热点2-4 函数的图象及零点问题（10题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（新高考通用）

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题型1 函数图象画法及图象变换
1．（1）利用函数f（x）＝2x的图象，作出下列各函数的图象．
① y＝f（－x）; ② y＝f（|x|）; ③ y＝f（x）－1；④ y＝|f（x）－1|；⑤ y＝－f（x）；⑥ y＝f（x－1）.
（2）作出下列函数的图象．
① y＝（）|x|；
② y＝|lg2（x＋1）|；
③ y＝.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析
【解析】（1）①把f（x）的图象关于y轴对称得到y＝f（－x）的图象，如图．
②保留f（x）图象在y轴右边部分，去掉y轴左侧的，
并把y轴右侧部分关于y轴对称得到y＝f（|x|）的图象，如图．
③把f（x）图象向下平移一个单位长度得到y＝f（x）－1的图象，如图．
④结合③，保留x轴上方部分，然后把x轴下方部分关于x轴翻折得到y＝|f（x）－1|的图象，如图．
⑤ 把f（x）图象关于x轴对称得到y＝－f（x）的图象，如图．
⑥把f（x）的图象向右平移一个单位长度得到y＝f（x－1）的图象，如图．
（2）①作出y＝（）x（x≥0）的图象，
再将y＝（）x（x≥0）的图象以y轴为对称轴翻折到y轴的左侧，即得y＝（）|x|的图象，
如图①中实线部分．
② 将函数y＝lg2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，
即可得到函数y＝|lg2（x＋1）|的图象，如图②中实线部分．
③ 因为y＝＝2＋，故函数图象可由y＝的图象向右平移1个单位长度，
再向上平移2个单位长度得到，如图③.
2．（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知图①对应的函数为y=fx，则图②对应的函数是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由图②可知，将y=fx在的图象沿着轴对称得到，
然后再沿着轴翻折，即可得到.故选：B
3．将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】∵，可得函数的大致图象如图所示，
将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图象为C选项中的图象.故选：C.
4．将函数的图像沿x轴向左平移1个单位长度，得到奇函数的图像，则可能是下列函数中的（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】对A：将函数图像沿x轴向左平移1个单位长度，得到函数的图像，
函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数不是奇函数，故A错误；
对B：将函数图像沿x轴向左平移1个单位长度，得到函数的图像
，所以函数为奇函数，满足条件，故B正确；
对C：将函数图像沿x轴向左平移1个单位长度，得到函数的图像，
函数的定义域为，不关于原点对称，
所以函数不是奇函数，故C错误；
对D：将函数图像沿x轴向左平移1个单位长度，得到函数的图像，
定义域为，不关于原点对称，所以函数不是奇函数，故D错误．故选：B
题型2 根据函数解析式选择图象
1．（24-25高三上·福建泉州·月考）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为函数的定义域为，
且
.
所以函数为奇函数，图象关于原点成中心对称，故AD错误；
又，
而，即，所以，所以，故C错误.
B符合函数的性质.故选：B
2．（24-25高三上·安徽阜·月考）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】当时，，故AC不正确；
当时，，且为减函数，
所以为增函数，故B不正确.故选：D.
3．（24-25高三上·还你长沙·月考）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】定义域为，且，则原函数为奇函数.排除B.
再取特殊值，且为正数.排除D.
当时，，越大函数值越接近1，排除C.故选：A.
4．（23-24高三上·陕西安康·月考）函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，即，所以，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除；
当时，，即，因此，故排除A.故选：D.
题型3 根据函数图象选择解析式
1．（24-25高三上·辽宁·月考）函数在区间上的大致图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对于A，当时，，，与图象矛盾，故A错误；
对于B，当时，，则，与图象矛盾，故B错误；
对于C，当时，，无意义，故C错误；
对于D，因，则，
由知函数为偶函数，图象关于轴对称；
且当时，，无意义；
当时，，即函数在上单调递减，
故在上单调递增，该图象均符合，即D正确.故选：D.
