热点13 抛物线及其应用（6题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（天津专用）

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题型1 根据抛物线定义求方程
1．（2024高三·全国·专题练习）若点P到点的距离比它到直线的距离小2，则点P的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹
【分析】根据抛物线的定义即可写出点P的轨迹方程.
【详解】由题意，知P到的距离比它到的距离小2，
因此P到的距离与到直线的距离相等，
故P的轨迹是以F为焦点，为准线的抛物线，
所以P的轨迹方程为．
故选：C
2．（2024·湖南长沙·二模）已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为 ．
【答案】
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、由圆的位置关系确定参数或范围、利用抛物线定义求动点轨迹
【分析】设动圆的半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是，再利用抛物线的定义求解.
【详解】由题意得，直线l：，且圆N：，
设圆M半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是，
故点M的轨迹是以N为焦点，以l＇为准线的抛物线，故方程为．
故答案为：
3．（24-25高二上·甘肃白银·阶段练习）已知曲线上任一点与点的距离比它到轴的距离大．
(1)求曲线的方程；
【答案】(1)
【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、直线与抛物线交点相关问题
【分析】（1）根据抛物线的定义可得抛物线方程；
【详解】（1）由曲线上任一点与点的距离比它到轴的距离大，
可知曲线上任一点与点的距离与它到直线的距离相等，
由抛物线的定义可知曲线为抛物线，且焦点在轴上，焦点坐标为，
所以曲线的方程为；
4．（24-25高二上·天津南开·期末）曲线上的每一点到定点的距离与到定直线的距离相等.
(1)求曲线的方程；
【答案】(1)
【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、根据韦达定理求参数
【分析】（1）由抛物线定义可知曲线类型，然后可得方程；
【详解】（1）因为曲线上的点到的距离与到的距离相等，
所以轨迹为焦点在轴上，以为焦点的抛物线，
所以的方程为.
5．（24-25高二上·广西·期末）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为.
(1)求的方程；
【答案】(1)
【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、抛物线的中点弦
【分析】（1）根据抛物线的定义得点的轨迹，然后根据焦点坐标求出抛物线的标准方程；
【详解】（1）因为动点到点的距离比它到直线的距离小2，
所以动点到点的距离比它到直线的距离相等，
由抛物线的定义知动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以轨迹的方程为.
题型2 抛物线上点到焦点与定点距离和、差最值
1．（24-25高二上·天津和平·阶段练习）已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点的距离与点P到该抛物线焦点F的距离之和的最小值为（ ）
A．3B．C．4D．
【答案】C
【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
【分析】根据抛物线的定义确定抛物线上点到定点距离与到焦点距离之和的最小值即可.
【详解】由，如下图示，若准线于，则，
所以，当且仅当共线时取等号，
所以最小的.
故选：C
2．（2024·四川成都·模拟预测）设点，动点P在抛物线上，记P到直线的距离为d，则的最小值为（ ）
A．1B．3C．D．
【答案】D
【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
【分析】根据抛物线的定义，到焦点的距离等于到准线的距离，可得，从而转化为求的值，当三点共线时，取得最小值，即可求解.
【详解】由题意可得，抛物线的焦点F1,0，准线方程为，
由抛物线的定义可得，
所以，
因为
所以.
当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为
故选：D
3．（2024·湖南常德·一模）已知抛物线方程为:，焦点为.圆的方程为，设为抛物线上的点， 为圆上的一点，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
【分析】根据抛物线定义将点到焦点的距离转化为点到直线的距离，即，从而得到，三点共线时和最小；再由在圆上，得到最小值.
【详解】

由抛物线方程为，得到焦点，准线方程为，过点做准线的垂线，垂足为，
因为点在抛物线上，所以，
所以，当点固定不动时，三点共线，即垂直于准线时和最小，
又因为在圆上运动，由圆的方程为得圆心，半径，所以，
故选：C.
4．（24-25高二上·天津东丽·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的一动点，点，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
【分析】过点作抛物线的准线的垂线段，垂足点为，由抛物线的定义可得，分析可知，当且仅当、、三点共线时，取最小值，即可得解.
