热点11 椭圆及其应用（8题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（天津专用）

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题型1 根据椭圆定义求方程
1．（2024·广西来宾·模拟预测）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、利用椭圆定义求方程
【分析】计算两个已知圆的圆心和半径，根据圆的位置关系得到动圆圆心到两已知圆圆心距离和为定值，结合椭圆的定义即可得到结果.
【详解】圆可化为，圆心，半径为.
圆可化为，圆心，半径为.
设动圆圆心为点，半径为，圆与圆外切于点，圆与圆内切于点，如图所示：
由题意得，三点共线，三点共线，，，
∴，
∴点的轨迹为以为焦点的椭圆，且，，
∴，
∴点的轨迹方程为.
故选：C.
2．（22-23高二上·福建福州·期中）已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】求平面轨迹方程、利用椭圆定义求方程、根据a、b、c求椭圆标准方程
【分析】画图，分析出，确定圆心M的轨迹为椭圆，求出，得到轨迹方程.
【详解】如图，由题意得：，，其中，
所以，
由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆，设，
则，解得：，
故动圆圆心M的轨迹方程为.
故选：D
3．（2024·广东江门·二模）已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为 .
【答案】
【知识点】椭圆定义及辨析、利用椭圆定义求方程、轨迹问题——椭圆
【分析】根据圆的性质和椭圆定义得到，再利用关系即可.
【详解】设圆的半径为，则，则，
所以点的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为6的椭圆．
则，所以，
所以动圆的圆心的轨迹方程为．
故答案为：.
4．（2023·全国·模拟预测）已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】数量积的运算律、向量与几何最值、由标准方程确定圆心和半径、利用椭圆定义求方程
【分析】根据题意，得到点在以，为焦点，长轴长为4的椭圆上，得到点的轨迹的方程为，化简得到，进而求得的取值范围．
【详解】由圆，可得，半径为，可得，，
所以，
所以点在以，为焦点，长轴长为4的椭圆上，
可得，，则，
所以点的轨迹的方程为，
又由，
因为，所以．
故答案为：.
5．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）如图：已知圆 内有一点 ，Q是圆C上的任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ相交点M ，当点Q在圆C上运动时，点M 的轨迹方程为
【答案】
【知识点】利用椭圆定义求方程、轨迹问题——椭圆
【分析】利用线段的中垂线性质，即可推导出动点到两定点的距离之和为定值，所以动点轨迹是椭圆，即可出椭圆方程.
【详解】
连接，由线段的垂直平分线与相交点M，可得，
则有，
所以点M 的轨迹是以为焦点，以5为长轴长的椭圆，
则，即，
所以点M 的轨迹方程为：，即，
故答案为：.
题型2 判断参数范围是否表示椭圆
1．（24-25高二上·天津南开·期末）若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A．B．0,4C．D．
【答案】A
【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围
【分析】利用标准的椭圆方程即可判断参数范围.
【详解】方程变形得：，
该方程要表示椭圆，则需要满足，解得：，
故选：A.
2．（2024·辽宁·二模）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围
【分析】根据椭圆的标准方程中分母都大于且不能相等即可求解.
【详解】因为方程表示的曲线是椭圆，
所以，解得且，
所以实数k的取值范围是.
故选：D.
3．（24-25高三上·天津河西·期末）已知曲线，则“”是“曲线表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据方程表示椭圆求参数的范围
【分析】由曲线表示椭圆得到，即可得到结果.
【详解】曲线表示椭圆，则，解得，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
4．（24-25高二上·江苏南京·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围
【分析】根据椭圆方程的概念求解即可.
【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，
所以，解得，即.
故选：C.
5．（2024·上海·模拟预测）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围
【分析】根据方程表示椭圆列出不等式组得解.
【详解】因为方程表示的曲线是椭圆，
所以，解得且，
所以实数k的取值范围是.
故答案为：
题型3椭圆上点到焦点与定点距离和、差最值
1．（22-23高二上·天津·期末）已知F是椭圆的左焦点，点，若P是椭圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值
【分析】设椭圆的右焦点为，，计算得到答案.
【详解】设椭圆的右焦点为，
，
当三点共线，且在之间时等号成立.
故选：A
2．（21-22高二上·天津和平·期中）已知点P是椭圆上一动点，Q是圆上一动点，点，则的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值
【分析】易知圆的圆心是为椭圆的左焦点，利用椭圆的定义得到，然后由求解.
【详解】如图所示：

由，得，
则，
则圆的圆心是为椭圆的左焦点，
则右焦点为，
由椭圆的定义得，
所以，
又，
所以，
，
故选：C
3．（2024·山东威海·一模）已知为椭圆的上焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值
【分析】由圆和椭圆方程可确定圆心、半径、的长；利用椭圆定义和圆的对称性可将问题转化为求解的最大值问题，利用三角形三边关系可知当三点共线时取得最大值，由此可得结果.
【详解】由圆方程得：圆心，半径；
由椭圆方程得：，，设椭圆下焦点为，则，
由椭圆定义知：，；
（当且仅当三点共线时取等号），
，
又（当且仅当三点共线时取等号），
，即的最大值为.
故选：D.
4．（2023·江苏南通·三模）已知为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（ ）
A．5B．6C．D．
【答案】D
【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值
【分析】
利用椭圆的定义、点和圆的位置关系等知识确定正确答案.
【详解】依题意，设椭圆的左焦点为，
圆的圆心为，半径为，
，
当三点共线，且在之间时等号成立.
而，
所以，
当四点共线，且在之间，是的延长线与圆的交点时等号成立.
