苏科版八年级数学下册压轴题攻略专题01中点四边形模型(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学下册压轴题攻略专题01中点四边形模型(原卷版+解析)，共29页。
中点四边形:依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形O。
结论 1: 点 M、N、P、Q 是任意四边形的中点，则四边形 MNPQ 是平行四边形

结论 2: 对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形

结论3：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形

结论 4: 对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形

【典例1】（2023•铜川一模）如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（ ）
A．AC⊥BDB．AB＝CDC．AB∥CDD．AC＝BD
【典例2】（2023春•和平区校级期末）已知在四边形ABCD中，对角线AC与BD相等，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是（ ）
A．平行四边形B．矩形
C．菱形D．正方形
【典例3】（2023春•庐江县期末）若顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形一定是（ ）
A．矩形
B．菱形
C．对角线相等的四边形
D．对角线互相垂直的四边形
1．（2023春•宿豫区期中）顺次连接对角线相等且垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是（ ）
A．平行四边形B．矩形
C．菱形D．正方形
2．（2022秋•辽阳期末）顺次连接矩形四边中点得到的四边形一定是（ ）
A．正方形B．矩形
C．菱形D．平行四边形
3．（2023•佛山模拟）如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件是（ ）
A．AC⊥BDB．AC＝BD
C．AC⊥BD且AC＝BDD．不确定
4．（2023春•涟水县期中）若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形（ ）
A．一定是矩形B．一定是菱形
C．对角线一定互相垂直D．对角线一定相等
5．（2023春•锡山区校级期中）顺次连接对角线长为6的矩形ABCD四边中点所得的四边形的周长为（ ）
A．12B．18C．9D．无法确定
6.（2023春•南京期中）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是线段AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，需添加的条件是（ ）
A．AC＝BDB．AC⊥BDC．AB＝CDD．AB⊥CD
7．（2023春•东莞市校级期中）如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，若AB＝5，AD＝8，则图中阴影部分四边形EFGH的面积为（ ）
A．40B．26C．20D．13
8．（2022•南召县模拟）如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．在四边形ABCD中，若对角线AC＝BD，则四边形EFGH为矩形
B．在四边形ABCD中，若对角线AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形
C．在四边形EFGH中，若对角线EG⊥HF，则四边形EFGH为矩形
D．在四边形EFGH中，若对角线EG＝HF，且EG⊥HF，则四边形EFGH为正方形
9.（2022春•凤凰县期末）顺次连结任意四边形各边中点所得的四边形必定是（ ）
A．任意四边形B．平行四边形
C．菱形D．矩形
10.（2022春•青白江区校级月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为（ ）
A．48B．24C．32D．12
11．（2022春•芜湖期中）如图，顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点，得到四边形A1B1C1D1，然后顺次连接四边形A1B1C1D1四边的中点，得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点，得到四边形A3B3C3D3，…，按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为（ ）
A．B．C．D．
12．（2022•旌阳区模拟）如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝5，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，连接EG，HF，相交于点O，则EG2+FH2的值为（ ）
A．25B．30C．35D．40
13．（2023春•浦东新区校级期末）顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形的两条对角线为a、b，则等腰梯形的面积为 ．
14．（2023春•南川区期中）如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为18cm，顺次连结各边中点E、F、G、H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为 cm．
15．（2022春•临海市期末）如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点，若AC＝6，BD＝4．则四边形EFGH的周长为 ．
16．（2022春•克东县期中）如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，BD＝AC．要使四边形EFGH是正方形，BD、AC应满足的条件是 ．
17．（2023春•盐城期中）阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．
（1）这个中点四边形EFGH的形状是 ；
（2）如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且△AMD和△MCB为等边三角形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状并证明．