【详解】过点作抛物线的准线的垂线段，垂足点为，如下图所示：

易知，抛物线的焦点为F1,0，准线为，
由抛物线的定义可得，所以，，
当且仅当、、三点共线时，即当时，取最小值，且最小值为.
故答案为：.
5．（2024·西藏林芝·模拟预测）抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值是 ．
【答案】4
【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
【分析】作准线l，M为垂足，由抛物线的定义可得，故当P，A，M三点共线时取最大值.
【详解】根据抛物线方程，可得，准线方程为，
作准线l，M为垂足，又知，
由抛物线的定义可得，
故当P，A，M三点共线时，取最大值，
最大值为．
故答案为：4.

6．（2024·陕西渭南·二模）若点A在焦点为F的抛物线上，且，点P为直线上的动点，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
【分析】先求得点的坐标，再求得关于直线的对称点，借助三点共线求得的最小值.
【详解】抛物线的焦点，准线，设，
则，解得，显然，不妨设，
关于直线的对称点为，则
因此，当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
题型3 抛物线中点弦问题
1．（2024·江西宜春·三模）已知抛物线C：的焦点为F，动直线l与抛物线C交于异于原点O的A，B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，若点（），则当取最大值时，（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、抛物线的中点弦、直线与抛物线交点相关问题
【分析】根据题意，由抛物线的方程可得焦点坐标以及准线方程，然后分别过A、B、M向准线作垂线，取最大值即直线AB过焦点F1,0时，再结合点差法代入计算，即可得到结果.
【详解】
由题可知焦点F1,0，准线，设线段AB的中点为，即为OP中点，
则，．分别过A、B、M向准线作垂线，垂足分别为，，，
如图所示．
则，当直线AB过焦点F1,0时取等号，此时．
设、，直线AB的斜率为k，
由，两式相减，得，所以，
即，得，所以，又，所以．
故选：B．
2．（2024·山西临汾·二模）已知抛物线，过点的直线与相交于A，B两点，且为弦AB的中点，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．−2
【答案】D
【知识点】抛物线的中点弦
【分析】直线与相交于A，B两点，且点为弦AB的中点，利用点差法求解.
【详解】解：设，
因为直线与相交于A，B两点，所以，
由题意得，
故选：D
3．（2023·四川资阳·三模）已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则直线l的斜率是（ ）
A．B．4C．D．
【答案】A
【知识点】抛物线的中点弦
【分析】利用点差法求解即可.
【详解】设，则作差得.因为，所以P是线段AB的中点，所以，则直线l的斜率.
故选：A
4．（2024·全国·模拟预测）已知直线l过点，且与抛物线交于A，B两点，若M为线段AB的中点，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线的中点弦、直线与抛物线交点相关问题
【分析】
先根据题设设出两点，求出直线的斜率和方程，继而得到直线与轴的交点，从而将的面积转化成的形式，计算即得.
【详解】
设Ax1,y1，Bx2,y2，因为线段AB的中点，则，．
由题意，得直线AB的斜率，
所以直线AB的方程为，即，它与x轴的交点坐标为．
因，，
则．故△AOB的面积为．
故答案为：.
5．（2023·贵州遵义·三模）已知抛物线上两点A，B关于点对称，则直线AB的斜率为 .
【答案】2
【知识点】抛物线的中点弦、直线与抛物线交点相关问题
【分析】根据点差法求得直线AB的斜率，并验证判别式大于零.
【详解】设，代入抛物线，得，
则①，
因为两点A，B关于点对称，则，
所以由①得，
直线AB的斜率为2.
则直线AB：与代入抛物线联立，得，，解得.
所以直线AB的斜率为2.
故答案为：2.
题型4 抛物线焦点弦问题
1．（2024·天津·模拟预测）双曲线和抛物线（）的公共焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若中点的横坐标为6，则（ ）
A．16B．12C．10D．8
【答案】A
【知识点】求双曲线的焦点坐标、与抛物线焦点弦有关的几何性质
【分析】求出双曲线的焦点坐标，进而求出值，再结合中点坐标公式和抛物线的焦点弦公式计算可得.
【详解】由题意可得双曲线的交点为，
所以，即，
设的横坐标分别为，
中点的横坐标为6，即
由抛物线的焦点弦公式可得，
故选：A.