故选：D

5．（2024·安徽合肥·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知动点和，定点和，若，且的周长恒为16，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】椭圆上的点到坐标轴上的点的距离及最值、轨迹问题——椭圆、轨迹问题——圆
【分析】以的中点为坐标原点，直线为轴建立如图的直角坐标系，由题意求出点的轨迹方程，结合图像可知，即可得出答案.
【详解】由题意知，点在以为圆心，6为半径的圆上运动，
点在以，为焦点，长轴长为10的椭圆上运动（长轴两端点除外）．
为方便计算，可将，视为定点，则点在以为圆心，为半径的圆上运动，
以的中点为坐标原点，直线为轴建立如图的直角坐标系，
设点和，则点的轨迹方程为，
由图可知，当，，三点共线时
（在，之间或，重合），等号成立．
故答案为：.
6．（21-22高二上·天津和平·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，点，则的最小值为 ．
【答案】1
【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、椭圆定义及辨析
【分析】根据给定条件结合椭圆的定义即可计算作答.
【详解】依题意，椭圆的左焦点，右焦点，点P为椭圆上一点，点A在此椭圆外，
由椭圆的定义得，因此，
，当且仅当点P是线段与椭圆的交点时取“=”，
所以的最小值为1.
故答案为：1
题型4 椭圆中焦点三角形问题
1．（2024·江西九江·二模）已知椭圆的上顶点为，离心率为，过其左焦点倾斜角为30°的直线交椭圆于，两点，若的周长为16，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、根据离心率求椭圆的标准方程
【分析】由椭圆的离心率得，表示点的坐标，进而可得直线的斜率及直线的方程，求出得直线的方程，联立两条直线的方程，可得交点的坐标，根据中垂线的性质可得，，将的周长转化为，由椭圆的定义可得的周长为，即可求解．
【详解】因为椭圆的离心率，可得，
所以，即，可得，
则点，右焦点，所以，
由题意可得直线的斜率，
所以，即，
由题意设直线的方程为，
直线的方程为，
设直线与直线的交点为，
联立，可得，，
则，可得为的中点，所以直线为线段的中垂线，
即，，
的周长为，可得，
所以，，
所以椭圆的方程为：.
故选：C．
2．（2024·山西太原·三模）已知点 分别是椭圆 的左、右焦点，是上一点，的内切圆的圆心为，则椭圆 的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中焦点三角形的面积问题
【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式，结合椭圆的定义求解即得.
【详解】依题意，设椭圆的方程为，由在上，得，
显然的内切圆与直线相切，则该圆半径为1，而，
又，于是，，因此，解得，
所以椭圆 的标准方程是.
故选：B
3．（2024·广东·二模）已知点为椭圆的右焦点，直线与椭圆相交于，两点，且与圆在轴右侧相切.若经过点且垂直于轴，则 ；若没有经过点，则的周长为 .
【答案】 ；
【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的周长问题
【分析】当直线经过点且垂直于轴时，线段，当直线不经过点时由圆与直线相切的位置关系计算可得结果.
【详解】设，易知长半轴长，离心率；
设与圆相切于点，若垂直于轴，此时与重合，则有，
所以，得，
此时直线，将代入得，所以.
若没有经过点，设Ax1,y1，Bx2,y2，
由椭圆性质和题意可知，，所以，
.
由椭圆方程得，
代入上式有.
，
则，
同理，所以的周长.
故答案为：，.
4．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知分别为椭圆的左右焦点，过点的一条直线与交于，两点，，则椭圆的长轴的最小值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式求和的最小值、求椭圆中的最值问题、椭圆中焦点三角形的其他问题
【分析】设，则，在中，根据余弦定理，得，再利用基本不等式求最值.
【详解】根据题意，如图，，
设，则，
根据椭圆定义，可得，，
在中，根据余弦定理，，
即，
得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以椭圆的长轴的最小值为.
故答案为：.
5．（2024·江苏宿迁·三模）若椭圆的左，右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，的内切圆的半径为1，则的值为 ．
【答案】4
【知识点】椭圆定义及辨析、由椭圆的离心率求参数的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题
【分析】利用等面积法得，结合椭圆定义和离心率为，求得答案.
【详解】如图，，
所以，.
故答案为：4.

题型5 椭圆离心率（定值，最值，范围）
1．（2022·天津北辰·模拟预测）已知分别是椭圆和双曲线的公共的左右焦点，是的离心率，若在第一象限内的交点为，且满足，则的关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】先确定，再利用勾股定理、椭圆、双曲线的定义，即可得出结论.
【详解】解：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，，
因为，所以，所以，
所以，所以，
因为，所以，
所以，即，所以，
所以.
故选：A.
2．（2022·天津·一模）已知椭圆在左、右焦点分别为，，点在椭圆上，是坐标原点，，，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】由题意可知，根据椭圆的定义可知，在中，由余弦定理可得，进而可得，由此即可求出结果.
【详解】设，椭圆的离心率为；
因为，所以，即，
因为，所以，
所以在中，由余弦定理可得 ，
即，所以，
又，所以.
故选：A.
3．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，若上存在不同的两点，使得，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】利用向量关系结合椭圆的对称性，
找到当分别位于的左、右顶点时，有最大值，求出离心率的取值范围.
