热点14 排列组合与二项式定理（14 题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（天津专用）

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题型1加法计数原理和乘法计数原理综合
1．（2024·天津和平·二模）为响应党的二十大报告提出的“深化全民阅读”的号召，某学校开展读书活动，组织同学从推荐的课外读物中进行选读．活动要求甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种B．60种C．120种D．240种
2．（2023·天津·一模）甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝，，，则下列结论正确的是（ ）
A．最高处的树枝定是B．最低处的树枝一定是
C．九根树枝从高到低不同的顺序共有种D．九根树枝从高到低不同的顺序共有种
3．（23-24高二下·天津北辰·期中）从0，2，4中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（ ）
A．48B．30C．24D．6
4．（2024·重庆·模拟预测）2024年12月7日西南大学附属中学校迎来了办学110周年庆典，为此某班设计了富含寓意的11个文创作品，已知甲同学喜欢作品、，乙同学喜欢作品、、，丙同学除了不喜欢作品，其他作品都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选取一个作为礼物收藏，若这三位同学都选到了自己喜欢的文创作品，则不同的选法有（ ）
A．50种B．48种C．45种D．40种
（2024·广东佛山·一模）现有甲、乙、丙等7位同学，各自写了一封信，然后都投到同一个邮箱里.若甲、乙、丙3位同学分别从邮箱里随机抽取一封信，则这3位同学抽到的都不是自己写的信的不同取法种数是 （用数字作答）.
题型2 排队问题
1．（2024·四川内江·模拟预测）有4名学生和2名老师站成一排拍照，若2名老师不站两端，则不同排列方式共有（ ）
A．72种B．144种C．288种D．576种
2．（2024·江西新余·二模）两个大人和4个小孩站成一排合影，若两个大人之间至少有1个小孩，则不同的站法有（ ）种.
A．240B．360C．420D．480
3．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）甲，乙等5人站成一排，则甲，乙相邻，且甲在乙左侧的概率为 .
4．（23-24高三上·天津和平·开学考试）将字母、、、、、排成一排，其中必须在的左边，则不同的安排方法有 .（用数字作答）
5．（2024·陕西商洛·模拟预测）3名男生和3名女生随机站成一排，每名女生至少与一名男生相邻，则不同的排法种数为 .
题型3 涂色问题
1．（2023·四川资阳·模拟预测）某社区计划在该小区内如图所示的一块空地布置花卉，要求相邻区域布置的花卉种类不同，且每个区域只布置一种花卉，若有5种不同的花卉可供选择，则不同的布置方案有（ ）
A．360种B．420种C．480种D．540种
2．（2022·天津北辰·模拟预测）用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子染一种颜色，则有 种不同的染色方法，出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的概率为 ．
3．（23-24高二下·天津·期中）如图，用4种颜色标注6个地图的区域，相邻省颜色不同，不同的涂色方式共有 种
4．（2024·全国·模拟预测）中国古建筑闻名于世，源远流长.如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图可近似地看作如图2所示的五面体.现装修工人准备用四种不同形状的风铃装饰五脊殿的六个顶点，要求E，F处用同一种形状的风铃，其它每条棱的两个顶点挂不同形状的风铃，则不同的装饰方案共有 种.
5．（2023·重庆·模拟预测）某城市休闲公园管理人员拟对一块圆环区域进行改造封闭式种植鲜花，该圆环区域被等分为5个部分，每个部分从红、黄、紫三种颜色的鲜花中选取一种进行栽植．要求相邻区域不能用同种颜色的鲜花，总的栽植方案有 种．

题型4 分组分配问题
1．（23-24高二下·天津南开·期末）为丰富同学们的劳动体验，增强劳动技能，认识到劳动最光荣、劳动最伟大，高二年级在社会实践期间开展“打埂作畦”“移苗定植”“挑水浇园”“插架”四项劳动技能比赛项目．某宿舍8名同学积极参加，若每名同学必须参加且只能参加1个项目，且每个项目至多三人参加，则这8个人中至多有1人参加“打埂作畦”的不同参加方法数为（ ）
A．2730B．10080C．20160D．40320
2．（23-24高二下·天津·期中）若将6本不同的小说全部分给3个同学，每本书只能分给一个人，每个人至少分一本书，则不同的分法的数量为（ ）
A．540B．90C．10D．450
3．（2022·天津和平·二模）某公司新成立3个产品研发小组，公司选派了5名专家对研发工作进行指导.若每个小组至少有一名专家且5人均要派出，若专家甲､乙需到同一个小组指导工作，则不同的专家派遣方案总数为 .（用数字作答）
4．（23-24高二下·天津·期中）为方便广大人民群众就医，普及医疗健康知识，社区组织“义诊下乡行”活动，某医疗队伍有5名医生需分配到3个志愿团队，每个志愿队至少分配一名医生，甲医生被分到志愿队的方法有 种．（用数字作答）
5．（23-24高二下·天津南开·期中）南开园中有很多地方沉淀着历史的印记，值得同学们在三年的时光里驻足留意．小南、小艾等6位即将毕业的同学在伯苓楼、范孙楼、瑞廷礼堂、翔宇楼4座标志性建筑中各选择一座拍照留念，若每座建筑至少有一位同学拍照，每位同学都恰选择一座建筑拍照，且小南、小艾不在同一座建筑拍照，则不同的拍照方式共有 种，（用数字作答）
题型5 二项展开式第项
1．（2024·四川成都·三模）的展开式中，第5项为常数项，则正整数等于（ ）
A．8B．7C．6D．5
2．（2024·河北廊坊·模拟预测）的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（ ）
A．B．C．20D．160
3．（2024·山东·二模）已知二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等， ．
4．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知在的展开式中第5项为常数项，展开式中含有顶的系数为 .
