热点10 直线与圆，圆与圆的位置关系（10题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（天津专用）

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题型1 由直线与线段相交求斜率（倾斜角）范围
1．（24-25高二上·天津北辰·期中）设点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．或B．或C．D．
【答案】D
【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围
【分析】求出，数形结合得到，求出答案.
【详解】，，
数形结合知，直线的斜率需满足，
即.
故选：D
2．（24-25高二上·天津南开·期中）已知两点直线与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】直线过定点问题、直线与线段的相交关系求斜率范围
【分析】根据直线方程可得直线经过定点．根据直线与线段相交，结合图形则可得直线的斜率取值范围．
【详解】直线，即，令，可得直线经过定点，
又，．
直线与线段相交，
由图可得，则直线的斜率取值范围是．
故选：D．
3．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知直线，且与以点，为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围为 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率、直线过定点问题、直线与线段的相交关系求斜率范围
【分析】结合图象，求出端点处的斜率，从而求出函数的斜率的取值范围即可.
【详解】
直线恒过定点1,0，
直线过点时，设直线的斜率为，
所以，
直线过点时，设直线的斜率为，
所以，
要使直线与线段有公共点，
则直线的斜率的取值范围为.
故选：.
4．（24-25高二上·天津·阶段练习）过点的直线与连接的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围
【分析】先求出点与端点的斜率值，再结合图象，根据正切函数单调性，得到斜率范围即可.
【详解】由点，可求得：
结合图象，根据正切函数在锐角范围和钝角范围内都是单调递增可得：
直线的斜率的斜率范围是.
故选：B.
5．（24-25高二上·天津南开·期中）设点，，若直线与线段AB没有交点，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围
【分析】求出直线所过定点坐标，再求得定点与连线的斜率，结合图形可得结论．
【详解】易知直线过定点，是该直线的斜率，
又，，
由图可知的取值范围是．
故答案为：．
题型2 两条直线的平行与垂直关系
1．（24-25高三上·天津和平·阶段练习）已知直线：和直线：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】已知直线平行求参数、判断命题的必要不充分条件
【分析】根据直线平行以及充分和必要条件等知识来求得正确答案.
【详解】由，得，解得或.
当时，，符合题意.
当时，，符合题意.
即等价于或，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
2．（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知直线与直线互相垂直，则为（ ）
A．B．或0C．D．或0
【答案】B
【知识点】已知直线垂直求参数
【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可.
【详解】因为直线与直线互相垂直，
所以 ，解得或.
故选：B
3．（24-25高二上·湖北·阶段练习）“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】探求命题为真的充要条件、已知直线平行求参数
【分析】根据平行得到直线方程的系数关系，从而可求参数的值，故可得两者之间的条件关系.
【详解】当时且，
解得，
当时，两条直线方程分别为：，，
此时，
故是的充要条件.
故选：C
4．（2024·四川南充·一模）“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知直线垂直求参数
【分析】先求出两直线垂直的充要条件，进而根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若直线与直线垂直，
则，解得，
所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.
故选：A.
5．（2024·上海奉贤·一模）若直线：与直线：互相垂直，则 ．
【答案】0
【知识点】已知直线垂直求参数
【分析】根据直线互相垂直求出的值.
【详解】由题意得，解得.
故答案为：0
6．（2023·上海长宁·三模）已知直线和，若，则 .
【答案】
【知识点】已知直线垂直求参数
【分析】直接根据直线垂直公式计算得到答案.
【详解】直线和，，
则，解得.
故答案为：.
题型3点到直线距离公式及其应用
1．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知直线与圆相交于两点，且，则实数（ ）
A．或B．C．或D．
【答案】A
【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】由题意得圆的圆心、半径，结合得点到直线的距离为，由此即可列方程求解.
【详解】圆，即的半径为，圆心为，
因为，所以点到直线的距离为，
所以，解得或.
故选：A.
2．（2024·天津·二模）设直线和圆相交于两点.若，则实数 .
【答案】
【知识点】垂直关系的向量表示、求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】由于，可知圆心到直线的距离，进而可得解.
【详解】

如图所示，由已知，即，
可得，半径，
又，所以，即为等腰直角三角形，
所以圆心到直线得距离，
即，且，解得：；
故答案为：.