【详解】如图，延长交椭圆于，根据椭圆的对称性，得，，
当分别位于的左、右顶点时，有最大值，
又因为不重合，所以，即，
解得，
所以的离心率的取值范围为．
故选：C．
4．（2024·河南·二模）从椭圆外一点Px0,y0向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为.现有如图所示的两个椭圆，离心率分别为，内含于，椭圆上的任意一点关于的极线为，若原点到直线的距离为1，则的最大值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】基本不等式求积的最大值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆中的最值问题、圆锥曲线新定义
【分析】根据定义写出极线的方程，由距离公式列出一个方程，再结合点在椭圆上找到的关系再进行求解.
【详解】设，椭圆方程：，椭圆方程：，则有①
由极线的定义得直线的方程为，
原点到直线的距离，化简得②，
对比①②式得出，则有，
所以.
当且仅当，即时取等，此时.
故选：D.
5．（2024·河南商丘·模拟预测）若动直线始终与椭圆（且）有公共点，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】直线过定点问题、点和椭圆的位置关系、求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】由直线方程得出直线过定点，再由直线与椭圆有公共点列出不等式，结合椭圆离心率公式计算即可．
【详解】由直线得，直线过定点，
由题意得，点在椭圆上或椭圆内部，
所以，则，所以椭圆焦点在轴上，
所以，
故选：C．
6．（2024·云南·模拟预测）已知椭圆与双曲线的左、右焦点相同，分别为，，与在第一象限内交于点，且，与的离心率分别为，．则 ，的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】由椭圆的离心率求参数的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、用导数判断或证明已知函数的单调性、双曲线定义的理解
【分析】利用椭圆以及双曲线定义联立方程组可得，因此可求得；求出的表达式再根据三角形三边关系可求得，利用函数单调性即可求得结果.
【详解】如下图所示：

根据椭圆定义以及双曲线定义可得，解得；
显然，可得；
又且，其中；
可得，所以，即；
所以．
令，则．
因为，所以．
又，所以有，所以有；
又，所以有，所以有，
所以可得．
设函数，则，函数在区间上单调递增，
所以，所以．
即可得的取值范围是.
故答案为：；.
【点睛】易错点点睛：在求解椭圆以及双曲线离心率问题时，最容易忽略利用它们的定义来求得线段长度表达式，再进行相关问题求解.
7．（2024·重庆·三模）已知椭圆的左右焦点为，若椭圆上存在不在轴上的两点A，B满足，且，则椭圆离心率的取值范围为 .
【答案】
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】由判断出四边形为平行四边形，由正弦定理，利用可得答案.
【详解】由知，为AB中点，四边形为平行四边形，
由与可知，
在中由正弦定理知，，
在中，有，又因为，
可得，，由，得，
故离心率的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中离心率的计算，关键是根据题中条件，结合曲线性质，找到一组等量关系（齐次式），进而求解离心率或范围.
题型6 椭圆中点弦问题
1．（24-25高二上·天津·阶段练习）椭圆中，以点为中点的弦所在直线斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】求弦中点所在的直线方程或斜率
【分析】设该直线与椭圆的两个交点坐标为，则由和作差即可计算得解.
【详解】由题意可知以点为中点的弦所在直线斜率存在且不为0，
设该直线与椭圆的两个交点坐标为，
则①，②，由②①得，
所以以点为中点的弦所在直线斜率为.
故选：D.
2．（24-25高二上·天津·期中）已知椭圆以及椭圆内一点，以点为中点的弦所在直线的斜率为（）
A．B．2C．D．
【答案】C
【知识点】由弦中点求弦方程或斜率
【分析】根据给定条件,利用点差法,列式计算即得.
【详解】设以为中点的弦端点,
则,
由,得,
即,
所以直线AB的斜率.
故选:C
3．（23-24高二上·天津·阶段练习）已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求弦中点所在的直线方程或斜率、由韦达定理或斜率求弦中点
【分析】设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理用表示中点坐标，结合已知中点坐标解关于的方程可得
【详解】当直线斜率不存在时，
由对称性可知，此时直线被椭圆所截得的线段AB的中点在轴上，
而已知是线段AB的中点，不在轴上，不满足题意.
故直线斜率存在，可设斜率为，则直线的方程为，
即，
代入椭圆的方程化简得，
所以，解得，
故直线方程为，即.
故选：B.
4．（2024·甘肃张掖·三模）已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】由弦中点求弦方程或斜率
【分析】设出点，，的坐标，根据坐标求出的关系式，把，两点坐标代入椭圆方程，利用点差法化简即可求解．
【详解】设，，，
则，，，
所以，所以，
将，两点坐标代入椭圆方程可得：，
两式作差可得：，
所以，则，
故选：D
5．（24-25高二上·天津和平·阶段练习）若椭圆的弦中点坐标为，则直线的斜率为 .
【答案】/
【知识点】由弦中点求弦方程或斜率
【分析】利用点差法即可得解.
【详解】由于，所以点在椭圆内部，
设，，由已知，，
由题意，，两式相减得，
.
故答案为：.
6．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆，平行于轴的直线与交于点，平行于轴的直线与交于点，直线与直线在第一象限交于点，且，，，，若过点的直线与交于点，且点为的中点，则的方程为 ．
【答案】
【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据韦达定理求参数、由弦中点求弦方程或斜率
【分析】设，根据已知条件求出，根据点坐标，即可求出、，由此即可确定椭圆的方程，方法一：利用点差法求出直线斜率，即可求出的方程；方法二：点斜式设出直线方程，直曲联立得，利用韦达定理表示出，结合即可求出进而求出的方程.
