重难点03 利用导函数研究双变量问题（含极值点偏移）（6题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（天津专用）

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题型1 双变量能成立问题
1．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知函数，，若对任意，，使得恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题
【分析】结合复合函数的单调性求出，利用导数求出，“对任意，，使得恒成立”只需“”，解之即可.
【详解】显然，由复合函数的单调性可知在上单调递增，
在0,+∞上单调递减，所以．
，
因为，设，则，
设，得，
令，得，
则当时，单调递增，且.
所以当时，单调递减；
当时，，单调递增.
故.
所以当时，，即当时，．
因为要使任意，，恒成立，只需，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．
故选：C
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有成立，故．
2．（23-24高二下·天津）已知函数，则的极小值为 ；若函数，对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】利用导数研究能成立问题、利用导数研究不等式恒成立问题、求已知函数的极值
【分析】（1）利用导数可求得函数的极小值；
（2）由题意可得出，分、、三种情况讨论，根据题意可得出关于的不等式，进而可求得的取值范围.
【详解】由，得，
令，得，
列表如下：
所以，函数的极小值为；
（2），，使得，即，.
①当时，函数单调递增，，
，即；
②当时，函数单调递减，，
，即；
③当时，，不符合题意.
综上：.
故答案为：；.
3．（2023·上海金山·二模）已知函数和的表达式分别为，，若对任意，若存在，使得，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（含参）
【分析】将问题转化为，由二次函数性质可求得在上的最大值为，分别在、和的情况下，结合导数讨论的单调性，从而得到，由可构造不等式求得的范围.
【详解】对任意，若存在，使得，；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，；
当时，，
①当时，，，
则在上恒成立，在上单调递增，
，，解得：，
；
②当时，，，
令，解得：，
（i）当，即时，在上恒成立，
在上单调递减，，
，解得：，；
（ii）当，即时，在上恒成立，
在上单调递增，，
，解得：（舍）；
（iii）当，即时，
若，则；若，则；
在上单调递增，在上单调递减，
，，解得：（舍）；
③当时，，，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，
，，
当，即时，，
，解得：，；
当，即时，，
，解得：，；
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
4．（2024高二上·全国·专题练习）已知，，若存在，，使得成立，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题
【分析】由题意转化为，转化为利用导数求的最大值，并求二次函数的最大值.
【详解】因为，
所以.
当时，，单调递减；
时，，单调递增，
所以.
，时，，
若存在，，
使得成立，只需即可，
所以的取值范围为
故答案为：
5．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知且在上单调递增，.
(1)当取最小值时，证明恒成立.
(2)对，，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】由函数的单调区间求参数、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题
【分析】（1）首先利用条件可得在恒成立，参变分离后可得，代入后构造函数解不等式即可；
（2）根据题意只需不等式左边的最小值小于等于右边的最小值即可，利用导数即可求得在上的最小值为，即证，使得成立，
即成立，参变分离后再构造函数即可得解.
【详解】（1）由题意可知在上恒成立，
参变分离得，，
此时.
设，
，
令，令，
在上单调递增，在上单调递减.
恒成立，
（2），
当时，，，
在单调递增；
当时，，，
在单调递减；
，，，
在上的最小值为.
易知为偶函数，由偶函数图象的对称性可知在上的最小值为
由题意可得，使得成立，
即成立.
由（1）可知，
参变分离得，设，，
即只需即可.
由（1）知得，
令，令，
在上单调递减，在上单调递增.，
，又已知a≥1.故的取值范围为.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了恒成立问题和存在性问题，同时考查了数形结合、化归转化思想，计算量比较大属于难题.本题的关键点有：
（1）利用函数的单调性转化为恒成立问题求参数据范围；
（2）利用参变分离解决能成立和恒成立问题；
（3）构造函数解决最值问题.
题型2双变量单调性问题
1．（23-24高二下·天津·期中）已知函数，若对任意的，，当时，都有，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数
【分析】构造函数，求导，分离参数得到在上恒成立，再构造函数，求的最值即可求解.
【详解】不等式等价于，
令，
根据题意对任意的，当时，，
所以函数在上单调递减，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
所以当时，，即在区间单调递增，
当时，，即在区间上单调递减，
所以，所以.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
（1）恒成立；
（2）恒成立.
2．（22-23高三上·天津北辰·期中）已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在点处切线的方程；
(2)当时，求函数的单调区间；
(3)若，证明对任意，恒成立．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）借助导数的几何意义可求出切线斜率，再结合所过点计算即可得；
（2）求导后，分及讨论即可得；
（3）由的范围可得函数在上单调递减，再分及进行讨论，当时，原不等式可转化为证明，从而可构造函数，并结合该函数单调性证明.
