专题07 立体几何外接球与内切球 截面问题(6类题型全归纳）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（北京专用）

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目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc11847" 题型01 内切球等体积法 PAGEREF _Tc11847 \h 1
\l "_Tc4781" 题型02 内切球独立截面法 PAGEREF _Tc4781 \h 6
\l "_Tc7646" 题型03 补形法 PAGEREF _Tc7646 \h 8
\l "_Tc32720" 题型04 单面定球心法（定+算） PAGEREF _Tc32720 \h 12
\l "_Tc2393" 题型05 双面定球心法（两次单面定球心） PAGEREF _Tc2393 \h 17
\l "_Tc28881" 题型06平行线（相交线）法做截面 PAGEREF _Tc28881 \h 21
题型01 内切球等体积法
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（24-25高三上·浙江·开学考试）若某圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的余弦值为，则此圆台与其内切球的体积之比为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【知识点】锥体体积的有关计算、台体体积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题
【分析】将圆台还原成圆锥，作出圆锥的轴截面，再结合给定角求出圆锥底面圆半径、高与内切球半径的关系即可计算得解.
【详解】将圆台母线延长交于点S，得圆锥，作圆锥的轴截面，等腰梯形为圆台的轴截面，
截内切球得大圆，并且是梯形的内切圆，令切圆于，如图，
设底面圆直径，依题意，，，，
设内切球半径为，则，，，
，于是，且为的中点，而内切球体积，
圆台的体积,
所以圆台与其内切球的体积比为.
故选：A
【典例1-2】（23-24高一下·福建龙岩·期末）已知球O内切于圆台EF，其轴截面如图所示，四边形ABCD为等腰梯形，，且，则圆台EF的体积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】台体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、切线长
【分析】根据题意，作出图形，得到上下底面的半径，进而分析运用勾股定理求出高即可．
【详解】根据圆和等腰梯形的对称性知道，分别为上下底的中点.
连接，则，过于.四边形为矩形．
由于,则，则.
由切线的性质知道.
则.
，．
代入计算可得，.
故选：D.

【变式1-1】（2024·河南开封·二模）已知经过圆锥的轴的截面是正三角形，用平行于底面的截面将圆锥分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），则上、下两部分几何体的体积之比是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题
【分析】作出圆锥的轴的截面，根据题意推出上、下两部分几何体的两部分的内切球的半径之比为，从而可得上部分圆锥的体积与圆锥的体积之比为，从而可得解．
【详解】如图，作出圆锥的轴截面，
设上、下两部分几何体的两部分的内切球的球心分别为，，半径分别为，，
即，，
根据题意可知为正三角形，易知，圆锥的底面半径，
，又，
，，
上部分圆锥的底面半径为，高为，
又圆锥的底面半径为，高为，
上部分圆锥的体积与圆锥的体积之比为，
上、下两部分几何体的体积之比是．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是找到上、下底面的半径的关系，从而得到两圆锥的体积之比.
【变式1-2】（23-24高一下·湖北黄冈·期末）若圆锥的内切球(球面与圆锥的侧面以及底面都相切)的半径为，当该圆锥体积是球体积两倍时，该圆锥的高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】球的截面的性质及计算、锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题
【分析】先设出未知量，即圆锥半径为，圆锥高为，分析组合体轴截面图，找出与的一组关系式，再根据题意中圆锥与球体的体积关系找出另一组与的关系式即可求出答案.
【详解】如下图组合体的轴截面，设圆锥半径为，圆锥高为，则，，，由得,代入得①，
由“该圆锥体积是球体积两倍”可知，即②，联立两式得.
故选:B
【变式1-3】（24-25高三上·河北保定·开学考试）如图，已知球内切于圆台（即球与该圆台的上､下底面以及侧面均相切），且圆台的上､下底面半径，则球与圆台侧面的切痕所在平面分圆台上下两部分体积比为 .