5．（23-24高三上·广东珠海·开学考试）写出的展开式的第4项的系数： ．（用数字表示）
题型6 求指定项的二项式系数
1．（2024·北京·三模）在展开式中，常数项的二项式系数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
2．（23-24高三上·天津北辰·阶段练习）若展开式的二项式系数和为64，则展开式中第三项的二项式系数为 .
3．（2024·辽宁·模拟预测）二项式展开式的第3项的二项式系数是 .
4．（2024·辽宁沈阳·一模）的展开式中常数项的二项式系数为 .
5．（2023·山东青岛·三模）若展开式的所有项的二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项的二项式系数为 ．（用数字作答）
题型7二项式系数和
1．（2024·天津北辰·三模）若展开式的二项式系数和为128，则展开式中的系数为 .
2．（2023·天津滨海新·三模）若的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则展开式中的系数为 .
3．（2023·四川达州·二模）若展开式的二项式系数和为64，则展开式中系数为 .
4．（2022·天津滨海新·模拟预测）已知的展开式的二项式系数之和为64，则展开式第三项的系数是 ．
5．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）若的展开式的二项式系数和为32，且的系数为80，则实数的值为 ．
题型8求指定项的系数
1．（2023·天津·模拟预测）已知的二项展开式的奇数项二项式系数和为，若，则等于 ．
2．（2024·天津南开·二模）在的展开式中，的系数为 .
3．（2023·天津和平·三模）在的展开式中，常数项为 （请用数字作答）．
4．（24-25高三上·天津和平·期末）二项式的展开式中，项的系数为 .
5．（2024·上海长宁·一模）的二项展开式中的常数项是 ．
题型9有理项问题
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）展开式的7项中，系数为有理数的项共有（ ）项
A．1B．2C．3D．4
2．（2024·河南·模拟预测）已知（其中）的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项共有（ ）
A．6项B．5项C．4项D．3项
3．（2024·青海西宁·模拟预测）展开式中系数为有理数的项共有（ ）
A．2项B．3项C．4项D．5项
4．（2023·广东·二模）在的展开式中，所有有理项的系数之和为（ ）
A．84B．85C．127D．128
5．（2024·全国·模拟预测）若（）的展开式中存在有理数，则 （写出一个可能值即可）．
题型10由系数确定参数
1．（2024·天津·模拟预测）在的展开式中，的系数为，则实数为 .
2．（23-24高三上·天津北辰·期中）在的二项式展开式中的系数为160，则 ．
3．（2022·天津滨海新·模拟预测）已知的展开式中x3的系数是160，则a= .
4．（2024·浙江杭州·三模）若展开式中的常数项为，则实数 .
5．（2024·贵州遵义·模拟预测）在多项式的展开式中，的系数为32，则 .
题型11系数和
1．（2024·天津·一模）已知，则 ．（用数字作答）
2．（2023·天津和平·二模）已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为 ．
3．（2023·天津河西·模拟预测）若展开式中的所有项系数和为243，则 ；该展开式中的系数 .
4．（2022·天津河西·二模）若，则 ．
5．（2022·天津·一模）在二项式的展开式中，各项系数的和为，则展开式中的系数是 .（用数字作答）
题型12系数最大（小）的项
1．（2024·安徽·二模）已知的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（ ）
A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项
2．（2023·全国·模拟预测）已知二项式，的展开式中第四项的系数最大，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023·湖北襄阳·模拟预测）已知的展开式中前三项的二项式系数和为，则展开式中系数最大的项为第（ ）
A．项B．项C．项D．项
4．（2023·河南安阳·二模）的展开式中各项系数的最大值为（ ）．
A．112B．448C．896D．1792
5．（2023·上海嘉定·一模）已知的二项展开式中系数最大的项为 ．
题型13两个二项式乘积展开式的系数问题
1．（2023·天津南开·模拟预测）的展开式中的系数为 .（以数字作答）
2．（2022·天津河西·三模）的展开式中，的系数是 .
