热点03 函数及其性质 （7题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（天津专用）

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题型1 根据函数的单调性求参数
1．（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）已知函数，且时，都有恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】根据函数的单调性求参数值
【分析】构造函数，由其在上单调递减.分类讨论即可；
【详解】时，都有恒成立.则不妨设，则.
设函数，则且，即，
则函数在上单调递减.
（1）当时，在上单调递减，符合题意.
（2）当时，函数在上单调递增，不合题意舍去.
（3）当时，若使函数在上单调递减，只需即.
综上所述，.
故选：D
2．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知是定义在R上的函数，若对于任意，都有，则实数a的最大值是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性求参数值、函数不等式恒成立问题
【分析】变形得到，从而得到在上单调递增，分和两种情况，结合二次函数对称轴，数形结合得到不等式，求出答案.
【详解】因为，所以，
即，
令，则，
故在上单调递增，
当时，满足在上单调递增，
当时，为二次函数，
需满足或，
解得或，
综上，，实数a的最大值为.
故选：C.
3．（24-25高三上·河南·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】根据函数的单调性求参数值、对数型复合函数的单调性
【分析】利用复合函数的单调性法则求解即可.
【详解】函数在上单调递增，
而函数在区间上单调递增，
则有函数 在区间 上恒为正数且单调递增，
因此 ，
解得 ，
实数的取值范围是 .
故选：C.
4．（24-25高一上·天津·阶段练习）若在区间内单调递增，则实数m的取值范围为 .
【答案】
【知识点】根据函数的单调性求参数值、对数型复合函数的单调性、由对数（型）的单调性求参数
【分析】求出函数的定义域，根据复合函数的单调性求出的单调递增区间，然后由集合的包含关系列不等式组即可求解.
【详解】由可得，解得，
函数是由和复合而成，
又对称轴为，开口向下，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为为减函数，
所以的单调增区间为，
因为在区间内单调递增，
所以，解得，
所以实数m的取值范围为，
故答案为：.
5．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）函数，若对于任意，当时，都有，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【知识点】根据函数的单调性求参数值
【分析】由，可得，构造新函数，易知在上单调增加，根据单调性即可得到实数a的取值范围.
【详解】不妨设，因为对于任意，
当时，都有，即，
所以在上恒成立.
令，则当时，恒有，
即在上单调递增，
当，即时，显然符合题意，
当时，由对勾函数性质可知，在上单调递增，
由题意可得，解得或.
综上，.
故答案为：.
题型2函数的周期性
1．（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数的定义域为，且满足，的导函数为，函数为奇函数，则（ ）
A．1B．3C．D．
【答案】A
【知识点】函数奇偶性的应用、判断证明抽象函数的周期性、简单复合函数的导数、由函数的周期性求函数值
【分析】根据两边求导得，再根据为奇函数得，由对称性得出是周期为2的周期函数，即可求解．
【详解】由两边求导得，，即，
因为为奇函数，
所以，即，
所以关于中心对称，
所以，变形得，且，
由，得，变形得，
所以，则，
所以是周期为2的周期函数，则，
故选：A．
2．（23-24高一上·天津·期末）已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有.当时，，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】A
【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、对数的概念判断与求值
【分析】根据函数的奇偶性和周期性求得正确答案.
【详解】由于，所以是周期为的周期函数，
依题意，是定义在上的奇函数，，
所以.
故选：A
3．（24-25高一上·天津·期中）已知在R上是周期为3的奇函数，当时，，则 .
【答案】−2
【知识点】函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值
【分析】根据周期可得，根据奇函数得，代入已知条件即可求解.
【详解】因为的周期为3，且为奇函数，
所以.
故答案为：−2
4．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且为奇函数，则的值为 .
【答案】0
【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、由函数的周期性求函数值
【分析】根据题意，求得，得到3是的一个周期，进而求得的值，结合周期性，即可求解.
【详解】因为定义在上的函数满足，
可得，所以，所以3是的一个周期.
因为为奇函数，所以，
用替换，可得：，即.
又因，故得，即，
所以函数的图象关于 轴对称.
又，
则，
即得，
故.