【答案】
【知识点】台体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题
【分析】作出该几何体的轴截面，利用平面几何知识，分别计算出切痕所在平面圆的半径和上下两个圆台的高和，即可代入圆台体积公式计算即得.
【详解】

如图为该几何体的轴截面，其中圆是等腰梯形的内切圆，
设圆与梯形的腰相切于点，与上､下底分别切于点，
圆台上､下底面的半径为.则.
，于是，在直角梯形中，易得
，则，
设与交于点，则，
，
.
故圆台体积为，
圆台体积为，
故切痕所在平面分圆台上下两部分体积比为.
故答案为：.
题型02 内切球独立截面法
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（2024·江苏宿迁·三模）若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设球的体积为，该四棱锥的体积为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、面面垂直证线面垂直
【分析】过点作出四棱锥的内切球截面大圆，确定球半径表达式，再借助四棱锥体积求出球半径计算作答.
【详解】如图，取中点，中点，连接，，，
因是正三角形，则，又是矩形，有，
而平面平面，平面平面，平面，平面，
因此平面，平面，
又，则平面，平面，则，，
，平面，则平面，又平面，
所以，而，则，显然，
由球的对称性和正四棱锥的特征知，平面截四棱锥的内切球得截面大圆，
此圆是的内切圆，切，分别于，，有四边形为正方形，
设，又，，则球的半径，
又四棱锥的表面积为，
由，解得，
，，
所以.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题解题的关键是过点作出四棱锥的内切球截面大圆，利用等体积法求出内切球半径和.
【变式1-1】（23-24高一下·浙江宁波·期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，则其内切球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、线面垂直证明线线垂直
【分析】设四面体内切球的球心为，半径为，则，求得，，从而求得，根据球的表面积公式即可求解.
【详解】

因为四面体四个面都为直角三角形，平面，
所以，，
设四面体内切球的球心为，半径为，
则
所以，
因为四面体的表面积为，
又因为四面体的体积，
所以，
所以内切球表面积.
故选：C.
题型03 补形法
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】在中，，，E，F，G分别为三边，，的中点，将，，分别沿，，向上折起，使得A，B，C重合，记为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】基本（均值）不等式的应用、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题
【分析】设，，由题设．将放在棱长为x，y，z的长方体中，可得的关系式，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，利用基本不等式结合球的表面积公式求解.
【详解】设，，由题设.
三棱锥中，，，，
将放在棱长为x，y，z的长方体中，如图，
则有，
三棱锥的外接球就是长方体的外接球，
所以，
由基本不等式，当且仅当时等号成立，
所以外接球表面积.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题解决的难点是根据题意得到三棱锥的特征，从而放置到相应的长方体中，由此得解.
【典例1-2】据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳马”，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，则这个“阳马”的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题
【分析】把四棱锥补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥的外接球直径，由长方体性质求得球半径后可得表面积．
【详解】把四棱锥补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥的外接球直径，
设球半径为，则，
球表面积为．
故选：C．
【变式1-1】三棱锥中，平面ABC，且，且，三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．16πB．20πC．D．24π
【答案】D
【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题
【分析】将三棱锥放入一个长方体中，求出长方体的体对角线，则得到长方体外接球的直径，利用球的表面积公式求解即可．
【详解】解：因为三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，
不妨将三棱锥放入一个长方体中，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，
因为长方体的体对角线即为其外接球的直径，因为PA＝AB＝2，，
则长方体的长宽高分别为4，2，2，所以三棱锥P﹣ABC外接球的半径，
故三棱锥P﹣ABC外接球的表面积S＝4πR2＝24π．
故选：D．
【变式1-2】已知三棱锥的所有棱长均为2，球为三棱锥的外接球，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题
【分析】把正四面体放置在正方体中，转化为正方体外接球问题，求出半径，代入球的表面积公式求解即可.
【详解】三棱锥的所有棱长均为2，
故可把三棱锥放置在正方体中，
如图

设正方体的棱长为a，则，解得，
三棱锥的外接球就是正方体的外接球，
故球的半径，所以球的表面积.
故选：D
【变式1-3】在边长为4的正方形ABCD中，如图甲所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把和折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥，如图乙所示，则三棱锥外接球的体积是 ；过点M的平面截三棱锥外接球所得截面的面积的取值范围是 .