3．（2024·天津·一模）已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长为 .
【答案】
【知识点】求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦、由圆的位置关系确定参数或范围
【分析】根据两圆外切，圆心距离等于半径之和，可得，接着计算到直线的距离，最后根据圆的弦长公式计算可得结果.
【详解】由得，
将化为标准方程，得，，
因为两圆外切，所以，即，解得.
到直线的距离，如下图：

则直线被圆所截的弦长.
故答案为：.
4．（24-25高三上·天津滨海新·期中）已知直线：与圆相交于，两点，则 ．
【答案】
【知识点】求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦、由圆的一般方程确定圆心和半径
【分析】求出圆心坐标和半径，再求出圆心到直线的距离，然后利用弦心距，弦和半径的关系可求出弦长.
【详解】圆化成标准方程为，
圆心坐标为，半径，
圆心到直线的距离，
所以弦长.
故答案为：.
5．（24-25高三上·天津红桥·期中）若直线（）截圆所得的弦长为2，则 .
【答案】
【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、已知圆的弦长求方程或参数
【分析】由圆的标准方程确定圆心、半径，应用直线与圆相交弦长的几何求法列方程求参数值.
【详解】由圆的圆心为，半径为，
所以圆心到直线（）的距离为，
又直线截该圆所得的弦长为2，故，
所以（负值舍）.
故答案为：
题型4直线中的对称问题
1．（2024·天津和平·二模）过直线上的点P作圆C：的两条切线，，当直线，关于直线对称时，点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】求直线交点坐标、求点关于直线的对称点、由直线与圆的位置关系求参数、过圆外一点的圆的切线方程
【分析】根据直线和圆的位置关系、两直线的交点等知识求得正确答案.
【详解】圆的圆心为，
直线关于直线对称时，与直线垂直，
所以直线的方程为，
由解得，所以.
故选：A.
2．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）设直线 ， 一束光线从原点 出发沿射线 向直线 射出， 经 反射后与 轴交于点 ， 再次经 轴反射后与 轴交于点 . 若 ， 则 的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称
【分析】根据光学的性质，根据对称性可先求关于直线的对称点，后求直线，可得、两点坐标，进而由可得.
【详解】
如图，设点关于直线的对称点为，
则得，即，
由题意知与直线不平行，故，
由，得，即，
故直线的斜率为，
直线的直线方程为：，
令得，故，
令得，故由对称性可得，
由得，即，
解得，得或，
若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件．
故，
故选：B.
3．（2024·广东韶关·二模）过点作斜率为的直线，若光线沿该直线传播经轴反射后与圆相切，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求点到直线的距离、光线反射问题(2)——直线关于直线对称、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】如图，根据直线的点斜式方程求出直线PA，进而求出点A，利用反射光线的性质求出直线BA，结合点到直线的距离公式计算即可求解.
【详解】如图，设经过点的直线交x轴于点，反射直线与圆相切于点，
直线，即，
令，解得，即，
又，所以，
所以直线，即，
则点到直线直线的距离为，
即.
故选：D
4．（2024·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．B．3C．D．5
【答案】C
【知识点】将军饮马问题求最值
【分析】根据两点间线段最短，结合中点坐标公式、互相垂直直线斜率的性质进行求解即可.
【详解】设点关于直线对称的点为，
则有，
所以“将军饮马”的最短总路程为，
故选：C
5．（23-24高三下·内蒙古锡林郭勒盟·开学考试）已知圆O：，P为直线l：上的一个动点，过P作圆O的切线，切点分别为 A、B，若直线PA、PB关于直线l对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】直线关于直线对称问题、过圆外一点的圆的切线方程
【分析】由题意可得，，求出OP，再结合二倍角公式即可得解.
【详解】由题知、关于直线对称，知，
则，
记，则，
则，所以．
故选：B．
6．（2024·浙江·模拟预测）点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】求点关于直线的对称点、点与圆的位置关系求参数
【分析】首先求对称点，再根据点与圆的位置关系，列式求解.
【详解】设点关于直线的对称点为，
则，得，
又题意可知，，解得：.
故答案为：
7．（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）已知点，点O是坐标原点，点Q是圆上的动点，则的最大值为 .
