热点07 正弦定理与余弦定理（8题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（天津专用）

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题型1 利用正（余）弦定理解三角形
1．（2024·天津北辰·三模）在中，，为外心，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·天津红桥·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，且．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
3．（2024·天津·一模）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
4．（2024·天津河东·一模）在三角形中，角所对的边分别为．已知，．
(1)求角的大小；
(2)求的值；
(3)求边的值．
5．（2023·天津北辰·三模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．满足．
(1)求角B的大小；
(2)设，．
（ⅰ）求c的值；
（ⅱ）求的值．
题型2 判断三角形形状
1．（2024·河北秦皇岛·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则（ ）
A．为直角三角形B．为锐角三角形
C．为钝角三角形D．的形状无法确定
2．（2024·陕西渭南·三模）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
3．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．顶角为的等腰三角形
C．顶角为的等腰三角形D．等腰直角三角形
4．（2023·甘肃酒泉·三模）在中内角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
5．（2023·内蒙古呼和浩特·一模）在中，D是BC边的中点，且，，，则的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．无法确定
题型3正弦定理判断三角形解的个数
1．（2024·湖北黄冈·一模）已知的内角所对的边分别为，，下面可使得有两组解的的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·宁夏银川·三模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，若有两解，则c的取值可能为（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（23-24高一下·天津河西·期中）根据下列情况，判断三角形解的情况，其中有唯一解的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高一下·浙江宁波·期中）在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高一下·天津·阶段练习）在中，已知b=2，A=30°，且该三角形有唯一解，则a取值范围

题型4三角形边长比值（代数和）
1．（23-24高一下·天津滨海新·期末）已知的三个内角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若的面积是，求；
(3)若为边上一点，且满足，，试求的最大值．
2．（2024·广东·模拟预测）在中，角的对边分别是，且．
(1)证明：．
(2)若是锐角三角形，求的取值范围．
3．（2024·江西·模拟预测）在中，角，，所对的边分别记为，，，且．
(1)若，求的大小．
(2)若，求的取值范围．
4．（2024·四川泸州·一模）设的内角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若的最大值为，求的值．
5．（23-24高一下·北京·期末）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求A的大小；
(2)若D是边AB的中点，且，求的取值范围．
题型5 三角形面积
1．（2024·天津·模拟预测）已知正的边长为，中心为，过的动直线与边，分别相交于点、，，，.
（1）若，则 ；
（2）与的面积之比的最小值为 .
2．（2024·天津·二模）在中，，是的中点，延长交于点．设，，则可用，表示为 ，若，,则面积的最大值为 ．
3．（2024·天津河西·模拟预测）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点．
(1)求中线AM的长；
(2)求的余弦值；
(3)求面积．
4．（2024·天津河北·二模）在中，角，，的对边分别为，，，已知.
(1)若，求的值和的面积；
(2)在（1）的条件下，求的值；
(3)若，求的值.
5．（2024·天津滨海新·二模）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.
(1)求A；
(2)若，求的值；
(3)若，点D在边AB上，，.求的面积.
题型6 三角形周长
1．（2024·贵州贵阳·三模）已知的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且满足.请回答下列问题:
(1)证明:为等腰三角形;
(2)若的外接圆直径为1，试求周长的取值范围.
2．（2024·重庆·三模）已知函数的最小正周期为
(1)求函数的单调递增区间；
(2)已知的三边长分别为a，b，c，其所对应的角为A，B，C，且，，，求该三角形的周长.
3．（2024·安徽淮北·二模）记的内角的对边分别为，已知
(1)试判断的形状；
(2)若，求周长的最大值.
4．（2023·湖南·模拟预测）的内角A，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长.
5．（2023·山西吕梁·二模）如图，在平面四边形中，，，的平分线交于点，且．

(1)求及；
(2)若，求周长的最大值．
题型7 正（余）弦定理在几何图形中计算
1．（2024·四川宜宾·一模）如图，一张圆形纸片的直径，现对折成半圆，取半圆弧上的三等分点，现沿边将裁剪，剪去两个全等且关于线段的中垂线对称的与，展开得到一个镂空的图案.若，则两个镂空的四边形和面积之和的最小值为
【答案】
2．（2024·全国·模拟预测）已知：在中，M，N，P三点分别在边上，则，，的外接圆交于一点O，称为密克点．在梯形中，，，为边的中点，动点在边上，与的外接圆交于点（异于点），则的最小值为 ．