【答案】
【知识点】球的截面的性质及计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题
【分析】对于第一空，三棱锥外接球即为补形后长方体的外接球，从而即可求解；对于第二空，由最大截面为过球心O的大圆，最小截面为过点M垂直于球心O与M连线的圆即可求解.
【详解】对于第一空，由题意，将三棱锥补形为长、宽、高分别为2，2，4的长方体，如图所示，

三棱锥P−AEF外接球即为补形后长方体的外接球，
所以外接球的直径，所以，
所以三棱锥P−AEF外接球的体积为；
对于第二空，过点M的平面截三棱锥P−AEF的外接球所得截面为圆，
其中最大截面为过球心O的大圆，此时截面圆的面积为，
最小截面为过点M垂直于球心O与M连线的圆，
此时截面圆半径（其中长度为长方体前后面对角线长度），
则截面圆的面积为，
所以过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的取值范围为.
故答案为：；.
题型04 单面定球心法（定+算）
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】已知球O是正三棱锥的外接球，若正三棱锥的高为，底边，则球心O到平面ABC的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】多面体与球体内切外接问题
【分析】设正三棱锥的底面中心为M，D为BC的中点，连接AD，显然球心O在直线PM上，由可得外接球半径，从而得解.
【详解】设正三棱锥的底面中心为M，D为BC的中点，连接AD，
显然球心O在直线PM上，设球O的半径为R，因为，
所以球心O到底面ABC的距离为，，
由，得，，
所以球心O到平面ABC的距离为．
故选：A
【典例1-2】在四面体ABCD中，，则四面体ABCD的外接球表面积为 .
【答案】/
【知识点】多面体与球体内切外接问题
【分析】取中点，连接，设出球心，求出的外接圆半径，根据可建立关系求出.
【详解】如图，取中点，连接，
因为，
所以，
易求得，满足，
所以，因为，所以平面，
设球心为，球半径为，设的外接圆圆心为，半径为，
可得，则，即，
在上取一点，令，则，
，，
因为在中，
所以，解得，
所以表面积为.
故答案为：.
【变式1-1】已知球O为棱长为1的正四面体的外接球，若点P是正四面体ABCD的表面上的一点，Q为球O表面上的一点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】球的结构特征辨析、多面体与球体内切外接问题
【分析】求出正四面体外接球半径，再分析出最大值即可外接球直径.
【详解】首先求出正四面体外接球的半径：
由正四面体的对称性与球的对称性可知球心在正四面体的高上：
设外接球半径为，如图(为外接球球心，为的重心），
，
，，
中，，
即R2=63−R2+332，得，
因为点P是正四面体的表面上的一点，Q为球O表面上的一点，
则的最大值相当于外接球的直径，则最大值为.
故选：D.
【变式1-2】已知一个正三棱柱既有内切球又有外接球，且外接球的表面积为，则该三棱柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】柱体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题
【分析】利用正三棱柱的性质，依题知其内切球和外接球是同心球，先求出外接球半径，再根据球心在底面的投影恰为底面正三角形的中心，由之求得底面三角形边长，从而可求体积.
【详解】

如图，设正三棱柱的外接球的半径为，
则，解得，
因三棱柱有内切球，设内切球半径为，则正三棱柱的高为，
连接的中心，则线段的中点即为球心，
依题意，内切圆半径为，得，
则，解得,
故三棱柱的体积为
故选：B．
【变式1-3】已知正边长为1，将绕旋转至，使得平面平面，则三棱锥的外接球表面积为 ．
【答案】
【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题
【分析】由题意画出图形，取中点，连接，，分别取与的外心作平面与平面DBC的垂线，相交于，则O为四面体的球心，再利用勾股定理求出多面体外接球的半径，代入表面积公式得答案．
【详解】如图，

取BC中点G，连接AG,DG，则，，
分别取与的外心E,F分别过E,F作平面ABC 与平面DBC的垂线，相交于O，则O为四面体的球心，
由，
所以正方形OEGF的边长为，则，
四面体的外接球的半径，
球O的表面积为．
故答案为：．
题型05 双面定球心法（两次单面定球心）
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】已知菱形的各边长为2，.如图所示，将沿折起，使得到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时，是线段中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则三棱锥外接球半径为 ，则点的轨迹的周长为 .
【答案】 /
【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直
【分析】根据线线垂直可得平面，由直角三角形可得三棱锥的高，结合勾股定理进而可得三棱锥外接球的半径，可得点的轨迹为截面圆的周长．
【详解】取中点，则，，，平面,
平面，，又，
，
作于，设点轨迹所在平面为，
则平面经过点且，
设三棱锥外接球的球心为，，的中心分别为，，
易知平面，平面，且，，，四点共面，
由题可得，，
在△，得，又，
则三棱锥外接球半径，
易知到平面的距离，
故平面截外接球所得截面圆的半径为，
截面圆的周长为，即点轨迹的周长为．
故答案为：，．
【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
【典例1-2】如图，在四面体中，与均是边长为的等边三角形，二面角的大小为，则此四面体的外接球表面积为 ．

