重难点05 数列求和（含不等式恒（能）成立问题）（7题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（天津专用）

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题型1错位相减法
1．（2024·天津河西·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列．
（ⅰ）求数列的通项公式及；
（ⅱ）在数列中是否存在3项（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
2．（2024·天津·模拟预测）数列是等差数列，其前n项和为，数列是等比数列，，，，，．
(1)求数列、的通项公式；
(2)的前n项和，求证：．
3．（2024·天津·二模）已知为等差数列，是公比为2的等比数列．，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若
①当为奇数，求；
②求．
4．（2023·天津河北·一模）设等比数列的前项和为，，若，且、、成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，其中表示不超过的最大整数，求数列的前项的和；
(3)设，，求数列的前项和.
5．（21-22高二上·天津北辰·阶段练习）已知正项等比数列满足，，数列满足.
(1)求数列，的通项公式；
(2)令求数列的前n项和.
(3)设的前n项和为，求
题型2裂项相消法（等差型）
1．（2024·天津滨海新·三模）已知数列，，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且，，成等比数列．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记．
（ⅰ）求；（ⅱ）求．
2．（2024·天津南开·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，.数列为等比数列，且，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求.
(3)求证：.
3．（2024·天津河北·二模）设数列为等差数列，其前项和为，数列为等比数列.已知，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）若，，求数列的前项和.
4．（2024·天津河西·一模）设是等比数列，公比不为1．已知，且，，成等差数列．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项和为，求；
（Ⅲ）设，为数列的前项和，求不超过的最大整数．
5．（24-25高二上·天津蓟州·阶段练习）已知等差数列中，，且前项和为.
(1)求数列的通项公式与数列的前项之和 .
(2)若，若数列的前项和满足恒成立，求负整数的最大值.
题型3 裂项相消法（指数型）
1．（23-24高三上·天津东丽·期中）设是等差数列，是等比数列．已知，，，
(1)求和的通项公式以及
(2)设，数列的前项和为，证明：；
(3)设，求数列的前项和
2．（2024·河南·模拟预测）已知正项等比数列{an}，满足a2a4=1，a5是12a1与5a3的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设，求数列{bn}的前n项和Sn.
3．（2024·天津河东·二模）已知等比数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列及数列的前n项和．
(3)设，求的前2n项和．
4．（2024·天津宝坻·模拟预测）已知等差数列满足其中为的前项和，递增的等比数列满足：，且，，成等差数列．
（1）求数列、的通项公式；
（2）设的前项和为，求
（3）设，的前n项和为，若恒成立，求实数的最大值．
5．（23-24高三下·四川·阶段练习）已知数列是等差数列，是递增的等比数列，且，，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
题型4裂项相消法（通项裂项为“”型）
1．（2024·天津和平·二模）已知为等差数列的前n项和，，．
(1)若为数列的前n项和，求；
(2)等差数列满足，数列满足．
（i）求数列与数列的通项公式；
（ii）求．
2．（2024·天津和平·一模）已知数列为首项的等比数列，且成等差数列；数列为首项的单调递增的等差数列，数列的前项和为，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求；
(3)数列满足，记和分别为和的前项和，证明：.
3．（2024·天津武清·二模）已知是等差数列，是等比数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)记的前n项和为，证明：；
(3)记，求数列的前项和．
4．（2024·天津·三模）已知数列的前项和为Sn，，设.
（1）证明：是等比数列；
（2）设，求的前项和，若对于任意恒成立，求的取值范围.
5．（23-24高一下·四川成都）已知数列满足.
（1）设，求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）记，求数列的前项和.
题型5 分组求和法
1．（24-25高二上·天津南开·期末）已知为数列的前项和，满足，数列是等差数列，且，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和.
2．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知数列的前项和为且满足；等差数列满足，且成等比数列.
(1)求数列与的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求.
3．（24-25高二上·天津东丽·阶段练习）已知数列，，，为数列的前项和，且.
(1)令.
（i） 求证: 数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（ii） 求数列的前项和；
(2)设数列的前项和，对，恒成立，求实数的取值范围.
4．（23-24高二上·天津宁河·期末）已知数列是等差数列，满足，，数列是首项为1的等比数列，且，，成等差数列.
(1)求，的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
5．（2024高二上·天津南开·专题练习）已知数列满足.
