重难点07 直线与圆锥曲线的位置关系综合问题（7题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（天津专用）

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题型1 圆锥曲线的弦长问题
1．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知椭圆（）的半焦距为，离心率，直线交椭圆于，两点，若，求椭圆的方程．
2．（24-25高二上·天津·期中）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，过右焦点的直线与椭圆交于、两点，且的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆相交于两点．且，求的面积．
3．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知椭圆的离心率是椭圆的一个顶点为，直线与椭圆相交于两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若线段的中点的横坐标为求直线的斜率以及弦长
4．（24-25高二上·天津和平·期中）已知双曲线C：的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线与双曲线C的右支交于M，N两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线的斜率为，求弦长.
5．（2024高二上·天津南开·专题练习）曲线上的每一点到定点的距离与到定直线的距离相等.
(1)求出曲线的标准方程；
(2)若直线与曲线交于两点，求弦的长.
题型2圆锥曲线中三角形（四边形）面积问题
1．（2023·天津津南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆的长轴为4，过坐标原点的直线交于两点，若分别为椭圆的左､右顶点，且直线与直线的斜率之积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点在第一象限，轴，垂足为，连并延长交于点，
（i）证明：为直角三角形；
（ii）若的面积为，求直线的斜率.
2．（2023·天津南开·二模）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A，，上顶点为，坐标原点到直线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过A点作两条互相垂直的直线，与椭圆交于，两点，求面积的最大值.
3．（2023·天津·二模）已知椭圆右焦点为，已知椭圆短轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆相交于M、N两点，线段MN垂直平分线与直线及轴和y轴相交于点D、E、G，直线GF与直线相交于点，记三角形EFG与三角形GDH的面积分别为，，求的值.
4．（22-23高二上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知椭圆方程，长轴为短轴的两倍，抛物线方程：，O为坐标原点，F是抛物线的焦点，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，如图所示.
(1)证明：直线OA，OB的斜率乘积为定值，并求出该定值；
(2)反向延长OA，OB分别与椭圆交于C，D两点，且，求椭圆方程；
(3)在（2）的条件下，若的最小值为1，求抛物线方程.
5．（22-23高三上·云南昆明·阶段练习）已知过点的椭圆的离心率为. 如图所示，过椭圆右焦点的直线（不与轴重合）与椭圆相交于两点，直线与轴相交于点，过点A作，垂足为.
(1)求四边形为坐标原点的面积的最大值；
(2)求证：直线过定点，并求出点的坐标.
6．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率是，短轴长为2，若点分别是椭圆的左右顶点，动点，，直线交椭圆于点.
(1)求椭圆的方程；
(2)（i）求证：是定值；
（ii）设的面积为，四边形的面积为，求的最大值.
题型3圆锥曲线中定点问题
1．（2024·天津河北·一模）设椭圆的离心率等于，拋物线的焦点是椭圆的一个顶点，分别是椭圆的左右顶点.
(1)求椭圆的方程；
(2)动点为椭圆上异于的两点，设直线的斜率分别为，且，求证：直线经过定点.
2．（2024·天津·一模）已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为，，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若为直线上一动点，且直线，分别与椭圆交于，两点（异于，两点），证明：直线恒过一定点.
3．（2022·陕西西安·二模）已知椭圆：的左、右焦点，恰好是双曲线的左右顶点，椭圆上的动点满足，过点的直线交椭圆C于，两点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆上是否存在点使得四边形（为原点）为平行四边形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2023·天津·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，直线：与交于两点，且.
(1)求的方程；
(2)若的左、右顶点分别为，点不同于为直线上一动点，直线分别与交于点，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
5．（24-25高三上·江苏·期末）已知点，分别为双曲线E：的左、右焦点，点到双曲线E的渐近线的距离为，点A为双曲线E的右顶点，且．
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)若四边形为矩形，其中点B，D在双曲线E上，求证：直线过定点．
6．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知双曲线C：的离心率为，且过点
(1)求双曲线C的方程；
(2)过左焦点F且倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求线段长；
(3)若P，Q是双曲线C上的两点，M是C的右顶点，且直线与的斜率之积为，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
7．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在拋物线上，且的面积为（为坐标原点）．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)点、是抛物线上异于原点的两点，直线、的斜率分别为、，若，求证：直线恒过定点．
题型4圆锥曲线中定值问题
1．（2024·天津北辰·三模）已知椭圆：的离心率为，左､右焦点分别为，，上､下顶点分别为，，且四边形的面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线：与椭圆交于P，Q两点，且P，Q关于原点的对称点分别为M，N，若是一个与无关的常数，则当四边形面积最大时，求直线的方程.