【答案】
【知识点】球的表面积的有关计算、由二面角大小求线段长度或距离
【分析】由已知结合二面角及三棱锥的性质先定出球心的位置，然后结合球的性质求出球的半径，进而求得答案.
【详解】过球心分别作平面、平面的垂线，垂足分别为，，则，分别为与的外心，
取的中点，连接，，因为与均是边长为的等边三角形

所以为二面角的平面角，即，
在中，，，
所以，在中，，
故外接球的半径，所以外接球的表面积为
故答案为：
【变式1-1】如图，在四面体中，和均是边长为6的等边三角形，，则四面体外接球的表面积为 ；点E是线段AD的中点，点F在四面体的外接球上运动，且始终保持EF⊥AC，则点F的轨迹的长度为 .
【答案】
【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、立体几何中的轨迹问题
【分析】设四面体外接球的球心为的中心分别为，则可得平面平面，且四点共面，可得，进而求出，然后由勾股定理求出四面体外接球的半径；取中点，作，设点轨迹所在平面为，求出四面体外接球半径和到平面的距离，从而可求出平面截外接球所得截面圆的半径，进而可得结果.
【详解】
取中点，连接，则，平面，
又和均是边长为6的等边三角形，，
∴平面，，
所以，
∴，
设四面体外接球的球心为的中心分别为，
易知平面平面，且四点共面，
由题可得，，
在中，得，又，
则四面体外接球半径，
所以四面体外接球的表面积为；
作于，设点轨迹所在平面为，
则平面经过点且，
易知到平面的距离，
故平面截外接球所得截面圆的半径为，
所以截面圆的周长为，即点轨迹的周长为.
故答案为：；.
题型06平行线（相交线）法做截面
【解题规律·提分快招】
【典例1-1】（23-24高三上·北京东城·期末）如图，在正方体中，分别是的中点．用过点且平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形
【分析】根据平行四边形的性质可得四边形为截面所在的四边形，即可利用线面垂直得四边形为矩形，即可求解.
【详解】取的中点，连接,
则,故四边形为平行四边形，即为过点且平行于平面的截面，
,,且平面,平面,则,
故四边形为矩形，
故四边形的面积为，
故选：B
【典例1-2】（21-22高二上·北京·阶段练习）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱A1D1中点，F是棱AB中点，G是棱BC中点，作出过E，F，G的平面截得正方体的截面形状．

【答案】作图见解析
【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形、面面平行证明线线平行
【分析】根据正方体的几何结构特征，结合平面的性质，即可求得截面的性质.
【详解】过E，F，G的平面截得正方体的截面为六边形EKFGHQ，如图所示，
作法：根据给定的条件，得到FG就是一条交线，
又因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，第三个平面和它们相交，截面和面A1B1C1D1的交线一定和FG平行，
又由E是A1D1的中点，故取C1D1的中点Q，则EQ也是一条交线，
再延长QE和B1A1的延长线交于点M，则点M在平面A1B1C1D1和平面ABB1A1的交线上，
连接MF，交A1A于点K，则EK，KP又是两条交线，
同理可以得到QH，HG两条交线，
因此，六边形EKFGHQ就是所求截面．

【变式1-1】（23-24高一下·北京通州·期末）如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是 ．
①直线与直线相交；
②当时，为四边形；
③当为的中点时，平面截正方体所得的截面面积为；
④当时，截面与，分别交于，则．
【答案】②③④
【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形、异面直线的判定
【分析】①，由平面，可知直线与直线不可能相交，即可判断；
②，由可得截面S与正方体的另一个交点落在线段上，即可判断；
③，由为的中点，为的中点，可得截面为等腰梯形，求出等腰梯形的上、下底和高，即可求得截面面积，即可判断；
④，当时，延长至，使，连接交于，连接交于连接，取的中点，上一点，使，连接，可求得，再利用勾股定理求出，即可判断.
【详解】①，因为为线段上的动点，所以平面，由正方体可知平面，所以直线与直线不可能相交，故①错误；
②，当时，截面S与正方体的另一个交点落在线段上，如图所示：
所以截面为四边形 ；
又面，故//面，故②正确；
③，连接，如下所示：

