热点1-2 不等式与复数（8题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（新高考通用）

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题型1 不等式性质及应用
1．（24-25高三上·陕西西安·月考）下列命题中，真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【解析】对选A，若，满足，此时无意义，故A错误，
对选项B，若，满足，不满足，故B错误，
对选项C，若，，
所以，故C正确.
对选项D，若，，则.故选：C
2．（24-25高三上·福建泉州·模拟预测）若实数，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为在定义域上单调递减且，所以，故A正确；
因为在定义域上单调递增且，所以，故B正确；
当时，，故C不正确；
因为在定义域上单调递增且，所以，故D正确.故选：C.
3．（24-25高三上·河北石家庄·模拟预测）（多选）已知实数a，b，c满足，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】对于A，实数a，b，c满足，
则，即，A错误；
对于B，由于，故，则，B正确；
对于C，因为，故，
则，即，C正确；
对于D，由于，故，
则，而 ，当且仅当时等号成立，
故，D正确，故选：BCD
4．（24-25高三上·湖北武汉·期中）若实数，满足，，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令，
所以，解得，
所以，
又，，
所以，即，
所以的取值范围为.
题型2 一元二次不等式的解法
1．（23-24高三下·河北沧州·模拟预测）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】集合或x>2，所以.故选：.
2．（24-25高三上·山东枣庄·月考）（多选）已知关于x的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（ ）
A．B．不等式的解集是
C．D．不等式的解集为或x>12
【答案】BD
【解析】A选项，∵关于x的不等式的解集为或，∴，A选项错误；
BC选项，已知和3是关于x的方程的两根，
由根与系数的关系得，则，
不等式，即，又，解得，B正确；
且，C错误；
D选项，不等式，即，即，
解得或，D正确．故选：BD
3．（24-25高三上·甘肃天水·月考）关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】关于的不等式可化为，
当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，得；
当时，不等式化为，此时无解；
当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，得.
综上，实数的取值范围是.
故答案为：.
4．（24-25高三上·广东广州·月考）（多选）已知不等式的解集为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】由题意可得和为方程的两根，
且，所以，即，，故A错误；
又，当且仅当等号成立，因为，所以，故B正确；
而
，故C正确；
因为，且，
所以，即，故D正确.故选：BCD.
题型3 一元二次方程根的分布问题
1．（24-25高三上·上海浦东新·期中）若关于的一元二次方程有两个同号实根， 则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题设，即实数的取值范围是.
故答案为：
2．（24-25高三上·北京·月考）已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 ．
【答案】
【解析】令，显然二次函数的图象开口向上，
而的两根一个比2大另一个比2小，则，
即，解得，
所以实数m的范围是.
故答案为：
3．（23-24高三上·四川·月考）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】令，因为方程在区间上有两个不相等的实数解，
所以，即，解得，
所以的取值范围是．故选：A．
4．（23-24高三上·贵州·月考）（多选）已知一元二次方程有两个实数根，，且，则的可能值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】因为一元二次方程有两个实数根，，
且，令，
则由题意可得，即解得，故选：ABC.
题型4 一元二次不等式恒成立问题
1．（24-25高三上·陕西咸阳·月考）若关于的不等式在区间上有解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，由可得，
又关于的不等式在区间上有解，则，
令，易知在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又时，，时，，所以，故选：D.
2．（24-25高三上·四川成都·月考）已知关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当时，由可得，
因为，由基本不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立，故.故选：B.
3．（24-25高三上·天津·开学考试）若不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为不等式对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
设，由对勾函数的性质可知在上单调递减，
所以，
则，得，即的取值范围是.故选：C.
4．（24-25高三上·甘肃兰州·月考）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】当时，不等式为，显然成立，符合题意；
当时，则，解得.
综上所述，k的取值范围是．
故答案为：.
题型5 基本不等式求最值
1．（23-24高三下·海南·模拟预测）若正数 满足，则 的最小值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】C
【解析】因为为正数，所以，
当且仅当时取等号，所以，
所以，
所以或（舍去），
所以，当且仅当时等号成立.故选：C.
2．（23-24高三下·湖北黄冈·一模）若，且，则的最小值为（ ）
A．20B．12C．16D．25
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.故选：D.