2．（2024·天津滨海新·三模）已知椭圆：（）的离心率为，分别为椭圆的左顶点和上顶点，为左焦点，且的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的右顶点为，是椭圆上不与顶点重合的动点．
①若点（），点在椭圆上且位于轴下方，设和的面积分别为，．若，求点的坐标；
②若直线与直线交于点，直线交轴于点，设直线和直线的斜率为，，求证：为定值，并求出此定值．
3．（2024·天津南开·一模）已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点F重合，抛物线的准线被C截得的线段长为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F作直线l交C于A，B两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使为定值？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由.
4．（2024·湖北武汉·二模）已知椭圆的左焦点为，且过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过作一条斜率不为0的直线交椭圆于、两点，为椭圆的左顶点，若直线、与直线分别交于、两点，与轴的交点为，则是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．
5．（2023·天津河东·二模）设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，，分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求直线的方程；
(3)已知直线斜率存在，若是椭圆经过原点的弦，且，求证：为定值．
6．（24-25高二上·河北张家口·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，其斜率分别为，交点为．
(1)当直线过焦点时，证明：互相垂直．
(2)当时，设弦的中点为．
①点是否在一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．
②求的最大值．
7．（24-25高三上·河北·阶段练习）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，右顶点到点的距离是.动圆（点为圆心）与交于四个不同的点，且直线的斜率分别为.
(1)求的方程.
(2)设直线.
①判断点是否在双曲线上，并说明理由.
②若，求直线的一般式方程.
③试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
题型5 圆锥曲线中定直线问题
1．（22-23高三上·天津滨海新·阶段练习）已知椭圆的左、右顶点分别为，右焦点为，且，以为圆心，为半径的圆经过点.
(1)求的方程；
(2)过点且斜率为的直线交椭圆于，
（ⅰ）设点在第一象限，且直线与交于.若，求的值；
（ⅱ）连接交圆于点，射线上存在一点，且为定值，已知点在定直线上，求所在定直线方程.
2．（24-25高三上·河北承德·阶段练习）已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆的方程．
(2)已知是椭圆内一点，过点任作一条直线与椭圆交于，两点，求以为中点的弦所在的直线方程．
(3)设点为椭圆的右顶点，是否存在过点的直线交椭圆于，两点，使得直线，的斜率之和等于？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．
3．（2023·安徽安庆·一模）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线的左、右焦点分别为、，从发出的光线经过图2中的、两点反射后，分别经过点和，且，.

(1)求双曲线的方程；
(2)设、为双曲线实轴的左、右顶点，若过的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由．
4．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线，点为抛物线的焦点，过作直线分别交抛物线于点和点，如图所示．当直线的斜率为1时，．

(1)求抛物线的方程；
(2)延长交于点，延长交于点，求直线的方程．
5．（2024·河北衡水·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为是上一点，且点到点的距离之和为.
(1)求的方程；
(2)斜率为的直线与交于两点，则的外心是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由.
题型6圆锥曲线中向量问题
1．（2023·天津和平·二模）在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆与轴正半轴的交点为点，且为等腰直角三角形．
(1)求椭圆的离心率；
(2)已知斜率为的直线与椭圆相切于点，点在第二象限，过椭圆的右焦点作直线的垂线，垂足为点，若，求椭圆的方程．
2．（2022·天津南开·模拟预测）已知从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，设椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，且，.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点.若，求的值.
3．（2022·天津红桥·二模）已知椭圆：（）的离心率，点、之间的距离为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和，则是否存在常数，使得与共线？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.
4．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知双曲线一条渐近线方程为，且点在双曲线上．
(1)求双曲线标准方程；
(2)若双曲线的左顶点为，右焦点为为双曲线右支上任意一点，求的最小值．
5．（24-25高二上·全国·课后作业）设双曲线的焦点分别为，，离心率为2．
(1)求此双曲线的渐近线，的方程；
(2)若A，分别为，上的点，且，求线段的中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；
(3)过点能否作出直线，使与双曲线交于，两点，且？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
6．（2025·云南昆明·模拟预测）已知圆C：A：为圆C与y轴负半轴的交点，过点A作圆C的弦AM，并使弦AM的中点B恰好落在x轴上，点M的轨迹为曲线E，Q为直线上的动点.
(1)求曲线E的方程；
(2)过点Q作曲线E的切线，切点分别为D，G.
①求的值；
②求面积的最小值.
7．（24-25高二上·甘肃·期末）已知点是抛物线上的一点，点，是上异于点的不同的两点.