【详解】设，由，，，，
得，，
所以，所以，，代入的方程得，
解得，故的方程为．
解法一 易知的斜率存在且不为0，设Ax1,y1,Bx2,y2，
则，，两式相减得，
由点为的中点得，，
则的斜率为，所以的方程为，即．
解法二 易知的斜率存在且不为，设的方程为，
代入的方程并整理得，需满足，
设Ax1,y1,Bx2,y2，因为点为的中点，所以，
解得，所以的方程为，即．
故答案为：
7．（2023·甘肃兰州·模拟预测）若椭圆的中心在原点，焦点在轴，一个焦点为，直线与椭圆相交所得弦的中点坐标为，则这个椭圆的方程为 .
【答案】
【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数
【分析】设椭圆的方程为，联立方程组，得到，根据题意，列出方程，求得的值，即可求解.
【详解】因为椭圆的一个焦点为，可得，则，
可设椭圆的方程为，
设直线与椭圆相交所得弦的端点为，
因为相交所得弦的中点坐标为，所以，
联立方程组，整理得，
易得，则，可得，解得，
所以椭圆的方程为.
故答案为：.
题型7椭圆弦长问题
1．（2024·湖南长沙·三模）已知椭圆的离心率为，过的左焦点且斜率为1的直线与交于两点.若，则的焦距为 .
【答案】
【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、根据弦长求参数、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数
【分析】根据题意，得到椭圆的方程为，由的方程为，联立方程组，求得，结合弦长公式，列出方程求得的值，即可求解.
【详解】由椭圆的离心率为，可得，则，
所以椭圆的方程为，即，
由直线过椭圆的右焦点且斜率为，可得的方程为，
联立方程组，整理得，
则，
设Ax1,y1,Bx2,y2，则，
所以，
解得，所以椭圆的焦距为.
故答案为：.
2．（2024·湖南娄底·一模）已知椭圆的右焦点为，下顶点为，过的直线与椭圆交于另一点，若直线的斜率为1，且，则椭圆的标准方程为 .
【答案】
【知识点】根据弦长求参数
【分析】利用弦长公式求解参数，得到椭圆方程即可.
【详解】
设Fc,0，由题意知，，直线的方程为，
与椭圆的方程联立化简得，所以，
故，解得，
所以，椭圆的方程为.
故答案为：
3．（2023·安徽滁州·模拟预测）已知直线与椭圆在第二象限交于两点，且与轴、轴分别交于两点，若，，则的方程为 ．
【答案】
【知识点】根据弦长求参数、由弦中点求弦方程或斜率
【分析】设，根据题意得到，即，设直线的方程为，求得，结合，列出方程求得，即可求解.
【详解】设，线段的中点为，
由，两式相减可得，即，
又由，则，
设直线的方程为，可得，
所以，所以，所以，解得，
因为，所以，可得，解得，
所以直线的方程为.
故答案为：.

4．（2024·河南·模拟预测）已知椭圆的方程为，点为的一个焦点，点为的两个顶点，若，，则的可能值中的最大值为 ．
【答案】5
【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的弦长、求椭圆的长轴、短轴
【分析】不妨设为右焦点，易知点到的左顶点的距离为，到右顶点的距离为，到上、下顶点的距离均为，再对、的位置分类讨论，分别求出即可.
【详解】设．由椭圆的对称性，不妨设为右焦点，
易知点到的左顶点的距离为，到右顶点的距离为，到上、下顶点的距离均为，
分情况进行讨论：①若分别为的左、右顶点，则，解得，则，
所以，相对应的的方程为；
②若为的左顶点，为的上顶点或下顶点，则，所以，，
所以，相对应的的方程为；
③若为上顶点或下顶点，为右顶点，则，所以，，
所以，相对应的的方程为．
综上所述，的所有可能值为，，；比较可知三值最大的为，即的可能值中的最大值为．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是分类讨论，需做到不重不漏.
5．（2024·河南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，且的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若倾斜角为的直线l与C相交于两个不同的点，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆中的弦长、根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的最值问题
【分析】（1）借助椭圆上的点的坐标，的面积与计算即可得；
（2）设出直线方程，联立曲线，借助韦达定理与弦长公式计算即可得.
【详解】（1）由题意可得，解得，
故椭圆的标准方程为；
（2），故可设，Ax1,y1，Bx2,y2，
联立，消去可得，
，即，
，，
则
，
则当时，有最大值，且其最大值为.
6．（2024·云南昆明·三模）已知曲线由半圆和半椭圆组成，点在半椭圆上，，．
(1)求的值；
(2)在曲线上，若（是原点）．
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）如图，点在半圆上时，将轴左侧半圆沿轴折起，使点到，使点到，且满足，求的最大值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆中的最值问题、求直线与椭圆的交点坐标、求椭圆中的弦长
【分析】（1）是椭圆的左、右焦点，由椭圆的定义求的值；
（2）（ⅰ），，两点的位置，分类讨论的值，利用换元法和二次函数的性质可求的取值范围；
（ⅱ）过作垂直轴，垂足为，设，把表示为的函数，利用换元法和三角函数的性质求的取值范围.
【详解】（1）由题意知，是椭圆的左、右焦点，
由椭圆的定义知：．
（2）（ⅰ）由题意知，，则，
当为半椭圆右顶点时，，
当不为半椭圆右顶点时，设直线方程为y=kxk≠0，联立，
解得，，故，
①若点在半圆上，则，
所以，
所以，所以，
②若点在半椭圆上，因为，
设直线的方程为，同理可得，
所以，令，
则，
因为，故，所以，所以，
综上所述，所以．
（ⅱ）
过作垂直轴，垂足为，设，则，
，所以，
即，
，则半圆所在平面与半椭圆所在平面垂直，两平面交线为轴，
则有，
所以，
令，，
当且仅当，时，取得最大值．
综上所述的最大值为．
【点睛】方法点睛：
折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现，处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系；折叠问题是立体几何的一类典型问题是实践能力与创新能力考查的好素材；解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化，这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据，而表面展开问题是折叠问题的逆向.
