热点12 双曲线及其应用（9题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（天津专用）

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题型1根据双曲线定义求方程
一、单选题
1．（24-25高三上·辽宁·期末）已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】利用双曲线定义求方程、求双曲线的轨迹方程
【分析】延长交直线于点，连接，由条件判断且为中点，利用中位线性质得且，从而利用双曲线的定义得点在以，为焦点的双曲线上，进而利用双曲线的标准方程求解轨迹方程即可.
【详解】由题意知，圆的半径，延长交直线于点，连接，
因为，且，所以，且为中点，
所以，且，
因此，，
所以点在以，为焦点的双曲线上，
设的方程为，可知，所以，
又，则，所以的方程为，即，
又点是圆外一点，
所以，即，故所求轨迹方程为.
故选：B
2．（24-25高二上·四川成都·期末）设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】利用双曲线定义求方程、求平面轨迹方程
【分析】由已知条件知，点的运动轨迹是以为焦点的双曲线，从而可求得轨迹的方程.
【详解】，
动点的轨迹是以为焦点的双曲线，且，
，双曲线的方程为.
故选：B.
3．（24-25高二上·湖南邵阳·阶段练习）一动圆过定点，且与已知圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】求平面轨迹方程、利用双曲线定义求方程
【分析】结合图象利用双曲线的定义判断动圆圆心的轨迹，然后再求方程即可.
【详解】圆与圆外切，如图，
，即，
，
由双曲线的定义，点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线的左支，其中，，
．
故所求轨方程为：．
故选：C．
4．（24-25高二上·广西玉林·期中）一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 .
【答案】
【知识点】利用双曲线定义求方程、求双曲线的轨迹方程
【分析】求出已知圆的圆心和半径，再利用两圆外切建立等式求出轨迹方程.
【详解】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
设动圆的圆心，半径为，依题意，，
则，因此动圆的圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线下支，
实半轴长，半焦距，虚半轴长，方程为.
故答案为：
5．（24-25高三上·宁夏石嘴山·期中）代数与几何是数学的两个重要分支，它们之间存在着紧密的联系.将代数问题转化为几何问题，可以利用几何直观来理解和解决代数问题，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，满足方程的的值为 .
【答案】
【知识点】判断方程是否表示双曲线、利用双曲线定义求方程
【详解】方程变形后，几何意义为平面内一点到两定点距离之差为，由双曲线定义得到点在双曲线左支上，代入求出.
【分析】由，
得，
其几何意义为平面内一点到两定点距离之差为，
由于，由双曲线定义可得点在双曲线的左支上，
所以，解得或（舍去）.
故答案为：.
题型2判断参数范围是否表示双曲线
1．（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据方程表示双曲线求参数的范围
【分析】根据方程表示双曲线求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若方程表示双曲线，则，解得，
所以由推不出方程表示双曲线，故充分性不成立，
由方程表示双曲线推得出，故必要性成立，
所以“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件.
故选：B
2．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知方程 表示双曲线，则m的取值范围为 （ ）
A．B．或
C．D．
【答案】B
【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围
【分析】根据双曲线的概念，解不等式即可.
【详解】因为方程 表示双曲线，所以，
解得或.
故选：B
3．（23-24高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知曲线表示双曲线，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围
【分析】根据双曲线方程的特征进行求解即可.
【详解】由题意知，，解得，
所以实数m的取值范围是.
故选：A.
4．（2023·上海浦东新·三模）已知曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 ．
【答案】．
【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围
【分析】根据双曲线标准方程的特点求解.
【详解】 是焦点在x轴的双曲线，
，即 ；
故答案为： .
5．（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知双曲线C的方程为，则的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围
【分析】根据双曲线的方程特点可得不等式，解之即得.
【详解】由双曲线方程特点知：，解得，
故的取值范围为.
故答案为：.
题型3双曲线上点到焦点与定点距离和、差最值
1．（23-24高二上·天津·期末）已知双曲线的离心率为2，右焦点为，动点在双曲线右支上，点，则最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值、根据离心率求双曲线的标准方程
【分析】由双曲线的离心率得到，左焦点，根据双曲线的定义得到，然后根据几何知识得到当，，三点共线时最大，最后求最大值即可.
【详解】
因为双曲线的离心率为2，所以，解得，
，，则左焦点，
由双曲线的定义得，
因为，即当，，三点共线时最大，
所以，
最大值为.
故选：D.
2．（2023·天津南开·一模）已知拋物线上一点到准线的距离为是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的一动点，则的最小值为（ ）
A．12B．11C．10D．9
【答案】D
【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值、抛物线定义的理解
【分析】先根据题意求出点的坐标，设是双曲线的右焦点，根据双曲线的定义可得，从而可得出答案.
【详解】拋物线的准线为，
则点到准线的距离为，所以，
则，故，
设是双曲线的右焦点，
则，则，
故，
当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为.
故选：D.
3．（2024·辽宁·二模）已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为，焦距为8，点的坐标为，点为的右支上的一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值、根据双曲线的渐近线求标准方程
【分析】利用双曲线的定义及渐近线方程，将转化为的形式，通过点共线判断并计算的最小值即可.
【详解】如图所示
由题意知，解得
记的右焦点为，即，
由双曲线的定义，得，即
所以，
当且仅当点在线段上时等号成立,
所以的最小值为.
故选：C.
4．（2022·青海西宁·二模）设双曲线的左焦点为，点为双曲线右支上的一点，且与圆相切于点，为线段的中点，为坐标原点，则（ ）
A．-B．-1C．-D．-2
【答案】B
【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值
【分析】依题意作出曲线图形，点P在双曲线右支上，由双曲线定义，即可得解.