3．（23-24高三下·河南信阳·模拟预测），则的最小值为（ ）
A．B．C．D．6
【答案】C
【解析】，则，且,
整理得到，
所以，当且仅当，即时取等号.
即的最小值为.故选：C.
4．（23-24高三下·湖南邵阳·三模）（多选）若正数，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】对于A，正数，则，当且仅当时取等号，因此，A错误；
对于B，由，得，则，
当且仅当，即时取等号，B正确；
对于C，由，得，即，而，
因此，C正确；
对于D，由，得，即，
由，得，因此，
当且仅当，即时取等号，D正确.故选：BCD
题型6 基本不等式恒成立问题
1．（24-25高三上·江西上饶·月考）若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，因为，则，
所以原不等式等价于在上恒成立；
令，
在时单调递减，在时单调递增，
所以当时， ，
若在上恒成立，则，所以.故选：A
2．（24-25高三上·河北承德·月考）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，，且，则，
所以
，
当且仅当时，即当，时，所以的最小值为，
因为恒成立，所以，解得，
所以实数的取值范围是.故选：B.
3．（24-25高三上·湖南长沙·月考）已知，，，且恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由，，，
故，
当且仅当、，即，时，等号成立，
故，即，则的取值范围是.
故答案为：.
4．（23-24高三下·浙江·二模）（多选）已知正实数，且为自然数，则满足恒成立的可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】因为正实数，且为自然数，所以，
则恒成立，即恒成立，
两边同乘，则，
而，
当且仅当，即时，等号成立，
若恒成立，则恒成立，
A.当时，，不成立；
B.当时，，成立；
C.当时，，成立；
D.当时，，不成立，故选：BC
题型7 复数的四则混合运算
1．（23-24高三下·江苏南京·期中）已知为虚数单位，则（ ）
A．5B．-1C．1D．7
【答案】D
【解析】 .故选：D.
2．（23-24高三下·浙江杭州·期中）已知复数，则（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】B
【解析】，故选：B
3．（23-24高三下·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是关于复数z的方程的一个根，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【解析】将代入方程可得，
整理得，即，
可得，解得，所以.故选：C
4．（23-24高三下·江西新余·模拟预测）（多选）已知，为的共轭复数，则下列条件可判定的是：（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】已知，设，则，
对于A，若，即，得，即，
所以，有，A选项正确；
对于B，若，则有，得，有，B选项正确；
对于C，若，即，有，得，
其中当时，，C选项错误；
对于D，若，有，即，
若，则得，有；若，则，，有，D选项正确.故选：ABD.
题型8 复数的几何意义及应用
1．（24-25高三上·天津·月考）已知复数（其中i为虚数单位），则复数z的点的坐标所在象限为（ ）
A．一B．二C．三D．四
【答案】B
【解析】，则复数z的点的坐标为，位于第二象限，故选：B.
2．（23-24高三下·陕西铜川·模拟预测）若复数，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】由题意知，
所以复数z在复平面内对应的点为，位于第二象限．故选：B．
3．（23-24高三下·安徽·模拟预测）若为虚数单位，，则的最大值为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】D
【解析】根据题意，复数对应的点的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆，
所求式子的几何意义表示点0,1到圆上点的距离的最大值，
如图所示，最大值为.故选：D.
4．（23-24高三下·广西·模拟预测）（多选）复数（，i为虚数单位）在复平面内内对应点，则下列为真命题的是（ ）
A．若，则点Z在圆上
B．若，则点Z在椭圆上
C．若，则点Z在双曲线上
D．若，则点Z在抛物线上
【答案】BD
【解析】表示点与之间的距离，
表示点与之间的距离，记，，
对于A，，表示点到、距离相等，
则点在线段的中垂线上，故A错误；
或由，整理得，所以点在，故A错误；
对于B，由得，这符合椭圆定义，故B正确；
对于C，若，，这不符合双曲线定义，故C错误；
对于D，若，则，整理得，点在抛物线，故D正确．
故选：BD．
（建议用时：60分钟）
1．（23-24高三下·浙江温州·模拟预测）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意，，，
所以.故选：A
2．（23-24高三上·湖北荆门·月考）已知复数在复平面内的对应点为，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为复数在复平面内的对应点为，所以，
则，所以的虚部为，故选：C.