2．（24-25高三上·天津·月考）已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对于A,，其定义域为，有，
则函数为奇函数，不符合题意，故A错误；
对于B，，其定义域为，
有，则函数为奇函数，不符合题意，故B错误；
对于C，，在区间0,1上，，不符合题意，故C错误.
对于D，，则为偶函数，
且在区间0,1上，，符合题意，故D正确.故选：D.
3．（24-25高三上·江西萍乡·月考）已知函数的部分图象如下图所示，则可能的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A，因为，
所以，，，
而，
即，，所以在上并不单调递减，故A错误；
对于B，因为，所以，，，
显然，，所以在上并不单调递增，故B错误；
对于D，因为，所以，，
显然，，所以在上并不单调递减，故D错误；
对于C，因为定义域为，
当时，，由复合函数的单调性易知在上单调递增；
当时，，在上单调递增且，
在上单调递减，
当时，当时，符合题意，
结合前面ABD的分析，可知只有C中解析式符合题意，故C正确.故选：C.
4．（24-25高三上·江西南昌·月考）已知函数，则图象为下图的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意函数，根据函数图象可得函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数，
对于A中，函数不是奇函数，所以A不符合题意；
对于B中，函数不是奇函数，所以B不符合题意；
对于C中，函数此时函数为奇函数，
又由，当时，，此时函数在区间单调递增，
而图象中先增后减，所以C不符合题意.故选：D.
题型4 根据实际问题作函数图象
1．（23-24高三下·安徽·模拟预测）如图，直线在初始位置与等边的底边重合，之后开始在平面上按逆时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过），它扫过的三角形内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】如图所示，取的中点，连接，因为为等边三角形，可得，
设等边的边长为，且，其中，
可得，
又由的面积为，可得，
且，
则的面积为，
令，其中，
可得，所以为单调递增函数，
又由余弦函数的性质得，当时，函数取得最小值，
所以阴影部分的面积一直在增加，但是增加速度先快后慢再快，
结合选项，可得选项C符合题意.故选：C.
2．（23-24高三下·山东·二模）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数y=fx的大致图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】当时，，是一条过原点的线段；
当时，，是一段平行于轴的线段；
当时，，图象为一条线段.故选：A．
3．（24-25高三上·北京·月考）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度（单位：米/分钟）与时间（单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”为无人机在时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意可得，当时，无人机做匀加速运动，，“速度差函数”；
当时，无人机做匀速运动，，“速度差函数”；
当时，无人机做匀加速运动，，“速度差函数”；
当时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”，
结合选项C满足“速度差函数”解析式，故选：C.
4．（23-24高三上·湖南衡阳·月考）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题图知，小李从点到点的过程中，的值先增后减，
从点到点的过程中，的值先减后增，
从点到点的过程中，的值先增后减，从点到点的过程中，的值先减后增，
所以，在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离（即的值）的增减性为：
增、减、增、减、增，D选项合乎题意，故选：D.
题型5 函数零点所在区间问题
1．（24-25高三上·安徽亳州·月考）函数的零点所在的大致区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，
由可知，函数在内单调递增，
根据零点存在定理，函数的零点所在的大致区是.故选：C
2．（24-25高三上·甘肃武威·期末）函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数定义域为，
因为在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以在上单调递减，
因为，，
所以的零点所在区间为．故选：A
3．（24-25高三上·湖北·期中）已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为在上均单调递减，则在上单调递减，
对A，可得.
因为幂函数在上单调递增，所以，
且函数在上连续不间断，则在上无零点，故A错误；
对B，因为在上单调递减，
则，则，且函数在上连续不间断，
故在上存在零点，故B正确；
对C，因为，且函数在上连续不间断，
则在上无零点，故C错误；
对D,计算，
且函数在上连续不间断，则在上无零点，故C错误；故选：B.
4．（24-25高三上·四川德阳·月考）设函数的零点都在区间内，则的最小值为 ．
【答案】4
【解析】，
当时，，，∴fx在上递增，
而，，时，在内存在唯一零点，
是偶函数，∴fx在上递减，
而，，时，在存在唯一零点，
∴fx零点都在内．
故当时，取最小值，且最小值为4.