2．（2023·天津·二模）已知双曲线的离心率为2，抛物线的焦点为，过过直线交抛物线于两点，若与双曲线的一条渐近线平行，则（ ）
A．16B．C．8D．
【答案】D
【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质
【分析】现根据双曲线的离心率，求出渐近线的斜率，继而根据点斜式求得直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，结合韦达定理和焦点弦公式，即可求解.
【详解】解：由题意得，
故双曲线的渐近线方程为，
又与双曲线的一条渐近线平行，不妨设直线的斜率为，又，
故的直线方程为：，联立直线方程和抛物线方程得：，
所以，所以.
故选：D.
3．（2024·陕西商洛·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知过点的抛物线的焦点为，过点作两条相互垂直的直线，，直线与相交于，两点，直线与相交于，两点，则的最小值为（ ）
A．32B．20C．16D．12
【答案】A
【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、与抛物线焦点弦有关的几何性质
【分析】由点在抛物线上求出的值，即可求出抛物线方程，设直线方程为，则方程为，，，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，表示出、，再由基本不等式计算可得.
【详解】因为点在抛物线上，所以，解得或（舍去），
所以抛物线，则，依题意直线的斜率存在且不为，
设直线方程为，则方程为，Mx1,y1，Nx2,y2，，，
联立直线方程与抛物线方程得，
则，，，同理，，
所以，
，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为；
故选：A
4．（2024·海南·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点的直线 与抛物线 交于两点，若 ，则直线 的斜率为 .
【答案】
【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、与抛物线焦点弦有关的几何性质
【分析】设，利用弦长公式求解．
【详解】抛物线的焦点，设直线l的方程为：，
联立方程，消去y得，，
设，则，
因为，所以，
即，得，
故答案为：
5．（2024·辽宁·模拟预测）过抛物线的焦点的直线交于，两点，，是的准线上两点，以为直径的圆与切于点，且以，，，为顶点的四边形的面积为64，则直线的斜率为 .
【答案】
【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质
【分析】利用抛物线的定义和性质，证明，，再联立抛物线与过焦点的直线，利用根与系数的关系求出直线的斜率.
【详解】
设抛物线的准线与轴交于一点，过作于一点，
过作于一点，连接，，
由抛物线的定义知，，，
，，
又，，，
因此，，，
又，
则，
设的中点为，则，因此，
，即，
因此以为直径的圆与切于点，且为圆的半径，
而过直线与垂直时，在准线只有唯一的交点，这个交点即为与切于点的圆的圆心，
因此在准线只有一个圆与切于点，
故要使以的准线上两点为直径的圆与切于点，
则与重合，与重合，
因此四边形为直角梯形，
由题意知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，
则，联立可得，
整理得，
则，，
因此，
又的符号相反，因此，，
则，
又，
又梯形的面积为64，则，
即，整理得，，
解得，
因此，直线的斜率为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，
可直接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
题型5 抛物线弦长（非焦点弦）问题
1．（2024·浙江·二模）已知点为抛物线与圆在第一象限的交点，另一交点为.
(1)求；
(2)若点在圆上，直线为抛物线的切线，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据抛物线上的点求标准方程、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的三角形或四边形面积问题
【分析】（1）直接将点依次代入抛物线、圆的方程中即可求解；
（2）首先根据导数几何意义求出的方程，根据对称性得到的坐标，联立圆的方程求出的坐标，结合两点间的距离公式即可求解.
【详解】（1）由题意，，解得．
（2）
在抛物线与圆的方程中，用替换方程依然成立，
这表明这两个图象都关于轴对称，所以它们的交点也关于轴对称，
由，知．
直线为抛物线的切线，
当时，，所以抛物线在点处的切线斜率为，则．
代入，得或1，故．
则的周长为．
2．（2024·广东·一模）如图，已知抛物线，其上有定点，，动点在抛物线上，且点位于点A，B之间的曲线段上（不与点，重合），过点作直线的垂线，垂足为.
(1)若点是的中点，求点的坐标.