3．（23-24高三下·山东·二模）若，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于A, 由于，,故A错误，
对于B，由于关系不确定，故不一定成立，故B错误，
对于C，由于，所以，C错误，
对于D，由于，则，故，D正确，故选；D
4．（23-24高三下·新疆·二模）已知复数满足，且，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】法一：，
因为，且，所以2a=42bi=2i，，，∴z=5．
法二：z+z=4z−z=2i，∴2z=4+2i，，∴z=5.故选：D.
5．（23-24高三下·安徽·三模）已知，且，则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】D
【解析】，
当且仅当，即时，等号成立.故选：D.
6．（23-24高三下·山东烟台·三模）若复数z满足，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【解析】若复数z满足，
则由复数的几何意义可知复数对应的点集是线段的垂直平分线，其中，
所以的最小值为.故选：B.
7．（24-25高三上·福建厦门·月考）对任意的实数，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．或B．或C．或D．
【答案】A
【解析】依题意，对任意的实数，不等式恒成立，
整理得，令，
则，解得或.故选：A
8．（24-25高三上·湖南平江·开学考试）设正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为正数，满足，
则，因为，
所以，则，当且仅当即时等号成立.
因为不等式对任意实数恒成立，即恒成立.
，所以，即对任意实数恒成立.
令，因为，所以，所以.故选：D.
9．（24-25高三上·云南德宏·月考）（多选）设，为复数，则下列说法中正确的有（ ）
A．若，，其中，，，，且，，则
B．若（）为纯虚数，则
C．若关于的方程，，的一个虚根为，则
D．若，，则复数在复平面内对应的点位于第三象限
【答案】BD
【解析】对于选项A：因为，可知，不可能均为实数，故不能比较大小，故A错误；
对于选项B：若（）为纯虚数，
则，解得，故B正确；
对于选项C：若关于的方程，，的一个虚根为，
则另一个虚根为，
可得，所以，故C错误；
对于选项D：若，，则，
复数在复平面内对应的点为，位于第三象限，故D正确；故选：BD.
10．（23-24高三下·辽宁·模拟预测）（多选）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】对于A：，当且仅当时取等号，正确；
对于B：因为，所以当且仅当时取等号
所以，当且仅当时取等号，正确；
对于C: ，
当且仅当时取等号，错误；
对于D:因为，所以
又，所以成立，正确，故选：ABD
11．（24-25高三上·北京·月考）若不等式的解集是，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】由题意可知，，，，
则，即，
即，解得：，
所以不等式的解集为.
故答案为：
12．（24-25高三上·陕西榆林·月考）已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令，
根据题意得，
由①得：，由②得：，由③得：，
求交集得：，故的取值范围为.
13．（24-25高三上·辽宁·期中）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值集合为 ；
【答案】
【解析】因为不等式在上恒成立，
令可得，解得，
若，则在上恒成立，
原不等式等价于在x∈0,+∞上恒成立，
因为二次函数的图像开口向上，对称性，
当，即时，
则在上恒成立，符合题意；
当，即时，则，
可知，符合题意；
综上所述：的取值集合为.
14．（23-24高三下·宁夏·三模）已知实数，满足.
(1)求证：；
(2)求的最小值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）由得，
当且仅当时等号成立，
所以；
（2）由已知，则，
则
，
当且仅当，即一个为，一个为时等号成立.
所以的最小值.