【详解】（1）当时，，则，
，则，
则曲线在点处切线的方程为，
整理得；
（2），
令，有，，
由且，
当时，，则当时，，
当时，，
故在、上单调递增，在上单调递减；
当时，，则当时，，
当时，，
故在、上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在、上单调递增，在上单调递减；
当时，在、上单调递增，在上单调递减；
（3）由，故在、上单调递增，在上单调递减，
故当时，单调递减，
若，则，符合要求；
若，则，则，
则要证，只需证，
即只需证，
令，，，
则，
由，则，当且仅当时，等号成立，
由，由对勾函数性质可知，
故恒成立，即在上单调递增，
故，即有，即得证.
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于在时，将原不等式转化为证明，从而可构造函数，并结合该函数单调性证明.
3．（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，对任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）对函数求导，分类讨论研究函数的单调性；
（2）根据题设有，令，将问题化为在0,+∞上恒成立，利用导数研究恒成立求参数范围.
【详解】（1）由题设，
当时，、上，上，
此时在、上单调递增，在上单调递减；
当时，恒成立，在R上单调递增；
当时，、上，上，
此时在、上单调递增，在上单调递减.
（2）由题设，由（1）知函数在R上单调递增，
所以，
整理得，
令，则在x∈0,+∞上单调递减，且，
所以在0,+∞上恒成立，即恒成立，
令，则，
所以，在上，在上，
则在上单调递增，在上单调递减，故，
所以.
【点睛】关键点点睛：第二问，注意有，构造对应函数并将问题化为恒成立为关键.
4．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)证明：对任意的，有；
(3)若，证明：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、利用导数证明不等式
【分析】（1）先求出导函数，再令根据导函数的单调性得出极值.
（2）先构造函数，再求导得出函数单调性，得出函数最小值，得出，同乘即可得出证明不等式；
（3）先构造函数，应用单调性可得，再分，三种情况分别证明即可.
【详解】（1）因为，
令，
又因为单调递减；单调递增；
所以的极小值为，无极大值.
（2）令，
可得，令，
单调递增，，
单调递减；
单调递增；
所以，
所以，
所以，即得，
所以
（3）对任意的，令，
所以
令
单调递增，，
单调递减，
所以设，则即
可得，
当单调递增，所以，可得
所以，
当单调递减，所以，可得
所以，
当
因为单调递增，所以，可得可得，
因为单调递减，所以，可得可得，
所以，
所以.
【点睛】方法点睛：先构造函数，根据导函数得出函数单调性，应用单调性可得，再把分为，三种情况分别证明即可.
5．（23-24高二下·天津·期中）已知函数，，令函数．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)当为正数时，讨论函数的单调性；
(3)若不等式对一切都成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)分类讨论，答案见解析.
(3)
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）当时，对求导，求出，由点斜式方程即可得出答案；
（2）对求导，分类讨论，和，讨论f′x与的大小，即可求出函数的单调性；
（3）将不等式变形为，令，即Fx在x∈0,+∞上单调递增，分类讨论和，使得在x∈0,+∞恒成立，求解即可.
【详解】（1）当时，，，
故，则，
故函数y=gx在处的切线方程为，即；
（2）因为，，
则，
时，f′x在，上为正，上为负，
所以的单增区间为，，单减区间为，
时，f′x在0,+∞上恒，所以在0,+∞上单调递增，
时，f′x在，上为正，上为负，
所以的单增区间为，，单减区间为，
综上：时，的单增区间为，，单减区间为，
时，在0,+∞上单调递增，
时，的单增区间为，，单减区间为.
（3）由，，变形为，
令，则Fx在x∈0,+∞上单调递增，
其中，x∈0,+∞，
则，
若，此时在x∈0,+∞上恒成立，
则Fx在x∈0,+∞上单调递增，满足要求，
若，此时要满足在x∈0,+∞恒成立，
令，对称轴为，
故要满足，解得，
综上：，即的取值范围是．
【点睛】关键点睛：本题第三问的关键点是将不等式变形为，令，将题意转化为Fx在x∈0,+∞上单调递增，分类讨论和，使得在x∈0,+∞恒成立，求解即可.
题型3双变量相等问题
1．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（含参）
【分析】题中条件“，使得”可转化为和值域交集非空，分别求出和值域分析求解即可.
【详解】由得：，
因为本题中，所以，
所以单调递减，所以，
由得：，
当时，，所以单调递增，
所以，
因为，使得，
所以，
所以，
故选：D.
2．（23-24高三上·江苏镇江·开学考试）已知函数，若，，使得成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】设在上的值域为，在上的值域为，由题意可得，当时，根据二次函数的性质可得，当时，分，和三种情况，结合导数判断在内的单调性和值域，列式求解即可.
【详解】设在上的值域为，在上的值域为，
若，，使得成立，则.