(2)求证：无最大值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、轨迹问题——圆、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、利用向量垂直求参数
【分析】（1）先设点坐标，利用为中点，表示出点坐标，再利用，结合向量的数量积为可求点坐标.
（2）法一：根据题意得到点的轨迹，从而得证；法二，利用导数，数形结合即可得证；
法三：分类讨论直线的斜率为0与否，联立直线与抛物线的方程，利用弦长公式求得关于的表达式，再利用函数的值域求法即可得解.
【详解】（1）如图：设，则.
因为为的中点，所以点坐标为.
所以：，.
因为，所以
所以.
所以或（舍去）.
故点坐标为
（2）法一：由题意知恒有，
又点位于点A，B之间的曲线段上，
所以点的轨迹是以为直径，位于直线下方的半圆，
又点不与点，重合，，
所以，即无最大值.
法二：
因为点位于，之间的曲线段上（不与点，重合）.
由，所以，
所以当接近点时，，而，
所以.
即与点重合时，有最大值.
但不与重合，故无最大值.
法三：依题意，易知直线的斜率存在，
当直线的斜率为0时，直线的斜率不存在，
此时点的坐标为，点的坐标为，得；
当直线的斜率不为0时，设直线的斜率为，
则直线的斜率为，则直线，
联立，解得，
即的交点的横坐标为，
所以，
因为，
由，得，
当且仅当，即时等号成立.
综上，当时，此时点与点重合，故无最大值.
3．（2023·四川成都·模拟预测）已知椭圆与抛物线的图象在第一象限交于点P．若椭圆的右顶点为B，且．
(1)求椭圆的离心率．
(2)若椭圆的焦距长为2，直线l过点B．设l与抛物线相交于不同的两点M、N，且的面积为24，求线段的长度．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】（1）利用椭圆和抛物线的定义可以用表示点P的坐标，代入椭圆方程即可求出离心率；
（2）根据条件求出椭圆与抛物线的方程，设l方程及点M、N的坐标，由面积求得l方程，再由弦长公式即可求得.
【详解】（1）∵抛物线方程为∴其焦点为，抛物线的准线方程为．
设点，故到准线的距离为．
即，∴
因为点P在第一象限，代入抛物线方程解得．
根据点P在椭圆上，将P点坐标代入椭圆方程，化简得．
即，所以，则椭圆E的离心率．
故答案为：
（2）因为椭圆的焦距为2，所以，所以，
所以椭圆方程为．
抛物线的方程为．且，．
因为直线l过B且不与坐标轴垂直，不妨设直线l的方程为，，且．
设点，，联立l与
消去x得：．
所以，．
所以．所以．
故答案为：
4．（23-24高二上·辽宁抚顺·期中）已知F是抛物线C：的焦点，点P在C上，点Q满足，点Q的轨迹为曲线E．
(1)求曲线E的方程；
(2)过点F的直线l与曲线E交于M，N两点，，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)或．
【知识点】由弦长求参数、根据抛物线方程求焦点或准线、求平面轨迹方程
【分析】（1）设出，根据得到，代入抛物线方程，求出答案；
（2）设直线l的方程为，与抛物线方程联立，得到两根之和，两根之积，根据弦长列出方程，求出或，得到直线方程.
【详解】（1）由题意得，
设，则，
所以，，，
所以，
由P在抛物线C上可得，即，
则曲线E的方程为．
（2）显然当直线l的斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不合要求，
设直线l的方程为，设，，
代入，消去x得，
则，，，
所以
，
所以或．
所以直线l的方程为或．
题型6 抛物线中三角形（四边形）面积问题
1．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题
【分析】可分割成上下两部分来求，于是只需求的纵坐标，设出直线方程，联立抛物线，结合题干条件进行求解.
【详解】显然直线的斜率非零，可设，联立抛物线可得，
设，且不妨设在轴上方，即，
由题知，，又，即，
故，根据韦达定理，，解得，
于是.
故选：C

2．（24-25高二上·天津和平·阶段练习）抛物线 的焦点为，过点 且倾斜角为的直线与抛物线相交于两点，则的面积为 .
【答案】
【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题
【分析】将所求三角形的面积分解为以为底边的两个和的面积和，然后联立直线与抛物线的方程，消去,得到关于的一元二次方程，即可求解.