3．（2024·江西新余·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，.
(1)求；
(2)求四边形的面积.
4．（2024·山东济南·二模）如图，已知平面四边形中，.
(1)若四点共圆，求；
(2)求四边形面积的最大值.
5．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）某公园计划改造一块四边形区域ABCD铺设草坪，其中百米，百米，，，草坪内需要规划4条人行道DM、DN、EM、EN以及两条排水沟AC、BD，其中M、N、E分别为边BC、AB、AC的中点．
(1)若，求排水沟BD的长；
(2)若，试用表示4条人行道的总长度．
题型8 正（余）弦定理的实际应用
1．（2024·甘肃白银·一模）位于某海域处的甲船获悉：在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏东且与甲船相距30海里的处的乙船，让乙船也前往救援，则乙船至少需要航行的海里数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·宁夏银川·三模）某同学为测量塔的高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与，现测得在点测得塔顶A的仰角为60°，则塔高 m.
3．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）海宝塔位于银川市兴庆区，始建于北朝晚期，是一座方形楼阁式砖塔，内有木梯可盘旋登至顶层，极目远眺，巍巍贺兰山，绵绵黄河水，塞上江南景色尽收眼底.如图所示，为了测量海宝塔的高度，某同学（身高173cm）在点处测得塔顶的仰角为，然后沿点向塔的正前方走了38m到达点处，此时测得塔顶的仰角为，据此可估计海宝塔的高度约为 m.（计算结果精确到0.1）

4．（2024·宁夏银川·二模）如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在出测得山顶得仰角为，
(1)若，求坡面的坡比．（坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值）
(2)求证;山高
5．（2024·安徽合肥·三模）如图，某人开车在山脚下水平公路上自向行驶，在处测得山顶处的仰角，该车以的速度匀速行驶4分钟后，到达处，此时测得仰角，且.
(1)求此山的高的值；
(2)求该车从到行驶过程中观测点的仰角正切值的最大值．
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（2023·天津南开·二模）在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最大值为（ ）
A．4B．8C．12D．16
2．（2023·河北保定·三模）已知外接圆的半径为，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为，已知，且，则的面积的最大值为（ ）
A．1B．C．2D．
4．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若，，且的面积为，则的周长为（ ）
A．38B．C．D．
二、填空题
6．（24-25高三上·天津南开·期中）已知内角，，所对的边长分别为，，，，若为锐角三角形，且，求的取值范围为 ．
7．（24-25高三上·天津河西·期中）记的内角的对边分别为，若，，，则 .
8．（24-25高三上·天津武清·期中）如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为 m.

9．（24-25高三上·江苏泰州·开学考试）在中，分别为内角的对边，若，且，则 .
三、解答题
10．（24-25高三上·天津北辰·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)若.
（i）求的值：
（ii）求的值.
11．（24-25高三上·天津西青·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，.
(1)求角的大小；
(2)求的值；
(3)求的值.
12．（24-25高三上·天津和平·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，.
(1)求角的大小；
(2)若，.
（ⅰ）求的面积；
（ⅱ）求的值.
13．（24-25高三上·天津河东·期末）的内角的对边分别为，已知，．
(1)求；
(2)若，求．
14．（24-25高三上·天津河西·期末）在中，内角所对的边分别为，已知.
(1)求角的大小；
(2)设.
（i）求的值；
（ii）求的值.
15．（24-25高三上·天津南开·期末）在中，角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)求；
(3)求的值.
三年考情分析
2025考向预测
2022年，第16题，考察解三角形和三角函数
2023年，第16题，考察解三角形和三角函数
2024年，第16题，考察解三角形和三角函数
解三角形”是每年天津高考常考内容，出现在解答题中。对于解答题，一是考查正弦定理、余弦定理的简单应用；二是考查两个定理的综合应用，常与两角和差公式，二倍角公式综合在一起考察。
1、在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则
①
②；；；
③
④
⑤，，（可实现边到角的转化）
⑥，，（可实现角到边的转化）
2、余弦定理
2.1余弦定理的描述
①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.
②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则：
；
2.2余弦定理的推论
；
；
判断三角形形状时，可利用正余弦实现边角转化，统一成边或角的形式，还要注意三角形自身的特点
①sinA=sinB⇒A=B⇒△ABC为等腰三角形
②sinA=csB⇒或⇒△ABC直角三角形或钝角三角形
③sin2A=sin2B⇒A=B或⇒△ABC为等腰三角形或钝角三角形
④cs2A=cs2B⇒A=B⇒△ABC为等腰三角形
⑤⇒⇒△ABC为直角三角形
⑥⇒
或⇒ ⇒△ABC为钝角三角形
或⇒
⑦⇒
且⇒ ⇒△ABC为锐角三角形
且⇒
1）已知两角和任意一边，求其它两边和一角；
2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。
例如：已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:（多解情况）
eq \\ac(○,1)若A为锐角时:
eq \\ac(○,2)若A为直角或钝角时:
方法：化角
利用正弦定理；;将边化为角；
根据题意求出角的范围；
结合辅助角公式化简求解
①；
②；
③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；
④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径).
2、三角形面积最值：
核心技巧：利用基本不等式，再代入面积公式.
3、三角形面积取值范围：
核心技巧：利用正弦定理，，代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.
1、基本不等式
核心技巧：利用基本不等式，在结合余弦定理求周长取值范围；
2、利用正弦定理化角
核心技巧：利用正弦定理，，代入周长（边长）公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.