1.当时，则，
可知开口向下，对称轴为，
则在上单调递增，可得，
所以在上的值域为，所以；
2.当时，则，
（1）若，则在内单调递减，
且当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于，
所以，符合题意；
（2）若，则，即，不合题意；
（3）若，则，
令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，可得，
且当x趋近于0或时，均趋近于，所以，
又因为，则，
注意到，即，解得；
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：若，，使得成立，则在内的值域是在内的值域的子集.
3．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知函数，.
(1)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；
(2)若对任意，存在，使得，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【知识点】根据值域求参数的值或者范围、利用函数单调性求最值或值域、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可；
（2）根据任意性和存在性的性质，结合二次函数和一次函数在闭区间上的值域进行求解即可.
【详解】（1）因为对任意x∈R，不等式恒成立，
所以即对任意x∈R恒成立，
则，解得，
故的取值范围为；
（2）设函数fx在区间的值域为A，在区间上的值域为B，
因为对任意，存在，使得，所以，
当时，，即函数fx在区间的值域为，
函数的对称轴为，
，则在上单调递增，故，
而不是的子集，不符合；
当时，则在上单调递减，故，
要使，则，解得，
综上，的取值范围是.
4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．
(1)已知，利用上述性质，求函数的最值；
(2)对于（1）中的函数和函数，若，使得成立，求实数的值．
【答案】(1)最小值为-4，最大值为-3；
(2)．
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据值域求参数的值或者范围、利用函数单调性求最值或值域、函数新定义
【分析】（1）将变形为，令，转化为求的值域，利用题干所给函数的性质求解即可；
（2）求出的值域，根据题意的值域是的值域的子集，列式求解即可．
【详解】（1），
设
则．
由已知性质得，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
又当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，
即的最小值为-4，最大值为-3；
（2）因为在上为减函数，故，
由题意，使得成立，
故的值域是的值域的子集，
.
5．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”.若函数的图像关于点对称，且当时，.
(1)求的值；
(2)设函数
（ⅰ）证明：函数的图像关于点对称；
（ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)4；
(2)（ⅰ）证明过程见解析；（ⅱ）.
【知识点】根据值域求参数的值或者范围、函数对称性的应用、由函数对称性求函数值或参数、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）由对称性得到，故；
（2）（ⅰ）计算得到，得到的图像关于点对称；
（ⅱ）分离常数得到在上单调递增，求出的值域为，设fx在上的值域为，由题意得，分，和三种情况，结合对称性，得到的单调性，得到值域，结合得到不等式组，求出的取值范围.
【详解】（1）函数的图像关于点对称，
故，
令得；
（2）（ⅰ）证明：，
故，
故函数的图像关于点对称；
（ⅱ），
故在上单调递增，其中，
，
故的值域为，
设fx在上的值域为，由题意得，
图象开口向上，对称轴为，且，
当时，
若，即，函数在上单调递增，
由对称性可知，在上单调递增，故在上单调递增，
因为，所以，
所以，由得，解得，
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
由对称性可知，在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
结合对称性可知，或，
因为，所以，
，
又，
所以，
所以当时，满足；
当，即时，在上单调递减，
由对称性可知，在上单调递减，故在上单调递减，
因为，所以，
所以，由得，解得，
综上，的取值范围为.
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，
一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；
二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；
三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
题型4极值点偏移（对称化构造法）
1．（23-24高三上·天津·阶段练习）已知函数.
(1)求在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间和极值；
(3)如果，且，证明：.
【答案】(1)
(2)单调递增区间是，单调递减区间是；
(3)证明见解析
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究双变量问题
【分析】（1）求出，进而求出，根据导数的几何意义及点斜式方程即可求解；
（2）求出，进而求出的解，即可求出结论；
（3）设，结合单调性可知；令，，利用导数可求得单调递减，可知，由此可得，结合、在1,+∞上的单调性可推导得到结论.
【详解】（1）因为，所以，所以，
即切线斜率为1，又，所以在处的切线方程为，即；
（2），令得，
令得，令得，
所以单调递增区间是，单调递减区间是；
（3）不妨设，由（1）知及得：，则，
因为单调递减区间是，所以要证，需证，
即证，即证，
令，，
则，当时，，，所以，
所以在上单调递增，所以，又，，
所以，又，所以，所以.
【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于（）的问题的基本步骤如下：
①求导确定的单调性，得到的范围；
②构造函数，求导后可得Fx恒正或恒负；
③得到与的大小关系后，将置换为；
④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.
2．（23-24高二下·天津·期末）已知函数为的导函数，已知曲线y=fx在处的切线的斜率为3.
(1)求的值；
(2)证明：当时，；
(3)若对任意两个正实数，且，有，求证：.
【答案】(1)2
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题
【分析】（1）由求得值；
（2）设，利用导数确定其单调性后可证；
（3）不妨设，令，由进行转化后把用表示，把要证不等式化为关于的不等式，再利用导数进行证明．
【详解】（1）由，可知，
因为y=fx在1,f1处的切线斜率为3，
所以.