【详解】过抛物线的焦点的直线方程为：，
联立，得，
所以，
所以.
故答案为：.
3．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知抛物线的焦点，直线与C交于A，B两点，且，线段AB的垂直平分线与x轴交于点．
(1)求的值；
(2)求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题、由导数求函数的最值（不含参）、根据韦达定理求参数
【分析】（1）联立直线方程和抛物线方程，利用韦达定理和抛物线定义得到，写出直线的垂直平分线方程即可求解；
（2）利用弦长公式和点到直线的距离公式求出的面积的表达式，利用换元法构造函数，根据导数判断函数的单调性并求出最大值即可求出面积的最大值.
【详解】（1）由题意抛物线的焦点为，则，
可得，设Ax1,y1，，
联立，得，，
所以，，
又，可得，
由，得或，
设的中点坐标为，则，
所以的垂直平分线方程为：，
将代入整理得，令，即得；
（2）由（1）得
，
又点到直线的距离，
则的面积为，
，
令，设，则，
令，解得，令，解得，
则在单调递增，在上单调递减，
所以当时，，即的最大值为，
所以面积的最大值为．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是第二问中求解三角形的面积最值时，要利用弦长公式以及点到直线的距离求出三角形面积的表达式，进而利用导数求解最值.
4．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，过点且斜率为的直线与圆：相切.
(1)求的方程；
(2)设，过点作的两条切线，，切点分别为，，试求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】已知切线求参数、抛物线中的三角形或四边形面积问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】（1）由题意表示出直线的方程，再由圆的几何性质可得出关于p的等式，即可解出p的值，求出抛物线的方程；
（2）设Ax1,y1，Bx2,y2，利用导数求出直线PA、PB，进一步可求出直线AB的方程，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，求出以及点P到直线AB的距离，利用三角形的面积公式结合函数的性质即可求得结果.
【详解】（1）由题意得，抛物线的焦点，则直线：，
圆的圆心为，半径，则，解得或（舍去），
∴抛物线的方程为.
（2）设Ax1,y1，Bx2,y2
对于函数，求导得，
∴切线的斜率为，
∴切线的方程为，
即，即，
同理可得切线的方程为，
又点在两切线上，∴，
∴直线的方程为.
联立，得，
∴
且，
点到直线的距离，
∴.
∵，∴，∴
即面积的取值范围是.
5．（2024·全国·一模）设为抛物线的焦点，为的准线与轴的交点，且直线过点．
(1)若与有且仅有一个公共点，求的方程；
(2)若与交于，两点，且，求的面积．
【答案】(1)或或．
(2)
【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题
【分析】（1）联立直线与抛物线方程，根据判别式即可求解，
（2）根据韦达定理可得，，进而根据向量数量积的坐标运算求解，由面积关系即可求解.
【详解】（1）由题设得，．
若与轴垂直，此时与只有一个交点．
若与轴不垂直，设．由得．
因为与有且仅有一个公共点，所以，故．此时的方程为或．
综上，的方程为，或．
（2）由（1）得，即．设，，
则
，．
因为，所以，整理可得
，
代入可得．所以的面积

6．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点的直线与曲线交于两点，若曲线在处的切线相交于点．
(1)求证：点的轨迹是一条直线；
(2)求面积的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【知识点】求平面轨迹方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】（1）设点斜式方程，代入抛物线方程，写出韦达定理，利用导数写出处的切线方程，联立两切线方程，求出点的坐标，依据根与系数的关系，求出点的轨迹，即可得证，
（2）利用弦长公式求出的值，到直线的距离，代入三角形面积公式，利用二次函数求出面积的最小值.
