重难点06 空间角与空间距离（含探索性问题）（8题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（天津专用）

这是一份重难点06 空间角与空间距离（含探索性问题）（8题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（天津专用），文件包含重难点06空间角与空间距离含探索性问题8题型高分技法限时提升练-2025年高考数学热点重点难点专练天津专用原卷版docx、重难点06空间角与空间距离含探索性问题8题型高分技法限时提升练-2025年高考数学热点重点难点专练天津专用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共107页， 欢迎下载使用。

题型1异面直线所成角
1．（24-25高二上·天津·期末）在长方体中，已知为的中点，为的中点，则直线BD与EF所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·浙江宁波·期中）在正四棱锥中，，M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高二上·天津滨海新·期末）如图，在平行六面体中，与的交点为.

（1）设，则 （用表示）；
（2）若，且，则CM与BA所成角的余弦值为 .
4．（24-25高二上·天津和平·阶段练习）在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是 .
5．（24-25高三上·天津滨海新·期中）在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 .
题型2直线与平面所成角（定值）
1．（2024·四川攀枝花·一模）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵中，，若，，直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河北保定·二模）如图，在长方体中，，，对角线与平面交于点．则与面所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
3．（23-24高二上·全国·期中）PA，PB，PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角均为60°，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·全国·模拟预测）在棱长为2的正方体中，动点，分别在棱，上，且满足，当的体积最小时，与平面所成角的正弦值是 ．
5．（2024·海南·模拟预测）在空间直角坐标系Oxyz中，已知点，，，若平面轴，且，则直线与平面所成的角的正弦值为 .
题型3直线与平面所成角（最值，范围）
1．（23-24高三下·四川绵阳·阶段练习）如图所示的几何体是由正方形沿直线旋转90°得到的．设是圆弧的中点，是圆弧上的动点（含端点），则直线与平面所成角的正弦值最大为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，矩形ABCD中，，E为边AB的中点，将沿直线DE翻折成.在翻折过程中，直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为（ ）

A．B．C．D．
3．（24-25高二上·云南大理·阶段练习）在长方体中，，，是的中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高二上·安徽·阶段练习）在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上（包含端点），若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）如图，在正四棱柱中，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
题型4根据直线与平面所成角求参数
1．（2023·天津北辰·三模）如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．
(1)求证：平面；
(2)求点到直线的距离；
(3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的值，若不存在，说明理由．
2．（2022·天津河东·二模）如图所示，直角梯形ABCD中，，AD垂直AB，，四边形EDCF为矩形，，平面平面ABCD．
(1)求证：∥平面ABE；
(2)求平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值；
(3)在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．
3．（2022·天津·一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，，AP⊥平面ABCD，，点M、N分别为线段BC和PD的中点．
(1)求证：AN⊥平面PDM；
(2)求平面PDM与平面PDC夹角的正弦值；
(3)在线段PC(不包括端点)上是否存在一点E，使得直线BE与平面PDC所成角的正弦值为，若存在，求出线段PE的长：若不存在，请说明理由.
4．（24-25高二上·天津·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，．
(1)证明：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)设Q为线段PD上的点，且直线AQ和平面所成角的正弦值为，求的值．
题型5 求二面角 （定值）
1．（24-25高二上·福建·阶段练习）在矩形中，，，将沿着翻折，使点在平面上的投影恰好在直线AB上，则此时二面角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高二上·安徽马鞍山·阶段练习）如图，在体积为5的多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边形，，，M为BC的中点，，，．则平面PCD与平面QAB夹角的正弦值为（ ）

A．B．C．D．
3．（24-25高二上·天津和平·阶段练习）已知矩形，，，沿对角线将折起，使得，则二面角的余弦值是
4．（22-23高三上·天津河北·期末）如图，在多面体ABCDEF中，平面ABCD，AEFC是平行四边形，且，，，，则二面角的余弦值为 .
5．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，平面平面，，，，，则二面角的余弦值为
题型6 求二面角（最值，范围）
1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）长方体，，，动点满足，，则二面角的正切值的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·福建泉州·期末）如图，在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥的体积的最大值为 ；二面角的正弦值的最小值为 .
3．（2024·重庆·模拟预测）如图，在多面体中，四边形为矩形，四边形为直角梯形， ，，且．
(1)当时，求证：；
(2)当点在线段上（包含端点），时，求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围．
4．（24-25高二上·黑龙江·期末）如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，，，分别是线段，的中点，且平面平面.
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)若点为线段上的动点（不包括端点），求平面与平面夹角的余弦值的取值范围.
5．（24-25高三上·山东·阶段练习）如图，在正四棱柱中，底面边长是1，点，，分别在侧棱，，上，且，，，四点共面.设直线、与平面所成的角分别为、.

(1)设平面与平面相交于直线，求证：当时，；
(2)当时，求平面与平面所成角的余弦值的最大值.
题型7根据二面角求参数
1．（2022·天津北辰·模拟预测）如图，在长方体中，，，点在线段上.