所以.
（2）证明：由（1）知，
不妨设，则.
令
因为，
所以在1,+∞上单调递增，.
故，
所以在1,+∞上单调递增，，
所以.
（3）由（1）知，
不妨设，令
由即得，即.
即，则，
所以，
要证.
设，则.
则在1,+∞上单调递减，，故成立.
【点睛】方法点睛：关于函数中两个变量的问题的处理，一般需要进行消元，化二元为一元（多元为少元至一元），处理方法可以设，（或，然后利用的关系，如或是函数的极值点之类的，把与有关的等式或不等式表示为关于的函数的等式或不等式，再利用函数的导数进行求解证明．
3．（2022·全国·模拟预测）设函数，为的导函数.
(1)当时，
①若函数的最大值为0，求实数的值；
②若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.
(2)当时，设，若，其中，证明：.
【答案】(1)① ；②
(2)证明见解析
【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（含参）、利用导数研究双变量问题
【分析】(1)① 当时，对求导，得到函数单调性，即可求得函数的最值.
② 要求恒成立时的取值范围，等价于，构造新的函数，将问题转化为求新构造函数的最大值，问题即可解决.
(2)当时，，求导即可得到的函数表达式，对求导，得到函数的图像，设，则要证明，只需要证明，构造新函数，求导研究函数的单调性，证明在上恒成立即可.
【详解】（1）当时，.
①易知，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
故，所以.
②解法一，不等式.
设（），，
则由① 知，所以存在实数，使得不等式成立，
等价于存在实数，使得成立.
易知在上单调递减，所以，
所以，即实数的取值范围为.
解法二，不等式.
设，
则存在实数，使得不等式成立，等价于存在实数，使得成立.易知，
当时，易知，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，即实数的取值范围为.
（2）当时，，，
所以，所以，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
且当时，，当时，，故可作出的大致图象如图所示.
-2
不妨设，由图易知.要证，只需证.
因为在上单调递减，所以只需证，
又，所以只需证对任意的恒成立.
设，
则.
设，
则，因为当时，，，
所以所以在上单调递减，所以，
又当时，，
所以，所以在上单调递增，所以，
即在上恒成立，又，
所以，原不等式得证.
【点睛】处理极值点偏移问题中的类似于（满足）的问题的基本步骤如下：①求导，确定的单调性，得到的范围；②构造函数，求导后可得恒正或恒负；③得到与的大小关系后，将置换为；④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.
4．（2024·全国·模拟预测）设函数
(1)分析的单调性和极值；
(2)设，若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围；
(3)若，且满足时，证明：.
【答案】(1)在单调递减，在单调递增，的极小值为，无极大值.
(2)
(3)证明见解析
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究双变量问题
【分析】（1）求导研究函数单调性，求出极值；
（2）构造函数，求导后注意到，进而得到，，再验证充分性；
（3）构造函数利用导函数研究其单调性，从而证明不等式.
【详解】（1）函数，则，
令，解得：，且当时，，时，，
因此：在单调递减，在单调递增，
故的极小值为，无极大值.
（2）对任意的，都有成立，
即对任意的，恒成立，
令，则，
注意到：，若要，必须要求，即，亦即，
另一方面：当时，因为单调递增，
则当时，恒成立，
所以在时单调递增，故；故实数的取值范围为：；
（3）记，则，
记，，，
当x∈0,1时，，为增函数，
当x∈1,+∞时，，为减函数，
所以，即，
所以函数在0,+∞单调递减，
则为，注意到，不妨，
要证，只需证，即证：，
即证：，即证：，
记，
则，记，
则，所以在0,1单调递增，所以，
即，所以在0,1单调递减，所以，
所以，所以，得证.
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数为实数.
(1)讨论函数的极值；
(2)若存在满足，求证：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【知识点】函数极值的辨析、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究双变量问题
【分析】（1）利用导数，分类讨论函数的单调性，从而确定极值；
（2）先求出函数的最大值，将要证的不等式转化为，构造函数，利用导数研究函数的单调性，再根据函数的单调性得到关于的不等式，即可证明.
【详解】（1）由题意知，定义域为0,+∞，，
因为，所以恒成立.
①当时，f′x>0，函数为0,+∞上的增函数，所以函数无极值.
②当时，令，得，
当时单调递减，
当时单调递增，
所以当时，函数取得极小值，函数无极大值.
综上，当时，函数无极值；
当时，函数的极小值为，无极大值.
（2）因为，
所以欲证，只需证明，
由（1）知若存在满足，则，
不妨设，则，
设，
则
，
因为，所以，，
所以，所以在上单调递减，
所以，
所以，即，
故，
因为在上单调递增，
所以，即，故.