【详解】（1）依题意，直线的斜率存在，
设直线交曲线于．
联立直线和曲线方程 ，化简得，
所以，因为，所以，
所以曲线在处的切线方程为，
化简得，因为，即，
所以在处切线方程为，
同理，可求曲线在处的切线方程为，
联立 ， 解得，所以交点，
设，则，
因为，，所以，即，
因为，
所以点在直线上，
即点的轨迹是一条直线．
（2）因为，由（1）知，
坐标为，
所以
由题意得，点到直线的距离：，
所以的面积为：
，
化简得，
因为，当且仅当时取得等号，
所以面积的最小值为1．
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（2024·天津·模拟预测）已知F为抛物线C：的焦点，过点F的直线与抛物线C及其准线的交点从上到下依次为P、N、M，若，则以F为圆心，半径的圆F方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、根据抛物线方程求焦点或准线、直线与抛物线交点相关问题
【分析】由长度的比例关系可求得点纵坐标，由此可确定直线方程，进而求得点坐标，利用两点间距离公式可求得所求圆的半径，进而确定圆的方程.
【详解】由抛物线方程知：F0,1，准线，
不妨假设过点的直线斜率为负，
则作轴于点，设准线与轴交于，如下图所示：
，，又，，
点纵坐标为，，直线方程为：，
，，
由抛物线对称性可知，当直线斜率为正时，，
所求圆的方程为：.
故选：A.
2．（2024·天津红桥·二模）过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，，抛物线的准线与x轴交于点C，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线中的三角形或四边形面积问题、三角形面积公式及其应用、与抛物线焦点弦有关的几何性质
【分析】利用抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离作出图形，结合图形得到解出从而确定的长度，再利用三角形面积和之间的关系求出即可.
【详解】
设抛物线的准线为，
过作于，过作于点，过作于，
设，
因为，所以，
所以，
所以，
在中，，所以，
因为，所以，
又，所以，
又由，可得，
所以，所以，
所以，
所以.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用抛物线的定义建立方程，解出.
3．（2024·天津·一模）以双曲线的右顶点为圆心，焦点到渐近线的距离为半径的圆交抛物线于A，B两点.已知，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．或4B．C．或4D．4
【答案】A
【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、求双曲线的焦点坐标、已知方程求双曲线的渐近线、抛物线的对称性的应用
【分析】先求出双曲线的顶点坐标，焦点坐标及渐近线方程，进而可求得圆的方程，根据圆与抛物线都关于轴对称，则两点关于轴对称，从而可求得点的坐标，代入抛物线方程即可得解.
【详解】双曲线的右顶点坐标为2,0，焦点为，
渐近线方程为，即，
焦点到渐近线的距离为，
所以题中圆的方程为，
因为圆和抛物线的图象都关于轴对称，
所以两点关于轴对称，
不妨设点在第一象限，设，则，
则，所以，
因为点在圆上，
所以，解得或，
所以或，
当，则，解得，
当，则，解得，
综上所述，抛物线的焦点到准线的距离为或4.

故选：A.
【点睛】关键点点睛：根据圆与双曲线都关于轴对称，得出两点关于轴对称，求得点的坐标，是解决本题的关键.
4．（2024·天津河东·一模）已知等轴双曲线的渐近线与抛物线的准线交于两点，抛物线焦点为，的面积为4，则的长度为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据抛物线方程求焦点或准线
【分析】根据双曲线与抛物线的几何性质，联立方程组，求得的坐标，结合题意，列出方程求得，进而求得长度，得到答案.
【详解】由题意，等轴双曲线的渐近线方程为，抛物线的准线方程为，
联立方程组，解得，可得，同理可得，
因为的面积为4，可得，解得，
则.
故选：D.

5．（2022·天津红桥·三模）已知抛物线：，直线：与抛物线交于，两点，点为平面内一点，且满足点到直线的最大值为（ ）
A．B．C．32D．
【答案】B
【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、直线与抛物线交点相关问题
【分析】由题意可知， 在以为直径的圆周上，所以到直线的最大值为．
联立直线与抛物线解出，，进而得解．
【详解】解：由题意可知，因为，所以在以为直径的圆周上，所以到直线的最大值为．
联立直线：与抛物线：并化简得：，解出，，
所以所以 ．
故选：B．
6．（2024·全国·模拟预测）已知点是焦点为的抛物线上的一个点，过点作直线的垂线，垂足为点，直线与轴的交点为，若是的平分线，则的面积为( ).
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】抛物线定义的理解、抛物线中的三角形或四边形面积问题
【分析】先由题意求点的坐标，得到，然后判断四边形的形状，最后求点的坐标，进而得的面积.