【详解】由题意可知：双曲线焦点在x轴上，a=3，b=4，c=5，
设双曲线的右焦点F2（5，0），左焦点F（﹣5，0），
由OM为△PFF1中位线，则丨OM丨=丨PF2丨，
由PF与圆x2+y2=9相切于点N，则△ONF为直角三角形，
∴丨NF丨2=丨OF丨2﹣丨ON丨2=25﹣9=16，
则丨NF丨=4，∴丨MN丨=丨MF丨﹣丨NF丨=丨MF丨﹣4，
由丨MF丨=丨PF丨，
∴|MN|﹣|MO|=丨PF丨﹣4﹣丨PF2丨=（丨PF丨﹣丨PF2丨）﹣4=×2a﹣4=-1，
∴|MN|﹣|MO|=-1，
故选：B．
5．（2023·贵州遵义·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点A在双曲线C的右支上，若，则的最小值为 ．
【答案】/
【知识点】求平面两点间的距离、利用定义求双曲线中线段和、差的最值、求双曲线的焦点坐标
【分析】利用双曲线标准方程的特点及双曲线的定义，结合三点共线线段最短及两点间的距离即可求解.
【详解】依题意，，即.
所以,解得，
所以，，
因为点A在双曲线C的右支上，
所以，即，
所以.
当且仅当点在线段上时等号成立.
故答案为：.
题型4双曲线中焦点三角形问题
1．（2024·天津南开·二模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程、余弦定理解三角形
【分析】，由双曲线的定义可得，再由余弦定理，可得，，即可判断出所求双曲线的可能方程．
【详解】因为，由双曲线的定义可知，
所以，
由于过的直线斜率为，
所以在等腰三角形中，，则，
由余弦定理得：，
化简得，可得，即，，
可得，，
所以此双曲线的标准方程可能为：.
故选：C
2．（2024·天津南开·一模）已知O为坐标原点，双曲线C：的左、右焦点分别是，离心率为，点P是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，则点P到C的两条渐近线距离之积为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题
【分析】延长，交于点,由已知是的平分线，且，所以得到等腰三角形，所以,且点是中点，结合原点是中点，由中位线结合双曲线定义得到，进而求出；最后距离之积利用点到直线距离公式计算即可.
【详解】如图，延长，交于点,由已知是的平分线，且，
所以,且点是中点.
由原点是中点，可得，又，
所以，又离心率为，，.
设点Px,y，所以，即，
所以点P到两条渐近线距离之积为： .
故选：B.

【点睛】结论点睛：本题利用三线合一结合中位线、双曲线定义得出是关键，这个具有一般性，可以作为相应的二级结论，最后双曲线上点到两条渐近线距离之积也具有一般性.
3．（2024·天津和平·一模）设双曲线的左、右焦点分别为点，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，，的面积为，且，若双曲线C的实轴长为4，则双曲线C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程
【分析】根据双曲线的定义及对称性求出，，由余弦定理解三角形可得，即可得解.
【详解】如图，

由及双曲线、直线的对称性可知，，
则由双曲线定义可知，
所以，，
所以，
解得，
因为，所以，
所以，
由余弦定理可知，
所以，，
所以双曲线方程为：
故选：C
4．（2024·天津北辰·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点.若是虚轴长的倍，则该双曲线的一条渐近线为 ；若，分别交轴于，两点，且的周长为8，则的最大值为 .
【答案】 （或）
【知识点】基本不等式求和的最小值、已知方程求双曲线的渐近线、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、双曲线中的通径问题
【分析】由题意可知：.若是虚轴长的倍，列式整理可得，即可得渐近线方程；若的周长为8，分析可知，结合定义整理可得，代入结合基本不等式运算求解.
【详解】由题意可知：，且该双曲线的焦点在x轴上，
若是虚轴长的倍，则，即，
所以该双曲线的一条渐近线为（或）；
由题意可知：∥，且为线段的中点，可知分别为，的中点，
则，
可得，结合对称性可知，
又因为点A在双曲线上，则，即，
可得，整理可得，解得，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：（或）；.
5．（2024·湖北·模拟预测）设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 .
【答案】
【知识点】三角形面积公式及其应用、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题
【分析】设，利用双曲线定义，可得，又由勾股定理得，联立求得，即得的面积.
【详解】
如图，由可知，
由对称性不妨设，由定义，
因为，所以，
所以，所以，解得，
所以的面积为.
故答案为：3.
6．（2024·广东珠海·一模）已知点P在双曲线上，，分别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为45，则 ．
【答案】25
【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、半角公式、三角形面积公式及其应用
【分析】设P在双曲线右支上，由双曲线定义得到，由余弦定理和面积公式，得到，进而得到，从而求出，求出答案.
【详解】设P在双曲线右支上，则，
由余弦定理得
，
所以，
又
所以，解得，结合，
则，
，
又，
故，
故.
故答案为：25
题型5双曲线渐近线问题
1．（2024·天津和平·二模）已知抛物线：的焦点为点，双曲线的右焦点为点，线段与在第一象限的交点为点，若的焦距为6，且在点处的切线平行于的一条渐近线，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知方程求双曲线的渐近线、根据抛物线方程求焦点或准线、求直线与抛物线的交点坐标
【分析】根据题意可知，，从而可得直线方程，再联立抛物线方程求出的横坐标，再根据导数的几何意义及直线平行的性质，求出渐近线（其中一条）的斜率，即可得解．
【详解】抛物线：的焦点为，依题意可得，
直线方程为，即，
联立，可得，解得或，
又线段与在第一象限的交点为点，的横坐标为，
由，所以，
在点处的切线斜率为，
又在点处的切线平行于的一条渐近线，
双曲线的一条渐近线的斜率为，
双曲线的渐近线方程为．
故选：D．
2．（2024·天津河北·二模）函数被称为“对勾函数”，它可以由双曲线旋转得到，已知直线和直线是函数的渐近线，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程
【分析】由题意可得双曲线夹角为，再结合二倍角的正切公式求出，即可得解.
【详解】因为直线和直线的夹角为，
由题意可得双曲线夹角为，
而双曲线的渐近线方程为，
所以，
则，解得（负值舍去），
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：B.