【点睛】方法点睛：处理此类双变量问题有两个策略：
一是转化，即从已知条件入手，寻找双变量所满足的不等式，并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式；
二是巧妙构造函数，再借用导数判断函数的单调性，从而求解.
题型5 极值点偏移（差值代换法）
1．（2024·四川·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设是函数的两个零点，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究双变量问题
【分析】（1）求导得斜率，再利用点斜式求直线并化简即可；
（2）由导函数的两个零点得和，得到，转化为证明，换元，证明即可.
【详解】（1）当时，，
则，则切线方程为，
因此曲线在点处的切线方程为．
（2）证明：函数是的两个零点，
所以，则有，
且，由，得．
要证，只要证明，即证．
记，则，
因此只要证明，即．
记，则，
令，则，
当时，，
所以函数在上递增，则，
即，
则在上单调递增，，
即成立.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数证明不等式，关键是利用零点代换得，进而换元求解函数最值即可证明.
2．（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知函数.
(1)当时，直线（为常数）与曲线相切，求的值；
(2)若恒成立，求的取值范围；
(3)若有两个零点，求证：.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究双变量问题、已知切线（斜率）求参数、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】（1）根据导数几何意义先求切点，即可得解；
（2）方法一：利用导数求函数的最小值；
方法二：分离参数法，等价于恒成立；
方法三：由题意，分离参数法，等价于恒成立；
（3）方法一：思路一：构造函数，利用导数研究函数单调性；思路二：要证，即证，令，即证；思路三：令，要证，即证，即证，即证，利用导数证明；
方法二：由，令，求其最小值，由的单调性可知，思路一：构造函数，利用导数得证；思路二：令，要证，即证，即证；思路三：令，则，要证，即证，即证；思路四：对两边取对数，得，下面同方法一.
【详解】（1）当时，.
设切点，则
消得，解得，代入得.
（2）方法一：因为，
所以，
当时，设，则，
所以当x∈0,1时，单调递减；
当x∈1,+∞时，单调递增.
所以.
又-axe，故恒成立，所以成立.
当时，，
所以当x∈0,1时，单调递减；
当x∈1,+∞时，单调递增.
故，解得，又，所以，
综上所述，的取值范围为.
方法二：因为恒成立，
又，所以上式等价于恒成立.
记，则，
设，则.
当x∈0,1时，在0,1上单调递减；
当x∈1,+∞时，在1,+∞上单调递增.
所以.
所以当x∈0,1时，在0,1上单调递减；
当x∈1,+∞时，在1,+∞上单调递增.
所以.
故的取值范围为.
方法三：因为恒成立，
又，所以上式等价于恒成立.
记，则，
所以当x∈0,1时，在0,1上单调递减；当x∈1,+∞时，在1,+∞上单调递增.所以.
令，则，则恒成立.
记，则，
所以在上单调递增，所以，所以.
故的取值范围为.
（3）方法一：因为有两个零点，不妨设，
则，
即，即，
令，则，
所以当x∈0,1时，单调递减；
当x∈1,+∞时，单调递增.
所以.
令，则单调递增，
又，所以，即.
由的单调性可知.
思路一：构造函数.
则，
故在0,1上单调递减，
又，所以，则，即，
又，所以，
又在1,+∞上单调递增，所以.
故.
思路二：要证，即证，即证.
令，即证.
构造函数.
则，
故在0,1内单调递减，则，即.
故.
思路三：因为，即，
令，则
即
要证，即证，
即证，即证，
下同思路一，略.
方法二：因为有两个零点，不妨设，
则，
即.
令，则，
所以当x∈0,1时，单调递减；当x∈1,+∞时，单调递增.
所以.
令，则单调递增，
又，所以，即
由的单调性可知.
思路一：构造函数.
则
，
令，则，
所以当时，单调递减，
所以当x∈0,1时，，则，所以，
故在0,1上单调递减，又，所以，则，即，
又，所以，
又在1,+∞上单调递增，所以.
故.
思路二：因为，所以，
即，
令，要证，即证，
即证.
构造函数.
则，
故在0,+∞上单调递减，则.
故.
注：要证明，即证，构造函数.
则，
故在0,+∞上单调递减，则.故.
思路三：令，则即.
要证，即证，即证.
下同思路二，略.
思路四：对两边取对数，得，下面同方法一.
【点睛】方法点睛：
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
3．（2024·湖南岳阳·一模）已知函数.
(1)讨论的单调性和最值；
(2)若关于的方程有两个不等的实数根，求证：.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（含参）、导数中的极值偏移问题
【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论得到导数的符号后可得函数的单调性和最值.
（2）利用同构可得原方程即为有两个不同的实数根，结合构造法可证
成立.
【详解】（1），其中
若，则在上恒成立，故在上为减函数，
故无最值.