因为为的中点，为的中点，
则，故面即为平面截正方体所得截面；
在和中，
又，故该截面为等腰梯形，
又，，
故截面面积，故③正确；
④，当时，延长至，使，
连接交于，连接交于连接，
取的中点，上一点，使，连接，
如图所示：
因为且，且，
所以且，所以四边形是平行四边形，则，
由，，所以，
则为中点，则，所以，
又，
可得，
所以，
则在中，故④正确；
故答案为：②③④.
【变式1-2】（23-24高一下·北京昌平·期末）在棱长为1的正方体中，，，分别为棱，，的中点，动点在平面内，且.给出下列四个结论：
①平面；
②点轨迹的长度为；
③存在点，使得直线平面；
④平面截正方体所得的截面面积为.
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①②④
【知识点】判断正方体的截面形状、判断线面平行
【分析】根据都是棱的中点，可以做出过的截面，再根据正方体的棱长和的长度，可确定点的轨迹，从而可判断各个结论的正确性.
【详解】如图：
因为，分别为，中点，所以，
又，所以，又平面，平面，
所以平面，故①成立；
连接，交EG于点，易证平面，，，
所以，故点轨迹是平面内以为圆心，以为半径的圆，
所以点轨迹长度为：，故②成立；
由②可知，不可能与平面垂直，故③不成立；
做出截面，可知截面是正六边形，且边长为，其面积为：，故④成立.
故答案为：①②④
【点睛】方法点睛：根据线面平行的判定和性质，可以确定过点三点的截面.
一、单选题
1．（2024·北京朝阳·一模）在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，的中点，动点在平面内，且.则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得直线与直线相交
B．存在点，使得直线平面
C．直线与平面所成角的大小为
D．平面被正方体所截得的截面面积为
【答案】C
【知识点】判断正方体的截面形状、证明线面垂直、求线面角、点到平面距离的向量求法
【分析】连接，，取的中点，连接，点到线段的最短距离大于，即可判断；建立空间直角坐标系，点到平面的距离为，即可判断；由平面，连接交于点，与全等，所以，即可判断；平面被正方体所截得的截面图形为正六边形，且边长为，可求截面面积.
【详解】
连接，，所以，，取的中点，连接，
所以，点到线段的最短距离大于，所以不存在点，使得直线与直线相交，故不正确；
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为n=x,y,z，所以，即，
令x=1，则，，所以，
所以点到平面的距离为，而，所以不存在点，使得直线平面，故不正确；
因为，所以平面，连接交于点，所以为的中点，，
所以为直线与平面所成角，
因为，在中，，
所以，因为与全等，所以，故正确；
延长交的延长线于，连接交于，连接，取的中点，的中点，
连接，，，，，，
平面被正方体所截得的截面图形为正六边形，且边长为，
所以截面面积为，故不正确.
故选：.
2．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知正方体中，点、满足，则平面截正方体形成的截面图形为（ ）
A．六边形B．五边形
C．四边形D．三角形
【答案】B
【知识点】判断正方体的截面形状
【分析】由题意，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，作出截面图形可得结论.
【详解】如图，
因为点、满足，
点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，
延长与交于点，连接交于，
延长交于点，连接交于，连接，
则五边形为所求截面图形.
故选：B．
3．（2024·四川内江·三模）已知正方体的棱长为2，点M、N、P分别为棱AB、、的中点，则平面MNP截正方体所得截面的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】正棱柱及其有关计算、判断正方体的截面形状
【分析】通过平行画出截面为正六边形，然后结合正三角形面积计算其面积即可.
【详解】如图所示，分别取，，的中点，，，
连接，，，，，则，.
因为，所以，同理得，.
由基本事实及其三个推论得，，，，，六点共面，
所以平面截正方体所得的截面是六边形.
根据正方体的性质可知截面是边长为的正六边形，
所求面积.
故选：B
4．（2024·山东·模拟预测）若正四棱锥的高为6，且所有顶点都在半径为4的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】正棱锥及其有关计算、棱锥表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题
【分析】设在底面的投影为，确定球心位置，求，由此可求侧棱和侧面三角形的高，再求侧面积.
【详解】如下图，设在底面的投影为，易知正四棱锥的外接球球心在上，
由题设，球体半径，则，
所以，，，
中边上的高为，故正四棱锥的侧面积为.
故选：C
5．（2024·辽宁·一模）已知正四棱锥各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为，则该球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】组合体的切接问题、球的表面积的有关计算、正棱锥及其有关计算
【分析】根据体积可求正四棱锥的高，再结合外接球球心的性质可求其半径，故可求外接球的表面积.
【详解】
如图，设在底面的射影为，则平面，
且为的交点.
因为正四棱锥底面边长为4，故底面正方形的面积可为，且，
故，故.
由正四棱锥的对称性可知在直线上，设外接球的半径为，
则，故，故，
故正四棱锥的外接球的表面积为，
故选：B.
6．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知正三棱锥的外接球是球，正三棱锥底边，侧棱，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题
【分析】设的外接圆的圆心为，根据中，，解得，过点作圆的截面，当截面过球心时，截面面积最大，由此能求出所得截面圆面积的最大值．
【详解】如图，设的中心为，球的半径为，连接，，
则，，
在中，，解得，
当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为．
所得截面圆面积的最大值为．
故选：D．