3．（2024·天津·二模）已知双曲线的一条渐近线与抛物线交于点（异于坐标原点），点到抛物线焦点的距离是到轴距离的3倍，过双曲线的左､右顶点作双曲线同一条渐近线的垂线，垂足分别为，则双曲线的实轴长为（ ）
A．1B．2C．3D．6
【答案】D
【知识点】求双曲线的实轴、虚轴、抛物线定义的理解、已知方程求双曲线的渐近线
【分析】由抛物线定义及点在抛物线上求得，结合双曲线渐近线性质及，列方程求得关系，即可得的值.
【详解】设与抛物线相交的渐近线为，则设，
则，解得，所以点的坐标为，代入抛物线方程得，解得，
设渐近线的倾斜角为，则，
又，解得，
所以，故，
所以，解得，
所以双曲线的实轴长为.
故选：D.

4．（2024·天津河北·一模）过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，垂足为交另一条渐近线于点，且点在点之间，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程、求点到直线的距离
【分析】设渐近线的倾斜角为，则，由点到直线的距离和双曲线的性质得到，再由题中几何关系得到，解方程即可求出.
【详解】
设渐近线的倾斜角为，则，
又到渐近线的距离为，
又，所以，
所以，所以，
所以，
即，解得，
所以双曲线的渐近线方程为，
故选：B.
5．（2024·天津红桥·一模）已知双曲线与抛物线的一个交点为为抛物线的焦点，若，则双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、抛物线的焦半径公式
【分析】设，根据条件，利用抛物线的定义得到，进而得到，代入双曲线方程中，可得，即可求出结果.
【详解】因为抛物线的准线方程为，设，
因为，所以，得到，所以，
又在双曲线上，所以，得到，
故双曲线为，其渐近线方程为.
故答案为：.
6．（2024·上海静安·一模）以双曲线的离心率为半径，以右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则的值为 .
【答案】43/113
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求双曲线的焦点坐标、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】根据给定条件，求出双曲线渐近线方程、离心率及右焦点坐标，再利用圆的切线性质列式计算得解.
【详解】双曲线的渐近线为，离心率，右焦点，
依题意，，所以.
故答案为：
题型6双曲线离心率（定值，最值，范围）
1．（2024·天津·二模）设双曲线：的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与双曲线C交于A，B两点，，，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【知识点】余弦定理解三角形、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】由双曲线的对称性可得，且四边形为平行四边形，由数量积的定义，结合余弦定理代入计算，即可得离心率.
【详解】
由双曲线的对称性可知，，有四边形为平行四边形，
令，则，
由双曲线定义可知，故有，即，
即，，
则
，
即，，所以.
故选：B
【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
一：求出，代入公式计算；
二：只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）.
2．（2024·天津·二模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，且与抛物线（）的焦点重合，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】D
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据抛物线方程求焦点或准线
【分析】依题意，得到，代入渐近线方程，进而求出，再根据求出离心率.
【详解】
由题意知，抛物线的准线方程为，又因为，
则点，
又因为点在双曲线的渐近线上，所以，
所以双曲线的离心率，
故选：D.
3．（2024·天津·一模）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，直线交直线于点．若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】余弦定理解三角形、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】取右焦点，连接、，作于点，由题意结合几何性质可得相应的边长及角度间的关系，借助余弦定理列出与、、有关齐次式，计算即可得.
【详解】取右焦点，连接、，作于点，
由为圆的切线，故，又，
为中点，故为中点，又，故为中点，
，则，
，则，
，由直线为双曲线的渐近线，
故有，则，
在中，由余弦定理可得，
则，即，
即，化简得，即，
故.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线离心率的求法，关键点在于借助题目所给条件，从几何的角度构造辅助线，得到新的长度关系与角度关系，从而结合题意构造相应与、、有关齐次式，得到离心率.
4．（2024·山东聊城·三模）已知双曲线的一个焦点为为坐标原点，点在双曲线上运动，以为直径的圆过点，且恒成立，则的离心率的取值范围为 ．
【答案】/
【知识点】向量加法法则的几何应用、垂直关系的向量表示、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据韦达定理求参数
【分析】先根据题意得到，即，再联立直线方程和双曲线方程利用韦达定理化简得到，再结合等面积法和向量运算，即可求解离心率.
【详解】设Ax1,y1,Bx2,y2，直线:，
因为以为直径的圆过点，所以，即，
联立，整理得，
且，
，，
则，
所以
整理得，
即由O0,0到直线:的距离，
又，
即，
而，
因为，即，
所以，
又，
所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的离心率，难点是联立方程后的化简过程，对计算的要求较高，其中利用等面积法转化为关键.
5．（2024·四川南充·三模）已知点F是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过点且垂直于x轴的直线与双曲线交于两点，若，则该双曲线离心率的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】根据双曲线的性质，，，转化条件得，再通过即可得解.
【详解】如图所示，根据双曲线的对称性得，在中，
又因为,
所以在中，,
即
所以，
又因为为通径，即，，
所以，且，
所以，
即，
即，
解得，
又因为双曲线离心率，
所以该双曲线的离心率取值范围为：.
故答案为：.

6．（2024·全国·模拟预测）已知，分别是双曲线的上、下焦点，过点且与轴垂直的直线与的一条渐近线相交于点，且在第四象限，四边形为平行四边形．若直线的倾斜角，则的离心率的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】直线的倾斜角、双曲线定义的理解、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】由双曲线和渐近线的性质得到，再得到斜率的范围，最后由求出范围即可.
【详解】
如图所示，由双曲线的对称性可知也在双线的渐近线上，且在第二象限，
由轴可知轴，设．
又在渐近线上，
所以，则，
因为，所以，
故，
故答案为：.
7．（2024·山东·一模）如图，在中，已知，其内切圆与AC边相切于点D，且，延长BA到E，使，连接CE，设以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】余弦定理解三角形、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】设分别是与圆的切点，设，利用椭圆，双曲线的定义分切求出的表达式，进而可得的表达式，然后求出的取值范围即可的解.