若，当时，；
当时，；
故在上为增函数，在上为减函数，
故，无最小值.
（2）方程即为，
故，
因为为上的增函数，所以
所以关于的方程有两个不等的实数根即为：
有两个不同的实数根.
所以，所以，
不妨设，，故，
要证：即证，
即证，即证，
即证，
设，则，
故，所以在上为增函数，
故，所以在上为增函数，
所以，故成立.
【点睛】思路点睛：对于较为复杂的与指数、对数有关的方程，可以考虑利用同构将其转化为简单的方程，从而利用常见的极值点偏移的方法来处理零点不等式.
题型6 极值点偏移（比值代换法）
1．（2023·四川成都·模拟预测）若函数有两个零点，且．
(1)求a的取值范围；
(2)若在和处的切线交于点，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数研究双变量问题
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求函数单调性，根据单调性及函数图象的变化趋势结合零点个数求解；
（2）利用导数求切线方程得出，将原不等式化为证明，构造函数利用导数证明即可.
【详解】（1）
当，，在上单调递减，不可能两个零点；
当时，令得
，，单调递增，，，单调递减，
，
，
时，，单调递减，，，单调递增，
所以，即时，恒成立，当且仅当时取等号，
所以，
而，
所以；；
∴有唯一零点且有唯一零点，满足题意，
综上：；
（2）曲线在和处的切线分别是
，
联立两条切线得，∴，
由题意得，
要证，即证，即证，即证，
令，即证，
令，，∴在单调递减，∴，
∴得证．综上：．
【点睛】关键点点睛：导数题目中的证明题，主要观察所证不等式，直接构造函数，或者将不等式转化变形后，利用导数判断函数的单调性及最值，利用函数的单调性或有界性求证，对观察、运算能力要求较高，属于难题.
2．（2023·山东德州·三模）已知函数，其中．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若存在两个极值点的取值范围为，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究双变量问题
【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；
（2）求导后，分类讨论，根据导数的符号可得结果；
（3）根据存在两个极值点可得，且，根据单调性可得，将化为，利用比值代换可求出结果.
【详解】（1）当时，，定义域为，
所以，
所以，又，
所以函数在处的切线方程为，即.
（2）的定义域是，
，，
令，则．
①当或，即时，恒成立，所以在上单调递增．
②当，即时，由，得或；
由，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减
（3）由（2）当时，在上单调递增，此时函数无极值；
当时，有两个极值点，即方程有两个正根，
所以，则在上是减函数．所以，
因为，
所以
，
令，则，
，
所以在上单调递减，
又，且，
所以，
由，
又在上单调递减，
所以且，所以实数的取值范围为．
【点睛】方法点睛：涉及到双变量的问题一般可以利用比值代换处理，本题中，将化为后，设，化为关于的函数，再利用导数进行处理.
3．（2023·福建龙岩·模拟预测）设函数.
(1)求的极值；
(2)已知，有最小值，求的取值范围.
【答案】(1)极大值为，无极小值
(2)
【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究双变量问题
【分析】（1）求导后，根据正负可得单调性，结合极值定义可求得结果；
（2）由可得，令，可将表示为；构造函数，求导后，分别在和的情况下，讨论得到单调性，进而确定符合题意的的取值范围.
【详解】（1）由题意知：定义域为，，
，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
的极大值为，无极小值.
（2）可化为，
为单调递增函数，
由可得：，即，
令，则，，，，
，
令，
，
令，
；
①当时，恒成立，在上单调递增，
，即，在上单调递增，
此时在上不存在最小值，即不存在最小值，不合题意；
②当时，若，则；若，则；
在上单调递减，在上单调递增，
又，，又，
存在，使得，且当时，，即；当时，，即；
在上单调递减，在上单调递增，
，即有最小值；
综上所述：实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数极值、多变量问题的求解；求解多变量问题的关键是能够通过引入第三变量，将利用来表示，从而减少变量个数，将问题转化为关于的函数的单调性的讨论问题.
4．（2023·山西·模拟预测）已知函数.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若有2个不同的零点（），求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】已知函数最值求参数、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、导数中的极值偏移问题
【分析】（1）求解函数定义域，参变分离得到，构造，利用导函数得到其单调性，极值和最值情况，得到；
（2）转化为有2个不同的实数根，构造，得到其单调性，得到，且，求出，换元后即证，构造，求导后得到在上单调递增，，得到证明.
【详解】（1）因为函数的定义域为，所以成立，等价于成立.
令，则，
令，则，所以在内单调递减，
又因为，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以在处取极大值也是最大值.
因此，即实数的取值范围为.
（2）有2个不同的零点等价于有2个不同的实数根.
令，则，当时，解得.
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在处取极大值为.
又因为，当时，，当时，.
且时，.
所以，且.
因为是方程的2个不同实数根，即.