7．（2024·湖北武汉·模拟预测）四棱锥各顶点都在球心为的球面上，且平面，底面为矩形，，设分别是的中点，则平面截球所得截面的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题、线面垂直证明线线垂直
【分析】根据线面垂直关系可得四棱锥外接球与以为棱长的长方体的外接球相同，确定外接球半径，根据线面关系求解三棱锥的体积，利用等体积法确定球心到平面的距离为，从而得截面面积.
【详解】因为平面，底面为矩形，
如下图所示，
易知四棱锥外接球与以为棱长的长方体的外接球相同；
由题意可知球心为中点，
故球O的直径，解得
由分别是的中点可得，因为平面，可得平面；
所以球心到平面的距离等于点到平面的距离，
设球心到平面的距离为，截面圆的半径为，
因为，分别是的中点，所以，且，
又，
所以，故，又平面，所以平面，
且，所以，
而，由等体积法得，
所以，故截面面积为．
故选：B.
8．（2024·吉林·模拟预测）已知圆锥的侧面积是，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题、直线与球、平面与球的位置关系、圆锥中截面的有关计算
【分析】设出圆锥底面圆的半径，并由题意联立方程组求出；再由勾股定理解出圆锥内切球的半径即可.
【详解】
设圆锥底面圆的半径为，高为，母线长为，由题意知：，
两式相除解得，；
所以圆锥的顶角为，轴截面为等边三角形，圆锥的高，
设圆锥的内切圆半径为，，解得.
故选：D.
9．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知直三棱柱的6个顶点都在球的表面上，若，，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、球的截面的性质及计算
【分析】设底面的外接圆的半径为，由正、余弦定理求得，再设外接球的半径为，结合球的截面圆的性质，求得，利用求得表面积公式，即可求解.
【详解】如图所示，在中，，且，
由余弦定理得，
设底面的外接圆的半径为，由正弦定理得，即
再设直三棱柱外接球的球心为，外接球的半径为，
在直角中，可得，
所以球的表面积为.
故选：B.

10．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知圆锥的高为3，若该圆锥的内切球的半径为1，则该圆锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】圆锥中截面的有关计算、圆锥表面积的有关计算、球的截面的性质及计算、组合体的切接问题
【分析】利用圆锥与其内切球的轴截面，由已知数据计算出圆锥底面半径和母线长，可求圆锥的表面积.
【详解】圆锥与其内切球的轴截面如下图所示，
由已知，可知，所以圆锥的轴截面为正三角形，
因为，所以圆锥底面圆半径，母线，
则圆锥的表面积为．
故选：C．
11．（2023·全国·模拟预测）上、下底面均为等边三角形的三棱台的所有顶点都在同一球面上，若三棱台的高为3，上、下底面边长分别为，，则该球的表面积为（ ）
A．32B．36C．40D．42
【答案】B
【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的截面的性质及计算
【分析】首先作图进行解答，设，的外心分别为，，外接球的球心为，然后再设外接球的半径，进行求解，得出外接球表面积为.
【详解】设三棱台为，，外心分别为，，外接球的球心为，
，是等边三角形， ，是三角形的中心，也是三角形重心
由题意易知高为，高为，故由重心的定义知，，且由题意易知，
设外接球的半径为，，连接，则，
故，即，
解得，，所以外接球的表面积为，
故选:B.
12．（23-24高二上·重庆渝中·阶段练习）正四棱锥的底面边长为，则平面截四棱锥外接球所得截面的面积为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算
【分析】利用直角三角形求出外接圆的半径，设中点为，连接，过作，则即为点到平面的距离，根据相似即可求出，得到外接球所得截面的面积.
【详解】设正方形边长为，底面中心为中点为，
连接，如图所示，
由题意得，且正四棱锥的外接球球心，
设外接球半径为，则，
在中，，且，
所以，解得，即，
在中，，
过作，则即为点到平面的距离，且为平面截其外接球所得截面圆的圆心，
所以，
则，
所以，
所以截面的面积.
故选：C