【答案】
【知识点】将军饮马问题求最值、由标准方程确定圆心和半径、定点到圆上点的最值（范围）
【分析】根据题意，得到点，可得点在直线上的动点，把的最大值转化为则，结合对称法和圆的性质求最值，即可求解.
【详解】由圆，可得圆心，半径为，
又由点，可得点在直线上的动点，
因为点O是坐标原点，点Q是圆上的动点，
则，
如图所示，设点关于直线的对称点为，
可得，解得，即，
设直线与直线的交点为，
则直线的方程为，联立方程组，解得，
即，则，
当点与重合时，此时，则，
此时取得最大值，最大值为，
所以，即的最大值为.
故答案为：.
题型5定点到圆上点的最值问题
1．（23-24高二上·重庆北碚·期中）已知点在曲线上，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、定点到圆上点的最值（范围）
【分析】分析可知曲线为以为圆心，半径的上半圆，，根据圆的性质结合图形分析求解.
【详解】因为整理得，
表示以为圆心，半径的上半圆，
设，则，如图所示：

当三点共线时，取到最小值，
当为半圆的右端点时，取到最大值，
即，则，
所以的取值范围是.
故选：C.
2．（2024·浙江·三模）已知，点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．32
【答案】C
【知识点】求平面两点间的距离、定点到圆上点的最值（范围）
【分析】设，根据两点间的距离公式结合三角函数的性质即可得解.
【详解】设，
则
，
当时，取得最大值.
故选：C.
3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知，是两个单位向量，且，若向量满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】垂直关系的向量表示、向量模的坐标表示、轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围）
【分析】根据模长公式可得，根据向量的坐标运算，利用，可得点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，求得圆心到原点的距离为，从而可得答案．
【详解】已知是两个单位向量，且，
则，
则，则，
设分别是轴与轴正方向上的单位向量，
则，，，
设，则，
因为，
所以，
故中，点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
圆心到原点的距离为，
．
故选：B．
4．（2024·山东枣庄·一模）在平面直角坐标系中，已知为圆上动点，则的最小值为（ ）
A．34B．40C．44D．48
【答案】B
【知识点】求平面两点间的距离、定点到圆上点的最值（范围）
【分析】借助点到直线的距离公式与圆上的点到定点距离的最值计算即可得.
【详解】设Px,y，则
，
即等价于点到点的距离的平方的两倍加八，
又，
即.
故选：B.
5．（2024·天津河西·模拟预测）已知点为圆上一点，点，当变化时线段AB长度的最小值为 .
【答案】
【知识点】定点到圆上点的最值（范围）
【分析】根据圆的方程得到圆心的轨迹，然后根据几何知识得到当时线段的长度最小，
然后求线段的长度即可.
【详解】
圆的圆心坐标为，半径，所以圆心在直线：上，
当时线段的长度最小，
点到直线的距离，
所以.
故答案为：.
题型6圆上点到直线距离最值问题
1．（2024·贵州黔南·一模）若为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）
【分析】求出圆心到直线的距离，再利用圆的性质求出最小值.
【详解】圆的圆心，半径，
点到直线的距离，
即直线与圆相离，又点在该圆上，
所以点到直线的距离的最小值为.
故选：A
2．（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知三点，点P为内切圆上一点，则点P到直线的最小距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、已知切线求参数
【分析】利用两点距离公式判断得，进而利用三角形等面积法求得内切圆的半径，再利用直线与圆相切的性质数形结合求得内切圆的圆心，从而利用点线距离公式即可得解.
【详解】因为，
所以，，
则，故，
所以，
设内切圆的圆心为，半径为，
则，解得，
又由可知轴，故，则，
由可知轴，故，则，
所以内切圆的圆心为，
则圆心到直线的距离为，
所以点P到直线的最小距离为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用两点距离公式发现是直角三角形，进而求得内切圆的半径，从而得解.
3．（2024·山东济南·三模）圆上的点到直线的距离的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．9
【答案】C
【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、求点到直线的距离
【分析】求出圆心到直线的距离加上圆的半径即可得答案.
【详解】圆的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到直线的距离的最大值为.
故选：C.
