
即；
（3）设，，
，，
，，
，
，
，
，
．
，
由折叠可得：，，
，，
，
，
，
，
，
．