【详解】如图以的中点为原点直角坐标系，设分别是与圆的切点，由圆的切线性质得，
设，所以，，
在中，，
以为焦点经过点的双曲线的离心率为，
以为焦点经过点的椭圆的离心率为，
则，
在中，设，所以，，
由余弦定理可得，
所以，所以，得，
由对勾函数的单调性可得函数在上单调递增，
所以.
故答案为：1,+∞.
【点睛】关键点点睛：根据圆锥曲线的定义结合条件表示出，然后根据余弦定理结合条件求出参数的取值范围是解出此题的关键.
题型7 双曲线中点弦问题
1．（24-25高二上·天津·期中）已知双曲线的右焦点为F，圆M的方程为若直线l与圆M切于点，与双曲线C交于A，B两点，点P恰好为AB的中点，则双曲线C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、根据a、b、c求双曲线的标准方程、求弦中点所在的直线方程或斜率、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数
【分析】设直线l的斜率为k，则，求得，由点在圆上，可求出，设点，，则，，两式相减化简可得，从而可求出的值，进而可得双曲线C的方程.
【详解】设直线l的斜率为k，则，所以，
因为点在圆上，
，即，
设点，，则，.
两式相减，得
则，即，
所以双曲线C的方程为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解题的关键是利用点差法表示出直线的斜率，由此即可顺利得解.
2．（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】求弦中点所在的直线方程或斜率
【分析】设Ax1,y1，Bx2,y2，代入双曲线方程，两式相减可得，由题目条件经整理后可得答案.
【详解】设Ax1,y1，Bx2,y2，则直线l的斜率为
代入，得，两式相减得：.
又线段AB的中点为点，则.
则.经检验满足题意.
故选：D
3．（2024·广东肇庆·一模）已知直线：与双曲线：交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数
【分析】根据点差法得到，然后结合的坐标和直线的斜率得到，即可得到双曲线的渐近线方程.
【详解】解：设Ax1,y1，Bx2,y2，可得，，
两式相减可得，
点是弦的中点，且直线：，
可得，，，
即有，即，
双曲线的渐近线方程为．经验证此时直线与双曲线有两个交点.
故选：B．
4．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、由弦中点求弦方程或斜率
【分析】设、，由，利用点差法求解.
【详解】解：设、，
若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，
因为线段的中点坐标为，则，
则，两式相减得，
则，
因为，所以，，
所以，，解得，
因此，双曲线的标准方程为.
故选：D.
5．（2023·河南·模拟预测）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，过左焦点作斜率为的直线与双曲线交于，两点（在第一象限），是的中点，若是等边三角形，则直线的斜率为 ．
【答案】
【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围
【详解】
设双曲线的半焦距为，，根据题意得．
又，∴．
在中，由余弦定理得，，
即，解得，则．
设，，则，，
两式相减可得，
所以．
设，因为是线段的中点，所以，，
又，所以．
故答案为：.
6．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知双曲线：的左、右两焦点分别为、，为上一点，且．
(1)求双曲线的方程；
(2)是否存在直线，使被所截得的弦的中点坐标是？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．
【答案】(1);
(2)不存在，理由见解析.
【知识点】利用双曲线定义求方程、求弦中点所在的直线方程或斜率、根据a、b、c求双曲线的标准方程、由韦达定理或斜率求弦中点
【分析】（1）根据已知条件及两点间的距离公式，利用双曲线的定义即可求解.
（2）根据已知条件及直线的斜截式方程，将直线与双曲线联立，利用韦达定理及中点坐标公式，结合点在直线上及直线与双曲线的位置关系即可求解.
【详解】（1）因为，，所以，
由题意可知，，
所以，，解得，，
所以，
故双曲线的方程为.
（2）因为不在坐标轴上，所以直线的斜率存在且不为零，假设存在直线符合题意，
设直线的方程为，则
，消去，整理得，
因为直线与双曲线相交于，
所以且，，
所以，
因为点是线段的中点，
所以，即，解得，
所以
所以不存在这样的直线.
题型8双曲线弦长问题
1．（23-24高二上·天津河西·期末）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】求双曲线中的弦长
【分析】确定直线的方程，代入双曲线方程，求出，的坐标，即可求线段的长．
【详解】由双曲线的方程得，，直线的方程为①
将其代入双曲线方程消去得，，解之得，．
将，代入①，得，，
故．
故选：C．
2．（2024·北京·模拟预测）已知双曲线的两个焦点分别为，过的直线与双曲线的同一支交于，两点，且，则线段的长度为（ ）
A．B．9C．D．6
【答案】C
【知识点】求双曲线中的弦长、双曲线向量共线比例问题
【分析】根据对称性不妨设过的直线为，与双曲线的方程联立，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，结合弦长公式，计算可得．
【详解】双曲线中，，，则，
根据对称性不妨设过的直线为，
联立，可得，
则
设Ax1,y1，Bx2,y2，则，，①
由，可得，
即有，②
由①②可得，，所以，
解得（负值已舍去），，
所以．
故选：C．
3．（24-25高三上·河南·开学考试）已知是双曲线的左焦点，过点的直线与交于两点（点在的同一支上），且，则（ ）
A．6B．8C．D．
【答案】D
【知识点】由向量共线（平行）求参数、求双曲线的焦点坐标、求双曲线中的弦长、根据韦达定理求参数
【分析】首先由双曲线方程求出点的坐标，并设出过点的直线方程，然后借助直线与双曲线联立，得到和与积的关系，再由，得到的等量关系，从而解出的值，最后根据弦长公式求出得长.
【详解】
由可得.根据对称性，不妨设过点的直线为，
联立可得.
设Ax1,y1,Bx2,y2，则.①
由，则，又所以.②
由①②可得，所以，
解得或（舍），，
所以.
故选：D.
4．（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知双曲线与圆相切，且的渐近线方程为.
(1)求的方程；
(2)若的右顶点为，过的右焦点的直线交于两点，且，求.
【答案】(1)
(2)6
【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、求双曲线中的弦长、根据韦达定理求参数
【分析】（1）根据题意确定的值，可得双曲线的标准方程.
（2）设直线的方程为，根据，可求的值，再利用弦长公式求弦长.