18．（2023春•姜堰区期中）如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，连接AC、BD．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）当对角线AC与BD满足什么关系时，四边形EFGH是菱形，并说明理由．
19．（2022秋•薛城区校级月考）如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
（1）判断四边形EFGH的形状．并说明理由．
（2）当四边形ABCD的对角线添加条件 时，四边形EFGH是矩形．
（3）在（2）的条件下，说明四边形EFGH是矩形．
20．（2022春•工业园区校级期末）如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，
（1）求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．
21．（2022春•咸安区期末）如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，点O是△ABC内一点，连接OA，OB，OC，点F，G分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，F，G，E．
（1）求证：四边形DFGE是平行四边形；
（2）当OA⊥DE时，求证：四边形DFGE是矩形；
（3）若四边形DFGE是正方形，OA与BC之间满足的条件是： OA⊥BC且OA＝BC ．
22．（2022春•龙口市月考）已知四边形ABCD是矩形．
（1）如图1，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，求证：四边形EFGH是菱形；
（2）如图2，若菱形EFGH的三个顶点E，F，H分别在边AB，BC，AD上，连接CG．已知BE＝2AE＝8，CG＝2，CF﹣BF＝1，求AD的长．
23．（2022春•崇川区校级月考）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，当AB、CD满足什么条件时，有EF⊥GH？请说明你的理由．
专题01 中点四边形模型
中点四边形:依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形O。
结论 1: 点 M、N、P、Q 是任意四边形的中点，则四边形 MNPQ 是平行四边形

结论 2: 对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形

结论3：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形

结论 4: 对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形

【典例1】（2023•铜川一模）如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（ ）
A．AC⊥BDB．AB＝CDC．AB∥CDD．AC＝BD
【答案】A
【解答】解：∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，
∴EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC，EH∥BD，
∴EF＝GH，EF∥GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
当AC⊥BD时，EF⊥EH，则四边形EFGH为矩形，
故选：A．
【典例2】（2023春•和平区校级期末）已知在四边形ABCD中，对角线AC与BD相等，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是（ ）
A．平行四边形B．矩形
C．菱形D．正方形
【答案】C
【解答】解：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，AC＝BD，
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AC，
同理：FG＝BD，GH＝AC，EH＝BD，
∵AC＝BD，
∴EF＝HG＝EH＝FG，
∴四边形EFGH是菱形．
故选：C．
【典例3】（2023春•庐江县期末）若顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形一定是（ ）
A．矩形
B．菱形
C．对角线相等的四边形
D．对角线互相垂直的四边形
【答案】D
【解答】解：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD，
故选：D．
1．（2023春•宿豫区期中）顺次连接对角线相等且垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是（ ）
A．平行四边形B．矩形
C．菱形D．正方形
【答案】D
【解答】解：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，EF＝AC，FG＝BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，AC＝BD，
∴EF⊥FG，FE＝FG，
∴四边形EFGH是正方形，
故选：D．
2．（2022秋•辽阳期末）顺次连接矩形四边中点得到的四边形一定是（ ）
A．正方形B．矩形
C．菱形D．平行四边形
【答案】C
【解答】解：如图，连接AC、BD．
在△ABD中，
∵AH＝HD，AE＝EB，
∴EH＝BD，
同理FG＝BD，HG＝AC，EF＝AC，
又∵在矩形ABCD中，AC＝BD，
∴EH＝HG＝GF＝FE，
∴四边形EFGH为菱形．
故选：C．
3．（2023•佛山模拟）如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件是（ ）
A．AC⊥BDB．AC＝BD
C．AC⊥BD且AC＝BDD．不确定
【答案】B
【解答】解：满足的条件应为：AC＝BD．
理由如下：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，所以HG∥AC且HG＝AC；同理EF∥AC且EF＝AC，同理可得EH＝BD，
则HG∥EF且HG＝EF，
∴四边形EFGH为平行四边形，又AC＝BD，所以EF＝EH，
∴四边形EFGH为菱形．
故选：B．
4．（2023春•涟水县期中）若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形（ ）
A．一定是矩形B．一定是菱形