4．（2024·河南周口·模拟预测）已知点，为圆上一动点，为直线上一点，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、轨迹问题——圆
【分析】设，Mx1,y1，且，列式化简求得定点，然后把距离问题转化为最小，数形结合，利用点到直线距离公式三点共线时最短，即可得解.
【详解】不妨设x轴上定点使得满足，Mx1,y1，
则，整理得，，
又，所以，则，
解得，所以，使得，
要使最小，则最小，
所以B，M，N三点共线，且MN垂直于直线时取得最小值，如图所示.

故的最小值为点B到直线的距离.
故答案为：
【点睛】方法点睛：借助阿氏圆探究最值问题：若为两定点，动点满足，则时，动点的轨迹为直线；当且时，动点P的轨迹为圆，此圆称之为阿波罗尼斯圆，也称阿氏圆.借助阿波罗尼斯圆，转化为到另一定点的距离进而由几何性质等求解最值.
5．（2024·江苏徐州·一模）已知点，，若，则点P到直线距离的最小值为 ．
【答案】
【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、数量积的坐标表示、求点到直线的距离、轨迹问题——圆
【分析】设出点的坐标，由已知探求点的轨迹，再借助几何意义求出最小值.
【详解】设点，则，由，得，
即，则点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆及内部，
点到直线的距离，
所以点P到直线距离的最小值为.
故答案为：
6．（2024·广东茂名·一模）动点与两个定点，满足，则点到直线：的距离的最大值为 .
【答案】
【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、轨迹问题——圆、直线过定点问题、判断点与圆的位置关系
【分析】
利用两点距离公式及已知求得的轨迹是圆心为，半径为2的圆上，再确定直线所过的定点并判断其与圆的位置关系，要使圆上点到直线距离最大，有圆心与定点所在直线与直线垂直，进而求最大值.
【详解】令，则，整理得，
所以的轨迹是圆心为，半径为2的圆上，
又直线：可化为，易知过定点，
由，故点在圆外，
则圆心与定点所在直线与直线垂直，圆心与直线距离最大，
所以点到直线距离的最大值为.
故答案为：
题型7 过圆内定点的弦最值问题
1．（2024·全国·模拟预测）直线被圆截得的弦长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】过圆内定点的弦长最值（范围）
【分析】由恒过定点可得，过点的直径与直线垂直时，所截得的弦长最小，借助垂径定理计算即可得.
【详解】直线恒过定点，
，即，
设其圆心为，半径为，则，，
又，所以点在圆内，
则当直线与直线垂直时所截得的弦长最小，
最小值为．
故选：D．
2．（2024高三上·全国·专题练习）设直线与圆交于，两点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】直线过定点问题、由标准方程确定圆心和半径、判断点与圆的位置关系、过圆内定点的弦长最值（范围）
【分析】由条件可知直线过定点，直线时，弦最短，直线l过圆心时，弦最长，求解即可.
【详解】设直线为l，
方程变形为，所以直线恒过定点，
因为圆的方程为，所以圆心，半径，
因为，所以在圆的内部，
当直线时，弦最短，
因为，所以，
当直线l过圆心时，弦最长为，
故的取值范围为.
故选：.
3．（2021·天津南开·一模）已知过点的直线与圆相交于，两点，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】过圆内定点的弦长最值（范围）
【分析】利用圆的几何性质进行求解即可.
【详解】由，所以该圆的半径，圆心设为,
设，显然当过点的直线与直线垂直时，有最小值，
因为，，所以由圆的垂径定理可得：
.
故答案为：
4．（2023·辽宁辽阳·二模）已知直线与圆交于两点，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】直线过定点问题、过圆内定点的弦长最值（范围）
【分析】先求出直线恒过的定点，当直线经过圆心时，取得最大值，当直线时，取得最小值，即可求出答案.
【详解】由可得：，
令，
则直线过定点，圆的圆心，半径．
当直线经过圆心时，，
当直线时，．
综上，的取值范围是．
故答案为：.
5．（2022·安徽合肥·模拟预测）直线被圆O；截得的弦长最短，则实数m= .
【答案】1
【知识点】已知直线垂直求参数、直线过定点问题、过圆内定点的弦长最值（范围）
【分析】求出直线MN过定点A（1,1），进而判断点A在圆内，当时，|MN|取最小值，利用两直线斜率之积为-1计算即可.