【详解】因为，即，因此，易知直线是的准线，则，
如图，又，，所以，
得，四边形为正方形，故的面积为.
故选：B.

7．（2024·广东佛山·模拟预测）设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若直线的倾斜角为，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【知识点】抛物线定义的理解、与抛物线焦点弦有关的几何性质
【分析】由抛物线的定义可知，再由抛物线的性质可得即可求解.
【详解】如图所示，抛物线及准线如图所示，过点作垂直准线于点，
过焦点作垂直于于点，由题意可知，
根据抛物线的定义
在中，，又，
所以，
解得.
故选：C.
8．（2024·新疆·三模）已知抛物线C：的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦与弦的交点恰好为F，且，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质、三角恒等变换的化简问题、抛物线的焦半径公式
【分析】由抛物线的方程可得焦点F的坐标，应用抛物线焦点弦性质，，，，结合三角的恒等变换的化简可得，即可求解.
【详解】由抛物线得，则，，
不妨设PQ的倾斜角为，
则由，得，，
所以，，
得，，
所以.
故选：B.
二、填空题
9．（2024·天津北辰·三模）过抛物线的焦点作圆：的两条切线，切点分别为，若为等边三角形，则的值为 .
【答案】4
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、切线长、根据抛物线方程求焦点或准线
【分析】
由抛物线的性质，结合直线与圆的位置关系求解．
【详解】
如图，
过抛物线的焦点F作圆C：的两条切线，切点分别为M，N，又△FMN为等边三角形，
则在直角三角形MCF中，，，
又C(2,0)，，又，
则，即，则p＝4．
故答案为：4．
10．（2024·天津河西·一模）已知抛物线上的点P到抛物线的焦点F的距离为6，则以线段PF的中点为圆心，为直径的圆被x轴截得的弦长为 ．
【答案】4
【知识点】圆的弦长与中点弦、抛物线定义的理解
【分析】首先利用抛物线定义确定P点坐标，进而可得以的中点为圆心，PF长度为直径的圆的方程，再代入计算可得弦长.
【详解】抛物线的焦点，准线为，
由题意得，结合抛物线定义知P点到准线的距离为6，

则，
代入横坐标可得，即，
所以的中点坐标为或，
，
所以以的中点为圆心，PF长度为直径的圆的方程为或，
圆心到轴距离为，所以与截得的弦长为，
故答案为：4.
11．（2024·天津和平·一模）圆与抛物线的准线相交于，两点.若，则抛物线的焦点坐标为 .
【答案】
【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、根据抛物线方程求焦点或准线
【分析】根据弦长为，利用垂径定理可得，进而可得焦点坐标为.
【详解】
如图，抛物线的准线方程为，
圆即，圆心坐标为，半径为，
由垂径定理可得，即，
得或（舍去），故抛物线的方程为，焦点坐标为.
故答案为：
12．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知抛物线，从抛物线内一点发出平行于轴的光线经过扡物线上点反射后交抛物线于点，则的面积为 .
【答案】
【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题
【分析】根据抛物线求出交点横坐标，再结合面积公式与抛物线的焦点弦的性质求解即可.
【详解】由抛物线的光学性质知，直线与轴的交点为抛物线的焦点，
的焦点为，故与轴的交点横坐标为，
根据题意，画出草图，如下图所示，
令得，解得，又过焦点，
所以方程为：，
即，联立，
得，解得或，所以
∴的边上的高为，
又，
所以，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，充分了解抛物线的光学性质，从而得解.
13．（2024·浙江宁波·一模）抛物线：的焦点为，为上一点且，为坐标原点，则 .
【答案】
【知识点】抛物线的焦半径公式、抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据抛物线方程求焦点或准线
【分析】根据焦半径公式，确定点的横坐标，再求点的纵坐标，可得的面积.
【详解】如图：
不妨设点Px,y在第一象限，过点作与抛物线的准线垂直，垂足为.
则，又，所以，所以.
所以.
故答案为：
14．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线的焦点为为上的两点．若直线的斜率为，且，延长分别交于两点，则四边形的面积为 ．
【答案】50
【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数
【分析】通过抛物线的焦点坐标，直线的斜率和直线的垂直关系，求出对角线；再利用两对角线垂直的四边形面积公式，即可求得.