故答案为：0.
5．（2024高三·全国·专题练习）已知定义域为R的函数满足，的图象关于直线对称，，则 ．
【答案】
【知识点】函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值
【分析】方法一：根据已知抽象函数关系式可推导得到是周期为的周期函数，结合对称性可得为偶函数，从而赋值可求得，结合周期性可求得结果；
方法二：根据已知抽象函数关系式可推导得到是周期为的周期函数，采用赋值法，结合对称轴可求得，利用周期性可求得结果.
【详解】方法一：，，
，，
是周期为的周期函数；
的图象关于对称，，
，为偶函数，
，，解得：，
，，，
.
方法二：令，则由得：，
，即，
是周期为的周期函数；
图象关于直线对称，，
又，；
令，则，又，，
．
故答案为：.
【点睛】结论点睛：（1）若函数的图象关于直线对称（当时，为偶函数），则①；②；③；
（2）若函数的图象关于点对称（当时，为奇函数），则①；②；③；
（3）若函数的图象关于点对称，则①；②；③．
题型3 函数的奇偶性
1．（24-25高三上·天津南开·期末）若函数为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】由奇偶性求参数
【分析】根据奇函数的定义即可求解.
【详解】，
则，
则，
故，得，
当时，定义域为关于原点对称，且，满足题意，
故，
故选：B
2．（22-23高一上·山东济南·期末）若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）
A．B．C．5D．7
【答案】C
【知识点】函数奇偶性的应用
【分析】求出，再根据奇函数得到即可.
【详解】因为时，，所以，
因为是定义在R上的奇函数，所以.
故选：C.
3．（2024·浙江台州·一模）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A．3B．2C．2D．3
【答案】B
【知识点】函数奇偶性的应用、对数的运算
【分析】利用函数的奇偶性求解.
【详解】根据题意，是定义在上的奇函数，
当时，，
则.
故选：B
4．（24-25高一上·天津·期中）若函数为奇函数，则实数（ ）
A．B．1C．0D．
【答案】B
【知识点】由奇偶性求参数
【分析】根据函数的奇偶性列列方程，由此求得的值.
【详解】是奇函数，，
，
由于上式恒成立，所以.
此时，
，是奇函数，符合题意.
所以.
故选：B
5．（23-24高二下·天津河东·期末）若为偶函数，则（ ）
A．B．0C．D．1
【答案】B
【知识点】对数的运算性质的应用、求对数型复合函数的定义域、由奇偶性求参数
【分析】根据给定条件，利用偶函数定义求解即得。
【详解】函数中，，解得或，
由为偶函数，得，
即，
整理得，即，而不恒为0，
所以.
故选：B
题型4 函数的对称性
1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若定义在上的函数满足是奇函数，，则（ ）
A．0B．1C．2024D．2025
【答案】A
【知识点】函数周期性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值
【分析】根据已知fx+2+fx=0得函数的周期为4，再结合函数是奇函数得出，进而计算一个周期函数值和为0，最后计算求值.
【详解】由fx+2+fx=0得，函数的周期为4，
又是奇函数，所以函数的图象关于对称，即，
因为，令x=2可得
令得：，所以，
故.
故选：A.
2．（2024高三·全国·专题练习）定义域为的函数满足，的导函数为连续函数，函数的图象关于点中心对称，则（ ）
A．3B．C．1D．
【答案】A
【知识点】函数周期性的应用、函数对称性的应用、简单复合函数的导数
【分析】利用函数的图象关于对称、关于点中心对称可得的周期，根据周期可得答案．
【详解】因为，则函数的图象关于点中心对称，
且．由，，得，
所以函数的图象关于直线对称．根据图象变换规律，
由的图象关于点2,1中心对称，得的图象关于点中心对称，
又函数为连续函数，所以．
由于的图象既关于直线对称，又关于点对称，则是周期函数，周期为
所以，故．
故选：A
3．（2024高三·全国·专题练习）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ）
A．2023B．C．3D．
【答案】C
【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值
【分析】根据已知求出的周期、可得答案.
【详解】因为是定义域为的奇函数，所以f−x=−fx，，
因为，所以，
可得，所以的周期为4，
故，，又，所以，
，所以f1+f2+f3+f4=0，
则.