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
题型6 数列求和（奇偶项讨论求和）
1．（2024·天津红桥·一模）已知数列{}的前n项和满足：．
(1)求数列{}的前3项；
(2)求证：数列是等比数列；
(3)求数列的前n项和．
2．（2024·河南·模拟预测）已知数列的各项均为正数，前项和为，若．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：；
(3)设，数列的前项和为，求满足的最小正整数的值．
3．（24-25高三上·天津南开·期末）已知等差数列和等比数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，且.设为数列的前项和，集合，求A（用列举法表示）；
(3)求.
4．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知数列，，即当时，，记．
(1)求的值；
(2)求当，试用、的代数式表示；
(3)对于，定义集合是的整数倍，，且，求集合中元素的个数．
5．（2024·天津·一模）已知数列满足，其前8项的和为64；数列是公比大于0的等比数列，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，，求数列的前项和；
(3)记，求．
题型7数列不等式
1．（2024·天津·二模）设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，.
(1)求与的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围.
2．（2024·江苏苏州·模拟预测）点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列．过曲线上的点作曲线的切线与曲线交于，过点作曲线的切线与曲线交于点，依此类推，可得到点列：，，，…，，…，已知．
(1)求数列、的通项公式；
(2)记点到直线（即直线）的距离为，
（I）求证：；
（II）求证：，若值与（I）相同，则求此时的最小值．
3．（2023·天津和平·二模）已知等差数列的前n项和为，，，数列满足：，．
(1)证明：是等比数列；
(2)证明：；
(3)设数列满足：．证明：．
4．（2023·天津和平·三模）已知等比数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这个数之和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；
(3)记，求证：.
5．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知数列的前项和为，满足：.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若，数列满足，记为的前项和，求证：；
(3)在（2）的前提下，记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（2023·天津和平·三模）已知数列满足，，是数列的前项和，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·天津北辰·模拟预测）设数列满足，则数列的前5项和为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
3．（2022·天津河西·模拟预测）已知等比数列的前项和为，公比，，，数列满足且，.
（1）则 ； ；
（2）将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，则数列的前50项和 ；
（3）设数列的通项公式为：，，则 .
三、解答题
4．（2021·天津南开·二模）设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知，．
(1)求和的通项公式；
(2)设数列的前项和．记，求；
(3)求．
5．（2023·天津滨海新·三模）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列. 且 ，
(1)求的通项公式；
(2)记为的前项和，求证：；
(3)若，求数列的前项和.
6．（2024·天津河西·二模）已知数列的首项，且满足，的前项和为.
(1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)在数列中，，，求数列的通项公式及.
7．（2024·天津南开·二模）已知函数，.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)证明：对，恒成立（为的导数）；
(3)设，证明：（）.
8．（2023·天津和平·三模）等差数列的前项和为，（且），．
(1)求的通项公式与前项和；
(2)记，当，时，试比较与的大小；
(3)若，正项等比数列中，首项，数列是公比为4的等比数列，且，求的通项公式与．
9．（2024·天津河西·三模）已知递增数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设．
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）求．
10．（2024·天津武清·模拟预测）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，
(1)求数列和的通项公式;
(2)，求数列的前项和.
(3)表示不超过的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求范围;
11．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知数列的前项和为，且满足：，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)设数列的通项公式为，问:是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由.
12．（2024·天津·二模）已知是等差数列，，，数列的前项和为，且，（）．
(1)求和的通项公式；
(2)求；
(3)设数列满足（），证明：．
三年考情分析
2025年考向预测
2022年，第18题，考察数列分组求和，错位相减法求和
2023年，第19题，考察等比数列求和
2024年，第19题，考察裂项相消法求和
数列求和是天津高考数学的必考内容，一般利用等差（比）数列的通项来构建考查裂项求和，错位相减法求和，解答题中等差数列、等比数列通项的考查往往是第1问，数列求和则是第2问。
错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法．
温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合.
= 1 \* GB3 ①
特别注意
②
如：（尤其要注意不能丢前边的）
①
如：
如：①
②
本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式.
1如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
2如果一个数列可写成的形式，在求和时可以使用分组求和法.
类型一：
通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：
角度1：求的前项和
角度2：求的前项和
类型二：
通项含有的类型；例如：