重难点04 平面向量中的最值（范围）问题（5题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（天津专用）

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题型1 向量数量积最值与范围（几何意义法）
1．（23-24高一下·安徽滁州·阶段练习）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深菨的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形，其中为正八边形的中心，则（ ）

A．B．1C．D．
2．（2024·山西·模拟预测）美术课对于陶冶人的情操､发展学生的艺术兴趣和爱好､培养学生的艺术特长､提高学生的审美素养具有积极作用.如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中，是正方形的两个顶点，是三段圆弧上的动点，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高一下·河南开封·期末）如图，A，B是⊙C上两点，若弦AB的长度为2，则 ，若向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为 ．
（2024·山东临沂·三模）边长为1的正六边形ABCDEF，点M满足，若点P是其内部一点（包含边界），则的最大值是 ．
题型2 向量数量积最值与范围（自主建系法）
1．（2023·天津·一模）如图所示，梯形中，，点为的中点，，，若向量在向量上的投影向量的模为4，设、分别为线段、上的动点，且，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·陕西·一模）已知是边长为1的正六边形内的一点，则的取值范围是 .
3．（2022·天津南开·模拟预测）已知平面四边形，，，，，则 ；动点，分别在线段，上，且，，则的取值范围为 .
4．（2022·天津武清·二模）在梯形中，与相交于点Q．若，则 ；若，N为线段延长线上的动点，则的最小值为 ．
5．（2022·天津南开·一模）在△ABC中，，，，则 ；若M是△ABC所在平面上的一点，则的最小值为 ．
题型3 向量数量积最值与范围（极化恒等式法）
1．（2024·江西上饶·二模）圆的直径弦，点在弦上，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·天津河西·模拟预测）在梯形中，，，，，，点满足，则 ；若与相交于点，为线段延长线上的动点，则的最小值为 .
3．（2024·天津河东·二模）如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为 .若在线段上有一个动点，则的最小值为 .
4．（2024·天津和平·一模）青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称.（i）请用表示 ；（ii）请写出的取值范围 .
5．（23-24高三下·天津·阶段练习）在中，，，，，，若，，则 （用，表示）；若是上一动点，过分别做交于，交于，则的最小值是 ．
题型4 向量模最值与范围
1．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知向量，，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·天津武清·阶段练习）在中，为中点，为线段上一点，且满足，若，则的最大值为 ．
3．（23-24高三下·天津和平·阶段练习）已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则 ，的最小值为 .
4．（24-25高三上·天津河北·阶段练习）如图，在直角梯形中，已知，对角线交于点O，点M在上，且满足，则的值为 ，点P为线段上的动点则的取值范围为 ．
5．（2024·天津·一模）已知平行四边形的面积为，，且.若F为线段上的动点，且，则实数的值为 ；的最小值为 .
题型5 向量夹角最值与范围
1．（23-24高一下·重庆·期中）已知平行四边形，，分别为，中点，设在方向上投影向量为，在方向上投影向量为，已知，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·天津河西·期中）在平面四边形中，，，，若，则 ；若为线段上一动点，当取得最小值时，则 .
3．（2024·广东江门·二模）设向量，则的最小值为 .
4．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，，用，表示 .若，则余弦值的最小值为 .
5．（23-24高一下·四川凉山·期末）已知为非零向量，若向量在上的投影向量为，则的最小值是 .
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛．如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为菜洛三角形，已知正三角形ABC的边长为1，点P为的中点，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知边长为2的菱形中，，点为线段（含端点）上一动点，点满足，则的最大值为（ ）
A．0B．C．3D．
3．（2024·四川成都·三模）在矩形中，，，点满足，在平面中，动点满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·广东东莞·模拟预测）已知在同一平面内的三个点A，B，C满足，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·安徽芜湖·三模）已知与直线交于两点，且被截得两段圆弧的长度之比为，若为上一点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·重庆·模拟预测）如图，圆O内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ．
8．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．
9．（2024·四川巴中·模拟预测）已知向量满足，则的取值范围为 ．
10．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知点在同一平面内且为定点，分别是点轨迹上的点且，则的最大值与最小值之和是 .
11．（2024·天津河西·三模）如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B），，，， ；的最大值为 ．
12．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，某公园内有一块边长为2个单位的正方形区域市民健身用地，为提高安全性，拟在点A处安装一个可转动的大型探照灯，其照射角始终为（其中，分别在边，上），则的取值范围 ．
13．（2022·天津河西·二模）如图，直角梯形ABCD中，，，，在等腰直角三角形CDE中，，则向量在向量上的投影向量的模为；若M，N分别为线段BC，CE上的动点，且，则的最小值为 .
14．（2024·黑龙江·三模）已知过点的动直线与圆交于两点，为的中点，则直线的斜率的取值范围是 ，为坐标原点的取值范围为 .
三年考情分析
2025年考向预测
2022年，第14题，考察向量夹角最值
2023年，第14题，考察向量数量积最值
2024年，第14题，考察向量数量积最值
平面向量中的最值范围问题是向量问题中的重难点，也是近几年天津高考数学的热点问题。常以选择填空题的形式出现，难度稍大，方法灵活。主要考查向量数量积的最值、模长和夹角的最值。
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，其中θ是与的夹角，记作：．
（1）根据图象建立坐标系
（2）用坐标表示向量，并进行数量积运算
（3）转化为二次函数问题，或者借助基本不等式求最值或范围
极化恒等式
①平行四边形形式：若在平行四边形中，则
②三角形形式：在中，为的中点，所以
处理平面向量的模长范围问题，常用的方法有：
（1）坐标法：即通过建立直角坐标系，通过向量坐标运算求得；
（2）基向量表示法：即通过选设平面的基底，用基底表示相关向量，运算求得；
（3）构造几何图形法：即根据模长定值构造圆形，由向量点乘等于零得到两向量垂直.
求两个非零向量夹角的步骤
第一步：由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积；
第二步：分别求出这两个向量的模；
第三步：根据公式求解出这两个向量夹角的余弦值；
第四步：根据两个向量夹角的范围是及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角。