【详解】直线MN的方程可化为，
由，得，
所以直线MN过定点A（1，1），
因为，即点A在圆内.
当时，|MN|取最小值，
由，得，∴，
故答案为：1.
题型8 直线与圆相交弦长问题
1．（2023·天津南开·一模）已知直线与圆相交于两点，则的长度可能为（ ）
A．6B．7C．12D．14
【答案】B
【知识点】直线过定点问题、圆的弦长与中点弦
【分析】由直线过定点可知圆心到直线的最大距离，从而可判定相交弦的最小长度，而最大长度为直径，可得结果.
【详解】由条件可知：直线过定点，圆心为，半径，
如下图所示，则圆心到该直线的最大距离，而当该直线过圆心时，圆心到该直线的距离最小为0；
由弦长公式可得：.
故选：B
【点睛】本题考察直线与圆相交弦的取值范围，属于中档题.关键在于找出圆心到过定点直线的距离范围，以及弦长公式要熟记.
2．（2024·天津滨海新·三模）已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与相交于两点，且，则圆的标准方程为 ．
【答案】
【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、根据抛物线方程求焦点或准线
【分析】根据抛物线标准方程求出其焦点坐标，根据对称关系求出圆心坐标，根据垂径定理求出圆的半径即可得到答案.
【详解】依题意可知抛物线的焦点为，
圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，
∴圆心坐标为，
设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，
则，
又∵，∴
则圆的标准方程为．
故答案为：．
3．（2024·天津·模拟预测）若直线与圆交于两点，则 .
【答案】/
【知识点】圆的弦长与中点弦
【分析】先求出圆的圆心和半径，根据已知条件可得圆心到直线的距离，即可求解.
【详解】由题意可得圆的标准方程为，
所以圆的圆心为1,0，半径为，
所以圆心1,0到直线的距离，
所以，
故答案为：
4．（2024·天津·一模）已知过点的直线与圆相交于，两点，若，则直线的方程为 .
【答案】或
【知识点】已知圆的弦长求方程或参数
【分析】分直线斜率不存在与斜率存在的情况，设出直线方程进行讨论，结合点到直线的距离公式算出弦心距，结合勾股定理计算即可得.
【详解】当直线斜率不存在时，直线为，
则有，即，
则，符合题意；
当直线斜率存在时，设直线为，即，
由可得圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离为，
则有，即，
即，即.
故答案为：或.
5．（2023·天津北辰·三模）直线经过点，与圆相交截得的弦长为，则直线的方程为 ．
【答案】或
【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、由圆的一般方程确定圆心和半径
【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，根据弦长求出圆心到直线的距离，分斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出直线方程.
【详解】圆，即，圆心为，半径，
因为直线与圆相交截得的弦长为，
所以圆心到直线的距离，
若直线的斜率不存在，此时直线方程为，满足圆心到直线的距离为，符合题意；
若直线的斜率存在，设斜率为，则直线方程为，即，
则，解得，所以直线方程为，即，
综上可得直线方程为或.
故答案为：或
题型9 圆的切线问题
1．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知圆，过直线上一动点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】求点到直线的距离、切线长
【分析】首先利用图形，解决向量的运算，再利用PC的最小值，即可求解.
【详解】如图，连结，，，和交于点，
，
因为，所以,
设，易知其在0,+∞为增函数，
则PC的最小值为圆心到直线的距离，
所以的最小值为，那么的最小值为.
故答案为：
2．（2023·天津武清·模拟预测）已知点，，经过点作圆的切线与轴交于点，则 ．
【答案】
【知识点】求直线交点坐标、求平面两点间的距离、过圆上一点的圆的切线方程
【分析】由直线与圆的位置关系作出切线，求得，即可得解.
【详解】如图所示，设圆心为点，则，
，则点在圆上，且，
由与圆相切可得，所以切线方程为，
令，解得，故，
所以
故答案为：.
3．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知抛物线，经过拋物线上一点的切线截圆：的弦长为，则的值为
【答案】
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、过圆外一点的圆的切线方程、已知圆的弦长求方程或参数、根据抛物线上的点求标准方程
【分析】由题意可得：，设切线方程，结合相切可得，根据垂径定理结合弦长关系列式求解即可.