(1)求的方程；
(2)若直线，的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出此定值；
(3)若直线，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
题型7 圆锥曲线中参数范围问题
1．（2023·天津河西·模拟预测）已知椭圆上右顶点到右焦点的距离为，且右焦点到直线的距离等于短半轴的长.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P（4，0），AB是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；
(3)在（2）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M、N两点，求的取值范围.
2．（24-25高二上·天津和平·期末）已知椭圆的离心率为分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且的周长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，判断在轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求点横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.
3．（24-25高三上·天津红桥·期末）已知椭圆，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为）.
(1)求椭圆的方程；
(2)设经过点的直线与椭圆相交于点，若线段的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围.
4．（24-25高二上·天津红桥·期中）已知椭圆的离心率为，椭圆C与y轴交于A，B两点，且.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点P是椭圆C上一个动点，且点P在y轴右侧，直线PA，PB与直线交于M，N两点，若以MN为直径的圆与x轴交于E，F两点，求点P横坐标的取值范围.
5．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，且四边形的面积为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点，直线与椭圆C交于两点，与y轴交于点N，若，求面积的取值范围.
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1．（2023·天津红桥·一模）设椭圆的左、右焦点分别为，离心率，长轴为4，且过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，其中为坐标原点，求直线的斜率；
(3)若是椭圆经过原点的弦，且，判断是否为定值？若是定值，请求出，若不是定值，请说明理由．
2．（24-25高三上·天津红桥·期末）已知椭圆的焦距为2，且经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)点是椭圆上的两个动点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值.
3．（24-25高二上·天津西青·期末）已知椭圆的左焦点为圆的圆心，且椭圆上的点到点距离的最小值为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线与椭圆交于两个不同点，点为椭圆上顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，若，求证：直线经过定点.
4．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知椭圆（）的右顶点为A，下顶点为B，椭圆的离心率为，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点M在椭圆上（M异于椭圆的顶点），点P满足（O为坐标原点），直线与以P为圆心的圆相切于点Q，且Q为中点，求直线斜率.
5．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知椭圆C：的离心率为，长轴长为4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过右焦点且倾斜角为的直线交椭圆于、两点，求弦长，为坐标原点，求的面积；
(3)直线（为左顶点）与椭圆C交于点（异于顶点）与轴交于点，点为椭圆的右焦点，为坐标原点，，求直线的方程.
6．（2023·陕西榆林·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：的焦点为F，位于第一象限的点A（点A的横坐标和纵坐标都为整数）在抛物线C上，且，．
(1)求p的值及点A的坐标；
(2)点B与A关于坐标原点对称，过点B的直线l（不经过点A）与抛物线C相交于M，N两点，直线AM，AN与x轴分别相交于点P，Q，求的值．
7．（23-24高二下·福建泉州·期中）已知抛物线，其焦点为，点在抛物线C上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)为坐标原点，为抛物线上不同的两点，且，
（i）求证直线过定点；
（ii）求与面积之和的最小值．
8．（2024·上海普陀·一模）设，，、分别是双曲线的左、右焦点，直线经过点与的右支交于、两点，点是坐标原点.
(1)若点是上的一点，，求的值；
(2)设、，点在直线上，若点、、、满足：，，求点的坐标；
(3)设的延长线与交于点，若向量与满足：，求的面积的取值范围.
三年考情分析
2025年考向预测
2022年，第19题，考察椭圆中三角形面积
2023年，第18题，考察椭圆中三角形（四边形）面积
2024年，第18题，考察向量的应用
圆锥曲线综合问题是天津高考数学的重难点内容。常见的考点有定点、定值、定直线、最值范围、证明及存在性问题，以及三角形（四边形）面积问题，主要在解答题的第2问中进行考查，难度较大。在今年的高考中依旧是命题的热点方向。
若直线与圆锥曲线相交与、两点，则：
弦长

弦长
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
；
（1）直线方程：
（2）最值，范围问题常涉及基本不等式、对勾函数，或二次函数，或求导
1.求解(或证明)直线和曲线过定点的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量，视作常数，把方程一边化为零，既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．
2.常用方法：一是引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点；二是特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
1.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．常见定值问题的处理方法：
（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示
（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数.
2. 定值问题的处理技巧：
（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.
（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢
（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算
定直线问题是证明动点在 定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为 求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等．
（1）常涉及到韦达定理
（2）最常用到向量数量积
构建所求几何量的含参一元函数，形如，并且进一步找到自变量范围，进而求出值域，即所求几何量的范围，常见的函数有：
（1）二次函数；（2）“对勾函数”；（3）反比例函数；（4）分式函数．若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决．这里找自变量的取值范围在或者换元的过程中产生．除此之外，在找自变量取值范围时，还可以从以下几个方面考虑：
①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系．
③利用基本不等式求出参数的取值范围．
④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．