【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出外接圆半径以及找到点到平面的距离.
二、填空题
13．（2024·河北邯郸·模拟预测）用一个平面截球O得到的曲面称为球冠，截面为球冠的底面，如图球冠的高大于球的半径，为底面圆心，是以为底，点S在球冠上的圆锥，若底面的半径是球的半径的倍，点A为底面圆周上一点，则SA与底面所成的角为 ，圆锥的表面积与球O的表面积的比为 ．
【答案】 /60° /0.5625
【知识点】球的截面的性质及计算、圆锥表面积的有关计算、球的表面积的有关计算、求线面角
【分析】结合圆锥的图形特征应用线面角定义得出正切即可求角，再应用圆锥及球的表面积公式计算求解.
【详解】由题意可知球心在圆锥的高上，设底面的半径为，球的半径为，则，则，
所以，
因为与底面所成的角为，所以，
故．
由上可知圆锥的表面积为，
所以圆锥的表面积与球的表面积的比为．
故答案为：；.
14．（24-25高三上·福建·期中）已知球的半径为，、、三点均在球面上，，，，则三棱锥的体积是 .
【答案】
【知识点】球的截面的性质及计算、锥体体积的有关计算、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】设的外心为点，连接、，则平面，利用余弦定理求出方长，利用正弦定理求出的长，利用勾股定理求出，然后利用三角形的面积公式结合锥体的体积公式可求得三棱锥的体积.
【详解】如下图所示：
设的外心为点，连接、，则平面，
在中，，，，
由余弦定理可得
，则，
由正弦定理可得，则，
所以，，
，
所以，.
故答案为：.
15．（2024·广东·模拟预测）已知球O是某圆锥内可放入的最大的球，其半径为该圆锥底面半径的一半，则该圆锥的体积与球O的体积之比为 ．
【答案】/
【知识点】锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算、圆锥中截面的有关计算
【分析】根据题意作出相应的截面图形，设，利用勾股定理，用表示，结合圆锥体积和球的体积公式即可求解.
【详解】球O是某圆锥内可放入的最大的球，则该球为圆锥的内切球，
截面如图所示：设球的半径为，则圆锥底面半径为，
可得在中，，，
设，由勾股定理得，
，即，
化简得，即，
，则，即，
则圆锥体积为，
球的体积为，
所以圆锥的体积与球O的体积之比为.
故答案为：.
16．（2024·湖北武汉·模拟预测）两个有共同底面的正三棱锥与，它们的各顶点均在半径为1的球面上，若二面角的大小为，则的边长为 ．
【答案】
【知识点】多面体与球体内切外接问题、由二面角大小求线段长度或距离、用和、差角的正切公式化简、求值、正棱锥及其有关计算
【分析】分析可知为外接球的直径，做辅助线，可知，设，可得，结合两角和公式列式求解即可.
【详解】由题意可知：外接球的球心，且平面，即为外接球的直径，，
设平面，可知为等边的中心，
取的中点，连接，
则，可知二面角的平面角为，
设，
则，，
因为，即，
又因为，且，
则，解得，
所以的边长为.
故答案为：.
【点睛】易错点睛：本题只说明两个正三棱锥共底面，没有说明两个正三棱锥全等，不可以利用对称性解题.例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下：
即：，
可求出.

定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。
定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。
①墙角模型（三条线两个垂直）
题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）

②对棱相等模型（补形为长方体）
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，）
步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）；
②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上；
③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径.
如图：在三棱锥中：
①选定底面，定外接圆圆心
②选定面，定外接圆圆心
③分别过做面的垂线，和做面的垂线，两垂线交点即为外接球球心.
平行线法:经过两条平行（相交）直线确定唯一平面