【详解】（1）根据题意：，.
所以双曲线的标准方程为：.
（2）如图：
双曲线右焦点的坐标为2,0，设直线：，代入，
得：，整理得：，（）
设Ax1,y1，Bx2,y2.
则，.
由，
所以.
此时：，.
所以，
所以.
5．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线一个焦点到渐近线的距离为，且离心率为2．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设分别是双曲线左、右两支上的动点，为双曲线的左顶点，若直线的斜率分别为，且，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据离心率求双曲线的标准方程、求双曲线中的弦长
【分析】（1）首先得到渐近线方程，由点到直线的距离公式求出，再由离心率公式求出，即可得解；
（2）首先判断直线的倾斜角不为零，设直线的方程为，Mx1,y1，Nx2,y2，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由斜率的关系求出，由弦长公式求出，即可得解.
【详解】（1）由题知双曲线的渐近线方程为，
不妨设Fc,0，则焦点到渐近线的距离，
的离心率为，
故双曲线的标准方程为．
（2）由（1）可得，
当直线的倾斜角为零时，由，得直线的方程为，
代入双曲线方程可得，不妨令，，
则，不符合题意，则直线的倾斜角不为零，
设直线的方程为，Mx1,y1，Nx2,y2，
联立，消去整理得，
，，，
．
，，
，，
，
，
，
即，
，
，
或．
当时，，不符合题意，．
，，
，
解得，故直线的方程为．
综上，直线的方程为或．

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为x1,y1、x2,y2；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
题型9双曲线中三角形（四边形）面积问题
1．（2024·湖南长沙·三模）已知点A为双曲线的左顶点，点B和点C在双曲线的左支上，若是等腰直角三角形，则的面积是（ ）
A．4B．C．D．
【答案】C
【知识点】求直线与双曲线的交点坐标、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、求双曲线的顶点坐标
【分析】双曲线的左顶点A−2,0，设，根据图形特征求出点坐标，从而可求的面积.
【详解】由题意得A−2,0，点B和点C在双曲线的左支上，
若是等腰直角三角形，由双曲线的对称性可得A为直角顶点，
设，由对称性有，
则有 ，代入双曲线方程，解得，，
则有等腰直角三角形的斜边，三角形的高，
所以.
故选：C.
2．（2024·广东茂名·一模）已知双曲线，直线分别与的左、右支交于两点，为坐标原点，若的面积为，则直线的方程为 .
【答案】
【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据韦达定理求参数
【分析】联立直线与曲线方程，可得与交点横坐标有关韦达定理，借助韦达定理表示的面积并计算即可得解.
【详解】联立，消去，得，
令Mx1,y1，Nx2,y2，则，，
，，解得，
由直线过定点，故，
，
解得或（舍去），，直线的方程为.
故答案为：.
3．（2024·河南郑州·三模）已知双曲线的离心率为分别是它的两条渐近线上的两点（不与坐标原点重合），点在双曲线上且 的面积为6，则该双曲线的实轴长为 ．
【答案】
【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程
【分析】利用离心率求得，继而得到渐近线方程：，由向量等式推得点为的中点，设出点,求得点坐标，代入双曲线方程，化简得，最后利用面积即可求得的值.
【详解】
如图，由可得，故双曲线的渐近线方程为，
不妨设，因则点为的中点，则，
将其代入中，整理得：，
又,且,则的面积为，
即，解得,故双曲线的实轴长为.
故答案为：.
4．（2024·四川宜宾·一模）已知O为坐标原点，双曲线的离心率为，且过点.
(1)求C的标准方程；
(2)过C的右焦点F的直线与双曲线C的左、右两支分别交于两点A、B，点Q是线段的中点，过点F且与垂直的直线交直线于M点，点N满足；
①证明：点M在一条定直线上；
②求四边形面积的最小值.
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线中的动点在定直线上问题、根据双曲线过的点求标准方程
【分析】（1）根据双曲线过定点，结合离心率列方程组可得曲线方程；
（2）①由已知直线斜率一定存在，可设直线与，联立直线与双曲线，结合韦达定理可得点Q及直线方程，联立直线与可得点M，进而得证；
②由已知，结合弦长公式可得，则面积，设，则，设，利用导数法求解最值即可得解.
【详解】（1）由已知双曲线离心率，即，
则双曲线方程为，又曲线过点，即，解得，
所以双曲线方程为；
（2）由（1）得，

①由已知直线的斜率k存在且，设直线，Ax1,y1,Bx2,y2，
且，
联立直线与双曲线，得，恒成立，且，即，解得，又Q为A，B中点，
则，则，即，
则直线，又直线过点，且过点F，则，
联立与，即，解得，即，
即点M在直线上；
②，，又点N满足，
则四边形为平行四边形，且，
则，
设，则，则，
设，则，
令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取最小值为，
即当时，的最小值为.
5．（2024·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离之比为，记的轨迹为曲线，直线交右支于，两点，直线交右支于，两点，．
(1)求的标准方程；
(2)证明：；
(3)若直线过点，直线过点，记，的中点分别为，，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，求四边形面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【知识点】求平面轨迹方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线中的参数及范围、双曲线中向量点乘问题
【分析】（1）根据两点间的距离和点到直线的距离公式即可列等式求解；
（2）根据直线与双曲线联立方程，得韦达定理，结合数量积坐标运算即可证明；
（3）依据题意得直线和直线的方程分别为，联立直线和曲线E方程求得韦达定理，从而利用中点坐标公式求出点P坐标，同理求出点Q坐标，再利用点到直线距离公式分别求出点P和点Q到两渐近线的距离，接着根据计算结合变量取值范围即可求解.
【详解】（1）设点，因为点到点的距离与到直线的距离之比为，
所以 ，整理得，
所以的标准方程为.
（2）由题意可知直线和直线斜率若存在则均不为0且不为，

①直线的斜率不存在时，则可设直线方程为，，
则且由点A和点B在曲线E上，故，
所以，
同理可得，所以；
②直线斜率存在时，则可设方程为，Ax1,y1、Bx2,y2，
联立，
则即，
且，且，
所以
，
同理 ，所以，
综上，.