3．（2022·天津河东·一模）的展开式中的系数为 .（用数字作答）
4．（2023·浙江绍兴·模拟预测）的展开式中的系数为 （用数字作答）.
5．（2022·广东茂名·一模）的展开式中，其中不含x的项为 ．
题型14三项展开式的系数问题
1．（2024·江苏南京·模拟预测）的展开式中，的系数为（ ）
A．60B．C．120D．
2．（2024·新疆喀什·三模）展开式中，的系数为（ ）
A．20B．30C．25D．40
3．（2024·云南昆明·模拟预测）的展开式中，项的系数为（ ）
A．10B．C．60D．
4．（2024·安徽·三模）的展开式中的系数为 .
5．（2024·河南·三模）的展开式中，的系数为 ．（用数字作答）
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（2024·河北邯郸·模拟预测）两名运动员参加一场七局四胜制的斯诺克短赛制比赛，比赛结束时所有可能比赛结果种数为（ ）
A．80B．70C．40D．35
2．（2024·湖北·一模）展开式中含项的系数为（ ）
A．40B．C．20D．
3．（2024·江西新余·模拟预测）小梁同学将个完全相同的球放入个不同的盒子中有种放法，小郅同学将个完全不同的球放入个相同的盒子中有种放法.若每个盒子中至少有一个球，则（ ）.
A．B．C．D．
4．（2024·湖南湘西·模拟预测）三所大学发布了面向高二学生的夏令营招生计划，某中学有四名学生报名参加．若每名学生只能报一所大学，每所大学都有该中学的学生报名，且大学只有其中一名学生报名，则不同的报名方法共有（ ）
A．18种B．21种C．24种D．36种
5．（2024·江西新余·模拟预测）甲、乙等5人排成一行，则甲不站在5人正中间位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（ ）种.
A．B．C．D．
6．（2024·江西新余·模拟预测）为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）.受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有（ ）种.
A．B．C．D．
7．（2024·山西长治·模拟预测）的展开式中的系数是（ ）
A．﹣10B．0C．10D．30
8．（2024·安徽·一模）树人学校开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分配成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（ ）
A．20种B．40种C．60种D．80种
二、填空题
9．（2024·河南许昌·模拟预测）的展开式中，其中不含的项为 .
10．（2024·上海徐汇·一模）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则正整数的值为 .
11．（2024·浙江·一模）在的展开式中，的系数为，则 .
12．（2024·上海闵行·一模）的二项展开式中，项的系数为 ．
13．（2024·广西柳州·一模）如图，在的格子中，有一只蚂蚁从点爬到点，每次只能向右或向上移动一格，则从点爬到点的所有路径总数为 ，若蚂蚁只在下三角形（对角线及以下的部分所围成的三角形）行走，则从点到点的所有总路径数为 ．
三、解答题
14．（2022·甘肃兰州·一模）已知二项式
(1)求展开式的第三项的系数
(2)求展开式的二项式系数之和；
15．（23-24高二上·天津南开·期中）已知的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为．
(1)求n和a的值；
(2)求展开式中项的系数
(3)求的展开式中的常数项．
16．（23-24高二下·天津南开·期末）已知展开式中的常数项为.
(1)求实数的值；
(2)若展开式中各项系数的和为，求该展开式中的系数.
三年考情分析
2025考向预测
2022年，第11题，考察二项展开式第项
2023年，第11题，考察指定项系数
2024年，第11题，考察指定项系数
二项式定理问题是天津高考的热门考点，主要考查二项展开式的通项，二项式系数，常数项，及各项系数和等问题，常以小题形式出现，同时排列组合问题也是考察重点
1、分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数；
2、分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数。
1、解有“相邻元素”的排列问题的方法
对于某些元素必须相邻的排列，通常采用“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起参与排列，再考虑这个整体内部各元素间的顺序。
2、解有“不相邻元素”的排列问题的方法
对于某些元素不相邻的排列，通常采用“插空法”，即先排不受限制的元素，使每两个元素之间形成“空”，然后将不相邻的元素进行“插空”。
3、解有特殊元素（位置）的排列问题的方法
解有特殊元素或特殊位置的排列问题，一般先安排特殊元素或特殊位置，再考虑其他元素或位置，当以元素为主或以位置为主。
涂色问题涉及到颜色种类数；
相邻区域不能同色；
常采用分类讨论法，从选定两个不相邻区域开始，讨论这两块区域同色和不同色。
先分组，后分配；
分组包含①平均分②部分平均分③不平均分
分组后再分配
对于，涉及到具体项，通常使用通项公式：
对于，涉及到具体项，通常使用通项公式：
（1）展开式的各二项式系数和：
；
（2）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：
对于，涉及到具体项，通常使用通项公式：
对于，涉及到具体项，通常使用通项公式：
对于，涉及到具体项，通常使用通项公式：
对于，系数和就是令（如果还有，那再令）
设项系数最大则：
设项系数最小则：