【详解】因为抛物线过点，则，得到，所以，
显然切线斜率不为0，设切线方程为，
联立方程，消去x得，
则，整理得到，解得，
所以切线方程为，即，
又因为圆的圆心，半径，
则圆心到直线的距离，
由题意可得，整理得到，解得或（舍）.
故答案为：1.
4．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知圆 与直线 x+y=0 相交所得圆的弦长是 ，若过点 作圆 的切线，则切线长为 .
【答案】
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、切线长、已知圆的弦长求方程或参数
【分析】先将圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，再由弦，弦心距和半径的关系列方程可求出，然后求出圆心与间的距离，再利用勾股定理可求得结果.
【详解】由，得，
则圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
因为圆与直线相交所得圆的弦长是，
所以，解得或（舍去），
所以圆心为，半径为，
所以与间的距离为，
所以所求的切线长为，
故答案为：.
5．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知圆，直线过点且与圆相切，则直线的方程为 ．
【答案】和
【知识点】过圆外一点的圆的切线方程
【分析】根据相切，结合点到直线的距离，分类讨论即可求解.
【详解】圆的圆心和半径分别为，
当直线无斜率时，此时：，与圆相切，符合题意，
当直线有斜率时，设，
此时圆心到直线的距离为，解得，
此时直线方程为，即，
综上可得和
故答案为：和
题型10 圆与圆的问题
1．（24-25高三上·天津滨海新·期中）圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外切D．外离
【答案】B
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、判断圆与圆的位置关系
【分析】求出两圆的圆心和半径，得到圆心距和两圆半径的数量关系，得到两圆相交.
【详解】的圆心为，半径为2，
的圆心为，半径为3，
由于，，
故两圆相交.
故选：B
2．（2024·天津河西·二模）已知抛物线的焦点为，圆与直线相切，且与圆相切于点，则符合要求的圆的方程为 .（写出一个即可）
【答案】（或）
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、根据抛物线方程求焦点或准线、由圆的位置关系确定参数或范围
【分析】利用抛物线的性质得到，利用圆和圆的位置关系确定圆心坐标，再利用直线与圆相切建立方程，求解即可.
【详解】由题意得，因为圆与直线相切，
且与圆相切于点，所以将代入中，
得到，解得，所以圆方程为，
化为标准方程得到，所以圆心为，半径为1，
所以圆的圆心在轴上，而圆与圆相切，
当圆与圆内切时，设半径为，此时圆心为，
设圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式得，
此时，解得(负根舍去)，
所以此时圆的方程为，
当圆与圆外切时，设半径为，此时圆心为，
设圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式得，
此时，解得(负根舍去)，
所以此时圆的方程为.
故答案为：（或）
3．（2024·天津·一模）已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长为 .
【答案】
【知识点】圆的弦长与中点弦、由圆的位置关系确定参数或范围、求点到直线的距离
【分析】根据两圆外切，圆心距离等于半径之和，可得，接着计算到直线的距离，最后根据圆的弦长公式计算可得结果.
【详解】由得，
将化为标准方程，得，，
因为两圆外切，所以，即，解得.
到直线的距离，如下图：

则直线被圆所截的弦长.
故答案为：.
4．（2023·天津和平·二模）圆与圆的公共弦所在的直线方程为 ．
【答案】
【知识点】相交圆的公共弦方程
【分析】两式相减，即可得到两圆公共弦所在的直线方程.
【详解】联立，两式相减得.
故答案为：
5．（2023高三·全国·专题练习）已知圆：与圆：，若两圆相交于A，B两点，则
【答案】
【知识点】相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长
【分析】根据两圆相交时公共弦所在直线方程的求法和弦长公式求解.
【详解】圆的方程为，即①，
又圆：②，
②－①可得两圆公共弦所在的直线方程为
圆的圆心到直线的距离，
所以．
故答案为: .
6．（2022·天津河东·模拟预测）过作圆的两条切线，切点为，则过两点的直线方程为 ．
【答案】
【知识点】相交圆的公共弦方程、由圆心（或半径）求圆的方程
【分析】求出以点、为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦的方程.