15．（23-24高三下·河南郑州·三模）复数除了代数形式之外，还有两种形式，分别是三角形式和指数形式，著名的欧拉公式体现了两种形式之间的联系．利用复数的三角形式进行乘法运算，我们可以定义旋转变换．根据，我们定义：在直角坐标系内，将任一点绕原点逆时针方向旋转的变换称为旋转角是的旋转变换．设点经过旋转角是的旋转变换下得到的点为，且旋转变换的表达式为曲线的旋转变换也如此，比如将“对勾”函数图象上每一点绕原点逆时针旋转后就得到双曲线：．
(1)求点在旋转角是的旋转变化下得到的点的坐标；
(2)求曲线在旋转角是的旋转变化下所得到的曲线方程；
(3)等边中，在曲线上，求的面积．
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】（1）由题可设所求点的坐标为，由
得所求点的坐标为．
（2）设曲线上任意一点在旋转角是的旋转变换下所得点坐标为．
则即
得，
所求曲线方程为．
（3）由题点在旋转角是的旋转变换下所得的点为．
设在旋转角是的旋转变换下所得的点分别为和．
设曲线在旋转角是的旋转变换下所得曲线为，
则方程为．
则是曲线的下顶点．
由题，为等边三角形，的面积即为的面积．
设的边长为，由双曲线的对称性：
当和同在曲线的下支时，则，
代入的方程得无解．
当和同在曲线的上支时，则，
代入的方程得的面积为．
综上所述，的面积为．三年考情分析
2025考向预测
1、近三年高考中，不等式是一个重点考查的知识点，主要涉及大小判断、求最值和求最值范围等问题。而基本不等式求最值是高考中的常考点，通常出现在选择题和填空题中，难度不大．
2、复数的代数运算、代数表示及其几何意义是高考的必考内容，题型多为选择题或填空题，分值5分，考题难度为低档．
复数的运算与不等式是常考点，预计在2025年的高考中仍将保持其重要地位，考查形式和难度可能会与近几年的趋势保持一致．
（1）不等式主要考查基本不等式求最值、大小判断，求取值范围问题；
（2）复数主要考查基本概念以及复数的代数运算，其中复数的除法运算、共轭复数及复数的几何意义是最可能出现的命题角度．
明确各个性质（对称性、传递性、可加性、可乘性、同向可加性、同向同正可乘性、可乘方性）中结论成立的前提条件，另外在使用不等式的性质时还需注意与作差法、作商法的结合使用．
1、解一元二次不等式的一般步骤
（1）化为标准式；（2）计算相应的判别式；（3）根据相应的一元二次方程的根的情况写出解集．
2、解含参数的一元二次不等式，要把握好讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．
一元二次方程根的分布问题主要有两种：零分布与非零分布，零分布指的是方程的根相对于零的关系，非零分布指的是方程的两根相对于k的关系，解决这类问题可根据方程的系数和判别式来确定方程根的性质和分布情况．
1、一元二次不等式在实数集上的恒成立
（1）不等式对任意实数恒成立⇔或
（2）不等式对任意实数恒成立⇔或
2、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法
方法一：若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；
方法二：转化为函数值域问题，即已知函数的值域为，
则恒成立⇒，即；恒成立⇒，即．
3、不等式能成立问题常常转化为函数的最值来处理
（1）若存在，有解⇒；
若对任意，无解⇒.
（2）若存在，有解⇒；
若对任意，无解⇒．
在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等．
①一正：各项均为正数；
②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③三相等：含变数的各项均相等，取得最值．
不等式恒成立问题的实质是已知不等式的解集求不等式中参数的取值范围，在满足条件的情况下可以把参数分离出来．常见求解策略是将不等式恒成立问题转化为最值问题，即恒成立；恒成立．但要注意函数中自变量的取值范围，性质很难研究，就不要使用分离参数法．
解决复数四则运算问题的思路：
1、复数的加减法：实部与虚部相加减，虚部与虚部相加减分别作为结果的实部与虚部．把i看作字母，类比多项式加减法中的合并同类项；
2、复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将换成，并将实部、虚部分别合并．多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，常用公式有，，.
2、复数的除法法则在实际操作中不方便适用，一般将除法写成分式形式，采用“分母实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．
1、复数的几何意义
（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．
（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量OZ=(a,b)是一一对应的．
2、与复数模有关的最值问题
（1）求复数在复平面内对应点的集合表示的图形时，常用的方法是通过化简得到关于复数模的最简等式或不等式，然后根据复数的模的几何意义直接判断图形的形状．
（2）复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若z=x+yi，则z−(a+bi)表示复平面内点(x,y)与点(a,b)之间的距离，则z−(a+bi)=r表示以(a,b)为圆心，以r为半径的圆上的点．