（3）由题意可知直线和直线斜率若存在则斜率大于1或小于，
且曲线E的渐近线方程为，
故可分别设直线和直线的方程为和，且，

联立得，设Ax1,y1、Bx2,y2，
则，
，，
故，
因为P是中点，所以即，
同理可得，
所以P到两渐近线的距离分别为，
，
Q到两渐近线的距离分别为，
，
由上知两渐近线垂直，故四边形是矩形，连接，
则四边形面积为
，
因为，所以，
所以，
所以四边形面积的取值范围为.
【点睛】关键点睛：求解四边形面积的取值范围的关键1在于明确直线和直线的变量m的范围为，；关键2在于先将四边形补形为矩形再分割为四边形和两个三角形利用来计算求解.
6．（23-24高二下·浙江温州·期末）已知双曲线的离心率为，右顶点为.为双曲线右支上两点，且点在第一象限，以为直径的圆经过点.

(1)求的方程；
(2)证明：直线恒过定点；
(3)若直线与轴分别交于点，且为中点，求的值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线中的直线过定点问题、根据离心率求双曲线的标准方程、根据韦达定理求参数
【分析】（1）根据离心率以及顶点即可求解，
（2）联立直线与双曲线方程，得韦达定理，由垂直得斜率关系，即可代入化简求解，
（3）根据中点坐标可得，即可根据三角形面积之比求解.
【详解】（1）右顶点
，解得
.

（2）设Ax1,y1,Bx2,y2，可设直线.
联立，得
则，即.
.
以为直径的圆经过点
即
，化简得
当时，直线经过点，不符条件，舍去..
直线必过定点.
（3）由（2）知.
,为中点，，代入得.
由得.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法
（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
7．（2024·河北沧州·三模）已知双曲线的左焦点为，经过点的直线交双曲线于点，，当直线轴时，.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知点，直线与双曲线交于两点，且的面积为，证明：点在双曲线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据韦达定理求参数、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题
【分析】（1）代入点的坐标即可求解；
（2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理表示出的面积，再证明满足双曲线方程即可.
【详解】（1）依题意，双曲线过点，
代入双曲线解析式，得，解得，
所以双曲线的标准方程为；
（2）证明：直线与双曲线方程联立得消去并整理可得，
所以，则，
设，，则，，
所以
，
点到直线的距离为，
所以的面积为，
令，则，，，，
则，所以，则点在双曲线上.
8．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线过点（其中），且双曲线上的点到其两条渐近线的距离之积为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)记为坐标原点，双曲线的左、右顶点分别为为双曲线上一动点（异于顶点），为线段的中点，为直线上一点，且，过点作于点，求面积的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、求直线与双曲线的交点坐标、双曲线中的直线过定点问题
【分析】（1）由点在上可得，再由上的点到其两条渐近线的距离之积得，联立求解即得.
（2）设出直线的方程，与双曲线的方程联立求出点的坐标，结合已知确定点的位置，进而求出面积的最大值.
【详解】（1）由双曲线过点，得，
双曲线的渐近线方程为，
则双曲线上的点到两条渐近线的距离之积为，
于是，解得，则，而，解得
，
所以双曲线的标准方程为.
（2）由（1）知，显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，
由消去y并整理得，显然，
设，则，解得，且，
于是线段的中点，直线的斜率，
由，得直线的斜率，而，直线的方程为，则点，
于是直线的方程为，即，则直线过定点，
因此点在以为直径的圆上，该圆的圆心为，半径为，
则点到直线的最大距离为，点的坐标为或，
而点在直线上，即或，得或，满足，
所以点到直线的距离的最大值为，面积的最大值为.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（2024·天津·模拟预测）双曲线和抛物线（）的公共焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若中点的横坐标为6，则（ ）
A．16B．12C．10D．8
【答案】A
【知识点】求双曲线的焦点坐标、与抛物线焦点弦有关的几何性质
【分析】求出双曲线的焦点坐标，进而求出值，再结合中点坐标公式和抛物线的焦点弦公式计算可得.
【详解】由题意可得双曲线的交点为，
所以，即，
设的横坐标分别为，
中点的横坐标为6，即
由抛物线的焦点弦公式可得，
故选：A.
2．（2024·天津武清·模拟预测）双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左顶点为A，右焦点为，过点A且倾斜角为的直线顺次交两条渐近线和的右支于，且，下列结论不正确的是（ ）
A．离心率为2B．
C．D．
【答案】D
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求直线与双曲线的交点坐标、求直线交点坐标、已知方程求双曲线的渐近线
【分析】对于A：根据垂直关系可得的值，进而可求得离心率，对于B：分析可知为线段的中垂线，即可得结果；对于C：联立直线方程与双曲线方程可求得点坐标，由点、点、点纵坐标可知、为线段的三等分点，结合三角形面积公式判断即可；对于D：由求解即可.
【详解】如图所示，
由题意知，，直线方程为，
对于选项A：因为，则，整理得，
所以离心率，故A正确；
对于选项B：由选项A可知：直线的斜率分别为，
可知，即为线段的中垂线，所以，故B正确；
对于选项C：过作垂足为，过作垂足为，过作垂足为，如图所示，
由选项A可知：直线方程为，直线方程为，
联立方程，解得，即，
联立方程，解得，即，
联立方程，解得（负值舍去），即，
所以，，，可知，
即、为线段的三等分点，所以，
设到直线距离为，则，，
所以，故C正确；
对于选项D：如图所示，
由选项A可知：，
所以，故D不正确；
故选：D.
【点睛】方法点睛：求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．
3．（2024·天津·二模）已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到的距离为6，双曲线的左焦点在抛物线的准线上，过点向双曲线的渐近线作垂线，垂足为，则与双曲线两个焦点构成的三角形面积的最大值为（ ）．
A．2B．C．D．3
【答案】A
【知识点】基本不等式求积的最大值、已知方程求双曲线的渐近线、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式
【分析】利用抛物线的定义及焦半径公式先求，再由双曲线的性质，基本不等式计算即可.