【详解】圆的圆心为：，半径为，
以点、为直径的圆的方程为：
，
将两圆的方程相减得公共弦的方程为：；
故答案为：
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）设圆和不过第三象限的直线，若圆上恰有三点到直线的距离均为2，则实数（ ）
A．B．1C．21D．31
【答案】D
【知识点】已知点到直线距离求参数、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】根据圆心到直线的距离，结合直线在轴的截距，即可求解.
【详解】的圆心为，半径为
若圆上恰有三点到直线的距离均为2，则圆心到直线的距离为
解得或，
由于直线不经过第三象限，则直线与轴的交点，
故，
故选：D
2．（24-25高二上·江苏镇江·期中）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】由两条直线垂直求方程、直线的点斜式方程及辨析
【分析】由题意可知：，所以，可得到的斜率，再由点斜式方程，即可得到答案.
【详解】由方程可知：的斜率为，
由题意可知：，所以，所以，
因为过点，所以由直线点斜率式方程可知的方程为：，
即.
故选：C.
3．（2024·山东·一模）已知圆的圆心为，且直线与圆相切，则圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、已知切线求参数、求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】由直线与圆相切结合点到直线距离公式求出圆的半径r即可得解.
【详解】因为直线与圆相切，设圆的半径为r，
则，
所以圆的标准方程为.
故选：A.
4．（2024·山东·一模）过直线与的交点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标
【分析】求出两条直线的交点，设出所求直线的方程，并求出待定系数即得.
【详解】由，解得，则所求方程的直线过点，
设所求直线方程为，于是，解得，
所以所求直线方程为.
故选：D
5．（2024·广东·模拟预测）已知圆与圆交于、两点，则（为圆的圆心）面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】圆内接三角形的面积、由圆的位置关系确定参数或范围、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】求出两圆的半径，从而可得，因为为锐角，所以要使的面积最大，只要取得最大值即可，此时，解出的面积，即可得解.
【详解】由题意得：，所以圆心，半径，
由两圆相交于、两点可知：，
所以的面积，
因为是半径为的圆，所以，
当时，，
又，
此时由，解得，，故可以取最大值，
所以当时，最大，且是锐角，
根据函数的单调性可知：当时，最大，
在中由余弦定理可得：，
所以，所以，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：利用三角形的面积公式表示面积之后，关键点在于利用圆的几何性质寻找的最大值，从而确定面积的的最大值.
6．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、点与圆的位置关系求参数
【分析】根据点在圆外以及圆的一般式满足的系数关系即可列不等式求解.
【详解】由于点在圆的外部，故
，解得，
故选：C
7．（2022·四川德阳·三模）已知直线经过圆的圆心，则的最小值是（ ）
A．2B．8C．4D．9
【答案】D
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】由已知得到圆心坐标，代入直线方程得，进而用“乘1法”,利用基本不等式求最小值.
【详解】圆的圆心为，
因为直线经过圆的圆心，，
，
当且仅当，即时取等号，
的最小值是9，
故选:D．
8．（2024·河南新乡·一模）若直线与圆的两个交点为，且，则（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】B
【知识点】已知圆的弦长求方程或参数
【分析】根据圆的弦长可求出圆心到直线的距离，再根据点到直线的距离公式即可得解.
【详解】圆的圆心，半径，
由题意圆心到直线的距离，
则，解得或.
故选：B.
二、填空题
9．（2024·湖北·一模）已知直线，若，则 .
【答案】
【知识点】已知直线平行求参数、直线的一般式方程及辨析
【分析】根据两直线平行的斜率表示得出等量关系即可求得结果.
【详解】易知直线的斜率存在且为，
由可知，且，所以.
故答案为：
10．（2024·江苏南京·三模）已知圆，过点的直线交圆于，两点，且，则直线的方程为 .
【答案】或
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、已知圆的弦长求方程或参数、直线的点斜式方程及辨析
【分析】当直线的斜率不存在时求出；当直线的斜率存在时，设的方程为，利用所以由圆心到直线的距离、、圆的半径构成的直角三角形求出可得答案.
【详解】当直线的斜率不存在时，设的方程为，
由，可得，或，
所以，符合题意；
当直线的斜率存在时，设的方程为，
因为，所以圆心到直线的距离，
由，得，
所以直线的方程为，
则直线的方程为或.