7．（2024·四川南充·一模）已知动点与定点的距离和P到定直线的距离的比是常数，记点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的标准方程；
(2)设点，若曲线C上两点M，N均在x轴上方，且，，求直线FM的斜率.
【答案】(1)
(2)
【知识点】轨迹问题——椭圆、根据弦长求参数
【分析】（1）根据距离公式列出方程即可求解；
（2）设，可得直线的方程，呢绒联立方程组，结合对称性与弦长公式列出方程即可求解.
【详解】（1）由题意，，
整理化简得，，
所以曲线C的标准方程为.
（2）由题意，直线的斜率都存在，设，
则直线的方程为，
分别延长，交曲线于点，
设，
联立，即，
则，
根据对称性，可得，
则
，
即，解得，
所以直线FM的斜率为.
8．（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的左、右顶点分别是，点在上，且的面积．
(1)求的标准方程；
(2)过点作直线与交于另一点，求直线的斜率．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据弦长求参数、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数
【分析】（1）由的面积结合可先列方程求出，进一步将点坐标代入椭圆方程可得的值，由此即可得解.
（2）设，联立椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式以及即可列方程求出，由此即可得解.
【详解】（1）依题意可得．
．
将点的坐标代入的方程，得，解得．
所以的标准方程为．
（2）
依题意得直线存在斜率，设．
代入的方程得，即，
所以，且，
解得，
，
解得，即．
题型8 椭圆中三角形（四边形）面积问题
1．（2024·天津南开·二模）已知椭圆C：（）的离心率为，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，过点A与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为.当的面积取得最大值时，求直线l的方程.
【答案】(1)
(2)
【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、根据a、b、c求椭圆标准方程
【分析】（1）由椭圆焦点与顶点的坐标与离心率的定义计算即可得答案；
（2）设出直线l的方程，联立曲线方程后可得与坐标有关的韦达定理表达式，结合三角形面积公式表示出面积后借助基本不等式计算即可得答案.
【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c，依题意，，，又，
解得，，，
所以椭圆C的方程为；
（2）由题意可得直线的斜率不为，故可设直线l的方程为，
Ax1,y1，Bx2,y2，则，
联立直线l与椭圆C的方程，得，
由于直线过椭圆内一点，故必有，则．
又，，
易知与同号，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以面积的最大值为，此时直线l的方程为．
2．（2024·天津·模拟预测）已知椭圆（）的左、右顶点分别为，，左右焦点分别为，，离心率为，，为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线，与椭圆分别交于点，.
①求证：直线过轴上的定点；
②求的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的直线过定点问题、根据韦达定理求参数
【分析】（1）由题意和椭圆的的关系列方程解出即可；
（2）设直线，的方程分别为：，，分别联立椭圆方程，①：由韦达定理表示出的坐标，求出直线方程，即可证明；②：设直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式，三角形面积公式即换元法求导分析单调性求得结果即可；
【详解】（1）
∵离心率为，，∴，
∴，，则，∴椭圆的方程的方程为：；
（2）
①由（1）得，，
直线，的方程分别为：，
由，得
∴，
可得，，
由，可得
∴，可得，，，
直线的方程为：，
可得直线过定点，
②设的方程为：，由得，
设，，则，
∴，
∴的面积
令，（），则，
∵，且函数的导数为，
因为，所以恒成立，所以在递增，
∴当，即时，取得最大值.
3．（2024·天津·模拟预测）椭圆，过左焦点的直线交椭圆E于A、C两点，的最大值为，最小值为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过的直线交椭圆E于B、D两点，且，求四边形ABCD的面积的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆的焦半径与焦点弦问题、根据弦长求参数
【分析】（1）记直线的倾斜角为，点A在x轴上方，则，记，分别在，中，利用余弦定理可得，，然后可得，根据的最大最小值列方程组求解可得；
（2）利用（1）中结论代入中，化简后利用正弦函数的性质可得.
【详解】（1）记直线的倾斜角为，点A在x轴上方，则，记，
则，
在中，由余弦定理得，整理得，
同理，在中，由余弦定理整理可得，
所以，
易知，当时，取得最大值；当时，取得最小值.
依题意有，解得，
所以，椭圆E的标准方程为.
（2）因为，所以的倾斜角为或者，
因为，
所以由（1）可得，，
则四边形ABCD的面积
.
因为，，
所以，所以.
4．（2024·天津·二模）已知椭圆的左､右顶点分别为和，上顶点为，左､右焦点分别为和，满足.
(1)求椭圆的离心率；
(2)点在椭圆上（异于椭圆左､右顶点），直线与直线交于点，线段与线段交于点，过中点作的外接圆的两条切线，切点分别为和，且的面积为，求椭圆的标准方程.
【答案】(1)
(2)
【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据a、b、c求椭圆标准方程
【分析】（1）由以及满足的关系即可列出方程组，得到关于的齐次方程，进而得解；
（2）设直线方程为，将其与椭圆方程联立可表示出点的坐标，结合可表示出斜率，联立的方程与直线得出的坐标，进而得的斜率，由此结合斜率的积为-1可以判定，从而可定出的外接圆的圆心、半径以及圆的方程，进一步可以证明是等边三角形，边长，由此即可得解.