【详解】设双曲线右焦点，易知，，
即，而双曲线的一条渐近线为，
易知，所以，
由双曲线的性质可知，
由基本不等式可知，当且仅当时取得等号.
故选：A
4．（2024·天津河西·一模）已知双曲线C：（，）的焦距为，左、右焦点分别为、，过的直线分别交双曲线左、右两支于A、B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线向量共线比例问题、余弦定理解三角形、双曲线定义的理解
【分析】根据可知，再根据角平分线定理及双曲线定义得是等边三角形，根据边的关系利用余弦定理即可得结果.
【详解】因为，所以，所以，
所以，又，
所以，
又平分，由角平分线定理可知，，
所以，所以，
由双曲线定义知，
所以，，
所以，，，故是等边三角形，
所以，在中，
，
化简得：，所以，
双曲线C的方程为，
故选：A.

【点睛】方法点睛：根据向量共线，角平分线定理及双曲线定义，结合余弦定理可解此题.
5．（2022·天津河东·一模）已知双曲线的焦点为、，抛物线的准线与交于、两点，且三角形为正三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据抛物线方程求焦点或准线、双曲线中的通径问题
【分析】求得，，由可得出关于、的齐次等式，结合可求得的值，即可得解.
【详解】抛物线的标准方程为，该抛物线的准线方程为，
联立可得，所以，，
因为为等边三角形，且为的中点，则且，
所以，，即，即，
所以，，因为，解得.
故选：A.
6．（2024·四川绵阳·模拟预测）过双曲线的左焦点的直线（斜率为正）交双曲线于两点，满足，设为的中点，则直线（为坐标原点）斜率的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】由弦中点求弦方程或斜率
【分析】根据条件画出图形结合圆锥曲线的定义及条件可得，然后利用点差法可得，进而可得，然后利用基本不等式即得.
【详解】首先证明：双曲线上的任意点Px0,y0到左焦点F1−c,0与左准线的距离之比为常数（离心率）.
依题意，则点Px0,y0到直线的距离，
所以，则.
由题可知在左支上在右支上，如图，设，在左准线上的射影为，因为，
则且，所以，
设，则，
所以，，即，
所以，
所以，当且仅当即时，等号成立，
故选：C.
7．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）双曲线左右焦点分别为，，过点直线与双曲线右支交于，两点，弦的中垂线交轴于，若，则该双曲线渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程、由韦达定理或斜率求弦中点
【分析】
设直线的方程，与双曲线联立，求AB的中垂线方程，得到P点坐标，利用得到离心率，进而求得渐近线方程.
【详解】设直线的方程为，，，
联立，
判别式，
韦达定理，，
所以中点纵坐标，横坐标，
则中点坐标为，
所以AB的中垂线方程为，
令得，，即P的坐标为，
所以，
由弦长公式可知，，
将韦达定理代入得，，
因为，所以，整理得，，
所以，即，所以渐近线方程为.
故选：C.
8．（2024·山东泰安·三模）已知为双曲线（，）的右焦点，直线与的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，是面积为4的直角三角形，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题
【分析】根据给定条件，结合双曲线的对称性求出渐近线方程，再结合给定面积计算得解.
【详解】由为直角三角形，及双曲线的对称性知，且，
则的渐近线方程为，即，由的面积为4，得，解得，
又，因此，
所以的方程为.
故选：B
二、填空题
9．（2024·黑龙江·二模）已知双曲线的离心率为，其左､右焦点分别为，过作的一条渐近线的垂线并交于两点，若，则的周长为 .
【答案】
【知识点】求双曲线中的弦长、双曲线定义的理解、根据离心率求双曲线的标准方程
【分析】设方程，根据求得方程，再由双曲线定义求的周长.
【详解】由，得，
则双曲线，
，渐近线，
不妨设直线，，
联立方程消去得，
则，
可得，解得，可得，
由双曲线的定义可得，
则，
可得，所以的周长.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：在双曲线中，直线过焦点，，则的周长.
10．（2024·贵州·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值16时，面积的最大值为 .
【答案】32
【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、求双曲线中的最值问题、基本不等式求积的最大值、双曲线定义的理解
【分析】由双曲线的定义结合三角形两边之和大于第三边的相关性质得的最小值为，，结合基本不等式即可求得最值.
【详解】题意得，故，如图所示，
则，
当且仅当M，，N三点共线时两个等号同时成立，
所以的最小值为，所以，即，
当且仅当时，等号成立，
而到渐近线的距离，
又，故，
所以，
即面积的最大值为32.
故答案为：32.
11．（2024·安徽·模拟预测）设双曲线的左、右焦点分别为是上一点，且．若的面积为16，则的离心率为 ．
【答案】
【知识点】余弦定理解三角形、双曲线定义的理解
【分析】由得，可得，结合以及三角形面积公式即可求解.
【详解】根据双曲线的定义可得，即，
由可得，
所以，又因为，
所以，即，
，即，
因为，所以，
所以，即，
解得，所以．
故答案为：.
12．（2024·山东威海·一模）已知，是双曲线的左､右焦点，过的直线与的左､右两支分别交于，两点.若以的中心为圆心，的长为直径的圆与的右支的一个交点恰为，若，，成等差数列，则的渐近线方程为 .
【答案】
【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线、等差中项的应用
【分析】由已知以为直径的圆过点，可知，再结合等差数列及双曲线定义可得各边长，再根据直角三角形勾股定理可得，即可得渐近线方程.
【详解】
如图所示，由已知以的中心为圆心，的长为直径的圆过点，
可知，
再由，，成等差数列，
得，
由双曲线定义可知，，
则，
即，，
又，
则，即，
则，
即渐近线方程为，
故答案为：.
三、解答题
13．（2024·浙江·模拟预测）已知双曲线C:，圆，其中.圆与双曲线有且仅有两个交点，线段的中点为.
(1)记直线的斜率为，直线的斜率为，求.