故选：C.
4．（2024高三·全国·专题练习）已知的定义域为，满足，且当时，为单调递增函数，则满足的的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】函数对称性的应用、根据函数的单调性解不等式、解含参数的一元一次不等式
【分析】由确定函数的对称轴为，由对称性得出函数的单调性，从而得出结论：对而言，自变量离对称轴越远，函数值越大，由此化简不等式求解．
【详解】根据确定函数的对称轴为，
又当时，为单调递增函数，所以当时，为单调递减函数．
对而言，自变量离对称轴越远，函数值越大，
所以，解得．
故答案为：．
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，的定义域均为R，且，，
①函数的图像关于点1,0对称
②函数的图像关于点对称
③函数的图像关于直线对称
④函数的图像关于直线对称
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①③
【知识点】函数奇偶性的应用、判断或证明函数的对称性、函数对称性的应用
【分析】根据对称中心定义判断①，②；应用对称轴定义判断③④.
【详解】因为，，
设，则，所以ℎx的图象关于点1,0对称，即①正确；
设，则，所以φx的图象关于点对称，即②错误；
设，由①可知，，又，所以，
所以，所以Fx的图象关于直线对称，即③正确；
设，由②可知，，又，所以，
所以推不出，所以的图象不一定关于直线对称，即④错误；
故答案为：①③.
题型5 利用函数的性质比较大小
1．（2024·天津·一模）已知函数，若，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系
【分析】先判断函数自变量大小可得，再根据函数在0,+∞上的单调性判断即可.
【详解】因为，，
所以，
当时，，
因为，所以在0,+∞上单调递增，
所以，
故选：C.
2．（2023·天津河西·模拟预测）已知函数是上的偶函数，对任意，，且都有成立．若，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、对数的运算性质的应用、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系
【分析】利用奇偶性和对称性判断函数在上的单调性，再比较大小，结合的单调性即可得出答案．
【详解】解：因为函数是R上的偶函数，
所以函数的对称轴为，
又因为对任意，，且都有成立．
所以函数在上单调递增，
而，，，
所以，
所以，
因为函数的对称轴为，
所以，
而，
因为，
所以，
所以，
所以．
故选：A．
3．（23-24高二下·天津·期中）已知函数，且、、，则、、的大小关系（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】根据题意，求导得，即可得到在上单调递增，从而可比较函数值的大小关系.
【详解】由可得，
当时，，
所以在上单调递增，
又，所以，
即，则，
所以.
故选：D
4．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数是上的偶函数，对任意，且都有成立．若，，，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】函数奇偶性的应用、对数的运算、运用换底公式化简计算、比较函数值的大小关系
【分析】根据题意，由偶函数的性质可得的图象关于直线对称，结合函数的单调性分析可得在上为增函数，据此分析可得答案．
【详解】根据题意，函数是上的偶函数，则函数的图象关于直线对称，
又由对任意，且，都有成立，则函数在上为增函数，
又，，，
又，所以，由函数的图象关于直线对称，知，
又，所以，故，
故选：A．
5．（23-24高二下·天津红桥·期末）已知定义在上的偶函数，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】由奇偶性求参数、奇偶函数对称性的应用、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系
【分析】先由函数为偶函数，求出，由此得在区间0,+∞上单调递减，再由对称性将转化为，由 利用单调性可得大小.
【详解】由函数为偶函数，
所以，即，解得，
当时，为偶函数，满足题意.
函数的图像关于轴对称，且在0,+∞上单调递减．
又，，，
由，所以.
故.
故选：C.
题型6根据函数的性质解不等式
1．（24-25高三上·天津·开学考试）设是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式
【分析】利用二次函数的单调性与的奇偶性分析得的单调性，结合函数的解析式，将原不等式转化为，从而得到关于的不等式，解之即可得解.
【详解】因为当时，，所以在上为增函数，
又是定义在上的奇函数，所以在上为增函数，
因为，所以，，
所以，即，
所以不等式可化为，即，
所以，解得或，
所以不等式的解集为，
故选：C.