故答案为：或.
11．（2024·浙江台州·一模）已知圆，其中，若圆上仅有一个点到直线的距离为1，则的值为 ；圆的半径取值可能为 （请写出一个可能的半径取值）．
【答案】 （满足即可，答案不唯一）
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、由圆的一般方程确定圆心和半径
【分析】根据题意，圆过原点且原点到直线的距离为1，则在直线上，且与相切，与无交点，可解问题.
【详解】根据题意，与直线的距离为1的点都在直线和上，
又圆过原点且原点到直线直线的距离为1，
则在直线上，且与相切，
所以，
又因为圆与无交点，所以，如图.
故答案为：；（满足即可，答案不唯一）
【点睛】关键点点睛：根据题意，发现圆过原点且原点到直线的距离为1是解题关键.
12．（2024·广西·模拟预测）点为圆上一点，点，，记到两点的距离分别为与．则的最大值为 ．
【答案】850
【知识点】定点到圆上点的最值（范围）
【分析】设出点，利用两点的距离公式求出，然后求解最值即可.
【详解】
，，设，
则
，
故当，时，取最大值，最大值为850，
此时点的坐标为
故答案为：850
13．（2024·湖南·三模）已知，点P是以线段为直径的圆上任意一点，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍，则的取值范围为 .
【答案】
【知识点】轨迹问题——圆、判断圆与圆的位置关系
【分析】以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，判断得点M的轨迹是以为圆心，为半径的一个圆，由与的位置关系是相交，可求得的取值范围.
【详解】以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
则，，，于是，
化简得：，即，
因此点M的轨迹是以为圆心，为半径的一个圆，与的位置关系是相交，
所以
故答案为：
14．（2024·陕西商洛·三模）已知直线与，若直线与相交于两点，且，则 ．
【答案】或
【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】由弦长可求得圆心到该弦的距离，由点到直线的距离公式即可列方程求解.
【详解】若直线与相交于两点，且，
则圆心到直线的距离，所以，
解得或．
故答案为：或.
15．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】求点关于直线的对称点、点与圆的位置关系求参数
【分析】根据题意利用轴对称的性质算出对称点Q的坐标，结合点Q在已知圆的内部，建立关于的不等式，解出实数的取值范围．
【详解】设与关于直线对称，则，解得，即，
因为在圆的内部，
所以，解得，即实数的取值范围是．
故答案为：．
三年考情分析
2025考向预测
2022年，第12题，考察根据直线与圆的弦长求参数
2023年，第12题，考察根据直线与圆的位置关系求参数
2024年，第12题，考察点到直线的距离
直线方程，圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆锥曲线综合仍是2025年天津高考热点，多以填空题形式出现，重点考察直线与圆的位置关系。
数形结合法
（1）画出线段；（2）找到直线过定点；（3）绕定点旋转直线，让直线与线段相交；
直线方程
与
点到直线的距离公式
平面上任意一点到直线：的距离.
1、点关于点对称问题(方法：中点坐标公式)
求点关于点的对称点
由：
2、点关于直线对称问题（联立两个方程）
求点关于直线：的对称点
①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中；
②
整理得：
3、直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则）
方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解；
方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数.
方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上.
4、直线关于直线对称问题
4.1直线：（）和：（）相交,求关于直线的对称直线
①求出与的交点
②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点
③根据，两点求出直线
4.2直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线
①
②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线.
（1）转化为定点到圆心的距离；（2）最小值=（3）最大值=
设圆心到直线的距离为，圆的半径为
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；
②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；
③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；
（1）过圆内定点最长弦是直径（2）过圆内定点最短弦是与圆心和定点连线垂直的弦
（1）
（2）代数法
直线：；圆
联立消去“”得到关于“”的一元二次函数
弦长公式：
1、过圆上一点作切线：利用圆心与切线的连线与切线垂直求斜率，可作一条切线
2、过圆外一点作切线：利用圆心到直线的距离等于半径，可作两条切线
3、切线长问题：
1、圆与圆的公共弦
圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.
2、公共弦所在直线的方程
设:
:
联立作差得到：即为两圆共线方程