题型6 确定函数零点的个数
1．（24-25高三上·福建平和·月考）函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】当时，令，解得，
当时，，，
在2,3连续，所以在2,3上存在零点，
又因为单调递增，所以函数y=fx在0,+∞上有唯一零点，
综上，的零点个数为2.故选：C
2．（24-25高三上·浙江·月考）函数与的图象的交点个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】画出与的图象如图所示：
根据图象可知，交点个数是个.故选：C.
3．（24-25高三上·四川攀枝花·月考）函数，则函数的零点个数是（ ）
A．B．C．1D．0
【答案】A
【解析】由题意可得，
令，所以，
令，则在上都为增函数，
且易得当或时，，
当时，易得在的下方，
当时，易得在的上方，
当时，对数函数的增长速度小于一次函数，故此时在的下方.
综上：函数有两个零点分别为.故选：A.
4．（24-25高三上·北京·月考）已知函数当时，方程的根的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】当时，即则的周期为
画出函数的图像，
令则又因为则
由图可知方程 的根的个数即为两个函数图像交点的个数，
由图像可知，当时，存在一个零点，因为时，
当时，则在两函数存在一个零点，
当时，则在两函数存在一个零点，
当时，则在两函数存在一个零点，
当时，恒成立，则两函数无零点.
综上所述，两函数有三个零点.故选：D.
题型7 根据零点个数求参数范围
1．（24-25高三上·河北承德·月考）若函数有零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数有零点，即有解，
故实数的取值范围就是求的值域.
，且，
故函数的值域为，则m的范围为，故选：A
2．（24-25高三上·海南·月考）已知函数若方程有3个实数解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为方程有3个实数解，所以y=fx与的图像有三个交点，
因为
所以做出y=fx与的大致图像，如图，
由图可知，故选：D.
3．（24-25高三上·广东普宁·期中）已知函数，则使方程有解的实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，则.
因为方程有解，
所以y=gx的图象与的图象有解.
当时，，
根据对勾函数的性质可得在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，且.
作出函数y=gx的图象如图所示：
由图可得，y=gx的图象与的图象有解，
则.故选:D.
4．（24-25高三上·江西宜春·月考）设函数，若恰有2个零点，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为，
令，可得:
当时，，所以或，
当或时，方程在上有唯一解，
当或时，方程在上有两解为或，
当时，，
所以当时，，即方程有一个解，
当时，，即方程在上无解，
综上，当时，函数有两个零点，
当时，函数有两个零点，
当时，函数有三个零点，
当时，函数有两个零点.
因为恰有2个零点，所以或，
所以的取值范围是.
故答案为：
题型8 函数零点求和问题
1．（24-25高三上·贵州六盘水·模拟预测）已知函数的零点分别为，，，则（ ）
A．0B．2C．4D．6
【答案】A
【解析】由题设，，，，
所以问题可转化为与、、的交点问题，函数图象如下：
因为与关于对称，而与互相垂直，
所以，，则.故选：A
2．（24-25高三上·陕西汉中·期中）函数所有零点的和为（ ）
A．B．10C．D．
【答案】C
【解析】如图，绘制函数与函数的图象，
可知与的图象恰有个公共点，
且它们的图象均关于直线对称，所以所有零点的和为.故选：C
3．（24-25高三上·山东·月考）已知函数，函数满足，若函数恰有2025个零点，则所有零点之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，得函数的定义域为R，
又，即函数是奇函数，
函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称，
由，得函数的图象关于点对称，
因此函数的图象关于点对称，由函数恰有2025个零点，
得函数有一个零点为，其余零点关于对称，
所以所有零点之和为.故选：A
4．（24-25高三上·广西·月考）偶函数满足，当时，，则方程在上所有的实数根之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，，当时，，则，
又是偶函数，则，所以时，，
又，所以的周期，其在区间上的图象如图所示，
不妨设y=fx与在区间上的交点分别为，
由图可知，，
则方程在上所有的实数根之和为，故选：C.