将两式相除得，
令，则，，变形得，.
又因为，，因此要证，只需证.
因为，所以只需证，即证.
因为，即证.
令，则，
所以在上单调递增，，
即当时，成立，命题得证.
【点睛】极值点偏移问题中，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用进行变形，可构造关于的函数，利用导函数再进行求解.
（建议用时：60分钟）
1．（2023·天津河西·模拟预测）已知函数.
(1)若函数为增函数，求的取值范围；
(2)已知.
（i）证明：；
（ii）若，证明：.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题
【分析】（1）分析可得原题意等价于对恒成立，构建，利用导数求最值结合恒成立问题运算求解；
（2）（i）取，根据题意分析可得，构建，结合导数证明即可；
（ii）根据题意分析可得，，，构建，结合导数证明，即可得结果.
【详解】（1）∵，则，
若是增函数，则，且，可得，
故原题意等价于对恒成立，
构建，则，
令，解得；令，解得；
则在上递增，在递减，
故，∴的取值范围为.
（2）（i）由（1）可知：当时，单调递增，
∵，则，即，
整理得，
构建，则，
令，解得；令，解得；
则在上递减，在递增，
故，
即，当且仅当时等号成立，
令，可得，
综上；
（ii）∵，则，
可知有两个不同实数根，由（1）知，
可得，
同理可得，
构建，则，
当时，；当时，；
当时，；
且，故对恒成立，故在上单调递减，
∵，则，即，
且，则，故，
可得；
又∵，由（i）可得，即，
则，
且，则，可得；
综上所述：.
可得，则
故.
【点睛】方法定睛：利用导数证明不等式的基本步骤
(1)作差或变形．
(2)构造新的函数h(x)．
(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值．
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．
2．（2022·天津·一模）已知函数.
(1)若，求函数的单调增区间；
(2)若关于x的不等式恒成立，求整数a的最小值；
(3)当时，函数恰有两个不同的零点，且，求证：.
【答案】(1)单调增区间为
(2)2
(3)证明见解析
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究双变量问题
【分析】（1）先求出，再利用导数求出的单调增区间；
（2）先利用分离参数法得到对恒成立.令，求导得到，再令，判断出，使，得到在上单调递增，在上单调递减，求出，得到.由，求出整数a的最小值；
（3）用分析法证明：当时，把题意转化为只需证.先整理化简得到，只需证.令，构造函数，利用导数证明出.即证.
【详解】（1）当时，，所以，
则，定义域为.
令，解得：.
所以的单调增区间为.
（2）依题意对恒成立，等价于对恒成立.
令，则
令在上是增函数，
，
所以，使即
对，，，所以在上单调递增；
对，，，所以在上单调递减.
所以.
所以.
又，所以整数a的最小值2
（3）当时，由（2）知在上单调递增，在上单调递减且，时，；时，；
依题意存在，使得
已知可得
要证成立，只需证
因为是的零点，所以，
两式相减得：
即
只需证
又因为只需证
即证
令则，所以，
所以在增函数，所以即.
即成立.
所以原不等式得证.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)利用导数证明不等式．
3．（2022·天津红桥·一模）已知函数，．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若有两个极值点，且．
①求实数的取值范围；
②求证：．
【答案】(1)
(2)①；②证明见解析.
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、根据极值点求参数、利用导数研究双变量问题
【分析】（1）根据条件，求出，，根据利用导数的几何意义，即可得解；
（2）①利用导数分析函数的单调性，根据函数有个极值点可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；
②分析可知，，将所证不等式转化为，分、两种情况讨论，在时，利用不等式的基本性质可证得结论成立；利用，，要证，只需证，构造，并利用导数分析函数的单调性，可证得.
【详解】（1）解：当时，，该函数的定义域为，
则，所以，，，
此时，曲线在处的切线方程为，即.
（2）解：①，
令，，则，
令，则对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递增，
因为，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
因为函数有两个极值点，所以，，
解得，
此时，
所以，函数在、上各有一个极值点，合乎题意；
所以的取值范围为．
②由于的两根为，
所以，由①知
要证，只需证，即证：
令，则
令，则.
当时，，此时函数单调递增，所以，，即.
所以
又，在上单调递增
所以，所以在上单调递增，
可得，因为，故得证，
即.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
4．（2022·天津宁河·模拟预测）已知函数，.
(1)若，求函数的极值；
(2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；
(3)若，正实数满足，证明：.
【答案】(1)极大值为，无极小值；
(2)；
(3)证明见解析.
【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究能成立问题、利用导数研究双变量问题
【分析】(1)根据f(1)＝0求出a的值，确定f(x)并求出，根据正负判断f(x)单调性，从而可求f(x)在定义域(0，＋)的极值；
(2)参变分离不等式，构造函数问题，问题转化为.利用导数研究g(x)单调性和最大值即可求出整数a的最小值；
(3)化简方程为，令，构造函数，研究的最小值，得到关于整体的不等式，解不等式即可得结论.