【详解】（1），解得，则.
（2）
由（1）知椭圆方程为，
因为点在椭圆上（异于椭圆左､右顶点），所以直线斜率不为0，
设直线方程为，联立，
得，解得，代入，
解得.
又因为，联立，解得，
所以，
因此，所以，垂足为
因此的外接圆是以为直径，中点为圆心的圆，半径为.
因此圆的方程为，
因此.
所以是等边三角形，边长，
因此，解得.
因此椭圆的标准方程为.
5．（2024·天津河东·一模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为，点到椭圆右焦点距离等于焦距.
(1)求椭圆标准方程；
(2)过点斜率为的直线与椭圆交于两点，且与轴交于点，线段的垂直平分线与轴，轴分别交于点，点为坐标原点，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、根据韦达定理求参数、椭圆中三角形（四边形）的面积
【分析】（1）根据两点距离和离心率求解，即可求解椭圆方程；
（2）设方程，与椭圆联立，韦达定理，求出中垂线方程，进而求得点的坐标，利用面积关系列式求解即可.
【详解】（1）由已知，解得，又，所以，
由，所以，所以椭圆方程为；
（2）设所在直线方程为，
联立得，
得到，，所以，
记的中点为，则，所以中垂线，
所以，，所以，
又，则，
因为，所以，解为或（舍），解得.
6．（2024·天津河西·一模）已知椭圆的上、下顶点为、，左焦点为，定点，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作斜率为（）的直线交椭圆于另一点，直线与轴交于点（在，之间），直线与轴交于点，若，求的值．
【答案】(1)
(2)或
【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、根据a、b、c求椭圆标准方程
【分析】（1）依题意可得为、的中点，即可求出、，再求出，即可得到椭圆方程；
（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，求出，，从而表示出的方程，即可得到，再求出，最后由三角形的面积得到，从而得到关于的方程，解得即可.
【详解】（1）由题意，，则为、的中点，
所以，，
，，即，
，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设直线的方程为，
与椭圆的方程联立，，整理得，
，
所以，
直线与相交于点，令，
所以直线的斜率为，
直线的方程为，
令，，
由，
又，
，
，即，
所以，
所以，
所以，解得或，
所以的值为或.
【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出，从而得到.
（建议用时：80分钟）
一、单选题
1．（2024·天津河西·三模）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】C
【知识点】椭圆定义及辨析、双曲线定义的理解、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值
【分析】设椭圆和双曲线的方程分别为：，，易得，设，利用椭圆和双曲线的定义得到，然后在中，利用余弦定理得到，然后利用基本不等式求解.
【详解】解：如图所示：
设椭圆和双曲线的方程分别为：，，
由题意得，
设，则，
解得，
在中，由余弦定理得：，
即，化简得，
则，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立；
故选：C
2．（2024·江西新余·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，平行四边形的顶点都在上，在轴上且满足，则的离心率为：（ ）.
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、余弦定理解三角形
【分析】连，设轴，利用余弦定理结合椭圆的定义可得，再利用余弦定理可得，故可求离心率.
【详解】连接，设轴，由于， ，
所以，故，所以四边形为菱形.
由于，可设，，，
，，则在中有，
在中有，
又，所以，
整理得到，
又，即,
所以，解得，故，
在中有,则，故，
所以，故，故，
故选：A.
3．（2024·广东韶关·一模）椭圆的左右焦点分别为，以为直径的圆与椭圆没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】根据椭圆的有界性求范围或最值、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】根据给定条件，可得椭圆短轴的端点在以为直径的圆外，由此求得，再利用双曲线离心率的意义求出范围.
【详解】以为直径的圆的方程为，依题意，椭圆短轴的端点在此圆外，
即，解得，则双曲线的离心率为，
由，得，所以所求离心率的取值范围.
故选：D
4．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知椭圆，过原点斜率不为0的直线交E于A，B两点，过A作x轴的垂线，垂足为M，直线BM交椭圆E于另一点D，记直线AB，AD的斜率分别为，，若，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中的定值问题
【分析】根据直线斜率的坐标表示，结合椭圆的性质，可求得，再求得，进而可得即可求离心率.
【详解】
设，则，
所以，
又，
所以，
又点在上，所以，
所以，
即，由，
故选:D．
5．（2024·湖南邵阳·二模）已知直线与椭圆相交于两点.若弦被直线平分，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数
【分析】由点差法解出，再由结合椭圆的性质和离心率的定义解出即可.
【详解】设，因为弦被直线平分，设中点坐标，
所以，①
因为点在直线上，代入可得
，两式相减可得，②
又点在椭圆上，代入可得，两式相减可得，
代入①②可得，又椭圆中，
所以离心率，
故选：C
二、填空题
6．（2022·天津河西·模拟预测）设椭圆的左焦点为F，下顶点为A，上顶点为B，是等边三角形.
（1）椭圆的离心率为 ；
（2）设直线：，过点且斜率为的直线与椭圆交于点（异于点），线段的垂直平分线与直线交于点，与直线交于点，若.
（i） ；
（ii）已知点，点在椭圆上，若四边形为平行四边形，则椭圆的方程 .