题型9 函数零点和积范围问题
1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）已知函数，若有四个不同的零点，，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】左函数草图如下：
对A：由图可知，若有四个不同的零点，则，故错误；
对B：因为，且关于直线对称，所以，故B正确；
对C：因为，所以，，
由，故C正确；
对D：因为，所以，
因为函数在上单调递减，所以，即，故D错误.
故选：BC
2．（24-25高三上·河北张家口·月考）已知函数.，若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】的图象如图所示，设，
结合图像可得：，且，，
而，故，
故，
设，而在为增函数，，
故.故选：D.
3．（24-25高三上·四川成都·开学考试）设函数，若方程有三个实数根,满足，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为，所以，作出其图象如下图所示：
则由图知且,
满足，即，
故，令且，
则上式，
令，则，，故
在内单调递增，则.
故答案为：
4．（24-25高三上·安徽合肥·月考）已知函数，方程有四个不同根，，，，且满足，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】作出函数图像可得，
从而得，且，从而得，
原式，
令，，，
令，则，，
在单调递增，，最大值为．
题型10 嵌套函数的零点问题
1．（23-24高三上·湖北·开学考试）设函数，则函数的零点个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【解析】函数的零点个数与方程的解的个数相等，
令，则，
所以函数的零点个数与方程组的解的个数相同，
因为， 由，
可得当时，，当时，，解得或或，
在同一平面直角坐标系中分别作出y=fx，，，的图象如图所示，
由图象可知y=fx与有个交点，即有个根，
y=fx与有个交点，即有个根，
y=fx与有个交点，即有个根，
所以函数的零点个数为个，故选：C
2．（24-25高三上·江西新余·月考）已知函数，则关于的方程：的实根个数为：( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
令，，则换元整理为，
作出图像和在上的大致图象，
由图可知两函数在定义域内有两交点，
即方程在定义域内有2个实根分别为，，
再作出y=fx的图像，用和与之相交，共有8个实根.
故选：D.
3．（24-25高三上·江西萍乡·期中）已知函数，若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由函数恰有5个零点，
得方程有5个根，
在平面直角坐标系中作出函数的图象，
令，观察图象知，当时，直线与的图象有3个交点，
当时，直线与的图象有2个交点，
令，
由函数有5个零点，得有两个不等实根，且，，
因此或，解得或，
所以实数m的取值范围是.故选：B.
4．（24-25高三上·安徽·期中）设表示实数中的最小值，若函数，函数有六个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】画出的图象如下：
令，则函数至多两个零点，
而至多三个根，同理至多三个根，
要想有六个不同的零点，
需有两个不相等零点，不妨设，
且和均有三个根，且根各不相同，
所以，由韦达定理得，，
显然，故，
故，，
由对勾函数性质得在上单调递减，
所以，
此时满足，故。故选：B
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（24-25高三上·广东深圳·月考）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由于，x>0，且中，
故，fx在单调递增，因此至多一个零点，
,,，
因此的零点所在的区间是，故选：C
2．（23-24高三下下·广东湛江·一模）函数零点的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，得函数的定义域为，
函数零点的个数零点个数，
即函数的图象和函数的图象的交点个数，
如图所示：
数形结合可得函数的图象和函数的图象的交点个数为．故选:C．
3．（24-25高三上·海南海口·月考）函数的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】当时，，，则，排除选项B和C；
当时，，排除选项A，选项D符合题意.故选：D
4．（24-25高三上·天津·月考）若函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据函数图象的对称性可知为奇函数，
对于A项，不是奇函数，故排除；
对于B项，可取0，故排除；
对于D项，，故排除.故选：C.
5．（23-24高三上·贵州遵义·月考）已知函数，若函数有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，故，
画出与的图象，
函数有3个零点，即与图象有3个不同的交点，
则，解得.故选：D
6．（23-24高三下·广东梅州·二模）三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为函数，，，都是增函数，
所以函数，，均为增函数，
因为，所以函数的零点在上，即，
因为，所以函数的零点在2,3上，即，
因为，所以函数ℎx的零点在0,1上，即，
综上，．故选：B．
7．（24-25高三上·山东济南·月考）已知实数满足，则函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】由题设，则或时，时，f'x