(2)当直线的斜率为3时，求点坐标.
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、由韦达定理或斜率求弦中点、由直线与圆的位置关系求参数、根据韦达定理求参数
【分析】（1）涉及到中点弦，我们可以采用点差法得到，而由可得，两式相比即可得解；
（2）设直线，联立双曲线方程，结合韦达定理可表示的坐标为，由得斜率，由此可列方程求出参数，进而得解.
【详解】（1）
因为，所以.
又设，因为，
所以.
而圆心不在坐标轴上，从而，
所以.
所以，
又，所以.
（2）设直线，与联立，化简并整理得：，
其中.
设，
所以，
即点坐标为.
因为，所以，而，
即，解得.
因此，所以.
14．（2024·云南·模拟预测）椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上运动（与左､右顶点不重合），已知的内切圆圆心为，延长交轴于点.
(1)当点运动到椭圆的上顶点时，求；
(2)当点在椭圆上运动时，为定值，求内切圆圆心的轨迹方程；
(3)点关于轴对称的点为，直线与相交于点，已知点的轨迹为，过点的直线与曲线交于两点，试说明：是否存在直线，使得点为线段的中点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【知识点】求平面轨迹方程、由弦中点求弦方程或斜率、椭圆定义及辨析
【分析】（1）由的内切圆圆即为的重心可得答案；
（2）延长交轴于点，设，由点是内切圆圆心，结合相关代点可求内切圆圆心的轨迹方程；
（3）设，，结合由三点共线，由三点共线，在曲线上，故可得点的轨迹方程，再结合点差法可求得答案.
【详解】（1）当点运动到椭圆的上顶点时，如图，
则，.
的内切圆圆即为的重心.
从而由重心的三等分点性质，知，.
则.
（2）当点在椭圆上运动时，设Px0,y0，过点作椭圆左准线的垂线，垂足为，
则，这里是的离心率.
又，所以.
同理可得：，
延长交轴于点，设，
由于点是内切圆圆心，故平分，
从而由角平分线定理得：，即，解得：①.
设内切圆圆心，由.
得：②.
联立①②得：，.
又因为Px0,y0在椭圆上，且不与左右顶点重合（即）.
从而即，且.
故内切圆圆心的轨迹方程为：.
（3）由于点与点关于轴对称，故可设，，.
由三点共线可得：③，由三点共线可得：④，
且由相交可知，即.
联立③④并去分母即有，解得，.
这得到，，然后代入条件及刚刚得到的，
就得到，.
整理即得点的轨迹方程为：.
设直线经过并与交于两点，且是的中点.
假设直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时直线与没有交点（注意限制条件），矛盾.
所以直线的斜率存在，设，，且.
由于是的中点，故，，即，.
由于点，在曲线上，故，
从而
，
故，从而直线的斜率.
又因为直线经过，所以满足条件的直线只可能是.
经检验，直线的确与交于两点，，
且的中点是.
所以满足条件的直线存在，且只有.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于第3小问对点差法的使用.
15．（2024·吉林长春·模拟预测）对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线．已知椭圆（），它的离心率是其伴随双曲线离心率的倍．
(1)求椭圆伴随双曲线的方程；
(2)点为的上焦点，过的直线与上支交于，两点，设的面积为，（其中为坐标原点）．若，求．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线中的定值问题
【分析】（1）设椭圆与其伴随双曲线的离心率分别为，，依题意可得，，根据离心率公式得到方程，求出，即可得解；
（2）设直线的斜率为，Ax1,y1，Bx2,y2，直线的方程，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，求出，由，求出，再由可得，即可得解.
【详解】（1）设椭圆C与其伴随双曲线的离心率分别为，，
依题意可得，，即，
即，解得，
所以椭圆C：，
则椭圆C伴随双曲线的方程为．
（2）

由（1）可知，，
设直线l的斜率为k，，，则直线l的方程，
与双曲线联立并消去y，得，
则，
所以，，则，
又，
又，解得或（舍去），
又，
所以
，
因为，所以．
三年考情分析
2025考向预测
2022年，第7题，考察双曲线的渐近线和方程
2023年，第9题，考察双曲线的渐近线和方程
2024年，第8题，考察双曲线的焦点三角形和方程
双曲线是圆锥曲线中的重要内容，是天津高考命题的重要考点。考试中主要考查双曲线方程，离心率，双曲线中焦点三角形问题，主要以选择题方式呈现。
1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2、集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合:.
3、说明
若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小.
(1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;
(2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.
利用椭圆定义求距离和差的最值的两种方法：
（1）抓住与之和为定值，可联系到利用基本不等式求的最值；
（2）利用定义转化或变形，借助三角形性质求最值
（1）双曲线的焦点为F1、F2，为双曲线上的点，，如图，则（灵动双曲线焦点三角形面积公式）．
（2）灵活运用定义：
（3）灵活运用余弦定理：
（4）灵活运用基本不等式
1.双曲线的渐近线方程亦为
2.双曲线的渐近线方程亦为
（1）定义法：通过已知条件列出方程组或不等式组，求得、的值或不等式，根据离心率的定义求解离心率的值或取值范围；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程或不等式，然后转化为关于的方程或不等式求解；
(1) 若为双曲线弦 ( 不平行 轴) 的中点, 则
(2) 若 为双曲线弦 (不平行 轴) 的中点, 则
如果直线的斜率为，被椭圆截得弦两端点坐标分别为，，
则弦长公式为：
1、三角形中面积
（1）
（2）
（3）其中分别为内切圆半径及的周长
（4）双曲线焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角）
2、三角形中面积最值
正规方法：面积公式+基本不等式
①
②
③
3、三角形中面积取值范围
（1）如果题干已知一个角，则利用面积公式转化为三角函数求最值（注意角的范围）
（2）如果题干未知角，则利用面积公式转化为二次函数求最值（注意单一边的范围）
求单一边范围用到的工具
①两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
②若为锐角三角形，则两边平方之和大于第三边平方
若为钝角三角形，则两边平方之和小于第三边平方