【详解】（1）∵，∴，
此时，，
，，
由得，由得，
∴的单调增区间为，单调减区间为，
∴有极大值为，无极小值；
（2）由恒成立，得在上恒成立，
问题等价于在上恒成立.
令，只要.
∵.
令，
∵，∴在上单调递减.
∵，，
∴在(0，＋)上存在唯一的，使得，即，
∴.
∴当时，，g(x)单调递增，
当时，，g(x)单调递减，
∴，即，
∵，∴整数的最小值为；
（3）由题可知，.
当时，，.
∵，
∴，
∴，
令，则由得，，
易知在上单调递减，在上单调递增，
∴，
∴，
解得成立.
【点睛】本题第二问关键是讨论函数的零点和单调性和，从而参变分离后函数的最小值，解题过程中零点无法求出，属于隐零点，可以设而不求，利用隐零点将对数式转换为幂式进行计算.第三问的关键是将方程变形，把看成整体进行求解.
5．（2022·天津河东·二模）已知函数（且）．
(1)，求函数在处的切线方程．
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数有两个零点，且，证明：．
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间、导数中的极值偏移问题
【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，利用点斜式写出切线方程；
（2）求出导函数，对a分类讨论： a0分别讨论单调性；
（3）本题属于极值点偏移，利用分析法转化为只要证明f(2e- x2)>0，由构造函数，利用导数证明出g(t)在(e，2e)上是递增的，得到g(t)>g(e)=0即为f(2e- x2)>0.
【详解】（1）当时，，所以.
，所以.
所以函数在处的切线方程为，即.
（2）的定义域为(0，+∞)， .
当a0时， .在上，，所以单调递减；在上，，所以单调递增.
（3）当，.由(2)知， 在上单调递减，在上单调递增.
由题意可得：.由及得：.
欲证x1+x2>2e，只要x1>2e- x2，注意到f(x)在(0，e)上单调递减，且f(x1)=0，只要证明f(2e- x2)>0即可.
由得 .所以
令则，则g(t)在(e，2e)上是递增的，∴g(t)>g(e)=0即f(2e- x2)>0.
综上x1+x2>2e.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)利用导数判断单调性，证明不等式．
6．（2022·四川南充·一模）已知函数有两个不同的零点.
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：.
【答案】(1)
(2)证明见详解
【知识点】利用导数研究函数的零点、导数中的极值偏移问题
【分析】（1）利用导数求单调区间，结合图象可解；
（2）利用单调性将问题转化为证明，然后构造差函数，利用导数证明即可.
【详解】（1）的定义域为，
因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值.
又当x趋近于0或时，趋于，
所以，要使有两个不同的零点，只需满足，即.
所以实数的取值范围为.

（2）不妨设，由（1）可知，，则，
要证，只需证，
又在上单调递增，所以只需证，即证.
记，
则，
当时，，单调递增，
又，
所以，即.
所以.
【点睛】本题第二问为极值点偏移问题，关键在于构造差函数，然后利用导数讨论其单调性，单调性结合即可证明.
7．（2023·河南·模拟预测）已知函数．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当时，若，求证：
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间、导数中的极值偏移问题
【分析】（1）先求定义域，再求导，分与两种情况，由导函数的正负求出函数的单调性；
（2）先结合（1）中函数单调性得到，构造，求导得到其单调性，从而证明出，得到结论.
【详解】（1）的定义域为，
因为，
当时，，
所以在上单调递增；
当时，令得，令得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）当时，，定义域为，
，所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为，所以，
设，
则在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以， 即，
又因为，，所以，
又因为在上单调递减，
所以，即．
【点睛】极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用进行变形，可构造关于的函数，利用导函数再进行求解.
三年考情分析
2025年考向预测
2024年，第20题第（3）问，考察双变量证明问题
函数的双变量问题，是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及构造函数证明不等式，是一个多元数学问题，考查考生的化归与转化思想，逻辑思维能力、运算求解能力。
（1）,,使得成立
（2）,,使得成立
（3）,,使得成立
（4）,,使得成立
递减
极小值
递增
一般是给出含有的不等式,若能通过变形,把不等式两边转化为同源函数,可利用函数单调性定义构造单调函数,再利用导数求解.
常见结论：
(1)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增；
(2)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增；
(3)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增；
(4)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增.
值域法解决双参等式问题
,,使得成立
①，求出的值域，记为
②求出的值域，记为
③则,求出参数取值范围.
主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：
(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点．
(2)构造函数，即对结论型，构造函数或；
(3)对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式．
(4)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．
(5)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．
(6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．
差值代换法（韦达定理代换令.）
差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．