【答案】
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据弦长求参数、根据椭圆过的点求标准方程
【分析】根据等边三角形的性质和离心率公式，即可求出，设椭圆方程为，联立方程组，求出点，，即可求出点的坐标，根据弦长公式，结合．即可求出的值，根据四边形为平行四边形，可得，即可求出椭圆方程．
【详解】解：由题意可知，，
，
．
．
，
设椭圆方程为，
联立得解得：，则，
为中点，
，
所以，
则所在的直线方程为，
令，
解得，
，
，
解得或（舍．
直线的斜率为1．
，
设，，
四边形为平行四边形，
，
，，，
即，
又点，在椭圆上，，
解得，
，
该椭圆方程为：．
故答案为：；；
7．（2023·河南·模拟预测）已知椭圆的右焦点为外的一点满足（为坐标原点），过点的直线与交于两点，且，若直线的斜率之积为，则 ．
【答案】
【知识点】求椭圆中的参数及范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数
【分析】取线段的中点为，利用边长比值关系可得，进而借助点差法求解的值.
【详解】解：如图，取线段的中点为，连接，

则由题意可得，，又，所以．
因为直线的斜率之积为，所以．
设，则，
两式相减可得，
整理得，即，
所以，所以．
故答案为：．
8．（2024·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知两定点，，动点P到，的距离之和为，若存在一点P满足的面积为，写出满足条件的一个动点P的轨迹方程 ．
【答案】
【知识点】轨迹问题——椭圆、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】根据椭圆的定义，以及焦点三角形面积的取值范围，即可求出本题.
【详解】由题可知，动点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，
椭圆方程可设为，
椭圆的焦点三角形面积，
所以题中所谓的焦点三角形面积，
即，
所以，
所以椭圆方程为，
写出一个符合题意的椭圆方程，则可以是，
故答案为：.
9．（2024·辽宁丹东·二模）已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，椭圆，记P为抛物线与D在第一象限的交点，延长PO交D于Q，若，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、抛物线中的三角形或四边形面积问题
【分析】借助椭圆定义与抛物线定义结合题目条件可得点的坐标，再借助面积公式计算可得的面积.
【详解】由，可得F1,0，
由，可得F1,0与椭圆短轴的一个顶点重合，
根据椭圆的对称性，，
所以的面积等于的面积的2倍，
由抛物线的定义知，点到准线的距离为，
所以点的横坐标为，代入抛物线得点的纵坐标为，
所以的面积为．
故答案为：.
10．（2024·贵州遵义·三模）已知点P是椭圆上除顶点外的任意一点，过点P向圆引两条切线，，设切点分别是M，N，若直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，则面积的最小值是 ．
【答案】/
【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、过圆上一点的圆的切线方程、相交圆的公共弦方程
【分析】设，求出以为直径的圆的方程，与圆的方程相减可得直线的方程，进而可求得的坐标，再求出和点到直线的距离，求出面积的表达式，进而可得出答案.
【详解】设，
则以为直径的圆的方程为，
与圆的方程相减得，
即是过切点的直线方程，
则，所以，
又因为点到直线的距离，
所以，
又因为在点P在椭圆上，
所以，即，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以，
即面积的最小值是.

故答案为：.
【点睛】关键点点睛：设，求出以为直径的圆的方程，与圆的方程相减可得直线的方程，是解决本题的关键.
三、解答题
11．（2024·天津和平·二模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右焦点为点F，椭圆上顶点为点A，右顶点为点B，且满足．
(1)求椭圆的离心率；
(2)是否存在过原点O的直线l，使得直线l与椭圆在第三象限的交点为点C，且与直线AF交于点D，满足，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)因此存在直线满足条件．
【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求直线与椭圆的交点坐标、椭圆中存在定点满足某条件问题
【分析】（1）根据椭圆的几何性质求解，即可结合的关系求解，
（2）联立方程可得坐标，即可根据根据，即可求解.
【详解】（1）依题意，，解得，
又因为，所以．
（2）设直线的方程为，椭圆的方程为，
设点，联立方程组，整理得，
解得，①，
直线AF方程为，
设点，
，联立方程组，解得，②，
又因为，
设，则有，
即，所以，所以．
所以，则有，
代入①②有，解得，
由题意得，所以，因此存在直线满足题中条件．
【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情况，强化有关直线与曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
12．（2024·天津·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，点的坐标为，且线段的长是长轴长的．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若直线交椭圆于两点（在的上方），过作的垂线交轴于点，若线段延长线上的一个点满足的面积为．
①证明四边形是菱形；
②若，求椭圆的方程．
【答案】(1);
(2)①证明见解析 ；②.
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求直线与椭圆的交点坐标、根据a、b、c求椭圆标准方程
【分析】（1）利用条件中线段长关系可构造齐次式求离心率；
（2）①根据上问结论化简椭圆方程，分别求直线的方程，根据面积求出，再求出坐标，可判定，从而证明结论；②直接由解方程即可.
【详解】（1）由已知得长轴长为，则；
（2）① 证明：由（1）知，所以椭圆方程为，
易知，
所以，
故直线的方程为，直线的方程为，
令，则，
易知，
，
联立方程组，
解得，
在的上方，，
即，
由上得，四边形的对角线互相垂直且平分，故四边形是菱形．
② 解：由，从而
即椭圆的方程为.

13．（2024·广东·模拟预测）已知椭圆的焦点为，为椭圆上一点且的周长为.
(1)求椭圆的方程.
(2)若直线过点交椭圆于两点，且线段的垂直平分线与轴的交点
（i）求直线的方程；
（ii）已知点，求的面积.
【答案】(1)
(2)（i）或；（ii）
【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数
【分析】（1）根据条件列方程，求出，即可得答案；
（2）（i）判断直线斜率存在，联立椭圆方程，可得根与系数关系式，结合题意可得，化简即可求得答案；（ii）利用弦长公式求出，再求出Q到直线AB的距离，即可求得答案.