(1)求D到的距离；
(2)当是的中点时，求直线与平面所成角的大小；
(3)若平面与平面所成角的余弦值为，求线段的长.
2．（2023·天津河北·二模）如图，在直三棱柱中，是以BC为斜边的等腰直角三角形，，D，E分别为BC，上的点，且.
(1)若，求证：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值；
(3)若平面与平面ACD的夹角为，求实数t的值.
3．（2023·天津南开·一模）如图，四棱锥中，平面平面是中点，是上一点.
(1)当时，
（i）证明：平面；
（ii）求直线与平面所成角的正弦值；
(2)平面与平面夹角的余弦值为，求的值.
4．（2022·天津·二模）如图，在长方体中，，，点在线段上.
(1)求证：；
(2)当是的中点时，求直线与平面所成角的大小；
(3)若平面与平面所成角的余弦值为，求线段的长.
5．（24-25高三上·天津·阶段练习）在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面平面，，，，为AB的中点．

(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值；
(3)在线段上是否存在点，使平面和平面的夹角大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
题型8点到平面距离
1．（2024·天津·二模）如图，在直三棱柱中，为的中点，点分别在棱和棱上，且．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
2．（2024·天津河北·一模）如图，三棱台中，，侧棱平面，点是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离：
(3)求平面和平面夹角的余弦值.
3．（2024·天津·一模）如图，在多面体中，底面为菱形，，平面，平面，.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正切值；
(3)求点C到平面的距离.
4．（2024·天津河西·一模）已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点．

(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的大小；
(3)求点到平面的距离．
5．（2023·天津河西·三模）已知直三棱柱中，，，，D,E分别为的中点，F为CD的中点.

(1)求证：//平面ABC；
(2)求平面CED与平面夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（24-25高二上·天津和平·期末）已知平面的一个法向量为，点在平面内，点在平面外，则直线与平面所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·陕西西安·期末）在正方体中，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·北京·阶段练习）如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为，的中点，则下列结论中错误的是（ ）

A．直线与直线AE的距离为
B．直线与平面的距离为
C．直线与底面ABCD所成的角为
D．平面与底面ABCD夹角的余弦值为
4．（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）如图，正三棱柱的各棱长相等，D为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．0
5．（24-25高三上·安徽阜阳·阶段练习）在三棱锥中，分别是棱的中点，则当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，正方体中，，当直线与平面所成的角最大时，（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．（2024高三·全国·专题练习）如图，在斜三棱柱中，底面ABC为正三角形，为AC的中点，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
8．（24-25高二上·天津和平·阶段练习）如图，在梯形中，，，，四边形为正方形，平面平面．已知点在线段上，使得平面与平面夹角的余弦值为，则线段FM的长为
9．（24-25高二上·青海西宁·阶段练习）在长方体中，，已知异面直线与，与所成角的大小分别为和，为中点，则点到平面的距离为 .
10．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）在四棱柱中，平面，，，，，其中，.若与底面所成角的正弦值为，则的最大值是 .
三、解答题
11．（24-25高三上·天津河北·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，E是AD的中点，，.
(1)证明：；
(2)求平面PEC与平面BEC的夹角的余弦值；
(3)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.
12．（24-25高二上·天津·阶段练习）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，点 是 的中点，作 交 于点 .
(1)求证: 平面 ;
(2)求平面与平面的夹角的余弦值;
(3)在 上是否存在一点，使 平面 ，若存在，求出 的长; 若不存在，说明理由.
13．（24-25高二上·天津滨海新·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)求平面和平面夹角的余弦值.
14．（24-25高二上·天津南开·期末）如图，在四棱锥中，为棱的中点，平面，
(1)求证：；
(2)求到平面的距离；
(3)求平面与平面夹角的余弦值.
15．（24-25高三上·天津·阶段练习）如图，四棱锥中，底面，，，，，，是线段上的一点（不包括端点）.

(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)试确定点的位置，使直线与平面所成角的正弦值为.
三年考情分析
2025年考向预测
2022年，第17题，考察线面角和二面角
2023年，第17题，考察二面角和点到平面距离
2024年，第17题，考察二面角和点到平面距离
空间角与空间距离问题一直是天津高考数学必考点与热点考向。通常出现在解答题第（2）（3）问，难度中等。在高考复习过程中除了掌握空间向量法，还需多锻炼几何法的应用。
设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法：
①
②
设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则①；
②.
（1）设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则①；
②.
（2）常涉及到基本不等式，二次函数，求导等方法求最值或范围
（1）设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则①；
②.
（2）常设点的坐标或者假设
（1）如图①，，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小．
（2）如图②③，，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足：
①；
②
若二面角为锐二面角（取正），则；
若二面角为顿二面角（取负），则；
（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.）
（1）如图①，，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小．
（2）如图②③，，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足：
①；
②
若二面角为锐二面角（取正），则；
若二面角为顿二面角（取负），则；
（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.）
（2）常涉及到基本不等式，二次函数，求导等方法求最值或范围
（1）如图①，，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小．
（2）如图②③，，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足：
①；
②
若二面角为锐二面角（取正），则；
若二面角为顿二面角（取负），则；
（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.）
（2）常涉及到动点的假设，一般来说可以①设点的坐标②设
如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.