2．（2024·海南海口·模拟预测）已知定义在上的函数，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】根据的奇偶性以及单调性，即可将问题转化为，即可求解.
【详解】记，则，
故为的奇函数，
又，
因此为上的单调递增函数，
因为，
由可得，进而，
故，解得，
故选：D
3．（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、由对数函数的单调性解不等式
【分析】判断函数的奇偶性和单调性，根据函数的性质，把函数不等式转化为代数不等式，再求解即可.
【详解】，所以，即为偶函数，
对函数，，则，
因为，所以，，所以，故在上恒成立.
所以函数在上单调递增，所以在上单调递增.
所以，
所以，解得或．
故选：B
4．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，若实数满足，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】由对数函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式、函数基本性质的综合应用
【分析】分析可知函数在上单调递增，且，由已知条件可得出，结合函数的单调性和奇偶性可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，
则函数在上单调递增，且，
因为，由，
可得，即，
即，所以，，即，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知，则的解集为 ．
【答案】或x>1
【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式、解不含参数的一元二次不等式
【分析】利用奇偶函数的判断方法及基本函数的单调性，可得为奇函数，且在定义上单调递减，从而得到，即可求解.
【详解】易知的定义域为，又，
所以为奇函数，又易知在定义上单调递减，
故由，可得到，
所以，即，解得或，
所以的解集为或x>1，
故答案为：或x>1.
题型7 分段函数的单调性
1．（2024·山东·模拟预测）“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】根据分段函数的单调性求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】根据分段函数的单调性可知在上单增、在上单增，且，结合导数的应用和二次函数的图象与性质计算即可求解.
【详解】当时，，得.
因为，要使在上单调递增，
则恒成立.即恒成立，得；
当时，，图象为开口向上的抛物线，对称轴为.
要使在上单调递增，则，解得；
同时，在处，需要满足，即，解得.
综上， ，解得.
所以“”是“” 的必要不充分条件，
即是函数在上单调递增的必要不充分条件.
故选：C.
2．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数在R上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】对数型复合函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】分段函数单调递减，需满足每一段函数均单调递减，且分段处左端点函数值大于等于右端点函数值，从而得到不等式，求出答案.
【详解】显然在上单调递减，
要想在R上单调递减，
则，解得.
故选：D
3．（2024·江苏南通·一模）若函数，在上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】根据分段函数的单调性求参数、对数型复合函数的单调性
【分析】根据对数函数性质判断上的单调性和值域，结合其区间单调性及分式型函数的性质，讨论参数确定参数范围.
【详解】当时，单调递增且值域为，而在上单调递增，
则在上单调递增，且，
当时，在上单调递增，满足题设；
当时，在上单调递增，此时只需，即；
综上，.
故选：A
4．（2024·四川德阳·一模）已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数
【分析】构造，由已知条件得到Fx在R上单调递增，根据时，，解得，由分段处左端点值小于等于右端点值得到或，从而，再验证出此时Fx，在上单调递增，从而得到答案.
【详解】对任意，都有，
令，则Fx在R上单调递增，
其中，
当时，，解得，
且，解得或，
故，
当时，，
因为，所以，
故Fx在1,+∞上单调递增，满足要求，
综上，实数的取值范围是.
故选：A
5．（2024·江苏无锡·二模）已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】由指数（型）的单调性求参数、根据分段函数的单调性求参数、根据函数的单调性求参数值
【分析】运用分段函数单调性知识，结合一次函数和指数型函数单调性知识可解.
【详解】由题意，为定义在上的减函数，则各段为减函数，还要区间端点附近递减，
所以，解得，则.
故答案为：.
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（2024·天津河北·一模）设，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据函数的单调性求参数值
【分析】根据题意，由二次函数的对称轴和函数的单调性的关系以及充分性与必要性的应用，即可得到结果.
【详解】函数的对称轴为，
由函数在上单调递增可得，即，
所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A
2．（2020·天津·一模）已知函数，对任意的，，总有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】根据分段函数的单调性求参数、根据函数的单调性求参数值
【分析】由已知可得在为增函数，分段函数两段均为单调递增，而且右段的最低点不低于左段的最高点，即可求解.