【详解】（1）根据题意有，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）（i）若直线的斜率不存在，其垂直平分线与轴重合，不符合题意；
不妨设直线的方程为的中点为，
设，
与椭圆方程联立有，整理得，
直线过椭圆焦点，必有，则，
所以，
由题意知，即，解得，
即，整理得直线的方程为或
（ii）由弦长公式可知
，
由直线的对称性，知点到两条直线的距离相同，即，
所以的面积为.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
14．（2024·河南开封·二模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且．
(1)求的离心率；
(2)射线与交于点，且，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据弦长求参数
【分析】（1）由，可得，的关系，进而求出椭圆的离心率；
（2）由（1）可得与，与的关系，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得点的坐标，求出的表达式，由题意可得，的值，由椭圆的性质可得的周长为，即求出三角形的周长．
【详解】（1）依题意可得上顶点，左，右焦点分别为F1−c,0，，
所以，，
又，
所以，即，即，
所以，所以离心率；
（2）由（1）可得，，则椭圆方程为，
射线的方程为，
联立，整理可得，
解得或，则，即，
所以，解得，则，
所以的周长．

15．（2024·吉林·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于P，Q两点，的周长为8，焦距为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与圆相切，且与交于不同的两点R，S，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆中的最值问题、由直线与圆的位置关系求参数、根据a、b、c求椭圆标准方程
【分析】（1）由的周长结合椭圆的定义得出，再由的关系求出，进而得出椭圆的方程；
（2）当直线斜率不存在时，，当直线斜率存在时，设直线的方程为，由直线与圆相切，得，再联立方程组，由弦长公式求最值.
【详解】（1）因为的周长为8，
所以，解得，
焦距为，，所以，
所以椭圆E的方程为．
（2）由（1）可知圆，
当直线斜率不存在时，为或，
当时，，则，
当时，同理，
当直线斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，
因为直线与圆相切，所以，则，
设，
联立椭圆于直线方程，
消元得，
所以，
由，得,
,
令，
则，
由，所以当时，，
而时，单调递减，所以，
所以.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为x1,y1，x2,y2；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为的形式；
（5）代入韦达定理求解.
16．（2023·广东广州·模拟预测）已知圆，椭圆的左右焦点为，如图为圆上任意一点，过分别作椭圆两条切线切椭圆于两点.
(1)若直线的斜率为2，求直线的斜率；
(2)作于点，判断点在运动的过程中，的面积是否存在最大值，如果存在，求出最大值，如果不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，最大值为
【知识点】求椭圆中的最值问题、椭圆中焦点三角形的面积问题、求椭圆的切线方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围
【分析】（1）设，切线，由点在圆上并联立切线与椭圆方程，根据得到关于k的一元二次方程，应用韦达定理得，即可得直线的斜率；
（2）讨论切线斜率的存在性，求得的方程为，进而易得直线为，写出直线方程并求交点，确定椭圆轨迹方程，根据椭圆交点三角形性质求的面积最大值.
【详解】（1）设，切线，则，
由得：，
由得：，
设切线的斜率分别为，则，
又直线的斜率为2，则直线的斜率为.
（2）当切线斜率都存在时，设，
切线方程为，
由（1）得：
由点在椭圆上，得代入得：，即，
切线的方程为，
由于在切线上，则，所以直线为，
由得：直线方程为，联立直线，
解得，
由得：点轨迹方程为，且焦点恰为，
当切线斜率有一个不存在时，不妨设斜率不存在，且，
直线方程为方程为，解得，也在椭圆上，
综上，点的轨迹为椭圆，
所以，，仅当在椭圆的短轴端点时取到等号.
三年考情分析
2025考向预测
2022年，第19题，考察椭圆离心率椭圆中三角形面积问题
2023年，第19题，考察椭圆离心率椭圆中三角形面积问题
2024年，第18题，考察椭圆方程，椭圆中韦达定理的综合应用
椭圆是圆锥曲线中的重要内容，是天津高考命题的重要考点。考试中主要考查椭圆方程，离心率，椭圆中三角形面积问题，也涉及到存在性探索问题。
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，
这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距.
说明：
若，的轨迹为线段；
若，的轨迹无图形
利用椭圆定义求距离和差的最值的两种方法：
（1）抓住与之和为定值，可联系到利用基本不等式求的最值；
（2）利用定义转化或变形，借助三角形性质求最值
一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立,之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题（）
性质1：，（两个定义）
拓展：的周长为
的周长为
性质2：（余弦定理）
（1）定义法：通过已知条件列出方程组或不等式组，求得、的值或不等式，根据离心率的定义求解离心率的值或取值范围；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程或不等式，然后转化为关于的方程或不等式求解；
中点弦问题点差法
若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时，
若过椭圆的中心，为椭圆上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时，
如果直线的斜率为，被椭圆截得弦两端点坐标分别为，，
则弦长公式为：
1、三角形中面积
（1）
（2）
（3）其中分别为内切圆半径及的周长
（4）椭圆焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角）
2、三角形中面积最值
正规方法：面积公式+基本不等式
①
②
③
3、三角形中面积取值范围
（1）如果题干已知一个角，则利用面积公式转化为三角函数求最值（注意角的范围）
（2）如果题干未知角，则利用面积公式转化为二次函数求最值（注意单一边的范围）
求单一边范围用到的工具
①两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
②若为锐角三角形，则两边平方之和大于第三边平方
若为钝角三角形，则两边平方之和小于第三边平方