C．对角线一定互相垂直D．对角线一定相等
【答案】D
【解答】解：如图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，
∴EF＝FG＝CH＝EH，BD＝2EF，AC＝2FG，
∴BD＝AC．
∴原四边形一定是对角线相等的四边形．
故选：D．
5．（2023春•锡山区校级期中）顺次连接对角线长为6的矩形ABCD四边中点所得的四边形的周长为（ ）
A．12B．18C．9D．无法确定
【答案】A
【解答】解：因为矩形的对角线相等，所以AC＝BD＝10cm，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD、的中点，
∴EH＝GF＝BD＝×6＝3，EF＝GH＝AC＝×6＝3，
故顺次连接矩形四边中点所得的四边形周长为EH+GF+EF+GH＝12．
故选：A．
6.（2023春•南京期中）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是线段AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，需添加的条件是（ ）
A．AC＝BDB．AC⊥BDC．AB＝CDD．AB⊥CD
【答案】C
【解答】解：∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，
∴EF＝GH＝AB，EH＝FG＝CD，
∵当EF＝FG＝GH＝EH时，四边形EFGH是菱形，
∴当AB＝CD时，四边形EFGH是菱形．
故选：C．
7．（2023春•东莞市校级期中）如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，若AB＝5，AD＝8，则图中阴影部分四边形EFGH的面积为（ ）
A．40B．26C．20D．13
【答案】C
【解答】解：连接EG、FH，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°，
∵E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EG＝AD＝8，HF＝AB＝5，EG⊥HF，
∴S四边形EFGH＝×5×8＝20，
故选：C．
8．（2022•南召县模拟）如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．在四边形ABCD中，若对角线AC＝BD，则四边形EFGH为矩形
B．在四边形ABCD中，若对角线AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形
C．在四边形EFGH中，若对角线EG⊥HF，则四边形EFGH为矩形
D．在四边形EFGH中，若对角线EG＝HF，且EG⊥HF，则四边形EFGH为正方形
【答案】D
【解答】解：连接AC、BD，
∵E，F分别为边AB，BC的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF＝AC，EF∥AC，
同理，HG＝AC，HG∥AC，EH＝BD，EH∥BD，
∴EF＝HG，EF∥HG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
当AC＝BD时，EF＝EH，
∴平行四边形EFGH为菱形，故选项A错误；
当AC⊥BD时，EF⊥EH，
∴平行四边形EFGH为矩形，故选项B错误；
在平行四边形EFGH中，若对角线EG⊥HF，则四边形EFGH为菱形，故选项C错误；
在平行四边形EFGH中，若对角线EG＝HF，且EG⊥HF，则平行四边形EFGH为正方形，故选项D正确．
故选：D．
9.（2022春•凤凰县期末）顺次连结任意四边形各边中点所得的四边形必定是（ ）
A．任意四边形B．平行四边形
C．菱形D．矩形
【答案】B
【解答】解：如图根据中位线定理可得：GF＝BD且GF∥BD，EH＝BD且EH∥BD，
∴EH＝FG，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
故选：B．
10.（2022春•青白江区校级月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为（ ）
A．48B．24C．32D．12
【答案】D
【解答】解：∵点E、F分别为四边形ABCD的边AD、AB的中点，
∴EF∥BD，且EF＝BD＝3．
同理求得EH∥AC∥GF，且EH＝GF＝AC＝4，
又∵AC⊥BD，
∴EF∥GH，FG∥HE且EF⊥FG．
四边形EFGH是矩形．
∴四边形EFGH的面积＝EF•EH＝3×4＝12，即四边形EFGH的面积是12．
故选：D．
11．（2022春•芜湖期中）如图，顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点，得到四边形A1B1C1D1，然后顺次连接四边形A1B1C1D1四边的中点，得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点，得到四边形A3B3C3D3，…，按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：顺次连接正方形ABCD四边的中点得正方形A1B1C1D1，则得正方形A1B1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半，即，则周长是正方形ABCD的；
顺次连接正方形A1B1C1D1中点得正方形A2B2C2D2，则正方形A2B2C2D2的面积为正方形A1B1C1D1面积的一半，即正方形ABCD的，则周长是正方形ABCD的；
顺次连接正方形A2B2C2D2得正方形A3B3C3D3，则正方形A3B3C3D3的面积为正方形A2B2C2D2面积的一半，即正方形ABCD的，则周长是正方形ABCD的；
顺次连接正方形A3B3C3D3中点得正方形A4B4C4D4，则正方形A4B4C4D4的面积为正方形A3B3C3D3面积的一半，即正方形ABCD的，则周长是正方形ABCD的；
…
故第n个正方形周长是原来的，
以此类推：正方形A8B8C8D8周长是原来的，
∵正方形ABCD的边长为1，周长为4，
∴按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为，
故选：C．
12．（2022•旌阳区模拟）如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝5，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，连接EG，HF，相交于点O，则EG2+FH2的值为（ ）
A．25B．30C．35D．40
【答案】A
【解答】解：连接EF、FG、GH、HE，