【详解】∵对任意的，，总有成立，
不妨设，
∴函数在定义域上是增函数，
∴，解得，
故选：C.
【点睛】本题考查分段函数的单调性，要注意分段函数各段单调性相同的区间合并的条件，属于基础题.
3．（2023·天津滨海新·三模）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，，则，，大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】比较对数式的大小、函数奇偶性的应用、比较函数值的大小关系
【分析】根据指数幂，对数的运算法则进行比较大小，利用函数的奇偶性和单调性进行转化求解即可.
【详解】，
因为是定义在上的偶函数，
所以，
因为，，，
且在上单调递减，
所以，
即.
故选：A.
4．（2023·天津红桥·二模）已知是定义在上的偶函数且在上为减函数，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】比较指数幂的大小、比较函数值的大小关系、函数奇偶性的定义与判断、比较对数式的大小
【分析】根据偶函数的定义及对数的运算，利用指数对数函数的性质及函数的单调性即可求解.
【详解】因为是偶函数，
所以，
由，
由指数函数的性质知，函数在上单调递减，且，
所以，
所以，
因为在上为减函数，
所以，即.
故选：A.
5．（2024·河南·模拟预测）函数图象的对称中心是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】求对数型复合函数的定义域、函数对称性的应用
【分析】根据函数解析式以及对数运算法则可得函数满足，即可得对称中心为.
【详解】易知的定义域为，
所以可得，
因此
，
即函数满足，因此的对称中心为.
故选：B
6．（2024·天津河西·模拟预测）已知定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：
①当时，； ②函数有2个零点；
③的解集为； ④，都有．
其中正确的命题个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、由导数求函数的最值（不含参）、函数奇偶性的应用
【分析】利用奇函数的定义与性质可判定①②，通过导数研究函数的单调性、最值可判定③④.
【详解】不妨令，则
因为为奇函数，所以，即①错误；
由上可知，
令可得或0，有三个零点，即②错误；
对于，
显然时，此时单调递减，
时，此时单调递增，
不难发现时，，时，
所以，时，，
所以时，，
由奇函数的性质可知的解集为；
且时，，故时有，
则，都有，
所以恒成立，即③④正确；
故选：B
【点睛】思路点睛：根据奇函数的对称性性质结合导数研究函数的单调性、极值与最值计算即可，另外多积累常用的几类函数会帮助比较大，形如等.
7．（2022·天津河西·二模）已知定义在R上的函数满足：①；②；③在上的解析式为，则函数与函数的图象在区间上的交点个数为( )
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【知识点】指数函数图像应用、余弦函数图象的应用、函数对称性的应用、画出具体函数图象
【分析】由函数的性质作出其图象，再观察交点个数即可得解．
【详解】由知的图象关于对称，
由知的图象关于对称，
作出与在,上的图象：

由图可知函数与函数的图象在区间上的交点个数为4．
故选：B．
8．（2021·天津河西·三模）已知f(x)为定义在上的偶函数，当时，有，且时；，给出下列命题：①；②函数f(x)在定义域上是周期为2的周期函数；③直线与函数的图象有1个交点；④函数f(x)的值域为，其中正确命题有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【知识点】对数函数图象的应用、由周期性求函数的解析式、函数的周期性的定义与求解、由奇偶性求函数解析式
【分析】由函数关系式及偶函数的性质可知在、上分别是周期为2的函数，并可写出其对应的函数解析式，结合函数图象，即可判断各项的正误.
【详解】由题设，，即是周期为2的函数，
令，则，而时；，
∴.
∴综上：且在上周期为2.
∵f(x)为定义在上的偶函数，
∴在上周期为2且.
①，正确；
②函数f(x)在定义域上是周期为2的周期函数，错误；
③直线与函数的图象如下图示，只有1个交点，正确；
④函数f(x)如下图示，其值域为，正确；
故选：D.
【点睛】关键点点睛：利用函数关系及偶函数性质，判断函数的周期性及相应区间上的解析式，应用数形结合的方法判断各项的正误即可.
