重难点01 利用导函数研究恒（能）成立问题（5题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（天津专用）

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题型1不等式恒成立问题（变量分离法）
1．（2023·天津红桥·一模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程：
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
2．（2023·天津河西·模拟预测）已知．
(1)求在处的切线方程；
(2)对，有恒成立，求的最大整数解；
3．（2017·安徽·三模）已知函数
(1)求的单调区间和极值；
(2)若对任意，成立，求实数m的最大值．
4．（2023·天津河北·一模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值.
5．（2022·天津·模拟预测）已知函数.
(1)试判断函数在上单调性并证明你的结论；
(2)若对于恒成立，求正整数的最大值；
(3)求证：．
题型2不等式恒成立问题（分类讨论法）
1．（2024·天津·模拟预测）已知函数．
(1)求在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求的值；
2．（2024·天津·二模）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若对时，，求正实数的最大值；
3．（2024·天津·二模）已知函数，．
(1)若曲线在处的切线的斜率为2，求的值；
(2)当时，证明：，；
(3)若在区间上恒成立，求的取值范围．
4．（2024高三下·天津·专题练习）已知函数.
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)若对，都有恒成立，求的取值范围；
5．（2023·天津河西·二模）已知函数，．
(1)若，求函数的最小值及取得最小值时的值；
(2)求证：；
(3)若函数对恒成立，求实数a的取值范围．
题型3 不等式能成立（有解）问题（变量分离法）
1．（2021·天津宁河·一模）已知函数，.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，证明；
(3)若关于的不等式有解，求实数的取值范围.
2．（24-25高三上·天津西青·期中）已知函数.
(1)当时，求函数在处切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围.
3．（2024·浙江金华·三模）已知函数在（为自然对数的底数）处取得极值．
(1)求实数a的值；
(2)若不等式恒成立，求k的范围．
4．（2024高二上·全国·专题练习）已知函数.
(1)求函数在上的最大值和最小值；
(2)若不等式有解，求实数的取值范围.
5．（22-23高三上·天津滨海新·期末）已知函数，.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若存在时，使成立，求a的取值范围.
题型4不等式能成立（有解）问题（分类讨论法）
1．（24-25高三上·天津滨海新·期中）设函数．
(1)若，求的单调区间和最小值；
(2)在（1）的条件下，若存在零点，则讨论在区间上零点个数；
(3)若存在，使得，求a的取值范围．
2．（2023·江西南昌·模拟预测）已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若不等式在区间上有解，求实数的取值范围．
3．（24-25高三上·天津南开·阶段练习）设函数．
(1)若，求的单调区间和极值；
(2)在（1）的条件下，证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点；
(3)若存在，使得，求的取值范围
4．（2024·贵州安顺·二模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．
5．（2023·甘肃金昌·模拟预测）已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若存在，使成立，求实数的取值范围．
题型5不等式能成立（有解）问题（最值定位法）
1．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数.
(1)求fx的单调区间;
(2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.
2．（24-25高三上·湖北·期中）已知为函数的极小值点.
(1)求的值；
(2)设函数，若对，，使得，求的取值范围.
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数
(1)求的单调区间；
(2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围．
4．（23-24高二下·天津·期中）已知函数
(1)求的单调区间和极值；
(2)若在单调递增，求实数的取值范围；
(3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．
5．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知函数．
(1)求曲线y=fx在处的切线方程；
(2)（），若对任意，均存在，使得，求实数a的取值范围．
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知函数．若有两个极值点，且恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知对于，都有，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·四川成都·期中）函数，不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·全国·模拟预测）若关于的不等式在内有解，则正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．（2024·浙江·三模）已知函数，，对任意，存在使得不等式成立，则满足条件的的最大整数为 .
6．（2024·云南·一模）已知函数，，用表示，中的较大者，记作，若，则实数的取值范围是 .
三、解答题
7．（23-24高二下·天津静海·阶段练习）已知函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)若不等式恒成立，求的取值范围；
(3)在（1）的条件下，设，，且.求证：当，且时，不等式成立.
8．（2024·天津武清·模拟预测）已知（，且）.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)当时，求证：在上单调递增；
(3)设，已知，有不等式恒成立，求实数a的取值范围.
9．（23-24高三下·重庆·阶段练习）定义：若是的导数，是的导数，则曲线在点处的曲率；已知函数，，曲线在点处的曲率为；
(1)求实数a的值；
(2)对任意恒成立，求实数m的取值范围；
(3)设方程在区间内的根为，…比较与的大小，并证明．
10．（2022·天津西青·模拟预测）已知函数，（），其中e是自然对数的底数.
(1)当时，
（ⅰ）求在点处的切线方程；
（ⅱ）求的最小值；
(2)讨论函数的零点个数；
(3)若存在，使得成立，求a的取值范围
11．（2024·河南许昌·模拟预测）已知.
(1)讨论的单调性；
(2)若，求的取值范围.
12．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若，求的取值范围.
13．（2024·山东滨州·二模）定义：函数满足对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”．
(1)若，判断是否为上的“2类函数”；
(2)若为上的“3类函数”，求实数a的取值范围；
(3)若为上的“2类函数”，且，证明：，，．
14．（22-23高三下·江苏南京·阶段练习）已知函数（）．
(1)当，求f（x）的极值．
(2)当时，设，若存在，，求实数的取值范围．（为自然对数的底数，）
三年考情分析
2025年考向预测
2024年，第20题第（2）问，考察不等式恒成立求参数
利用导数研究不等式恒（能）成立问题，是导数应用的重点，常涉及函数单调性，最值，常使用变量分离法，分类讨论法，今后也是天津高考重点考点。
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．
③求最值.
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：，使得能成立；
，使得能成立．
③求最值.
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．
（1）,,使得成立
（2）,,使得成立
（3）,,使得成立
（4）,,使得成立