∵点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF＝AC＝，FG＝BD＝，GH＝AC＝，HE＝BD＝，
∴EF＝FG＝GH＝HE，
∴四边形EFGH为菱形，
∴EG⊥FH，OE＝OG，OF＝OH，
∴OE2+OH2＝EH2＝，
∴EG2+FH2＝4OE2+4OH2＝25，
故选：A．
13．（2023春•浦东新区校级期末）顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形的两条对角线为a、b，则等腰梯形的面积为 ab ．
【答案】ab．
【解答】解：连接AC、BD，
∵E、F分别为AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AC，
同理可得：GH＝AC，EH＝BD，GF＝BD，
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AC＝BD，
∴EF＝FG＝GH＝EH，
∴四边形EFGH为菱形，
∵菱形EFGH为对角线分别为a、b，
∴等腰梯形ABCD的中位线和高分别为a、b，
∴S等腰梯形＝ab，
故答案为：ab．
14．（2023春•南川区期中）如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为18cm，顺次连结各边中点E、F、G、H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为 36 cm．
【答案】36．
【解答】解：∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AC＝×18＝9cm，
同理FG＝BD，HG＝AC，EH＝BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴EF＝FG＝GH＝HE，
∴四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH的周长为9×4＝36（cm）．
故答案为：36．
15．（2022春•临海市期末）如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点，若AC＝6，BD＝4．则四边形EFGH的周长为 10 ．
【答案】10．
【解答】解：∵E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点，AC＝6，BD＝4，
∴EF是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，GF是△BDC的中位线，GH是△ADC的中位线，
∴EF＝AC＝×6＝3，GH＝AC＝×6＝3，EH＝BD＝×4＝2，FG＝BD＝×4＝2，
∴四边形EFGH的周长＝EF+FG+GH+EH＝3+2+3+2＝10，
故答案为：10．
16．（2022春•克东县期中）如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，BD＝AC．要使四边形EFGH是正方形，BD、AC应满足的条件是 AC＝BD且AC⊥BD ．
【答案】AC＝BD且AC⊥BD．
【解答】解：满足的条件应为：AC＝BD且AC⊥BD．
理由：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，
∴HG∥AC且HG＝AC；
同理EF∥AC且EF＝AC，同理可得EH＝BD，
则HG∥EF且HG＝EF，
∴四边形EFGH为平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴EF＝EH，
∴四边形EFGH为菱形，
∵AC⊥BD，EF∥AC，
∴EF⊥BD，
∵EH∥BD，
∴EF⊥EH，
∴∠FEH＝90°，
∴菱形EFGH是正方形．
故答案为：AC＝BD且AC⊥BD．
17．（2023春•盐城期中）阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．
（1）这个中点四边形EFGH的形状是 平行四边形 ；
（2）如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且△AMD和△MCB为等边三角形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状并证明．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）中点四边形EFGH是平行四边形；
理由如下：连接AC，如图1所示：
∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，
∴EF∥AC，EF＝AC，GH∥AC，GH＝AC，
∴EF∥GH，EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
故答案为：平行四边形；
（2）四边形EFGH为菱形．理由如下：
连接AC与BD，如图2所示：
∵△AMD和△MCB为等边三角形，
∴AM＝DM，∠AMD＝∠CMB＝60°，CM＝BM，
∴∠AMC＝∠DMB，
在△AMC和△DMB中，
，
∴△AMC≌△DMB（SAS），
∴AC＝DB，
∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，HE是△ABD的中位线，
∴EF∥AC，EF＝AC，GH∥AC，GH＝AC，HE＝DB，
∴EF∥GH，EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
∵AC＝DB，
∴EF＝HE，
∴四边形EFGH为菱形．
18．（2023春•姜堰区期中）如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，连接AC、BD．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）当对角线AC与BD满足什么关系时，四边形EFGH是菱形，并说明理由．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形，理由见解答．
【解答】（1）证明：∵点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴EF∥AC，EF＝AC，HG∥AC，HG＝AC，
∴EF∥HG，EF＝HG，
∴四边形EFGH为平行四边形；
（2）当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形，理由如下：
由（1）知：四边形EFGH是平行四边形．
∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH＝BD．