9．（2024·湖南永州·三模）已知函数，其中是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】求导后结合基本不等式可得在上单调递增，令g，从而可得在上单调递增，且为奇函数，从而可化为，求解即可.
【详解】，
在上单调递增.
令，在上单调递增，
因为，所以为奇函数，
则化为
所以，解得，
.
故选：C
10．（2023·四川雅安·一模）已知函数的定义域为恒成立.当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】由对称性研究单调性、定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、判断或证明函数的对称性
【分析】先得到关于对称，结合得到，结合条件得到的单调性，结合，得到，由单调性求出解集.
【详解】因为，所以关于对称，
所以，
因为，所以，
因为，，
故在上单调递增，所以在上单调递减，
因为，，
所以，
当时，，结合单调性可知，
当时，，结合单调性可知，
故的解集为.
故选：A
二、填空题
11．（2023·天津滨海新·三模）已知正实数m，n，满足，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、基本不等式求和的最小值、根据函数的单调性求参数值
【分析】，利用函数单调性可得，又注意到，后由基本不等式可得答案.
【详解】，构造函数，则，即在上单调递增，
则.则，
当且仅当，即时取等号.
故答案为：.
12．（2023·新疆阿勒泰·三模）正数满足，则a与大小关系为 ．
【答案】/
【知识点】判断指数函数的单调性、比较函数值的大小关系、对数函数单调性的应用
【分析】构造函数，并运用其单调性比较大小即可.
【详解】因为，
所以，
设，则，
所以，
又因为与在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以.
故答案为：.
13．（23-24高二下·广东深圳·期末）已知函数，则不等式的解集为 .
【答案】
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式
【分析】利用导数判断单调性，再判断奇偶性，即可求解不等式.
【详解】由得，
所以函数是R上的增函数，
又由得函数是奇函数，
则由得，
所以，
解得.
故答案为：.
14．（2024·天津南开·一模）已知函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为
【答案】－1或
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数零点的个数求参数范围、函数奇偶性的应用
【分析】由已知可得函数有唯一零点，证明函数为偶函数，结合偶函数的性质，根据条件列方程求的值.
【详解】因为函数有唯一零点，
所以函数有唯一零点，又，
，
所以函数是偶函数，又函数有唯一零点，
则的零点为0，所以，
因为是R上的奇函数，所以，
由，解得，
所以，解得或.
故答案为：或.
【点睛】关键点睛：解题关键是证明函数是偶函数，结合有唯一零点确定的零点为0，由此列式运算得解.
15．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、复合函数的单调性、由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式
【分析】设函数，得到关于函数的不等式，判断函数的性质，利用函数性质得到简单的一元一次不等式，解不等式，得结果.
【详解】设函数，则，，，
所以，
化简得．
因为的定义域为，关于原点对称，
且，
，
所以为奇函数，
当时，函数单调递增，又函数在其定义域上单调递增，所以单调递增，又函数单调递增，故函数单调递增，又为奇函数，
所以在上单调递增，
故，得，
解得:，即原不等式的解集为．
故答案为：.
三年考情分析
2025考向预测
2022年，第5题，考察指对幂比较大小
2023年，第3题，考察指对幂比较大小
2024年，第5题，考察指对幂比较大小
函数的定义域、函数值以及分段函数与基本初等函数及其性质，指对幂比大小依旧是重点关注方向，主要是选择填空题为主
（1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反；
（2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同；
（3）和的公共定义区间，有如下结论；
增
增
增
不确定
增
减
不确定
增
减
减
减
不确定
减
增
不确定
减
设函数，.
①若，则函数的周期；
②若，则函数的周期；
③若，则函数的周期；
④若，则函数的周期；
⑤，则函数的周期
①对数型复合函数判断奇偶性常用或来判断奇偶性.
②，在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
③若是定义在区间上奇函数，且，则（注意：反之不成立）
（1）轴对称：若函数关于直线对称，则
①；
②；
③
（2）点对称：若函数关于直线对称，则
①
②
③
（3）点对称：若函数关于直线对称，则
①
②
③
通常涉及单调性+奇偶性
通常涉及单调性+奇偶性
（1）每段都要单调
（2）分段点是比较的重点