【详解】由题可知，抛物线的焦点坐标为F1,0．
因为直线的斜率为，所以直线的方程为，
与抛物线的方程联立，得，所以．
设，则，，
故．
因为，所以，
所以直线的斜率为，直线的方程为，
与抛物线的方程联立，得．所以．
设，则，，
故．
所以四边形的面积为．
故答案为：50.
三、解答题
15．（2024·上海杨浦·一模）如图所示，已知抛物线，点是抛物线上的四个点，其中在第一象限，在第四象限，满足，线段与交于点.记线段与的中点分别为.
(1)求拋物线的焦点坐标；
(2)求证：点三点共线；
(3)若，求四边形的面积.
【答案】(1)
(2)证明见解析；
(3)
【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题、根据抛物线方程求焦点或准线
【分析】（1）由抛物线方程可直接得焦点坐标；
（2）当直线AB，CD斜率不存在时，由对称性可证明结论；当直线AB，CD斜率存在时，设直线MN与线段AC，BD交点为P，Q，证明P，Q重合即P，Q为H时可证明结论；
（3）由（2）结合，可得，后由，可得与四边形面积组成部分的比例关系，即可得答案.
【详解】（1）因抛物线方程为，则焦点坐标为；
（2）证明：设.
若，则直线AB，CD斜率不存在，
由对称性，可知M，N，H均在x轴上，则三点共线；
若，则直线斜率存在，
直线方程为：，结合，
则，
同理可得方程：，方程：，
BD方程：.设，
因，则.
则直线MN与x轴平行，设直线MN与线段AC，BD交点为.
将代入直线AC方程，
则；
将代入直线BD方程，
则.
注意到
，又，则P，Q两点重合，
即P，Q为线段与交点H，且点三点共线；
（3）由（2），直线MN与x轴平行，
则.
又，同理可得，
又由（2），
则，
由，则，
即.
则
.
如图，过B作MN平行线，交CD为E，则四边形MBEN为平行四边形，
结合，则，.
因，则，结合，
则，又M为AB中点，则N为DE中点.
则，
则四边形的面积.
【点睛】关键点睛：对于所涉点较多的圆锥曲线综合问题，常不设直线，而改为设点，并用点的坐标结合曲线方程化简直线方程；对于不规则图形面积，常分割为多个三角形求面积.
16．（2024·甘肃白银·一模）已知直线与关于抛物线的准线对称.
(1)求的方程；
(2)若过的焦点的直线与交于两点，且，求的斜率.
【答案】(1)
(2)
【知识点】直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数、由弦长求参数
【分析】（1）由对称关系求出准线方程，可得抛物线方程；
（2）设，直曲联立，表示出韦达定理，再由抛物线的焦点弦公式求解即可；
【详解】（1）由题意得的准线方程为.
由，得，
所以的方程为.
（2）
易得的斜率存在，的焦点为.
设，
联立得，
得
则
得，即的斜率为.
三年考情分析
2025考向预测
2022年，第7题，考察双曲线与抛物线综合，考察了抛物线的方程和准线
2023年，第12题，考察圆与抛物线综合，考察了直线与抛物线相交求弦长
2024年，第12题，考察圆与抛物线综合，考察了根据抛物线的方程求焦点和准线
抛物线是圆锥曲线中的重要内容，是天津高考命题的重要考点。考试中主要结合双曲线，圆综合考察，重点考察了抛物线的焦点，准线，方程，弦长等问题，
主要以选择，填空题方式呈现。
1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离).
(1) 若 为抛物线 弦 ( 不平行 轴 ) 的中点, 则
(2) 若 为抛物线 弦 ( 不平行 轴) 的中点, 则
是过抛物线（）焦点F的一条弦．设，.
弦长，其中为弦所在直线的倾斜角；
当时，线段叫做抛物线的通径（），是所有焦点弦中最短的．
如果直线的斜率为，被椭圆截得弦两端点坐标分别为，，
则弦长公式为：

1、三角形中面积
（1）
（2）
（3）其中分别为内切圆半径及的周长