又∵EF＝AC，
∴当AC＝BD时，EF＝EH，
∴平行四边形EFGH是菱形．
19．（2022秋•薛城区校级月考）如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
（1）判断四边形EFGH的形状．并说明理由．
（2）当四边形ABCD的对角线添加条件 AC⊥BD 时，四边形EFGH是矩形．
（3）在（2）的条件下，说明四边形EFGH是矩形．
【答案】（1）四边形EFGH为平行四边形，理由见解析；
（2）AC⊥BD；
（3）证明见解答过程．
【解答】（1）解：四边形EFGH为平行四边形，
理由如下：连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC，
∴EF＝GH，EF∥GH，
∴四边形EFGH为平行四边形；
（2）解：当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形，
故答案为：AC⊥BD；
（3）证明：∵E、H分别是AB、DA的中点，
∴EH∥BD，
∴EF∥AC，EH∥BD，AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴平行四边形EFGH为矩形．
20．（2022春•工业园区校级期末）如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，
（1）求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．
【答案】（1）见解析过程；
（2）四边形EFGH是菱形，理由见解析过程．
【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．
∵点E，H分别为边AB，DA的中点，
∴EH∥BD，EH＝BD，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG＝BD，
∴EH∥FG，EH＝GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）解：四边形EFGH是菱形，理由如下：
如图2，连接AC、BD，
∵∠APB＝∠CPD，
∴∠APB+∠APD＝∠CPD+∠APD，即∠APC＝∠BPD，
在△APC和△BPD中，
，
∴△APC≌△BPD（SAS），
∴AC＝BD，
∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，
∴EF＝AC，FG＝BD，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
21．（2022春•咸安区期末）如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，点O是△ABC内一点，连接OA，OB，OC，点F，G分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，F，G，E．
（1）求证：四边形DFGE是平行四边形；
（2）当OA⊥DE时，求证：四边形DFGE是矩形；
（3）若四边形DFGE是正方形，OA与BC之间满足的条件是： OA⊥BC且OA＝BC ．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）若四边形DFGE是正方形，OA与BC之间满足的条件是：OA⊥BC且OA＝BC，证明见解析．
【解答】（1）证明：∵D、E是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且DE＝BC，
∵F、G是OB、OC的中点，
∴GF∥BC且GF＝BC，
∴DE∥GF且DE＝GF，
∴四边形DFGE是平行四边形；
（2）证明：由（1）知，四边形DFGE是平行四边形，
如图，连接OA，
∵D、G分别是AB、OB的中点，
∴DG∥OA，
∵OA⊥DE，
∴DG⊥DE，
∴∠GDE＝90°，
∴平行四边形DFGE是矩形，
所以当OA⊥DE时，四边形DFGE是矩形；
（3）解：若四边形DFGE是正方形，OA与BC之间满足的条件是：OA⊥BC且OA＝BC，
由（2）可知，当OA⊥BC时，四边形DFGE是矩形，
∵D、G、F分别是AB、OB、OC的中点，
∴DG＝AO，GF＝BC，
∵AO＝BC，
∴DG＝GF，
∴矩形DGFE是正方形．
故答案为：OA⊥BC且OA＝BC．
22．（2022春•龙口市月考）已知四边形ABCD是矩形．
（1）如图1，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，求证：四边形EFGH是菱形；
（2）如图2，若菱形EFGH的三个顶点E，F，H分别在边AB，BC，AD上，连接CG．已知BE＝2AE＝8，CG＝2，CF﹣BF＝1，求AD的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）14．
【解答】（1）证明：如图1，连接AC，BD，
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥AC，EF＝AC，
同理：GH∥AC，GH＝AC，EH＝BD，
∴EF∥GH，EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴EF＝EH．
∴四边形EFGH是菱形；
（2）解：如图2，连接FH，过点G作GM⊥BC交BC的延长线于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD∥BC．
∴∠A＝∠M，∠AHF＝∠MFH，
∵四边形EFGH是菱形，
∴FG∥EH，FG＝EH，
∴∠EHF＝∠GFH．
∴∠AHE＝∠MFG，
在△AEH和△MFG中，
∴△AEH≌△MFG（AAS），
∴GM＝AE＝4．
∵CG＝2，
根据勾股定理，得CM＝2，
设BF＝x，则CF＝x+1，
在Rt△GFM中，FG2＝（x+1+2）2+16＝（x+3）2+16，
同理EF2＝x2+64，
∴（x+3）2+16＝x2+64．
∴x＝，
∴BC＝2x+1＝14，
∴AD＝BC＝14．
23．（2022春•崇川区校级月考）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，当AB、CD满足什么条件时，有EF⊥GH？请说明你的理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：当AB＝CD时，有EF⊥GH，
连接GE、GF、HF、EH．
∵E、G分别是AD、BD的中点，
∴EG＝AB，
同理HF＝CD，FG＝CD，EH＝CD，
又∵AB＝CD
∴EG＝GF＝FH＝EH
∴四边形EFGH是菱形．
∴EF⊥GH．